气体分子的平均自由程和碰撞频率
气体分子的平均自由程与碰撞频率
气体分子的平均自由程与碰撞频率气体分子在运动中会发生相互碰撞，这些碰撞对于气体的性质和行为有着重要的影响。
本文将探讨气体分子的平均自由程和碰撞频率以及它们在气体动力学中的意义。
1. 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程是指在单位时间内，分子在不受碰撞影响时所能走过的平均距离。
它与气体分子的碰撞次数、碰撞概率等因素密切相关。
计算平均自由程的方法是通过统计分子在一段时间内的位移，并将其平均值作为结果。
平均自由程与气体分子的直径和气体的密度有关。
当气体分子的直径较小时，分子之间的相互作用较小，平均自由程较大；而当气体分子的直径较大时，分子之间的相互作用较强，平均自由程较小。
此外，当气体的密度较小时，气体分子之间的碰撞次数较少，平均自由程较大；而当气体的密度较大时，气体分子之间的碰撞次数较多，平均自由程较小。
2. 气体分子的碰撞频率碰撞频率是指单位时间内气体分子发生碰撞的次数。
它与气体的温度、密度等因素息息相关。
碰撞频率的计算可以通过统计单位时间内发生的碰撞次数来实现。
碰撞频率与气体分子的速度和相对速度有关。
当气体的温度增加时，气体分子的速度增大，碰撞频率也增加；反之，当气体的温度降低时，气体分子的速度减小，碰撞频率也减小。
此外，当气体的密度增加时，气体分子之间的距离减小，碰撞频率也增加。
3. 平均自由程与碰撞频率的关系平均自由程和碰撞频率是气体分子运动的两个重要参数，它们之间存在着相互关系。
根据气体动力学理论，平均自由程与碰撞频率成反比关系。
当气体分子的平均自由程较大时，分子之间的相互作用较小，碰撞次数相对较少，碰撞频率较低；而当平均自由程较小时，分子之间的相互作用较强，碰撞次数相对较多，碰撞频率较高。
4. 平均自由程与碰撞频率的实际应用平均自由程和碰撞频率在气体动力学中有着广泛的应用。
例如，在研究气体扩散过程中，通过计算气体分子的平均自由程可以估算扩散的速率和距离；在研究气体传热过程中，通过计算气体分子的碰撞频率可以评估热传导的效率和速率。
分子碰撞频率和平均自由度
(二) λ Z 间的关系
v ----气体分子运动的平均速度,即每秒走过的平均距离.
Z -故(-1-)-,气气λ体体或分分Z子子平平与气均均体自每所由秒出程碰的:撞状态次有数λ关.=,如Zv气体单位体积内分子
数n大,分子碰撞的机会多.
(2) λ 或 Z 与气体种类(或性质)有关,分子直径大,碰撞机会多.
过程看作弹性碰撞过程,两这直径只是分 子有效直径,并非分子真正大小.
r0
r
f斥
d
Z = πd 2un
u = 2v 平均相对速率 , v 平均速率.
所以: Z = 2πd 2nv
看出λ 与宏观平均速率 v 无关.
与宏观λ 量(p,V,T)的关系:
λ= v =
Q p=nkT
n = p /kT
Z
∴ λ = kT 2π d 2 p
1
2π d 2 n
a
• 讨论:(1)气体温度一定p增大, λ 减小数量级概念,
v (3) 大,其它条件一定,碰撞机会多.
简略推导: 1) 气体分子为弹性小球,直径d.
2) 假设一定量气体中只有一个分子在运动,其它分子不动,平
均速率为 v ,而此分子运动相对其它分子的相对速率为u ,分
子a运动,轨迹为直线,和分子球心距离等于或小于分子直径 的那些分子与a碰撞.
