(完整版)小学奥数-整数计算综合(教师版)
【小学精品奥数】小数四则混合运算综合.教师版 (92)
1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理知识点拨教学目标5-5-3.余数性质（三）在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 第1讲：整数计算综合
整数计算综合第一讲知识点回顾一、交换律加法交换律；乘法交换律。
二、结合律加法结合律；乘法结合律。
三、分配律乘法分配律；除法分配律。
四、去（添）括号加减法去（添）括号；乘除法去（添）括号。
五、带符号搬家同级运算可以带符号搬家；加减法为第一级运算；乘除法为第二级运算。
四则混合计算规则：1，先算乘除法，后算加减法；2，有括号先算括号里。
部分巧算方法：2，凑整法；3，提公因数法；1，分组法；4，提公除数法；知识点回顾1，计算(1)72×27×88÷(9×11×12);原式=72×27×88÷(9×11×12)=(72÷12)×(27÷9)×(88÷11)=6×3×8=144=72×27×88÷9÷11÷12去括号带符号搬家(2) 31×121-88×125(1000÷121).原式=31×121-88×125÷(1000÷121)=31×121-11×(8×125)÷1000×121=31×121-11×(1000÷1000)×121=31×121-11×121=31×121-88×125÷1000×121=(31-11)×121=20×121=24201，计算2，计算(1) 555×445-556×444;原式=555×445-556×444=555×445-(555×444+444)=555×445-555×444-444=555×(445-444)-444=555×445-(555+1)×444=555-444=111(2) 42×137-80÷15+58×138-70÷15原式=42×137-80÷15+58×138-70÷15=42×137+58×(137+1)-(80+70)÷15=(42+58)×137+58-150÷15=(42×137+58×138)-(80÷15+70÷15)=100×137+58-10=137482，计算20092009×2009-20092008×2008-20092008原式=20092009×2009-20092008×2008-20092008=20092008×2009+2009-20092008×(2008+1)=20092008×2009-20092008×2009+2009=2009=(20092008+1)×2009-20092008×2008－200920083，计算(1) 37×47+36×53原式=37×47+36×53=36×47+36×53+47=36×(47+53)+47=36×100+47=(36+1)×47+36×53=36474，计算(2) 123×76-124×75原式4，计算1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99原式=(1+4+7+…+97)+(2+5+8+…98)-(3+6+9+…+99)=(98+100-102)×33÷2=96×33÷2=1584=(1+97)×33÷2+(2+98)×33÷2-(3+99)×33÷2=(1+2-3)+(4+5-6)+(7+8-9)+…+(97+98-99)=(0+96)×33÷2=0+3+6+…+96=15485，计算100×99-99×98+98×97-97×96+96×95-95×94+…+4×3－3×2+2×1原式=99×(100-98)+97×(98-96)+95×(96-94)+…+3×(4-2)+2×1=(99+97+95+…+3+1)×2=(1+99)×50÷2×2=5000=99×2+97×2+95×2+…+3×2+1×2分组提公因数6，计算在不大于1000的自然数中，A 为所有个位数字为8的数之和，B 为所有个位数字为3的数之和. A 与B 的差是多少？解：由题意可以知道，A 为数列8,18,28,38,…，998的和，B 为数列3,13,23,33,…，993的和。
奥数：四年级奥数 计算综合 整数小数四则运算(C级).教师版
奥数：四年级奥数计算综合整数小数四则运算（C级）.教师版奥数：四年级奥数计算综合整数小数四则运算（c级）.教师版数学奥林匹克精品店整数小数四则运算知识框架一、加减法中的速算与巧算快速计算和熟练计算的核心思想和本质：总结常见的思维方法：1、分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数用相同的尾数进行减法。
“补语”是两个数的加法。
如果他们被精确地四舍五入到一整十，一整百或者一整千？？，其中一个被称为另一个的“补充”2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．3.数值原理方法。
先把它们加在一起，再加上十、十、一千？？将数字相加，然后将其与其他数字相加。
4.“基准数”法：当数个数与一个整数的数接近时，选择该整数作为“基准数”（注意加数越多减数，加数越少）二、乘法凑整与运算性质思想核心：首先将几个可以四舍五入的乘法器组合成一个整十、整百和整千，最后将它们与前面的数字相乘，以简化操作。
例如：4？25? 100，8? 125? 1000，5? 20? 一百12345679?9?111111111（去8数，重点记忆）7?11?13?1001（三个常用质数的乘积，重点记忆）理论基础：乘法汇率：a×b=b×a乘法约束率：（a）×b）×c=a×（b×c）乘法分配率：（a+b）×c=a×c+b×c积不变规律：a×b=(a×c)×(b÷c)=(a÷c)×(b×c)三、乘法和除法混合运算的性质1)商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：A.B（a？n）？（b？n）？（上午）？（b？m）M0，n？0奥数精品2）在连续除法中，除数的位置可以互换，商保持不变。
