一元二次方程提高培优题
一元二次方程培优提高题解析
一元二次方程培优提高题解析一、利用判别式判断方程根的情况1. 已知关于x的一元二次方程(m - 1)x^2+2x - 1=0有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。
解析：对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，判别式Δ=b^2-4ac。
在方程(m - 1)x^2+2x - 1=0中，a = m- 1，b=2，c=-1。
因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0且a≠0。
首先计算Δ = 2^2-4(m - 1)×(-1)>0，4 + 4(m - 1)>0，4+4m-4>0，4m>0，解得m>0。
又因为a=m - 1≠0，即m≠1。
所以m的取值范围是m>0且m≠1。
2. 若关于x的一元二次方程kx^2-2x + 1 = 0没有实数根，求k的取值范围。
解析：对于方程kx^2-2x + 1=0，其中a = k，b=-2，c = 1。
因为方程没有实数根，所以Δ=b^2-4ac<0。
Δ=(-2)^2-4k×1<0，4 - 4k<0，-4k<-4，解得k > 1。
又因为方程是一元二次方程，所以k≠0。
综上，k的取值范围是k>1。
二、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）1. 已知方程x^2-3x - 4 = 0的两根为x_1，x_2，求x_1^2+x_2^2的值。
解析：对于一元二次方程ax^2+bx + c=0(a≠0)，若两根为x_1，x_2，则x_1+x_2=-(b)/(a)，x_1x_2=(c)/(a)。
在方程x^2-3x - 4 = 0中，a = 1，b=-3，c=-4。
所以x_1+x_2=-(-3)/(1)=3，x_1x_2=(-4)/(1)=-4。
x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3^2-2×(-4)=9 + 8=17。
2. 已知关于x的方程x^2+kx + k - 1=0的两根为x_1，x_2，且x_1^2+x_2^2=5，求k的值。
数学 一元二次方程的专项 培优练习题含答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤， 4k ∴=舍去，2k ∴=-．【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1） 用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：3． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;或( x≥m) ；4．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．8．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。
一元二次方程专题培优训练精选
一元二次方程专题培优训练精选专题一利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A.m≠3.B.m≥3.C.m≥-2.D。
m≥-2且m≠3已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A。
m≠3.B。
m≥3.C。
m≥-2.D。
m≥-2且m≠32.已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？3.若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+1若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+14.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.专题二利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值21.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A.-9或11.B.-7或8.C.-8或9.C.-8或9 若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A。
-9或11.B。
-7或8.C。
培优专题01 一元二次方程的解法-原卷版
培优专题01 一元二次方程的解法◎方法一 直接开平方法（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如x 2=a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x 1=a ,x 2=a -.（2）直接开平方法适用于解形如x 2 = p 或(mx+a)2 = p(m ≠0)形式的方程，如果p ≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x 2 -1＝0的根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1，x 2＝-1C ．x 1＝x 2＝-1D ．x 1＝1，x 2＝02．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-3．（2022·全国·九年级课时练习）关于x 的方程2x p =．（1）当0p >时，方程有__________的实数根；（2）当0p =时，方程有__________的实数根；（3）当0p <时，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程290x -=的解为______．5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义 ac ad bc b d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若210493x x=，求x 的值．(2)若11611x x x x +-=-+，求x 的值．◎方法二 配方法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)
