奥数新讲义-一元二次方程-第2讲精英班学生版
一元二次方程讲义
1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件， 全组共互赠了182件，问该生物兴趣小组共有多少名学生？
2.一个多边形有9条对角线，这个多边形有多少条边？ 3.某旅游团结束旅游时，其中一位旅客建议，大家互相言别，细心的小
明发现，每两个参加旅游的人互握一次手,所有人共握手66次,这次旅 游的旅客有多少人？ 4.有一个人用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短 信，经过两轮转发后共有56人收到同一短消息，每轮发送短信平均一 个人向多少人发送短信？ 5.我校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行了一次比赛）， 共进行了6场比赛，那么我校有几个球队参加了这次比赛？若进行双循 环比赛呢？ 6.张老师有急事要电话通知全班60名同学，已知一分钟每人只能通知3人， 问:3分钟能否完成任务？
小 分
小 分
支
支
x
…… 枝干
解:设每个支干长出x个小分支,则
1+x+x·x=91
即
x2+x-90=0
解得,x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支.
x
主
干首页 上页 下页来自1.本节课我们学习了哪些知识? 2.在学习过程中掌握了哪些方法？ 3.通过本节课的学习，你有什么体会？
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②在第二轮传染中，传染源是 x+1人，这些人中每一个人又传染了 x 人，那么第二轮传染了 (x+1)x 人，第二轮传染后，共有 1+x+（1+x）x 人患流感.
（3）题目中的等量关系是什么？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意得方程：
1+x+（1+x）x=121.
八年级数学第1讲.一元二次方程认识初步.尖子班.学生版.doc
1一元二次方程的基本解法满分晋级阶梯方程 8级暑期班第九讲分式方程寒假班第一讲方程 9级一元二次方程的基本解法寒假班第二讲方程 10级判别式与求根公式漫画释义围图形知识互联网题型切片题型切片（四个）对应题目一元二次方程的概念例 1；例 2；演练 1；例 8题直接开平方法解一元二次方程例 3；例 4；演练 2；型目配方解一元二次方程例 5；例 6；演练 3；演练 4；标因式分解法解一元二次方程例 7；演练 5．模块一一元二次方程的概念知识导航定义示例剖析一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知2 x2 2 x 1 0数的最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方此方程满足：程．整式方程；判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以只含有一个未知数x ；下四个标准：x 的最高次数是2，系数是 2⑴整式方程．所以这个方程是一个一元二次方⑵方程中只含有一个未知数．程．⑶化简后方程中未知数的最高次数是 2．⑷二次项的系数不为0一元二次方程的一般式：ax2 bx c 0 a 0 ．一元二次方程2x2 2 x 1 0 ，其中 ax 2为二次项，其系数为 a ；bx为一次项，其其中 a 2 ，b 2 ，c 1 ．系数为 b ；c为常数项．一元二次方程的根：1满足12 1 0 ，则1是方程如果 x0满足ax0 2 bx0 c 0(a 0) ，则 x0就是方程x2 x 0 的一个根．0 满足ax2 bx c 0( a 0) 的一个根．02 0 0 ，则0是方程 x2 x 0的另一个根．∴0,1 是方程x2 x 0 的两个根，表示为x1 =0, x2 =1一元二次方程都可化成如下形式：ax 2 bx c 0 （a 0 ）．1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形．2．一般形式中， b 、c可以是任意实数，而二次项系数 a 0 ，若 a 0 ，方程就不是一元二次方程了，也未必是一次方程，要对 b 进行讨论．3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定 a 、b、 c 的值，不要漏掉符号．．．．．4．项及项的系数要区分开．建议强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要，这种从形式上认识数学概念的方法，在今后学习基本初等函数时也要使用．夯实基础【例 1】 1. 判断下列方程是不是一元二次方程．⑴2x2 kx 1 0 （k为常数）⑵ 4 1 ⑶ 1 x2 0 ；x 3⑷5x2 0 ⑸ x2 y 0 ⑹2 2 x3 x 3 ；⑺mx23x 2 0 （ m 为常数）⑻a2 1 x22a 1 x 5 a0 （a为常数）．2. 