则a分子在单位时间内和其它分子碰撞的次数为:
地球海平面 p=1大气压=
帕,
T=237K
此时 1.01=31×0-710米5
{ 地面上空(100公里处) p=0.133帕,
=1米λ
地面上空(300公里处) p=
帕
=10米λ
§12.5-气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
·3 ·
Chapter 12. 气体动理论 §12. 5 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
一、定义
▲平均自由程：分子在连续两次碰撞间所经过的平均
路程。常用 表示。
▲平均碰撞频率：分子在单位时间内的平均碰撞次数。
归纳
1. 平均碰撞频率： z 2 n d 2v 2. 平均自由程： kT
2 d2 p
( The end·)9 ·
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2021/4/9
10
撞的分子个数为：
N n d 2ut
z
N t
n d2u
理论修正： u 2 v
分子数密度 ：n
·5 ·
Chapter 12. 气体动理论 §12. 5 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
z 2 n d 2v ~ 109 (s-1 ) 可知：z n , d 2 , v
则，平均自由程为：
v z
1
解：空气分子的有效直径 d = 3.5×10-10m，T = 373K 考虑到保温性能，应取：
1.5cm 1.5 102 m kT
2 d2 p p kT 0.63 (Pa) 6.22 106 atm
2 d2 瓶胆承受的压力～1.01×104kg/m2！
1.5cm
·8 ·
Chapter 12. 气体动理论 §12. 5 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
p (Pa)
(m)
1.01 105 1.33 102 1.33 1.33 102 1.33 104
6.9 108 5.2 105 5.2 103 5.2 101 52
气体分子的平均碰撞频率和平均自由程.ppt
p kT 0.63 (Pa) 6.22106 atm 2 d2
瓶胆承受的压力～1.01×104kg/m2！
( The end )
Chapter 6. 气体动理论 §6. 5 气作体者分：子杨的茂平田均碰撞频率和平均自由程
P. 13 / 12 .
作业：
12-25，12-28
答疑时间：周二下午1：30－3：30
1.5cm 1.5102m kT
2 d2 p p kT 0.63 (Pa) 6.22106 atm
2 d2
1.5cm
Chapter 6. 气体动理论 §6. 5 气作体者分：子杨的茂平田均碰撞频率和平均自由程
P. 12 / 12 .
1. 平均碰撞频率： z 2 n d2v
2. 平均自由程： kT 2 d2 p
▲平均碰撞频率：分子在单位时间内的平均碰撞次数。
常用 z 表示。
则，在 △t 时间内，有：
vt zt
v z
☻ z、与哪些因素相关
Chapter 6. 气体动理论 §6. 5 气作体者分：子杨的茂平田均碰撞频率和平均自由程
P. 5 / 12 .
二、平均碰撞频率与平均自由程
设分子的有效直径为d，某分子以 u 相对于其他分子
解：空气分子的有效直径 d = 3.5×10-10m，则
p (Pa)
(m)
1.01105 1.33 102
6.9 108 5.2 105
kT 2 d2 p
常温常压下： 约108 ~ 107 (m)
Chapter 6. 气体动理论 §6. 5 气作体者分：子杨的茂平田均碰撞频率和平均
1
2 d2 n
而： p nkT
z
《大学物理》7.5_气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
v
d d
z 2d 2vn
A d
v
动态 演示
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二、平均自由程