那就是：a？BCA.CB3)在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．例如：a？BCA.CBBCA.4)在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则移除支架的情况：① 删除括号时，括号中的乘除符号保持不变a?(b?c)?a?b?c a?(b?c)?a?b?c② 当“÷”在括号前时，在去掉括号后，“×”变为“÷”，而“÷”变为“×”a?(b?c)?a?b?c a?(b?c)?a?b?c添加括号：添加括号时，括号前加“×”，原符号不变；当“÷”在括号前时，原始符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即A.BCA.（b？c） A.BCA.（b？c）a？BCA.（b？c） A.BCA.（b？c）5)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即(a?b)?(c?d)?(a?c)?(b?d)?(a?d)?(b?c)示例的详细解释【例1】计算：12345678987654321?9?[测试点]乘法取整乘法9,99,999[难度]☆☆☆ [分析]原始公式？？111111111?? 九?999999999?111111111? 111111111000000000? 111111111? 壹拾壹万壹仟壹佰壹仟壹佰壹拾亿捌亿捌仟捌佰捌拾捌万捌仟捌佰捌拾玖元2【题型】计算[答：]1111111088888889【巩固】算式12345678987654321?63值的各位数字之和为。
第1讲：整数计算综合
第一讲整数计算综合知识点回顾一、交换律加法交换律；乘法交换律。
二、结合律加法结合律；乘法结合律。
三、分配律乘法分配律；除法分配律。
四、去（添）括号加减法去（添）括号；乘除法去（添）括号。
五、带符号搬家同级运算可以带符号搬家；加减法为第一级运算；乘除法为第二级运算。
知识点回顾四则混合计算规则：1，先算乘除法，后算加减法；2，有括号先算括号里。
部分巧算方法：1，分组法；2，凑整法；3，提公因数法；4，提公除数法；1，计算（高思学校竞赛数学导引P 2）(1)72×27×88÷(9×11×12);原式=72×27×88÷(9×11×12)=(72÷12)×(27÷9)×(88÷11)=6×3×8=144=72×27×88÷9÷11÷12去括号带符号搬家1，计算（高思学校竞赛数学导引P2）(2) 31×121-88×125÷(1000÷121).原式=31×121-88×125÷(1000÷121)=31×121-88×125÷1000×121=31×121-11×(8×125)÷1000×121=31×121-11×(1000÷1000)×121=31×121-11×121=(31-11)×121=20×121=24202，计算（高思学校竞赛数学导引P3）(1) 555×445-556×444;原式=555×445-556×444=555×445-(555+1)×444=555×445-(555×444+444)=555×445-555×444-444=555×(445-444)-444=555-444=1112，计算（高思学校竞赛数学导引P3）(2) 42×137-80÷15+58×138-70÷15原式=42×137-80÷15+58×138-70÷15=(42×137+58×138)-(80÷15+70÷15)=42×137+58×(137+1)-(80+70)÷15=(42+58)×137+58-150÷15=100×137+58-10=137483，计算（高思学校竞赛数学导引P3）20092009×2009-20092008×2008-20092008原式=20092009×2009-20092008×2008-20092008=(20092008+1)×2009-20092008×2008－20092008=20092008×2009+2009-20092008×(2008+1)=20092008×2009-20092008×2009+2009=20094，计算（高思学校竞赛数学导引P3）(1) 37×47+36×53原式=37×47+36×53=(36+1)×47+36×53=36×47+36×53+47=36×(47+53)+47=36×100+47=3647(2) 123×76-124×75原式=123×76-124×75=124×76-124×75-76=124×(76-75)-76=124-76=(124-1)×76-124×75=48原式=123×76-124×75=123×76-123×75-75=123×(76-75)-75=123-75=123×76-(123+1)×75=484，计算（高思学校竞赛数学导引P 3）1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99原式=(1+4+7+…+97)+(2+5+8+…98)-(3+6+9+…+99)=(98+100-102)×33÷2=96×33÷2=1584=(1+97)×33÷2+(2+98)×33÷2-(3+99)×33÷2=(1+2-3)+(4+5-6)+(7+8-9)+…+(97+98-99)=(0+96)×33÷2=0+3+6+…+96=15485，计算（高思学校竞赛数学导引P 3）100×99-99×98+98×97-97×96+96×95-95×94+…+4×3－3×2+2×1原式=99×(100-98)+97×(98-96)+95×(96-94)+…+3×(4-2)+2×1=(99+97+95+…+3+1)×2=(1+99)×50÷2×2=5000=99×2+97×2+95×2+…+3×2+1×2分组提公因数6，计算（高思学校竞赛数学导引P 3）7，计算（高思学校竞赛数学导引P3）在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数之和，B为所有个位数字为3的数之和. A与B的差是多少？解：由题意可以知道，A为数列8,18,28,38,…，998的和，B为数列3,13,23,33,…，993的和。