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． ⑴ 2x 2 1 6x ； ⑵ 3x 2 x 1 x 3；⑶ x 3 2 x 5 x 3x 1 15 ；⑷ x 2x3 3 2 3x ．能力提升【例 2】 ⑴关于 x 的方程 m 29 x 2m 3 x 5m 10 ，当 m ________ 时，方程为一元二次方程；当 m _________时，方程为一元一次方程；⑵已知 m 是方程 x 2 x 1 0 的一个根，求代数式 5m 2 5m 2008 的值；2⑶已知 a 是 x 22009 x 1 0 的根，求 a 2 2008aa1的值．2009模块二 直接开平方法解一元二次方程知识导航定义示例剖析直接开平方法：对于形如 x 22m 或 ax bm2x 11a 0，m ≥的一元二次方程， 即一元二次方程的一边是含x1 1 或 x11有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直 x 10 ，x 22接开平方法求解．夯实基础【例 3】 用直接开平方法解关于x 的方程：22 x⑴ 3x 2 3x 212 ；4⑵6 ；3⑶2 2x mn ； ⑷ 2 x 1b 4c能力提升【例 4】 解关于 x 的方程：⑴22222 x3 3 x 2 ； ⑵ 5 2x 9 x 3 ；⑶ 4 2x2 9 3x 1 25 ．模块三 配方法解一元二次方程知识导航定 义实例剖析配方法：通过配方把一元二次方程转化成 ⑴ x 2 2 x 0 ⑵ x 2 +2 x= 1 形如 ax b2m 的方程，再运用直接开平方的x 22 x 1 0 1x 2 +2 x+1=0x 1 212方法求解．x+1 =0x 1 1x 1 =x 2 = 1x10 ，x2 2总结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；②“系数化 1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为( x m) 2n 的形式；④求解：若n ≥ 0 时，方程的解为x m n ，若n0 时，方程无实数解配方法是一种重要的数学方法，运用配方法解一元二次方程，就是通过配方把方程变成(x m)2n （n≥0）的形式，再用直接开平方法求解，当n0 时，方程无实数解．．．．（1）“将二次项系数化为 1”是配方的前提条件，第三步配方是关键也是难点．（2）配方法是一种重要的数学方法，它不仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数以及到高中学习二次曲线时还会经常用到，应予以重视．避免后续学习二次函数时出错．夯实基础【例 5】用配方法解方程：⑴ x2 4x 2 0 ；⑵ x21x 1 0 ；⑶ 3y2 1 2 3 y ；6 3⑷ 2x2 1 x 2 ⑸ x2 +x+5=0 3 3能力提升【例 6】用配方法解关于x 的方程⑴x2px q 0 （p，q为已知常数）；⑵ax2bx c 0 （ a 、b、 c 为常数且a0 ）模块四因式分解法解一元二次方程知识导航定义示例剖析因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0 ，那么这两个因式至少有一个为0 ，即：若 ab 0 ，则 a 0 或 b 0 ；因式分解法的一般步骤：⑴将方程化为一元二次方程的一般形式；⑵把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于 0；⑶令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；⑷解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根．解方程：x2x0 解： x x 10则 x 0 或 x 1 0 ∴ x 0 或 x 1总结：1．因式分解法把一元二次方程作为两个一元一次方程来求解，体现了一种“降次”的思想．2．将方程右边变形为0，左边化为 ( ax b)(cx d )0 的形式．3．因式分解法是比前两种简单的一种方法，若能用此法优先考虑．4．便于计算，先把方程整理成一般形式且首项为正号．．．注意： 1.解方程时，不能两边同时约去含未知数的代数式2.因式分解法的前提是方程一边等于0，此前提不成立时常得出错误答案夯实基础【例 7】用因式分解法解方程：⑴x23x ；⑵ 2 x2 2 3x0 ；⑶2⑷2 x 12 x 1 0 ；3 x 2 4x 2x⑸2 2 2x 12 x 11 ⑹ 4 x 3 x 20真题赏析2【例 8】已知a是一元二次方程x2 2 x 1 0 的根，求a23a a35 的值．2实战演练知识模块一 一元二次方程的概念 课后演练【演练 1】 ⑴ 已知 x2 是一元二次方程 x 2mx 2 0 的一个解，则 m 的值是 ___________．⑵ 若方程 2kx 2 x k k 2 0 有一个根是 0，则 k 的值是 ____________ ．