上海2020年高考数学 第19题优美解
2020年上海秋季高考数学逐题解析版(校对2
2020年全国统一高考数学试卷（上海秋季卷）一、填空题：本题共15小题，1-6题4分，7-12题5分，共54分。
1．已知集合，，求 ．={124}A ，，={234}B ，，=A B 【答案】：{24}，【解析】： 与取交集，共有元素为和.A B 242．计算： ．1lim31n n n →∞+=-【答案】：13【解析】： .11111lim lim lim 1131333()33n n n n n n n n n →∞→∞→∞+++===---3．已知复数（为虚数单位），则 ．12i z=-i z =【解析】：z ==4．已知行列式，则行列式 ．126300a cd b =a cd b=【答案】：2【解析】：因为 .126300a cd b =所以.11300622a c c ad b b d⋅-⋅+=故.2a cd b=5．已知，则 ．()3f x x =()1fx -=【答案】：13x()x ∈R 【解析】： 考察反函数知识点，由 可得，注意.3x y =13y x =x ∈R 6．已知、、1、2的中位数为，平均数为，则 ．a b 34ab =【答案】：36【解析】：由平均数为，可得，由中位数为，可知和中有一个是413a b +=3a b 4，另一个是.97．已知，则的最大值为 ．20230x y y x y +⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤2z y x =-【答案】：1-【解析】：画出可行域，带入点.()11，8．为不等于零的等差数列，且，求.{}n a 1109a a a +=12910+a a a a ++= 【答案】：278【解析】：在等差数列中由，得，所以：1109a a a +=1a d =-.1291101+93627+98a a a a d a a d +++==9．从个人中选个人值班，第一天641个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法 .【答案】：180【解析】：.112654C C C 180=10．已知椭圆：，第二象限有一点，点与右焦点22143y x +=P P F所在直线与椭圆交于一点，，且点与点关于轴对称，求Q 1PF FQ ⊥Q 1Q x PQ 的直线方程 .【答案】：1y x=-【解析】：，且点与点关于轴对称，知斜率为，所以1PF FQ ⊥Q 1Q x PF 1-PF方程为.1y x =-11．设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或a ∈R R ()f x 0x ∈R 0()f x 20x 0x ”又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为 x ()f x a =a 【答案】：且0a ≠1a ≠【解析】：题目转换为是否存在实数，使得存在函数满足“对于任意，a ()f x 0x ∈R 0()f x 的值为或”又满足“关于的方程无实数解”构造函数：20x 0x x ()f x a =，则方程，只有0,1两个实数解.2,(),x x af x x x a ≠⎧=⎨=⎩()f x a =12．设，已知平面向量两两不相同，，且对于任意的k ∈*N 1212,,,, k a a b b b 12||1a a -=，及,,求的最大值 1,2i =1,2,,j k = }{1,2i j a b -∈k 【答案】：6【解析】：设，这，因为，所以对于任意的1122,OA a OA a == 12||1A A =}{1,2i j a b -∈有，做，则我们有1,2,,j k = }{11,2j a b -∈ }{21,2j a b -∈ j j OB b = 1j A B 等于1或者2，且等于1或者2，所以点在以，2j A B ,(1,2,,)j B j k = i A ()1,2i =为圆心半径为1或者2的圆上，如图所示，总共有6个点满足条件.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年上海高考数学真题试卷(word解析版)
13．下列等式恒成立的是 ( )
A． a2 b2 2ab
B． a2 b2 2ab
C． a b 2 | ab |
D． a2 b2 2ab
14．已知直线方程 3x 4 y 1 0 的一个参数方程可以是 ( )
A．
x 1 3t y 1 4t
(t
为参数）
B．
x
y
1 4t 1 3t
135( 1) x, 0 3
x
40
．
k(x 40) 85, 40 x 80
（1）若交通流量 v 95 ，求道路密度 x 的取值范围；
（2）已知道路密度 x 80 ，交通流量 v 50 ，求车辆密度 q 的最大值．
20．（16
分）已知双曲线 1 :
x2 4
y2 b2
1与圆 2
: x2
y2
4 b2 (b 0) 交于点 A(xA ， yA ) （第
B ．∵(a b)2 0 ， a2 b2 2ab 0 ， a2 b2 2ab ，故 B 正确；
C ．显然当 a 0 ， b 0 时，不等式 a b 2 | ab | 不成立，故 C 错误；
D ．显然当 a 0 ， b 0 时，不等式 a2 b2 2ab 不成立，故 D 错误．
（3）若{an} 是 1，2，3， ，m 的一个排列 (m 4) ，{bn} 符合 bk ak1(k 1，2， ，m 1) ， {an} 、{bn} 都具有性质 P ，求所有满足条件的数列{an} ．
参考答案
1．{2 ， 4}
【解析】因为 A {1 ，2， 3} ， B {2 ，4， 5} ，则 A∩B {2 ， 4} ．故答案为：{2 ， 4} ．
所以 ab 36 ，故答案为：36．
2023年高考数学试题第19题
2023年高考数学试题第19题在2023年的高考数学试题中，第19题涉及到一道与几何形状和相似性质有关的题目。
让我们一起来看看这道题目的内容和解答过程。
题目描述：已知在平面直角坐标系中，点A(-2, 3)、B(4, 2)、C(1, -4)和D(x, y)满足三角形ABC和四边形ABCD是相似图形，求点D的坐标。