【小学奥数题库系统】1-1-1-3 整数四则混合运算综合.教师版
= 7 × 123456 = 864192
万位数字为 6 【答案】 6 【例 8】 计算： 113 × 5 − 37 × 15 【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2 【题型】计算 【关键词】 2007 年，走美杯，初赛 【解析】 根据“一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变”的道理，进行适当变换，再提 取公因数，进而凑整求和． 原式 = 113 × 5 − 37 × 3 × 5 = 113 × 5 − 111 × 5 = (113 − 111) × 5 = 10 【答案】 10 【巩固】 计算： 9966 × 6 + 6678 × 18 【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2 星 = 3322 × 3 × 6 + 6678 × 18 = (3322 + 6678) × 18 = 180000 【解析】 原式 【答案】 180000
二、要注意添括号或者去括号对运算符号的影响
⑴在“ + ”号后面添括号或者去括号，括号内的“ + ”、“ − ”号都不变； ⑵在“ − ”号后面添括号或者去括号，括号内的“ + ”、“ − ”号都改变，其中“ + ”号变成“ − ”号，“ − ”号变 成“ + ”号； ⑶在“ × ”号后面添括号或者去括号，括号内的“ × ”、“ ÷ ”号都不变，但此时括号内不能有加减运算， 只能有乘除运算； ⑷在“ ÷ ”号后面添括号或者去括号，括号内的“ × ”、“ ÷ ”号都改变，其中“ × ”号变成“ ÷ ”号，“ ÷ ”号变 成“ × ”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．
整数四则混合运算
教学目标
本讲主要是通过一些速算技巧，培养学生的数感，并通过一些大数运算转化为简单运算，让学生感受 学习的成就感，进而激发学生的学习兴趣
小学奥数 数的整除之四大判断法综合运用(二).教师版
5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）教学目标1.了解整除的性质；2.运用整除的性质解题；3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd 整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；例题精讲模块一、11系列【例 1】以多位数142857为例，说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】142857110000041000021000810051071=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110000114199992100118199511171()()()()()=⨯-+⨯++⨯-+⨯++⨯-+⨯()()=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-+-+-11000014999921001899511418275因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被11整除，再根据整除性质1，要判断142857能否被11整除，只需判断()()能否被11整除，因此结论得到说明.418275487125-+-+-=++-++【例 2】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】设原序数为abcd，则反序数为dcba，则abcd＋dcba100010010100010010a b c d d c b a=+++++++()()=+++a b c d10011101101001()，因为等式的右边能被11整除，所以abcd+dcba能被1191101091=+++a b c d11整除【例 3】一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【解析】设这个4位数是abcd，则新的4位数是bcda.两个数的和为+=+++,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867 abcd bcda a b c d1001110011011是11的倍数，故正确的答案为9867．【答案】9867模块二、7、11、13系列【例 4】 以多位数142857314275为例，说明被7、11、13整除的规律.【考点】整除之7、11、13系列 【难度】3星 【题型】解答【解析】 略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275=⨯+⨯+⨯+142(10000000011)857(9999991)314(10011)275=⨯-+⨯++⨯-+14210000000011428579999998573141001314275=⨯-+⨯++⨯-+(14210000000018579999993141001)(857142275314)=⨯+⨯+⨯+-+-因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除，再根据整除性质1，要判断142857314275能否被7、11、13整除，只需判断857142275314-+-能否被7、11、13整除，因此结论得到说明.【例 5】 已知道六位数20279□是13的倍数，求□中的数字是几？【考点】整除之7、11、13系列 【难度】2星 【题型】填空【解析】 根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除的特点知道：27920=7-□□，7□是13的倍数，□是8的时候是13倍数，所以知道方格中填1。