⑶ 如果 x1是关于 x 的方程 2 x 2 3ax 2 a 0的根，那么关于 y 的方程 y23 a 的根是2________________ ．⑷已知 3是关于 x 的方程 x 22x3a 1 0 的一个根，则 3a 1 的值是 _____________ ．⑸ 已知方程 x 2bx a0 有一个根是 a a 0 ，则 a b 的值是 _________________．知识模块二 直接开平方法解一元二次方程 课后演练【演练 2】 ⑴已知一元二次方程ax 2 bx c 0 的一个根为 1，且 a 、 b 满足等式ba 22 a3 ，求方程 1y 2 c 0 的根．4⑵用直接开平方法解方程：22① 2 x 34 0② 4 x 1k知识模块三配方法解一元二次方程 课后演练【演练 3】 用配方法解方程：⑴x 22x10 ； ⑵y 26y60 ；⑶ 3x 2 6 x 1 0 ； ⑷ 5 x 2 6 x 8【演练 4】用配方法解关于x 的方程： x22x k0知识模块四因式分解法解一元二次方程课后演练【演练 5】选择适当的方法解方程：⑴ x x 1 x 9 0 ；⑵ x2 2x 224 ；⑶ x x 2 2 2 x ；⑷ x2 2 2 3 3 x 6 6 0 ；⑸ 4 x2 1 4 x ；2⑹ x 32x x 3 0 ；第十六种品格：感恩生活是什么？我们苦苦追寻。
奥数一年级教案第2讲1精英班教师版走进迷宫
迷宫游戏是一种开发学生智力的活动，迷宫的设计很巧妙，也很有趣味性.在这节课中, 老师引导学生来玩走迷宫的游戏，可以考验他们的眼力，锻炼耐力，提高孩子的想象力.前半节课我们通过一些简单的迷宫游戏，让学生来找破解迷宫的方法，一般情况下可采用倒走的方法，就是从出口处开始，倒着走到人口，这样可以避免误入死胡同.后半节课我们通过一些数字迷宫游戏来锻炼学生的计算能力和观察能力，提高难度，不断升华，让学生在活动中有所获.小公主被一个可怕的妖怪捉走了，关到了下图出口处的城堡里，国王非常难过，派出了很多人去营救都被途中的妖怪打败，没能救出公主.后来，国王许下诺言，如果谁能救出美丽的公主，就将给予重金奖赏，有一个猎人很勇敢，要来试一试.【教学思路】课前通过讲故事走迷宫的活动，激发学生对迷宫的兴趣，培养学生的思维.具体走法如下:们变得更聪明.神秘的迷宫，你敢走吗？聪明的小朋友们，这节课就让我们走进迷宫乐园，一起去挑战吧！Zip如下如下图，从A走到B，途中必须按照红、白、红、白……的格子前进，不可以直走或横走，只能斜着走，小朋友们想一想，可以怎样走？画一画吧！【教学思路】在这个迷宫图里，首先老师要引导学生理解题目的意思.走的时候开始要走一个红格子，再走一个白格子，这样不断重复.走的顺序不能直走，也不能横走，只能斜着走.通过尝试我们可以得到答案，答案如右上图：有一天，初"不小心遇到了tom,他一下子就钻到了迷宫里，初叮要想不被tom吃掉, 应该从A、B、C哪个门出去呢？终点【教学思路】本题迷宫比较复杂，我们可以分别从A 、B 、C 三个出口往起点倒走，我们发现A 和B 出口都走不到起点去，无法走通.只有C 出口可以走通，所以只能从C 出口出去.如下图:起点梦/小文去植物园参观画展，这里有A 、B 、C 、D 四个入口，小文从哪个入口进去，就可以一次 不重复的看到所有的花，在走的时候不能走交叉重复的路线，也不能走入白格.请大家帮帮 小文吧！ A图.阉刊，B 一喜一广箪赢落【教学思路】这道题比较复杂，要解决这个问题，老师要引导学生每个入口都走一走，最后通过尝试只有D点不重复走能看见所有的花.如下图:想想做做宫里放有一些小鱼.小猫能往上、下、左、右四个方向走，请问小猫一共能吃到几条鱼?【教学思路】先引导学生整体观察，小猫能往上、下、左、右四个方向来走，小猫往上走时，可吃到2 条小鱼；往下走，可吃到1条小鱼；往左走，可吃到5条小鱼；往右走，可吃到2条小鱼. 一共能吃到的小鱼：2 +1 + 5 + 2 = 10 （条），所以小猫一共能吃到10条小鱼.【教学思路】开心课间中这个迷宫图，主要是培养学生的意志力，图形比较复杂，更要培养学生的观察力.最后通过尝试我们可以得到答案，1号吸管可以喝到柠檬汁，2号吸管可以喝到西瓜汁，3号吸管可以喝到葡萄汁，4号吸管可以喝到橙汁，5号吸管可以喝到西瓜汁，6号吸管可以得到苹果汁.WB小乌小乌龟迷了路，请你按照先倒数、再顺数的顺序帮它找到回家的路.请用线连一连.而191816)412U)X6421 4617J81920135797 5816101112]3141510113 61015141312JL iol1612B4 /89W1214169J21314区8101416202K18121516 911)3151756719111717 103[f二3417189101918 11523456781911912791124671()52013」H109876543【教学思路】学生首先要弄清楚小乌龟走的路线，先是倒数，从20数到1,然后再顺数，从1数到20.通过试画我们可以找到答案.■/I D 1 2 1 310I)14]8]21010t4114 1613]5111817ii1201420]3161714IS15 1618 191612Id131519f〕J97 10如下图，按箭头所指，从2开始，到5为止，选择一条不重复的路线，使经过的数的和最大,该怎么走?