一元二次方程拓展提高题1、已知x25x20000，则x2 3xx 1 21的值是.22、已知a22004a10，则 2a 24007 a2004_________ .a 213、若ab1，且5a 22005a70 ，7b 22005b 5 0 ，则a_________ . b4、已知方程2x 22ax3a40没有实数根，则代数式a28a16 2 a_____.5、已知y 2 x6x ，则 y 的最大值为.6、已知a b c0， abc2， c0 ，则（）A、 ab 0B、 a b 2C、 a b3D、 a b47、已知a b8 ， ab c2160，则 a b c________ .8、已知m2m10 ，则m3 2 m22006________ .9、已知a b4， ab c 240 ，则 a b________ .10、若方程x 2px q0 的二根为 x1， x2，且 x1 1 ， p q30，则 x2 ()A、小于 1B、等于 1C、大于 1 D 、不能确定是方程 x 213 1 的值为11、已知x0 的一个根，则3.412、若3x2x 1 ，则 9 x 412x 32x 27x2008（）A、 2011B、 2010C、 2009 D 、 200813、方程3x23x2 2 的解为.14、已知x2x y 20 ，则x2y 22x的最大值是（）26A、 14B、 15C、 16 D 、18、方程x 22 | x |2m恰有 3 个实根，则m（）15A、 1B、 1.5C、2 D 、2.516、方程x23xx2379 的全体实数根之积为（）3 xA、 60B、60C、 10D、 1017、关于x的一元二次方程2x 25x a 0x1: x2 2 : 3，则x2x1（ a 为常数）的两根之比（）A、 1B、 2C、1D、3 2218、已知是、方程 x2x10 的两个实根，则43_______ .19、若关于x的方程2ax2xax 1 只有一解，求a 的值。
【数学】培优一元二次方程辅导专题训练附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】 试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0∴． ∴12313313,22x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--3．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=4．解下列方程：(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；(2)(x＋1)2＝6x＋6.【答案】(1)x1＝1＋62x2＝1－621＝－1，x2＝5.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝12，∴x2－2x＋1＝32.∴(x－1)2＝32.∴x－1＝32±6 2.∴x1＝1＋62，x2＝1－62.(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.∴x1＝－1，x2＝5.5．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x-+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
一元二次方程竞赛训练题
一元二次方程培优训练命题人：周金林 9.18一:选择题（25分）1．方程k k k x k x (02)13(722=--++-是实数)有两个实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是（ C ）（A ）3＜k ＜4；（B ）－2＜k ＜－1；（C ）3＜k ＜4或－2＜k ＜－1 （D ）无解。
2．方程012=--x x 的解是（ D ）（A ）251±； （B ）251±- （C ）251±或251±-； （D ）3．若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是( B )(A)∆>M (B)∆=M (C)∆<M ; (D)不确定. 4．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ C ）（A ）10≤≤m ； （B ）43≥m ； （C ）143≤<m ； （D ）143≤≤m5．已知b 2-4ac 是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ B ）(A) 18ab ≥ (B) 18ab ≤ (C) 14ab ≥ (D) 14ab ≤二;填空题（25分）1．在Rt ABC 中，斜边AB=5，而直角边BC ，AC 之长是一元二次方程2(21)4(1)0x m x m --+-=的两根，则m 的值是 42．方程01)8)((=---x a x ，有两个整数根，则=a 8 3．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a cb 32 6 ． 4．设21,x x 是二次方程032=-+x x 的两个根，求1942231+-x x 的值 0 5．已知m ，n 是有理数，并且方程02=++n mx x 有一个根是25-，那么m+n 的值是___3___。
(完整版)一元二次方程培优提高例题
考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。
针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。
m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。