四年级下册数学讲义奥数导引 11 整数计算综合人教版
一、常用巧算方法1、同级运算利用拆添括号或带符号搬家．拆添括号：括号前为加、乘，不变号；括号前为减、除，括号内变号（一定都是同级运算）．带符号搬家：带着数前的符号搬家，但不能“跨越”括号．2、多级运算利用分配律或提取公因数．注意：()a b c a c b c±÷=÷±÷，但()a b c a b a c÷±≠÷±÷．3、等差数列务必熟记所有公式（以递增等差数列为例）：求末项：()11na a n d=+-；求首项：()11na a n d=+-；求公差：()()11nd a a n=-÷-；求项数：()11nn a a d=-÷+；求和：()12nS a a n=+⨯÷，并且当n为奇数时，S=中间项×项数．4、其它公式（1）平方差公式：()()22a b a b a b-=+-；（2）平方和公式：()()222121216n n n n+++=++÷；（3）立方和公式：()23331212n n+++=+++．第1讲整数计算综合知识点二、 定义新运算最重要的一点是按定义计算，解题过程中常需要结合巧算方法．常考题型为求值与倒推（即解方程），还可能要证明新运算满足某些性质（如交换律、结合律、分配律等）．【例1】 观察下面算式的规律：200019941988198219761970196419581952194619401934+--++--++--+……依此类推，一直这样写下去，（1）那么最后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加还是减？ （2）算式最终的结果为多少？【例2】 从1，2，……，9，10中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积．把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？超越篇题目【例3】计算：136101521284950-+-+-+-+……．【例4】已知平方差公式：()()22a b a b a b-=+⨯-，计算：222222222222100999897969594934321+--++--+++--……．【例5】a bΘ表示从a开始依次增加的b个连续自然数的和，例如：4345615Θ=++=，54567826Θ=+++=，请计算：（1）415Θ；（2）在算式()7111056ΘΘ=中，方框里的数应该是多少？【例6】定义两种新运算：1a b a bΩ=-+，1a b a b∀=⨯+．用“Ω”、“∀”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：73452=．【例7】现定义四种操作的规则如下：①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加上1，然后除以2．例如从16可以得到8，从27可以得到14．②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字“3”或“4”，就将其划掉．例如从5304可以得到50，从408可以得到8．（不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作）③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边．例如从98707可以得到77908，从802可以得到28．（不含数字7和8的自然数不能进行“七上八下”操作）④“十全十美”：将一个自然数的个位数字换成0．例如从111可以得到110，从905可以得到900．（个位是0的自然数不能进行“十全十美”操作）（1）请写出对4176依次进行③、①、③、②、④操作后的结果；（2）从655687开始，最少经过几次操作以后可以得到0？（3）一个三位数除了“丢三落四”外，其它三个操作各进行一次之后得到的结果是8，求有多少个这样的三位数．【例8】下表是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是多少？【习题1】（拓展篇第7题）在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数的和，B为所有个位数字为3的数之和．A与B的差是多少？补充题目【习题2】定义运算※为：()a b a b ⨯-+（1）求5※7，7※5（2）求()1234※※，()1234※※（3）这个运算“※”有交换律、结合律吗？【习题3】将1~2013的奇数排成一列，然后按每组1、2、3、4、5、……的个数规律分组如下（每个括号为一组）：（1）（3，5）（7，9，11）（13，15，17，19）（21，23，25，27）……，则第20个括号内的各数之和是多少？最后一个括号呢？（最后一组可能个数不足）【习题4】规定：A ○B 表示A 、B 中较大的数，A △B 表示A 、B 中较小的数．若()()535396A B B A +⨯+=△△，且A 、B 均为大于0的自然数，那么A B ⨯可能是多少？。
四年级奥数训练第1讲整数计算综合
四年级奥数训练第1讲整数计算综合内容概述熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。
学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。
典型问题兴趣篇1. 计算：(1) 121×32÷8; (2) 4×(250÷8) (3) 25×83×32×1252. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44 (2) 222×33+889×66.3. 计算：(1) 37×47+36×53 (2) 123×76－124×75。