解题思路：我们首先需要了解相似三角形和相似四边形的性质。
当两个三角形或四边形的对应角度相等，并且对应边长成比例时，我们可以说它们是相似的。
在这道题目中，我们要找到点D的坐标，使得三角形ABC和四边形ABCD相似。
首先，我们可以计算三角形ABC的边长。
根据两点之间的距离公式，我们可以得到：AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]BC = √[(x3 - x2)² + (y3 - y2)²]CA = √[(x1 - x3)² + (y1 - y3)²]代入已知的点坐标，我们可以计算出AB、BC和CA的值。
接下来，我们需要找到满足相似性质的点D的坐标。
根据相似三角形的性质，我们知道相似的三角形的对应边长之比相等。
因此，我们可以设置等式：AB/AD = BC/BD = CA/CD将已知的AB、BC、CA的值代入等式中，我们可以得到一个关于x和y的方程。
解这个方程，我们就可以得到点D的坐标。
解答过程：首先，我们计算出三角形ABC的边长：AB = √[(4 - (-2))² + (2 - 3)²] = √[36 + 1] = √37BC = √[(1 - 4)² + (-4 - 2)²] = √[9 + 36] = √45CA = √[(-2 - 1)² + (3 - (-4))²] = √[9 + 49] = √58然后，我们设置等式：√37/AD = √45/BD = √58/CD将等式中的分数转化为平方形式，我们得到：√37/AD = √45/BD = √58/CD = √(37/AD)² = √(45/BD)² = √(58/CD)²化简上述等式，我们得到：37/AD² = 45/BD² = 58/CD²将已知的点A(-2, 3)、B(4, 2)、C(1, -4)代入上述等式中，我们得到：37/AD² = 45/BD² = 58/(x - 1)² + (y + 4)²接下来，我们将三个等式两两联立，解这个方程组，得到点D的坐标。
2020年上海市高考数学试卷+参考答案+详情解析
2020年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝．2．（4分）计算：＝．3．（4分）已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝．4．（4分）已知函数f（x）＝x3，f′（x）是f（x）的反函数，则f′（x）＝．5．（4分）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为．6．（4分）已知行列式＝6，则＝．7．（5分）已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab＝．8．（5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．9．（5分）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．10．（5分）已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C 于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是．11．（5分）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，则a的取值范围是．12．（5分）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 14．（5分）已知直线方程3x+4y+1＝0的一个参数方程可以是（）A．B．C．D．15．（5分）在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线相交的面是（）A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD 16．（5分）命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）；命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立；命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，则下列说法正确的是（）A．只有q1是p的充分条件B．只有q2是p的充分条件C．q1，q2都是p的充分条件D．q1，q2都不是p的充分条件三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．18．（14分）已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0．（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）＝的解集；（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+f（﹣x）f（﹣x），x∈[0，]，求g（x）的值域．19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为车辆密度．v＝f（x）＝．（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值．20．（16分）已知双曲线Γ1：﹣＝1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（x A，y A）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|x A|的部分．（1）若x A＝，求b的值；（2）当b＝，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；（3）过点D（0，+2）斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围．