【教学思路】要使经过的数的和最大，我们就要尽量每个数字都走到，因为所走的数字不能重复，那么从后前倒退，我们发现只有右下的“ 10”不能走到，其它数字都能一一走到，这时所经过的数的和是最大的，有两种路线可以走，如下图.10小乌龟得按照得数是50的算式跑到终点，你能帮它把线路画出来吗?【教学思路】这道计算型迷宫问题，首先我们要根据要求找出得数等于50的算式，然后再考虑怎么不重复的把每个算式都走到，这样才能得到最后的答案，具体走法如下：■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ r r r r r r r r r r r ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ I 【教学思路】这个迷宫比较复杂，不过只要我们按要求来做，也很容易完成，首先我们要找到去图书馆 的路，在走的时候可以用倒退的方法，从终点走到起点，这样比较简单.在走的时候要注 意屋顶上有加几和减几的房子都要走到，并且不能重复.答案如下图.然后我们再来计算 图书馆大门的密码，我们可以从“1”开始，按加减的顺序进行计算，计算的顺序分别是： 1 + 9 - 6 + 5 + 7 - 2 + 3 +10 - 8 + 5 - 4 + 3 - 6 + 7 + 2 = 26,最后可以得出这个图书馆大门的 密码是26.拓展与提高们要去数学城图书馆看书，他们只有经过所有带有加减符号的房子才能到达，你 书馆的路吗？另外出发的时候用“1”按要求连续加减这些房子上的数字，最后计算出来的得数 是图书馆大门的密码，你能找到这个密码吗？同学们动手试一试。
初中奥数系列：.一元二次方程A级.第02讲.学生版
板块一 一元二次方程的解法☞因式分解法（也称降次法）因式分解法的根据：如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，反过来，如果两个因式中有一个因式为0，那么它们之积为0，即0ab =，则0a =或0b =或0a b ==例如：(21)(3)0x x --=，则210x -=或30x -=☞因式分解法解一元二次方程的方法及步骤解一元二次方程的思想方法：降次因式分解法的一般步骤：（1）将方程化为一元二次方程的一般形式中考要求例题精讲降次法与含参数方程的解法（2）把方程的左边分解为两个一次因式的积（3）令每个因式为0，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程得原方程的解【例1】例如：对于方程23(2)2x x -=-，张明的解法如下：解：方程整理得23(2)(2)x x -=--①方程两边同时除以(2)x -得；3(2)1x -=-②去括号得；361x -=-③移项并合并同类项得，35x =，∴53x =④ 你认为张明解方程的过程有错误么？如果有，请指出错在哪一步？并说明错误的原因，并选择合适的方法解方程【例2】用因式分解法解下列方程（1）2(21)3(12)0x x -+-=； （2）22(13)16(23)x x -=+； （3）2670x x --=；【例3】解关于x 的方程：2(41)3(14)40x x ----=【巩固】采用因式分解法解下列方程（1）22(3)9x x -+= （2）2(21)(12)60x x -+--=（3）22(31)4(1)x x -=- （421)(1)x x -=-【巩固】采用恰当的方法解下列方程（1）2(130x x +++（2）2340x x --=（3）222(3)(4)(5)1724x x x x -++--=+板块二 可转化为一元二次方程的分式方程 ☞解分式方程【例4】解方程232152x x x -+=【巩固】解下列分式方程（1）23x x -＋532x -＝4x ；（2）23411x x +=+-；（3）21421242x x x x ++=+--☞换元法【例5】解分式方程：222(1)6(1)711x x x x +++=++【巩固】422320211x x x x x -+=+++。
一元二次方程讲义
一元二次方程板块一◇一只蜘蛛和三个人雨后，一只蜘蛛艰难地向墙上已经支离破碎的网爬去，由于墙壁潮湿，它爬到一定的高度，就会掉下来，它一次次地向上爬，一次次地又掉下来……第一个人看到了，他叹了一口气，自言自语：“我的一生不正如这只蜘蛛吗？忙忙碌碌而无所得。
”于是，他日渐消沉。
第二个人看到了，他说：这只蜘蛛真愚蠢，为什么不从旁边干燥的地方绕一下爬上去？我以后可不能像它那样愚蠢。
于是，他变得聪明起来。
第三个人看到了，他立刻被蜘蛛屡败屡战的精神感动了。
于是，他变得坚强起来。
秘诀：有成功心态者处处都能发觉成功的力量。
复习目标：1、理解并掌握一元二次方程的有关概念。
2、能根据不同的一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理。
3、熟悉掌握列方程解实际问题的一般步骤。
4、进一步熟悉具体问题的数量关系并列出一元二次方程。