4. 计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.6. 计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).7. 计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。
游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个7和8组成的口令进行一连串的变换。
口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。
例如：给出的数是1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变成995，在第二个口令“7”发出后变成9995。
如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的6个数的和是多少？9. 规定运算“∇”为：a∇b= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)8∇10;(2) 10∇8.10. 规定运算“☺”为：a☺b=a×b－(a+b), 请计算：(1) 5☺8; (2) 8☺5; (3) (6☺5)4; (4)6☺ (54)拓展篇1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12); (2) 31×121－88×125÷(1000÷121).2. 计算：(1) 555×445－556×444; (2) 42×137－80÷15+58×138－70÷15.3. 计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008.4. 计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99.5. 计算：100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+…+4×3－3×2－2×1.6. 在不大于1000的自然数中，A为所有个位数字为8的数之和，B为所有个位数字为3的数之和. A与B的差是多少？7. 求图1-1中所有数的和.8. 已知平方差公式：22()()-=+⨯-，计算：a b a b a b22222222-+-+-++-201918171615219. 计算：951×949－52×48.10. 规定运算“Θ”为：aΘb=a+2b－2, 计算：(1) (8Θ7)Θ6;(2) 8Θ(7Θ6)11. 规定运算“”为：a b=(a+1) ×(b－2). 如果6(5)=91,那么方格内应该填入什么数？12. 规定：符号“∆”为选择两数中较大的数的运算，“∇”为选择两数中较小的数的运算，例如：3∆5=5，3∇5=3请计算：1∆2∆3∇4∆5∆6∇7∆…∇100.（运算的顺序是从左至右）超越篇1. 观察下面算式的规律：2000+1991－1988－1982+1976+1970－1964－1958+1952+1946－1940－1934+……一直这样写下去，那么最后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？2. 从1, 2, ……, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？3. 计算：1－3+6－10+15－21+28－ (4950)4. 已知平方差公式：22()()a b a b a b-=+⨯-, 计算：222222222222+--++--+++--1009998979695949343215. aΘb表示从a开始依次增加的b个连续自然数的和，例如：4Θ3=4+5+6=15, 5Θ4=5+6+7+8=26, 请计算：(1) 4Θ15 (2) 在算式（Θ7）Θ11=1056中，方框里的数应该是多少？6. 定义两种运算：aΩb=a－b+1, a∀b=a×b+1, 用“Ω”、“∀”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：7 3 4 5=27.现定义四种操作的规则如下：①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加上1，然后除以2. 例如从16可以得到8，从27可以得到14.②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字“3”或“4”，就将其划掉，例如从5304可以得到50，从408可以得到8. （不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作）③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边。
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整数计算综合1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变.2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个 数相加，再与第一个数相加，它们的和不变.3. 乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变，即a b b a ⨯=⨯,其中a ，b 为任意数.4. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变，即()()a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯ .解题时需要注意的几点：1. 要认真观察算式中数的特点，算式中运算符号的特点。