一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路
程叫平均自由程
单位时间内分子经历的 平均距离 v ， 平均碰撞 Z 次
v
=
因为 P=nkT
Z
v
1
=
=
kT =
Z
2 d2 n
2 d2 P
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在标准状态下，几种气体分子的平均自由程
气体 氢
氮
氧
空气
(m) 1.123 107 0.599 107 0.647 107 7.00 108 d(m) 2.30 1010 3.10 1010 2.981010 3.10 1010
例1 计算空气分子在标准状态下的平均自由程和 平均碰撞频率。取分子的有效直径 d = 3.10 10-10m。已知空气的平均分子量为29。
空气分子在标准状态下 的平均速率
v
8RT 448m / s
M
Z v
448 8.71108
5.1109 s1
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v
1
=
=
kT =
Z
ห้องสมุดไป่ตู้2 d2 n
2 d2 P
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解：已知 T 273K , P 1.0atm 1.013 105 Pa,
d 3.10 1010 m
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kT 2d 2 P
1.381023 273 1.41 3.14( 3.51010 )1.01105
分子平均碰撞次数和平均自由程
p 1.33 103 n 3.21 1017 m 3 kT 1.38 1023 300
1 1 2 2π d n 2π (3 1010 ) 2 3.21 1017
7.79 m
在这种情况下气体分子相互之间很少发生碰撞，只是不 断地来回碰撞真空管的壁，因此气体分子的平均自由程 就应该是容器的线度。 即
分子的平均碰撞次数和平均自由程
问题的提出 前面已经说过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什 么食堂炸油饼时并不能马上闻到油香味呢？
原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞。
一 平均碰撞次数
Z
碰撞频率： 指一个分子在单位时间内与其它分子相碰的次数Z。 平均碰撞频率： 一个分子在单位时间内受到的碰撞次数的平均值
z n d u
理论证明：气体分子的平均相对速率 u 与平均速率 v 间有
u 2v
z 2nd 2 v v 1 z 2 d 2n
（１） 这说明：平均自由程 与分子数密度 （２）对于理想气体
n成反比。
p p nkT 即 n kT
2 kT 2 d v P 2 d 2 P 或 z kT
说明
1 P
，即真空度越高， 越大。
的数量级是 10-7m，是分子有效直径的 1000 倍。 -1 9 z 的数量级是 10 秒 ，即一秒种要碰撞几十亿次。
-2 -3 例 真空管的线度为 10 m ，其中真空度为 1.33× 10 Pa 。 设空气分子的有效直径为 3×10-10 m 。
求 27℃ 时单位体积内的空气分子数、平均自由程、平均碰撞 次数 。 解 由气体的状态方程, 有
102 m
平均自由程和平均碰撞频率
平均自由程和平均碰撞频率在物理的世界里，平均自由程和平均碰撞频率就像是空气中的那股清新气息，听起来很专业，但其实挺有意思的。
想象一下，咱们在一个人多热闹的派对上，大家都在忙着交谈、跳舞。
这个时候，你得在众人中间穿梭，偶尔被人撞一下，或者和朋友聊聊。
这就像是气体分子在空间里移动，发生碰撞，听起来是不是挺有画面感的？平均自由程，就像你在派对上能顺利移动的距离。
分子在这个空间里就像是你，四处游荡，能走多远，就取决于周围有多少“障碍物”。
如果人多得像热锅上的蚂蚁，那你可得小心翼翼，才能不被撞到。
相反，如果人少，那就简单多了，能畅通无阻。
简单来说，平均自由程就是气体分子在碰撞之前能走多远的一个数值。