5、能根据问题的实际意义，合理地运用几何图形解决问题。
板块二一元一次方程的知识点回顾一、知识结构6、知识回顾1.一元二次方程的概念：形如：()002≠=++a c bx ax2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b a ac b b x 3.一元二次方程的根的判别式：（1）当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； （2）当 时，方程有两个相等．．．．的实数根； （3）当 时，方程没有实数根．．．．．。
4.用方程解决实际问题：略知识点1 一元二次方程的概念及近似解。
一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）例题1、 选择题：mx 2-3x+x 2=0是关于x 的一元二次方程的条件是 （ ）A m=1B m ≠-1C m ≠0D m 为任意实数练习：1判断题（下列方程中，是不是一元二次方程）1.5x 2+1=02.3x 2+x1+1=0 3.4x 2=ax (其中a 为常数) 4.2x 2+3x =0 5.5132+x =2x 6.22)(x x + =2x 7.｜x 2+2x ｜=42当m 为何值时，关于x 的方程(m-2)x 2-mx+2=m-x 2是关于x 的一元二次方程？例题2、.若关于x 的方程（ax +b ）(d －cx )=m (ac ≠0)的二次项系数是ac ，则常数项为A.mB.－bdC.bd －mD.－(bd －m )练习：把下列方程化成ax 2+bx+c= 0的形式，写出a 、b 、c 的值：(1)3x 2= 7x-2 (2)3(x-1)2 = 2(4-3x)知识点2 一元二次方程的解法（1）直接开方法例题：(2x ＋3)2－25＝0.（2）配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤如果n ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解例题1、 02722=--x x例题2、 (x-2)2-4(x-2)-5=0练习：1、用配方法解下列方程：(1)2x 2+1=3x (2)3y 2-y-2=0；2、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.（3）公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0) 例题1 2260x x +-=例题2 3x(x-3)=2(x-1)(x+1)例题3、关于x 的一元二次方程x 2+4x-m=0的一个根是5-2，则m= ，方程的另一个根是 .练习：1、把方程(2x-1)(x+3)=x 2+1化为ax 2 + bx + c = 0的形式，b 2-4ac= ，方程的根是 .2、方程(x-1)(x-3)=2的根是（ ）A. x 1=1,x 2=3B.x=2±23C.x=2±3D.x=-2±233、若最简二次根式72-m 和28+m 是同类二次根式，则的值为（ ）A.9或-1B.-1C.1D.94、用公式法解下列方程：（1）x 2-2x-8=0； （2）x 2+2x-4=0；（3）2x 2-3x-2=0； （4）3x(3x-2)+1=0.（4）因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．补充解法：十字相乘法()()()2x a b x a b x a x b +++=++ 例题1 ()()2322+=+x x练习(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)例题2 4x2-20x+25=7练习：用适当方法解下列方程：（1）（3x-1）2=1；（2）2（x+1）2=x2-1；（3）622=-+xx（4）042=--xx一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4⑷注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．板块三应用一元二次方程来解决问题1．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．2．注重．解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．例题1 某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？例题2 课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图1－2－1），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．练习1．小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0．