2. 掌握基本的运算定律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
3. 掌握速算与巧算的方法：如等差数列求知、凑整、拆数等等。
【例1】★19199199919999199999++++【解析】原式()()()() =(201)+2001+20001+200001+2000001 -----=20+200+2000+20000+2000005 =2222205=222215--【小试牛刀】898998999899998999998+++++=【解析】1111098【例2】★10099989796321+-+-++-+L【解析】暂不看头尾两个数，就会发现中间都是先加后减，并且加数与减数相差1，所以就算这题可以先把中间部分分组凑成若干个1，再与其余部分进行计算。
原式100(9998)(9796)(32)1=+-+-++-+L100491=++150=【小试牛刀】989796959493929190894321+--++--++---++L【解析】99【例3】★1111111111⨯【解析】1111111111123454321⨯=⨯【小试牛刀】2222222222【解析】493817284+++【例4】★1234314243212413【解析】原式1111222233334444=+++=⨯+++1111(1234)111110=⨯=11110++++【小试牛刀】5678967895789568956795678【解析】388885++++++【例5】★339340341342343344345【解析】这七个数均差1，且个数为7个，所以中间数就是七个数的中位数。
原式3427=⨯=2394+++++÷【小试牛刀】(445443440439433434)6【解析】439÷-÷【例6】★★3496535277228【解析】原式(3500035)35(280028)28=-÷--÷=--+100011001=900÷+÷【小试牛刀】计算：2772283496535【解析】原式(280028)28(3500035)35=-÷+-÷=-+-100110001=1098⨯+⨯-⨯【例7】★★482594115932359【解析】先改变运算顺序，把4159⨯都有公共因素59，⨯与32359⨯与32359⨯交换位置，48259将48259⨯求和。
⨯与32359⨯的差算出再与41159原式482593235941159=⨯-⨯+⨯=⨯-+⨯59(482323)411595915941159=⨯+⨯=⨯+159(5941)=⨯159100=15900⨯+⨯【小试牛刀】9999222233333334【解析】33330000【例8】★★200920102010201020092009⨯-⨯【解析】仔细观察每一个数，找出它们的共同特点，20102010可分解成201010001⨯这是四位数的复写如10001,abcd abcdabcd ⨯=三位数的复写1001,abcabc ⨯=abc 二位数的复写101,ab abab ⨯=这个规律在简便运算中经常用到。
原式20092010100012010200910001=⨯⨯-⨯⨯ 0=【小试牛刀】9898989899999999101010111111111⨯÷÷【解析】882【例9】★★★ (11637)(163756)(1163756)(1637)++⨯++-+++⨯+【解析】遇到这类题千万不要把各个括号内运算出来，否侧将非常繁琐，且容易出错，可将某些括号内的数用字母代替，设163756a ++=，1637b +=，这样就达到简便的目的。
设163756a ++= 1637b +=(11637)(163756)(1163756)(1637)++⨯++-+++⨯+(1)(1)b a a b =+⨯-+⨯a ab b ab =+--a b =-（,a b 分别用原式代入）1637561637=++--56=【小试牛刀】计算(31735)(173549)(3173549)(1735)++⨯++-+++⨯+【解析】147【例10】★★你有好办法迅速算出下题吗？534671548254⨯+⨯+⨯ 【解析】通过整体观察算式，可以把53拆分成541-，那么原式 (541)4671548254=-⨯+⨯+⨯5446715482544654(467182)46541994654(2001)46=⨯+⨯+⨯-=⨯++-=⨯-=⨯--542005446=⨯--1080010010700=-=【小试牛刀】计算： 75451725⨯+⨯【解析】第二个乘法中是1725⨯，就可以把45拆为2817+，然后提取公因式进行速算．原式75(2817)1725=⨯++⨯752875171725752817(7525)210017003800=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+=+=【例11】★★★东东参加智力竞猜，有道计算题他暂时算不出来，于是选择了求助场外朋友．这道题是：1(23)(34)(45)(56)(67)(78)÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷等于多少？如果你是东东的朋友，你能帮东东解出来吗？