你可能会问，这个数值是怎么计算的呢？它和气体的性质、温度、压力都有关系。
像夏天的空气，热得让人受不了，分子动得飞快，碰撞频率自然就高，这样一来，平均自由程就会变得小一些。
说到平均碰撞频率，那就是在单位时间内，分子之间碰撞的次数。
再把它换个角度看，就像是你在派对上，跟朋友聊得开心，突然有人从旁边冲过来把你撞了一下，感觉一下子被打断了。
这个频率高了，你的谈话就得时不时被打断，显得有点混乱。
反过来，如果碰撞频率低了，那大家的聊天就显得井然有序，就像是一场优雅的舞会，大家都在轻声细语，享受这份宁静。
这里面还有个有趣的地方。
气体分子如果是小颗粒，平均自由程就会长一些；如果是大颗粒，碰撞的机会就多了，平均自由程就短了。
这就好比你在派对上，身材高大的人总是更容易被注意到，走动起来也能避开一些障碍。
但如果是小个子，就得更加灵活，才能在人群中穿梭自如。
这不禁让人想起“人外有人，天外有天”这句话，确实每种情况都有它的道理。
碰撞频率还和温度、压力有关系。
高温下，分子运动得飞快，撞得也多，频率自然就高。
就像夏天的海滩，大家都兴奋得不行，玩得不可开交，彼此碰撞得频繁。
相反，气温低了，分子们就懒洋洋的，像冬天的围炉夜话，大家都安静下来，不再热闹，这时候碰撞频率自然就降了下来。
分子的平均碰撞频率和平均自由程
第21讲 分子的平均碰撞频率和平均自由程 习题课教学要求理解气体分子的平均碰撞次数及平均自由程。
重点与难点重点：分子的平均碰撞次数及平均自由程。
难点：分子的平均碰撞次数及平均自由程。
7.7 分子的平均碰撞频率和平均自由程气体分子无规则热运动，频繁碰撞。
每个分子在两次碰撞之间自由行进多长的路径和用多长时间完全是偶然的、不确定的(如图7-10)。
但对大量分子，从统计的角度看，每个分子在单位时间内与其它分子平均碰撞多少次和平均自由行进多少路径却是有规律的。
7.7.1 平均碰撞频率z平均碰撞频率z 就是对于处于平衡状态下的大量气体分子组成的系统，一个分子单位时间内与其它分子的平均碰撞次数。
根据简化的气体分子模型，同种气体分子中每个分子都是直径为d 的刚性球，设想跟踪一个气体分子A ，为简化计算起见，首先假定其它分子不动，A 分子以平均相对速率u 接近其它分子，那么1秒内有哪些分子能与A 分子相碰呢?在A 分子运动过程中，它的质心轨迹是一条折线abce , 凡是其它分子的质心离开此折线的距离小于或等于分子有效直径d 的，都将与A 分子相碰（图7-11）。
如果以1秒内A 分子质心运动轨迹为轴，以分子有效直径d 为半径作一圆柱体（该圆柱体体积为2πd u ）。
质心在该圆柱体内的分子都将与A 分子相碰。
设n 为分子数密度,则该圆柱体内的分子数为2πn d u ，亦即1秒内A 分子与其它分图7-10气体分子的碰撞e子发生碰撞的平均次数。
所以平均碰撞频率2πZ n d u =式中，，2πd σ=称为分子的碰撞截面。
考虑所有分子同时以平均速率υ运动，分子间平均相对运动速率为υ2=u ， 故2Z d n υ=(7-23)上式表明，分子热运动平均碰撞频率与分子数密度n 、分子平均速率υ成正比，也与分子碰撞截面σ或分子有效直径d 的平方成正比。
7.7.2 平均自由程 λ平均自由程 λ 就是在平衡状态下，一个分子在连续两次碰撞之间所经过的路程的平均值。
6气体分子的平均碰撞频率及平均自由程
解答：根据公式
1
2n d 2
dengyonghe1@
质量一定，体积保持不变，则气体的分子数 密度 n 也不变，
1
2n d 2
平均自由程也不变。
讲解例题：P343，Example10.7
dengyonghe1@
第六节
气体分子的平 均碰撞频率及
平均自由程
dengyonghe1@
一、平均碰撞频率
发难:分子运动论佯谬 在常温下，空气分子速率 400~500米/秒，如果在讲台上打开一瓶香水，后排的 同学立刻就可闻到香水味。但实际需要 1~2 分钟才能 闻到，扩散与分子速率102m/s矛盾.
解释: 实际上由于 分子激烈的热运动，不 断地和其它分子碰撞， 分子不是走直线，而是 折线。
Z 2n d 2 v
例：求空气在27ºC、1atm下平均碰撞频率是多少？ （空气分子直径为310-10m ）
解：由 P nkT 有
n
1
.