5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶酸奶？2．某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价2．8元出售，并很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价比第一次高0．5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本，当这批书售出45时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书．试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素片若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？3、这执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元，则这两年投入教育经费的年平均增长率为多少？4、某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多卖5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？5．在2006年全省种植的产茶面积中，若平均每亩产茶52千克，为使我省2008年全省茶叶种植产茶总产量达到22万吨，求2006年至2008年全省年产茶总产量的平均增长率（精确到0.01）．6．小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.。
北师大版初三数学秋季班(学生版) 第2讲 一元二次方程--尖子班
北师大初三数学9年级上册秋季版（学生版）最新讲义第2讲 一元二次方程知识点1 一元二次方程的概念及解法一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax²，bx ，c 分别称为二次项、一次项、常数项；a ，b 分别称为二次项系数、一次项系数一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.1. 形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；3. 公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a 、b、c 的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论（1）一元二次方程的根的判别式△=b 2－4ac当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根．反过来也成立（2）一元二次方程的求根公式是)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x ()02≠=++a o c bx ax 20(0)ax bx c a ++=≠20ax bx c ++=移项得：2ax bx c +=- 二次项系数化为1，得：2b c x x a a+=- ：22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 即222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭当240b ac -≥时，222b x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即x =∴12,22b b x x a a-+-==4. 因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解【典例】一元二次方程定义及一般形式1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D.2.把一元二次方程()()2123x x x --=-化成一般形()002ax bx c a ++=≠其中a 、b 、c 分别为（ ）A. 2、3、1-B. 2、3-、1-C. 2、3-、1D. 2、3、12210x x+=20ax bx c ++=(1)(2)1x x -+=223250x xy y --=【方法总结】（1）一元二次方程必须满足的条件：①含有一个未知数；②未知数最高次数是2；③二次项系数不为0；是整式方程（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；（3）项的系数包括它前面的符号。
人教版九年级数学尖端班精品讲义
(2)已知 2m2
5m
1
0
，
1 n2
5 n
2
0 ，且
m≠n，求
1 m
1 n
的值．
题型二 利用艰系关系构造 例 5 (1)求一个一元二次方程，使它的两个根是 3 和 3．
2
(2)己知方程 x2－9x＋8＝0，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒 数，另一个根为原方程两根差的平方．