【解析】根据乘除混合运算中去括号的性质：()a b c a b c ÷÷=÷⨯，1(23)(34)(45)(56)(67)(78)÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷12334455667781281(82)4=÷⨯÷⨯÷⨯÷⨯÷⨯÷⨯=÷⨯=⨯÷=【例12】★★计算：7652132776532727⨯÷+⨯÷【解析】通过观察算式，可以发现加号前后的两个式子中都有76527÷，可以把76527÷作为一个整体提取出来，有：原式765(213327)27=⨯+÷765540277652015300=⨯÷=⨯=【小试牛刀】计算：91791175174517⨯+÷-⨯+÷【解析】原式91751791174517=⨯-⨯+÷+÷(95)17(9145)174171361768876=-⨯++÷=⨯+÷=+=【例13】★★★（小学数学夏令营计算竞赛试题）(235711131719)(38516577)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯【解析】这道题中被除数以8个因数相乘形式出现，除数以4个因数相乘形式出现，仔细观察，可以发现被除数中的8个因数可通过交换位置两两相乘所得之积恰好分别是除数中四个因数相等，即21938⨯=，31751⨯=，51365⨯=，71177⨯=，所以，这道题的计算就十分简单了．原式(219)(317)(513)(711)(38516577)=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯38516577(38516577)1=⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=【小试牛刀】计算：(11109321)(22242527)⨯⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯L【解析】这道题中被除数以11个因数相乘形式出现，除数以4个因数相乘形式出现，仔细观察，可以发现被除数中有8个因数通过交换位置两两相乘所得之积恰好分别是除数中四个因数的倍数，即11222⨯=，105252⨯=⨯，96272⨯=⨯，8324⨯=，所以，这道题的计算就十分简单了．原式11222)(10525)(9627)(8324)74=⨯÷⨯⨯÷⨯⨯÷⨯⨯÷⨯⨯（122174112=⨯⨯⨯⨯⨯=【例14】★★★20082006200720052007200620082005⨯+⨯-⨯-⨯【解析】原式2006(20082007)2005(20082007)=⨯--⨯-20061200511=⨯-⨯=【小试牛刀】计算2000 × 1999－1999 × 1998 ＋ 1998 × 1997－1997 × 1996＋1996 × 1995－1995 × 1994【解析】题目是六项乘积的和差运算 , 其中 , 每两项中都有公因数 , 于是 , 我们先分组简算 . 原式 =1999 × (2000-1998)+1997 × (1998-1996)+1995 × (1996-1994)=1999 × 2+1997 × 2+1995 × 2=2 × (1999+1997+1995)=2 × (2000+2000+2000-9) =2 × (6000-9)1.计算(45455353)4949+÷【解析】原式(4510153101)(49101)=⨯+⨯÷⨯(4553)1014910198492=+⨯÷÷=÷=2.（北大少年数学邀请赛试题）(123456234561345612456123561234612345)7+++++÷【解析】123456，234561，345612，456123，561234，612345这六个数有很强的规律性， 每次把最前面一个数字放到最后的个位上，这样就能得到这六个数．通过观察可以发现，在十万位上1，2，3，4，5，6各出现了一次，在万位、千位、百位、十位和个位上也是这样，因此这六个数的和可以这样来计算：123456234561345612456123561234612345111111(123456)+++++=⨯+++++所以原式111111(123456)7=⨯+++++÷111111217111111(217)1111113333333=⨯÷=⨯÷=⨯=3.计算：(1234234134124123)5+++÷【解析】原式1111(1234)5=⨯+++÷11111051111(105)111122222=⨯÷=⨯÷=⨯=4.98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-……-4-3+2+1【解析】原式=（98+97-96-95）+（94+93-92-91）+……+（6+5-4-3）+（2+1）=4×24+（2+1）=995.111÷21+100÷28-62÷7【解析】原式=111÷（3×7）+100÷（4×7）-62÷7=37÷7+25÷7-62÷7=（37+25-62）÷7=06.计算：765×213÷27+765×327÷27【解析】原式=765÷27×（213+327）=765÷27×540=765×540÷27=765×20=153007.1991×199219921992-1992×199119911991【解析】原式=1991×1992×100010001-1992×1991×100010001 =08.计算：343535353434⨯-⨯．【解析】原式343510135341010=⨯⨯-⨯⨯=9.计算： 345345788690105606⨯+⨯=【解析】原式34510017883452105606=⨯⨯+⨯⨯345788788211212345000000=⨯+=（）10.计算：123452345246938275⨯+⨯．【解析】首先注意到：1234552469=⨯所以如果将后一项中的其中的乘数2469乘一个5，那么就可以利用乘法分配律了.可以从38275借. 原式123452345246957655=⨯+⨯⨯（）12345234524695765512345234512345765512345234576551234510000123450000=⨯+⨯⨯=⨯+⨯=⨯+=⨯=（）（）11.计算：91791175174517⨯+÷-⨯+÷【解析】分配律的逆运算是个难点，建议教师先讲解铺垫中的题目原式91751791174517=⨯-⨯+÷+÷95179145174171361768876=-⨯++÷=⨯+÷=+=（）（）12.(42557764254225425)1258⨯-+⨯÷÷【解析】原式425(577614225)(1258)=⨯÷==⨯-+÷⨯4251000010004250。