1.013 38 10
10 -23
5
300
n P kT
2.45 10 25 m -3
dengyonghe1@
由
v 8RT
气分子直径为310-10m ）
解：标准状态
T0 273 K , P0 1.013 105 Pa
dengyonghe1@
kT
2d 2P
1.38 10 -23 273
2 (3 10 -10 )2 1.013 10 5
9.3 10 -8 m
问题：一定质量的气体，保持体积不变，当温度增加 时，分子运动变得剧烈，平均碰撞频率增加了，平均 自由程如何变化？
理想气体的平均自由程和碰撞频率
思考题
1、容器内储有一定量的气体，保持容积不变， 使气体温度升高，则分子的平均碰撞频率和平均自 由程各怎样变化？
2、理想气体定压膨胀时，分子的平均自由程和 平均碰撞频率与温度的关系如何？
分子的碰撞截面 =3.85 ×10-15 cm2 ，求在标准状态下，
空气分子的平均自由程和平均碰撞频率。
解： 标准状态下 T 273K p 1.013105 Pa kT kT 6.83108 m 2 d 2 p 2 p
v 8RT 446m s1
M
Zv
446 6.83108
6.53109 s1
t
考虑其它分子的运动，由统计理论可知： u 2 v
Z 2 d 2nv
vZ
一秒钟内分子走过的平均路程为 v
一秒钟内与其它分子发生碰撞的平均次数为 Z
平均自由程 v
Z
1 2 d 2n
p nkT
kT
2 d 2 p
——平均自由程与压强的关系
例题：已知空气的摩尔质量为 M= 29 ×10-3 kg·mol-1
2、只有一个分子A 在运动，其它分子都认为是静
止不动的，且A 运动的相对速率为 u 。
t 时间内A分子走过的路程为： s ut
V d2 u t
在体积V 内的所有 其它分子在t 时间 内都与A 碰撞 设分子数密度为n
A 分子在t 时间内与其它分子碰撞的次数： n d 2u t
分子平均碰撞频率
Z n d 2ut n d 2u
❖平均自由程 mean free path ：
分子在连续两次碰撞之间所经过的自由程的平均值。
❖平均碰撞频率 mean collision frequency Z ： 单位时间内一个分子和其它分子碰撞的平均次数。
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B A
平均碰撞频率：每个分子平均在单位时间与其他
分子相碰的次数平均值，用 z 表示。
平均自由程与平均碰撞频率之间的关系为：
vt v
zt z
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Байду номын сангаас
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二、平均自由程与平均碰撞频率之间的关系
简化模型 （1）分子为刚性小球；
（2）分子有效直径为 d （分子间距平均值）；
（3）其他分子皆静止，某一分子以平均速率 u 相
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【例题7–4】计算空气分子在标准状态下的平均自 由程和平均碰撞频率。取分子的有效直径d=3.5×10-10m 。 已知空气的平均分子量为29。
解： T 273K P 1.0atm 1.013105 Pa
d 3.51010 m
kT
2πd 2P
1.38 10 23 273 1.41 3.14 (3.510 10 ) 1.01105
6.9 10 8 m
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v 8RT 448m / s πM mol
z
v
448 6.9 108
6.5109 / s
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问：在常温下，气体的方均根速率（或平均速率） 达几百米每秒。为什么在几米远的地方，打开酒精瓶塞， 需几秒甚至更长的时间才能嗅到酒精味 ?
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一、分子的平均自由程和平均碰撞频率
平均自由程：分子相继两 次碰撞间所走的路程叫分子的 自由程。分子在连续两次碰撞 之间所通过的自由程的平均值 叫 做 平 均 自 由 程 （ mean free path），用 表示。
kT
2 πd2p
T 一定时， 1
P
P 一定时， T
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7–13 在常温下，气体分子的平均速率可达几百米， 为什么气味的传播速率远比此小？
7–14 一定质量的气体，保持体积不变，当温度升 高时，分子的无序运动更加剧烈，平均碰撞频率增大， 因此，平均自由程减小，对吗？
对其他分子运动 。
下面确定 和 z 是由那些因素决定的。
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单位时间内平均碰撞次数 z π d 2 un
考虑其他分子的运动 u 2 v
分子平均碰撞次数 z 2π d 2 vn
平均自由程
v 1
z 2 π d2n
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v 1
z 2 π d2n P nkT