21．（18分）已知数列{a n}为有限数列，满足|a1﹣a2|≤|a1﹣a3|≤…≤|a1﹣a m|，则称{a n}满足性质P．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；（2）若a1＝1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；（3）若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列（m≥4），{b n}符合b k＝a k+1（k＝1，2，…，m﹣1），{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．2020年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝{2，4} ．【分析】由交集的定义可得出结论．【解答】解：因为A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则A∩B＝{2，4}．故答案为：{2，4}．【点评】本题考查交集的定义，属于基础题．2．（4分）计算：＝．【分析】由极限的运算法则和重要数列的极限公式，可得所求值．【解答】解：＝＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查数列的极限的求法，注意运用极限的运算性质，考查运算能力，是一道基础题．3．（4分）已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝．【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由z＝1﹣2i，得|z|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．4．（4分）已知函数f（x）＝x3，f′（x）是f（x）的反函数，则f′（x）＝x，x∈R．【分析】由已知求解x，然后把x与y互换即可求得原函数的反函数．【解答】解：由y＝f（x）＝x3，得x＝，把x与y互换，可得f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x）＝．故答案为：．【点评】本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．5．（4分）已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为﹣1 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图阴影部分，化目标函数z＝y﹣2x为y＝2x+z，由图可知，当直线y＝2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，联立，解得，即A（1，1）．z有最大值为1﹣2×1＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（4分）已知行列式＝6，则＝ 2 ．【分析】直接利用行列式的运算法则求解即可．【解答】解：行列式＝6，可得3＝6，解得＝2．故答案为：2．【点评】本题考查行列式的应用，代数余子式的应用，是基本知识的考查．7．（5分）已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab＝36 ．【分析】分别由题意结合中位数，平均数计算方法得a+b＝13，＝3，解得a，b，再算出答案即可．【解答】解：因为四个数的平均数为4，所以a+b＝4×4﹣1﹣2＝13，因为中位数是3，所以＝3，解得a＝4，代入上式得b＝13﹣4＝9，所以ab＝36，故答案为：36．【点评】本题考查样本的数字特征，中位数，平均数，属于基础题．8．（5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．【分析】根据等差数列的通项公式可由a1+a10＝a9，得a1＝﹣d，在利用等差数列前n 项和公式化简即可得出结论．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}满足a1+a10＝a9，即a1+a1+9d＝a1+8d，变形可得a1＝﹣d，所以＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的前n项和与等差数列通项公式的应用，注意分析a1与d的关系，属于基础题．9．（5分）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有180 种安排情况．【分析】根据题意，由组合公式得共有排法，计算即可得出答案．【解答】解：根据题意，可得排法共有＝180种．故答案为：180．【点评】本题考查组合数公式，解题关键是正确理解题意并熟悉组合数公式，属于基础题．10．（5分）已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，求直线l的方程是x+y﹣1＝0 ．【分析】求出椭圆的右焦点坐标，利用已知条件求出直线的斜率，然后求解直线方程．【解答】解：椭圆C：+＝1的右焦点为F（1，0），直线l经过椭圆右焦点F，交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q′，且满足PQ⊥FQ′，可知直线l的斜率为﹣1，所以直线l的方程是：y＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0．故答案为：x+y﹣1＝0．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用直线与直线的对称关系的应用，直线方程的求法，是基本知识的考查．11．（5分）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．