(3)设 x2－px＋q＝0 的两实数根为 、 ，求作以 3 、 3 为两根的一元二次方程．
练习 已知关于 x 的方程 4x2＋4bx＋7b＝0 有两个相等的实数根，y1、y2 是关于 y 的方程
y2＋(2－b)y＋4＝0 的两个根，求以 y1 、 y2 为根、二次项系数为 2 的一元二次方 程．
x1
+
x2
b a
，
x1 x2
b a
，由一元二次方程求根公式知：
x1,2
b
b2 4ac ． 2a
法国数学家弗朗索瓦·韦达于 1615 年在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四 次方程的解法，还对 n＝2、3 的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定 理．
韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定 理．韦达在 16 世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理 却是在 1799 年才由高斯作出第一个实质性的论性．
p、q，且
p2
q
pq2
6
，试求
这个二元二次方程．
讲义精品一元二次方程讲义精品
考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax（3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。
典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
针对练习：1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
考点二、方程的解⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：①利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。
针对练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
2、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。
3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
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1.
一元二次方程的解法
因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式
2. 一元二次方程根的判别式24b ac ∆=- 0∆>⇔方程有两个不等实根； 0∆=⇔方程有两个相等实根； 0∆<⇔方程没有实根； 0∆⇔≥方程有实根；
3. 一元二次方程解决实际问题
基本要求：理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次
方程，理解各种解法的依据．
略高要求：会选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况．
较高要求：能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况；能由方程根的情况确定方程中
待定系数的取值范围；会用配方法列代数式作简单的变形；会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理．
1.
分解因式
第２讲
一元二次方程⑵
⑴(1)(3)12x x -+- ⑵22(31)4(23)x x --+
⑶2(31)3x x +++ ⑷(32)6(32)x x x +-+
2.
用适当的方法解下列一元二次方程 ⑴(23)(23)16x x +-= ⑵23510x x -+=
3.
方程(16)(8)x x -+=-的根是（ ）
A ．12168x x =-=，
B ．12168x x ==-，
C ．12168x x ==，
D ．12168x x =-=-，
4. 若代数式(6)x x +的值为零，则x 的值是
现有12名旅客要赶往40km 远的火车站，现在离开车的时间只有3h ，如果他们单独以4/km h 的速度步行，那么肯定不能赶到火车站．如果再借助一辆连同司机最多能坐5人且时速为60km 的小汽车，那么这12人能够赶上火车吗？
板块一 一元二次方程的解法
（四）因式分解法
【例 1】 用适当的方法解下列一元二次方程
⑴22(4)(21)0x x +--= ⑵21640x x --=
⑶22360x x --= ⑷2(23)3(23)t t +=+
【例 2】 用因式分解法解下列方程
⑴(1)(3)12x x -+= ⑵3(1)22y y y -=-
⑶2()0x a b x ab -++= ⑷22340x mx m --=
