近世代数期末试卷
近世代数期末考试试卷及答案(正)
近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（C ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*)中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合,＊为加法D 、G 为有理数集合，＊为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )A 、a*b=a —bB 、a*b=max{a ，b}C 、 a*b=a+2bD 、a ＊b=｜a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14),3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个——--变换群—-————同构。
2、一个有单位元的无零因子的—-交换环---称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于—-25--——.4、a 的阶若是一个有限整数n,那么G 与-模n 乘余类加群-—-———同构。
5、A={1。
2.3} B=｛2。
5。
6｝ 那么A ∩B=—-｛2}—--。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为--——一一映射—-—-————----—。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的——不都等于零的元-—-n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
[精华版]近世代数期末考试试卷及答案
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[精华版]近世代数期末考试试卷及答案[精华版]近世代数期末考试试卷及答案⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1、设G 有6个元素的循环群，a是⽣成元，则G的⼦集( )是⼦群。
33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下⾯的代数系统(G，*)中，( )不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在⾃然数集N上，下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|,,,,,,3322114、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，= ,3(1324)，则=( )22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意⼀个具有2个或以上元的半群，它( )。
A、不可能是群,,,B、不⼀定是群C、⼀定是群D、是交换群⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
1、凯莱定理说:任⼀个⼦群都同⼀个----------同构。
2、⼀个有单位元的⽆零因⼦-----称为整环。
4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。
4、a的阶若是⼀个有限整数n，那么G与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。
6、若映射既是单射⼜是满射，则称为-----------------。
,,a,a,？,a01n,FF7、叫做域的⼀个代数元，如果存在的-----使得na，a，,？，a,,001n。
x,A8、是代数系统的元素，对任何均成⽴，则称为---------。
ax,a,xa(A,0) GG9、有限群的另⼀定义:⼀个有乘法的有限⾮空集合作成⼀个群，如果满⾜对于乘法封闭;结合律成⽴、---------。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得10=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( )A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( )A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。
A 、不可能就是群B 、不一定就是群C 、一定就是群D 、 就是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。
5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既就是单射又就是满射,则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。
8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为---------。
近世代数期末考试真题
近世代数期末练习题一、判断题（在括号里打上 √ 或 ⨯ ）1、一个阶是11的群只有两个子群。
( )2、循环群的子群是循环子群。
( )3、在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。
( )4、消去律在无零因子环中一定成立。
( )5、在环中，逆元一定不是零因子。
( )6、在一个域中一定不存在零因子。
( )7、模99的剩余类环99Z 是一个域。
( )8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。
( )9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。
( )10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。
( )11、群G 的两个子群的交还是子群。
( )12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。
( )13、群G 的不变子群也是G 的子群，环R 的理想也是R 的子环。
( )14、设群G 与群G'同态，则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。
( )15、一个域一定是一个整环。
( )二、填空题1、在3次对称群3S 中，元素（123）的阶为 ，（123）的逆元为 ，（123）所生成的子群在3S 中的指数为 ，该子群是否3S 的不变子群？ 。
2、环Z 6的全部零因子是 ，全部可逆元是 。
3、在环Z 10中，[6]+[7]= ，[6][7]= ，[6]-[7]= ，[6]3= ，[7]-1= 。
三、证明：（1）若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . （2）若群G 的元 a 的阶大于2, 则a – 1 ≠ a . （3）在群G 中, 元 a 与逆元a –1有相同的阶.四、证明：设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ⇔ n | ( s – t ) .五、设R 是一个环，证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。
六、设G 是一个群，证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。
近世代数期末考试试题和答案解析
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、B 、C 、D 、{}a {}e a ,{}3,a e {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），1σ2σ3σ1σ2σ=（1324），则=（ ）3σ3σA 、 B 、 C 、 D 、12σ1σ2σ22σ2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。
G a 4a 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。
6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。
ϕϕ7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得αF F n a a a ,,,10 。
010=+++n n a a a αα8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为-------a )0,(A A x ∈x a x = a --。
近世代数期末考试试题库
世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。
1、设A＝B＝R（实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素,那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素.A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b， a，b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样）4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、设集合；，则有。
2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个——变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全.6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。
8、设和是环的理想且，如果是的最大理想,那么———————-—。
9、一个除环的中心是一个-域———--。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.奇1、解:把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换,为偶置换。
近世代数期末试卷
数学与应用数学专业《 近世代数 》一、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1、一个变换群的单位元是2、设()G a =是一个6阶循环群，G 的生成元的集合是3、H 是群G 的子群，H 的右陪集Ha Hb =当且仅当4、,,a b H ab H ∈∈是群G 的非空有限子集H 作成G 的一个子群 的 条件5、假定循环群()G a =，a 的阶是n ，那么G 的乘法是h k a a =6、在两个群G 和G '的一个同态映射f 下，:f a a '→，a a '与的阶的关系是（填一定相同, 一定不同, 可能不同，整除等） 7、在4S 中，元(13)(24)的阶是8、模6剩余类环6Z 的子环{[0],[2],[4]}的特征为二、解答题（本题共7小题，每小题6分，共42分）1、设f 是集合A 到B 的映射，,a b A ∈，规定关系:“”:()()a b f a f b ⇔=:， 判断:“”是不是A 上的等价关系，并说明理由。
2、设()G a =是10阶循环群，找出G 的所有子群。
3、求群12(,)Z + 关于子群([3])H =的所有左陪集。
4、求模10的剩余类环10Z 的所有零因子。
5、设环R 与R '同态，命题：R '是交换环，则R 也是交换环是否正确？说明理由。
6、在实数域R 上的2阶全矩阵环是不是它的理想？说明理由。
7、已知2112341234,,24133412αβαβ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求，并把最终结果写成循环置换乘积的形式．三、证明题（本题共3小题，34分）1、设f 和g 都是群G 到G '的同态映射。
证明：{()()}H x x G f x g x =∈=且是G 的子群。
（10分）20(),,,,00a b a M R a b c d R S a R c d ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭中2、设C 是非零复数乘法群， R 是正实数乘法群，D 是模为1的复数乘法群，证明：C R D≅ 。
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近世代数期末试卷
一、填空题（共20分）
1. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有。
2. 设A、B是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中
有个单射，有个满射，有个双射。
3. 在4次对称群S4中，（24）（231）＝，（4321）－1＝，（132）的阶为。
4. 环Z6的全部零因子是。
5. 整环Z中的单位有。
6. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=<a3>的在G中的指数是。
二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）
1. （）一个阶是11的群只有两个子群。
2. （）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群。
3. （）存在特征是2004的无零因子环。
4. （）域是主理想整环。
5. （）模27的剩余类环Z27是域。
6. （）素数阶群都是交换群。
7. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
8. （）循环群的商群是循环群。
9. （）域只有零理想和单位理想。
10. （）相伴关系是整环R的元素间的一个等价关系。
三、解答题（共30分）
1. 设H＝｛（1），（12）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H 是否是S3的不变子群？为什么
2. 求模12的剩余类加群(Z12,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z中，求由2004，17生成的理想A=（2004，17）。
四、证明题（共30分）
1.设I1={2k|k∈Z}, I2={3k|k∈Z}，试证明：
（1）I1,I2都是整数环Z的理想。
（2）I1∩I2=(6)是Z的一个主理想。
2. 设φ是群G到群H的同态满射, H1是H的子群。
证明：G1= {x|x∈G且φ（x）∈H1}是G的子群。
3. 设环（R，＋，·，0，1）是整环。
证明：多项式环R[x]能与它的一个真子环同构。
- 1 -。