【分析】根据条件（1）可知x0＝0或1，进而结合条件（2）可得a的范围【解答】解：根据条件（1）可得x0＝0或1，又因为关于x的方程f（x）＝a无实数解，所以a≠0或1，故a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．12．（5分）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是 6 ．【分析】设，，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得k的最大值．【解答】解：如图，设，，由||＝1，且|﹣|∈{1，2}，分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k的最大值为6．故答案为：6．【点评】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2D．a2+b2≤﹣2ab 【分析】利用（a+b）2≥0恒成立，可直接得到a2+b2≥﹣2ab成立，通过举反例可排除ACD．【解答】解：A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误；B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确；C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2不成立，故C错误；D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题．14．（5分）已知直线方程3x+4y+1＝0的一个参数方程可以是（）A．B．C．D．【分析】选项的参数方程，化为普通方程，判断即可．【解答】解：的普通方程为：，即4x+3y﹣1＝0，不正确；的普通方程为：，即3x+4y+1＝0，正确；的普通方程为：，即4x+3y﹣1＝0，不正确；的普通方程为：，即3x+4y﹣7＝0，不正确；故选：B．【点评】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化，是基本知识的考查．15．（5分）在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线相交的面是（）A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD【分析】由图可知点P在△AA1D内，过P作EF∥A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，在平面ABCD中，过F作FG∥CD，交BC于G，由平面与平面平行的判定可得平面EFG ∥平面A1DC，连接AC，交FG于M，连接EM，再由平面与平面平行的性质得EM∥A1C，在△EFM中，过P作PN∥EM，且PN∩FM于N，可得PN∥A1C，由此说明过点P且与A1C平行的直线相交的面是ABCD．【解答】解：如图，由点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，可得P在△AA1D内，过P作EF∥A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，在平面ABCD中，过F作FG∥CD，交BC于G，则平面EFG∥平面A1DC．连接AC，交FG于M，连接EM，∵平面EFG∥平面A1DC，平面A1AC∩平面A1DC＝A1C，平面A1AC∩平面EFM＝EM，∴EM∥A1C．在△EFM中，过P作PN∥EM，且PN∩FM于N，则PN∥A1C．∵线段FM在四边形ABCD内，N在线段FM上，∴N在四边形ABCD内．∴过点P且与A1C平行的直线相交的面是ABCD．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．16．（5分）命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）；命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立；命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，则下列说法正确的是（）A．只有q1是p的充分条件B．只有q2是p的充分条件C．q1，q2都是p的充分条件D．q1，q2都不是p的充分条件【分析】对于命题q1：当a＞0时，结合f（x）单调递减，可推出f（x+a）＜f（x）＜f（x）+f（a），命题q1是命题p的充分条件．对于命题q2：当a＝x0＜0时，f（a）＝f（x0）＝0，结合f（x）单调递增，推出f（x+a）＜f（x），进而f（x+a）＜f（x）+f （a），命题q2都是p的充分条件．【解答】解：对于命题q1：当f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立时，当a＞0时，此时x+a＞x，又因为f（x）单调递减，所以f（x+a）＜f（x）又因为f（x）＞0恒成立时，所以f（x）＜f（x）+f（a），所以f（x+a）＜f（x）+f（a），所以命题q1⇒命题p，对于命题q2：当f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，当a＝x0＜0时，此时x+a＜x，f（a）＝f（x0）＝0，又因为f（x）单调递增，所以f（x+a）＜f（x），所以f（x+a）＜f（x）+f（a），所以命题p2⇒命题p，所以q1，q2都是p的充分条件，故选：C．【点评】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．（1）求该圆柱的表面积；（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．【分析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，依次求出圆面和矩形的面积，相加即可；（2）先利用线面垂直的判定定理证明AD1⊥平面ADB，连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，再利用三角函数的知识求出cos∠D1CA即可．