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一元二次方程提高题一、选择题1. 已知a是方程x2+x-仁0的一个根，则- 的值为( )a - 1 a - aA .-严B . 1C . - 1D . 172. 一元二次方程x(x2) 2 x的根是( )A.x=1B.x=0C.x=1 和x=2D.x=-1 和x=23 .为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( )2 2A. 289 (1 - x) =256 B . 256 (1 - x) =289C. 289 (1 - 2x) =256 D . 256 (1 - 2x) =2894.岑溪市重点打造的天龙顶山地公园在2013年12月27日试业了.在此之前，公园派出小曾等人到某旅游景区考察，了解到该景区三月份共接待游客20万人次，五月份共接待游客50万人次•小曾想知道景区每月游客的平均增长率x的值，应该用下列哪一个方程来求出？( )2 2 2A. 20 (1+x) =50 B . 20 (1 - x) =50 C . 50 (1+x) =20 D . 50 ( 1 -x) 2=20 5•某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )A. x(x 1) 2070 B . x(x 1) 2070C. 2x(x 1) 2070 D . x(x 1 2070x6.若关于x的方程x2- 4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是A . m<- 4B . m>- 4C . m< 4D . m> 47.已知实数a, b分别满足a2 6a 4 0, b2 6b 4 0,且a工b，则b - a b 的值是【】A. 7 B . —7 C . 11 D . —11&已知关于x的方程kx2 1 k x 1 0，下列说法正确的是A. 当k 0时，方程无解B. 当k 1时，方程有一个实数解C. 当k 1时，方程有两个相等的实数解D. 当k 0时，方程总有两个不相等的实数解9.若x2 Mxy 4y2是一个完全平方式，那么M的值是( )A. 2B. ± 2C. 4D. ± 4二、填空题10 .已知方程x2+ ( 1 - _上；)x -」.=0的两个根X1和X2，贝U X/+X22= ______2 1 111.已知m和n是方程2x —5x —3 = 0的两个根，^ U —+—=___________.m n2 212 .若将方程x 6x 7，化为x m 16，则m = __________________ .13 .已知(x2+ y2) (x2—1+ y2)—12=0，则x2+ y2的值是___________ ?14 .某种药品原价为60元/盒，经过连续两次降价后售价为48.6元/盒.设平均每次降价的百分率为x，则根据题意，可列方程为_________ .15 .若Va 4+ b 1 0 ,且一元二次方程kx2 ax b 0有实数根，则k的取值范围是________ •三、计算题216 .解方程：(x+3) - x (x+3) =0 .按要求解方程：18.2x 2x 3 019.2x x 10 (公式法) 20. x 2 2x 10 (配方法)四、解答题21 .广东省某市政府为了做到“居者有其屋”，加快了廉租房的建设力度， 2010年市政府共投资 2亿元人民币建设了廉租房 8万平方米，预计到 2012年底三年共累计投资 9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的 增长率相同.① 求每年市政府投资的增长率.② 若这两年内的建设成本不变，求到 2012年底共建设了多少平方米廉租房. 22 .已知X 1、X 2是方程2x 2 + 3x — 1 = 0的两个实数根，不解方程，求① (X 1 —2 1 1X 2):②一 + —的值.x-1 x 223.已知关于x 的一元二次方程 x 2 (k 2)x 2k 0 .(1) 若x 1是这个方程的一个根，求 k 的值和它的另一根； (2) 对于任意的实数 k ，判断原方程根的情况，并说明理由. 24 .为丰富学生的学习生活，某校九年级 1班组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：阳异加1 低2 丁巴17. x(x 2)3(x 2)春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用 多少人参加这次春游活动？2800元，请问该班共有如果人数超过25人，每 增加1人，人均活动费用 降低2元，但人均活动费 用不得低于75元。
参考答案1. D【解析】先化简- ,由a是方程x2+x-仁0的一个根，得a2+a-仁0,则a2+a=1,a - 1 a - a再整体代入即可.解：原式= ■，、人•’a (a+1) (a - 1)=_,a (a+lj■/ a是方程x2+x - 1=0的一个根，--a +a —仁0,2即 a +a=1,原式=_______ =1.a (a+1)故选D.2. D.【解析】试题分析：x(x 2) 2 x x(x 2)+ (x 2)=0(x 1)(x 2) 0••• x 10, x 2 0解得：x1 1 , x22故选D.考点：解一元二次方程----因式分解法.3. A.【解析】试题分析：设平均每次的降价率为x,则经过两次降价后的价格是289 ( 1 —x) 2,根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289 ( 1 —x ) 2=256.故选：A.考点：由实际问题抽象出一元二次方程.4. A.【解析】试题分析：：一般用增长后的量=增长前的量X( 1+增长率)，如果设每月游客的平均增长率x，根据题意即可列出方程.设每月游客的平均增长率x,根据题意可列出方程为：20 ( 1+x) 2=50.故选A.考点：由实际问题抽象出一元二次方程.5. A.【解析】试题分析：根据题意得：每人要赠送( X- 1)张相片,有x个人,所以全班共送：x (x - 1)=2070.故选A.考点：一元二次方程的应用.6. D【解析】试题分析：由方程没有实数根，得到根的判别式的值小于0,列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围：■/△ = (- 4) - 4m=16- 4m< 0,二m>4。
故选7. A。
2 O【解析】••• a, b分别满足a 6a 4 0, b 6b 4 0,且a工b,••• a与b为方程x2- 6x+4=0的两根。
•••根据一元二次方程根与系数的关系，得a+b=6, ab=4。
•则-a ab2 2b a a b2ab 62 2 47。
故选A o ab ab48. C o【解析】\|z k 0时，.、/4亠壬口X 10有唯一解。
当万程为一兀次方程当k 0时，方程为一元二次方程，的情况由根的判别式确定:2 21 k 4 k 1 k 1 ,•••当k 1时，方程有两个相等的实数解，当k 0且k 1时，方程有两个不相等的实数解。
综上所述，说法C正确。