【例 3】 方程2(2005)2004200610x x -⨯-=的较大根是m ，方程2200520060x x --=的较小根为n ，
求2007()m n +的值。
板块二 根的判别式
【例 4】 k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(21)0kx k x k -++=有
⑴两个不相等的实数根；⑵相等实数根；⑶无实数根？
【例 5】 已知12x x ，是关于x 的方程220x k x b +++=的两个实数根；12y y ，是关于y 的方程
2570y ky ++=的两个实数根，且112222x y x y -=-=，，求k 、b 的值．
板块三 可化为一元二次方程的无理方程
【例 6】
85202x x +-+=
板块四 一元二次方程解决实际问题
【例 7】 某商场2004年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的年利润与年初投入
的资金和作为下一年初的投入资金继续经营。
已知2005年底比2004年底所获年利润高出10
个百分点，2005年底年终总资金为66万元。
求2004年所获年利率。
【例 8】在大数学家欧拉的《代数引论》里有一个关于农场卖鸡蛋的题目：两个农妇一共带有100个鸡蛋上市，两人所带蛋数不同，但是卖得的钱数一样．于是，第一个农妇对第二个说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板．”第二个农妇答道：“但是你的鸡蛋，如果换给我，
我就只能得20
3
个铜板．”试问这两个农妇各有多少个鸡蛋？
习题1. 用适当的方法解下列一元二次方程
⑴(65)(65)240y y +--= ⑵24(3)(3)0x x x ---=
⑶2(12)(12)0x x +--= ⑷222(3)9x x -=-
习题2. 已知方程25100x mx +-=的一根是5-，则方程的另一根及m 的值分别为
习题3. k 为何值时，关于x 的一元二次方程21290kx x -+=
⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根
习题4. 若一个三角形的三边长均满足方程2680x x -+=，则此三角形的周长为
习题5. 解方程
2
15
1
22
x x x x +-+=-+
习题6. 某校办工厂生产某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一
年增长相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产量达到1400件，求这个百分数．
如何看待“囧”文化？
从象形字到个人情绪表达
从古老文字里发掘智慧，这是网民最引为自豪的，“囧”当然是最突出者。
国家语言文字工作委员会副主任、教育部语言文字信息管理司司长李宇明说：“我最早知道这个字，是从海外网络开始的，在网上，经常有网民会发帖子，这些字认识吗？其中就有囧。
”
囧，读音Jiong，北京大学教授殷旵解释说，该字指窗口，意在野外、郊外，很宽阔的地方，郊外为林，越走越开阔；又指光明。
据有关研究成果，甲骨文、金文里已经出现过此字。
商务印书馆汉语编辑室副主任何宛屏认为，该字最早是个象形字，现在也是象形字的用法，被网民活用了。
网络文化中，囧字内小“八”字视为眉眼，“口”视为嘴。
它的内涵就是：作为头，表达沉重的思想；作为脸，表达浪漫与激情。
而在失意体前屈文化（网上流行的表情符号）中，则表达“悲伤”、“无奈”的情绪，另外还有“佩服”、“钦佩”的意思，也有较反面的如“被你打败了”、“真受不了你”等这类意思。
有网民总结说，囧是一种态度，囧是一种哲学；囧是平凡的，但是囧然一看，却又包含着万般语言；囧是神奇的，囧中有着对世界的探索。
重新拾起汉字的原生态思维
就在前天，殷旵教授在北京大学带来一场别有意味的讲座《是谁把汉语撕成了碎片》，他生动的讲座，让人恍然原来我们天天在用的汉字里藏着如此多的智慧和博大的文化。
比如“北”在甲骨文里是两个“人”相背等。
殷旵说：“中国人造字把人生解读得如此细腻，这种选择是非常不容易的。
”
殷旵结合“囧”的流行，认为这只能说明汉字本身的魅力。
今天有些文字里的信息已经被渐渐丢掉，汉字的原生态思维也在一点点被丢掉了，这种返璞归真的趋势值得肯定。
至于说古文字这种流行方式，是利于其健康发展，还是糟蹋了古人智慧，现在下结论还为时过早。
李宇明则认为，语言需要增添活跃因素，它有自我调节的机制，有用的吸收，没用的就自我淘汰掉了。
语言是最坚强的，就像我们的民族一样坚强，语言会经历大浪淘沙的过程。
专家认为：网络语言是属于网络的一种专有术语，也属于我们社会文化的一种表达形式。
因此，在语言使用上，大家应有开放包容的态度。
中小学生如果在写作文的时候把网络语言放进去，作为家长、学校、老师是应该进行纠正的。
不要让它影响到现实的学习和现实世界，这就是我们在使用网络语言时要把握的一个度。
同学们，看了本文，你有什么感触呢？你认为网络语言能写进作文有什么弊端？社会的普遍看法是怎样的？。