【解答】解：（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，∴S＝2×π×12+2π×1＝4π．故该圆柱的表面积为4π．（2）∵正方形ABC1D1，∴AD1⊥AB，又∠DAD1＝，∴AD1⊥AD，∵AD∩AB＝A，且AD、AB⊂平面ADB，∴AD1⊥平面ADB，即D1在面ADB上的投影为A，连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，而cos∠D1CA＝＝，∴线段CD1与平面ABCD所成的角为arccos．【点评】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题，熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．18．（14分）已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0．（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）＝的解集；（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+f（﹣x）f（﹣x），x∈[0，]，求g（x）的值域．【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．【解答】解：（1）由于f（x）的周期是4π，所以ω＝，所以f（x）＝sin．令sin，故或，整理得或．故解集为{x|或，k∈Z}．（2）由于ω＝1，所以f（x）＝sin x．所以g（x）＝＝＝﹣＝﹣sin（2x+）．由于x∈[0，]，所以．，故，故．所以函数g（x）的值域为[﹣．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为车辆密度．v＝f（x）＝．（1）若交通流量v＞95，求道路密度x的取值范围；（2）已知道路密度x＝80，交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值．【分析】（1）易知v越大，x越小，所以v＝f（x）是单调递减函数，k＞0，于是只需令，解不等式即可；（2）把x＝80，v＝50代入v＝f（x）的解析式中，求出k的值，利用q＝vx可得到q 关于x的函数关系式，分段判断函数的单调性，并求出各自区间上q的最大值，取较大者即可．【解答】解：（1）∵v＝，∴v越大，x越小，∴v＝f（x）是单调递减函数，k＞0，当40≤x≤80时，v最大为85，于是只需令，解得x＞3，故道路密度x的取值范围为（3，40）．（2）把x＝80，v＝50代入v＝f（x）＝﹣k（x﹣40）+85中，得50＝﹣k•40+85，解得k＝．∴q＝vx＝，当0＜x＜40时，q单调递增，q＜100×40﹣135×≈4000；当40≤x≤80时，q是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为x＝，此时q有最大值，为＞4000．故车辆密度q的最大值为．【点评】本题考查分段函数的实际应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力，属于中档题．20．（16分）已知双曲线Γ1：﹣＝1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（x A，y A）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|x A|的部分．（1）若x A＝，求b的值；（2）当b＝，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；（3）过点D（0，+2）斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围．【分析】（1）联立曲线Γ1与曲线Γ2的方程，以及x A＝，解方程可得b；（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；（3）设直线l：y＝﹣x+，求得O到直线l的距离，判断直线l与圆的关系：相切，可设切点为M，考虑双曲线的渐近线方程，只有当y A＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，解不等式可得b的范围，由向量投影的定义求得•，进而得到所求范围．【解答】解：（1）由x A＝，点A为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立，解得y A＝，b＝2；（2）由题意可得F1，F2为曲线Γ1的两个焦点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝8，2a＝4，所以|PF2|＝8﹣4＝4，因为b＝，则c＝＝3，所以|F1F2|＝6，在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝＝，由0＜∠F1PF2＜π，可得∠F1PF2＝arccos；（3）设直线l：y＝﹣x+，可得原点O到直线l的距离d＝＝，所以直线l是圆的切线，设切点为M，所以k OM＝，并设OM：y＝x与圆x2+y2＝4+b2联立，可得x2+x2＝4+b2，可得x＝b，y＝2，即M（b，2），注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当y A＞2时，直线l才能与曲线Γ有两个交点，由，可得y A2＝，所以有4＜，解得b2＞2+2或b2＜2﹣2（舍去），因为为在上的投影可得，•＝4+b2，所以•＝4+b2＞6+2，则•∈（6+2，+∞）．【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．21．（18分）已知数列{a n}为有限数列，满足|a1﹣a2|≤|a1﹣a3|≤…≤|a1﹣a m|，则称{a n}满足性质P．