故选Co9. D【解析】试题分析：若x2 Mxy 4y2是一个完全平方式，因为x2Mxy 4y2x2Mxy 2y 2,它要是完全平方式，那么Mxy 2x 2y，即Mxy 4xy，所以M= ± 4考点：完全平方式点评：本题考查完全平方式，解答本题需要考生掌握完全平方式，及其完全平方式的结构。
从而来解答本题10. 3【解析】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0 (0)的根与系数关系即韦达定理，两根之和是一 _，两根之积是_ .已知方程x2+ (1 - f , ) x - /_ =0的两个根X1和X2，贝y X1+X2=-a a(1 -J]), X1X2=- J]，而x^+x^= (X1+X2) 2- 2X1X2，然后把前面的值代入即可求出其值. 解：•••方程x2+ (1 - /_ ) x-二；：：.=0 的两个根X1 和X2,• X1+X2=-( 1 - 二),X1X2=- J-,则X12+X22= (X1+X2) 2- 2x1X2=3.故填空答案：3.5【解析】2m n是2x —5x —3= 0的两个根,•z 5 3•• m+ n = , m- n=— _2 21 1 m n 5 , 3、5•—— +— = = -^ (—)=——.m n mn 2 2 312. 3.【解析】试题分析：方程两边都加上一次项系数一半的平方，进行配方即可求出m的值.试题解析：••• X26x 7• X26x 9 7 92x 3 16• m=3.考点：配方法.13. 4【解析】将x2+y2看作一个整体m，得m(m 1) 12 0,整理得m2m 12 0,解得m 4 或m 3,由于m是大于零的数，所以m 3舍去.14. 60(1 x)248.6.【解析】试题分析：平均每次降价的百分率为x,第一次降价后售价为60(1 —x),第二次降价后售价为60(1 —x) (1 —x) = 601 —x)据此列出方程：60(1 x)248.6.15. k4且k0.【解析】试题分析：•••a4+ b 10,•根据算术平方根和绝对值的非负数性质，得a 40 a4b 10 b 1 .• kx2ax b0即kx2 4x 1 0.- 元—一次方程kx24x 10有实数根，考点：一元二次方程的应用(增长率问题)•••根据一元二次方程定义和根的判别式，得42 4k 0 k 4• k的取值范围是k 4且k 0 .20. x 2(xX 1解: 2x1)2 1 、5,X 2x 22x二 * ■■■ 2 1, X 2 、2 1 考点：1.算术平方根和绝对值的非负数性质； 2. 一元二次方程定义；3. —元二次方程根的判别式；4.分类思想的应用. 16. x= - 3 【解析】试题分析：方程左边提取公因式变形后，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0转化为两个一元一次方程来求解.2解：(x+3) - x (x+3) =0, 分解因式得：(x+3) (x+3 - x ) =0, 可得：x+3=0, 解得：x= - 3.点评：此题考查了解一元二次方程-因式分解法， 利用此方法解方程时， 首先将方程右边化 为0,左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为 0,两因式中至少有一个为 0转化为两个一元一次方程来求解.17.解： (x 3)(x 2) 0 ......................... ....................... 3分••• x 3 0 或 x 2x 3, X 2 2 ........................................... 5分 18.解: (x 3)(x 1) 0 ........................... .....................3分• x3 0 或 x 1 0x 3H1 ............................ ............... 5分19. 解: T a 1,b 1,c 1;1分b 2 4ac (1)21 ( 1) 5>0,b2a ■- 5 2【解析】略21.①50% ②38万平方米【解析】解：①设市政府每年投资的增长率为X,2由题意，得 2 + 2(1 + x) + 2(1 + x) = 9.5 ,整理，得x2+ 3x — 1.75 = 0，解之得X i= 0.5 , X2=- 3.5(舍). 答：每年市政府投资的增长率为50%.2②到2012年底共建设了9.5十=38(万平方米).8答：共建设了38万平方米.1722 .①一②34【解析】解：由一元二次方程根与系数的关系可知：丄—3 _ 12 22 2 2所以① (x 1—X2)—X1 —2x1X2+ X22 2 2—(x 1 + 2x1X2 + X2) —4X1X2—(x 1 + X2)—4X1X232117———4 X 一2243②丄+ 1 x1x2一—3X1x2x1x21223. (1)1,2 ; (2)原方程总有两个实数根，理由见解析【解析】试题分析：(1)把x=1代入方程得到关于k的方程，求出k的值，再把k的值代入原方程，然后利用因式分解法解方程求出方程的另一根；(2)计算判别式得到厶=(k+2) 2-4 x 2k=k2-4k+4= ( k-2 ) 2,根据非负数的性质得到0, 然后根据判别式的意义判断方程根的情况.试题解析：(1)：x 1是方程x2 (k 2)x 2k 0的一个根，••• 1 (k 2) 1 2k 0,解得k 1,•••原方程为x2 3x 2 0 ,解得x11, x22 ,•原方程的另一根为x 2(2 )对于任意的实数k，原方程总有两个实数根，(k 2)2 4 2k2k 4k 4(k 2) 2 0•••对于任意的实数k，原方程总有两个实数根.考点: 1. 根的判别式； 2. 解一元二次方程-因式分解法．24．35.【解析】试题分析：先要根据付给旅行社的费用来判断这次春游人数的大致范围．然后根据相应范围的不同的费用基数按方法来列出方程，求出符合题意的值．试题解析：••• 25人的费用为2500元V 2800元•参加这次春游活动的人数超过25 人．设该班参加这次春游活动的人数为x 名，根据题意得[100-2 (x-25 )]x=28002整理得x2-75x+1400=0解得x1=40，x2=35当x1=40 时，100-2 (x-25 ) =70V 75，不合题意，舍去．当X2=35 时，100-2 (x-25 ) =80 > 75,符合题意.答：该班参加这次春游活动的人数为35名．考点: 一元二次方程的应用.。