（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；（2）若a1＝1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；（3）若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列（m≥4），{b n}符合b k＝a k+1（k＝1，2，…，m﹣1），{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．【分析】（1）根据定义，验证两个数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P 即可；（2）假设公比q的等比数列满足性质p，可得：|a1﹣a1q n|≥|a1﹣a1q n﹣1|，推出（q﹣1）q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≥0，通过q≥1，0＜q≤1时，﹣1≤q＜0时：q＜﹣1时，四种情况讨论求解即可．（3）设a1＝p，分p＝1时，当p＝m时，当p＝2时，当p＝m﹣1时，以及P∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，五种情况讨论，判断数列{a n}的可能情况，分别推出{b n}判断是否满足性质P即可．【解答】解：（1）对于数列3，2，5，1，有|2﹣3|＝1，|5﹣3|＝2，|1﹣3|＝2，满足题意，该数列满足性质P；对于第二个数列4、3、2、5、1，|3﹣4|＝1，|2﹣4|＝2，|5﹣4|＝1．不满足题意，该数列不满足性质P．（2）由题意：|a1﹣a1q n|≥|a1﹣a1q n﹣1|，可得：|q n﹣1|≥|q n﹣1﹣1|，n∈{2，3，…，9}，两边平方可得：q2n﹣2q n+1≥q2n﹣2﹣2q n﹣1+1，整理可得：（q﹣1）q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≥0，当q≥1时，得q n﹣1（q+1）﹣2≥0此时关于n恒成立，所以等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≥0，所以，（q+2）（q﹣1）≥0，所以q≤﹣2，或q≥1，所以取q≥1，当0＜q≤1时，得q n﹣1（q+1）﹣2≤0，此时关于n恒成立，所以等价于n＝2时，q （q+1）﹣2≤0，所以（q+2）（q﹣1）≤0，所以﹣2≤q≤1，所以取0＜q≤1．当﹣1≤q＜0时：q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≤0，当n为奇数时，得q n﹣1（q+1）﹣2≤0，恒成立，当n为偶数时，q n﹣1（q+1）﹣2≥0，不恒成立；故当﹣1≤q＜0时，矛盾，舍去．当q＜﹣1时，得q n﹣1[q n﹣1（q+1）﹣2]≤0，当n为奇数时，得q n﹣1（q+1）﹣2≤0，恒成立，当n为偶数时，q n﹣1（q+1）﹣2≥0，恒成立；故等价于n＝2时，q（q+1）﹣2≥0，所以（q+2）（q﹣1）≥0，所以q≤﹣2或q≥1，所以取q≤﹣2，综上q∈（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．（3）设a1＝p，p∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，因为a1＝p，a2可以取p﹣1，或p+1，a3可以取p﹣2，或p+2，如果a2或a3取了p﹣3或p+3，将使{a n}不满足性质P；所以{a n}的前5项有以下组合：①a1＝p，a2＝p﹣1；a3＝p+1；a4＝p﹣2；a5＝p+2；②a1＝p，a2＝p﹣1；a3＝p+1；a4＝p+2；a5＝p﹣2；③a1＝p，a2＝p+1；a3＝p﹣1；a4＝p﹣2；a5＝p+2；④a1＝p，a2＝p+1；a3＝p﹣1；a4＝p+2；a5＝p﹣2；对于①，b1＝p﹣1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于②，b1＝p﹣1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝3，|b4﹣b1|＝2与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于③，b1＝p+1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝3，|b4﹣b1|＝1与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于④b1＝p+1，|b2﹣b1|＝2，|b3﹣b1|＝1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；所以P∈{3，4，…，m﹣3，m﹣2}，均不能同时使{a n}、{b n}都具有性质P．当p＝1时，有数列{a n}：1，2，3，…，m﹣1，m满足题意．当p＝m时，有数列{a n}：m，m﹣，…，3，2，1满足题意．当p＝2时，有数列{a n}：2，1，3，…，m﹣1，m满足题意．当p＝m﹣1时，有数列{a n}：m﹣1，m，m﹣2，m﹣3，…，3，2，1满足题意．所以满足题意的数列{a n}只有以上四种．【点评】本题考查数列的综合应用，不等式以及不等关系，二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应用，考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目，必须由高的数学思维逻辑修养才能解答．。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考第9—大题解析
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考第19—21大题解析一、考情分析：1．理科数学后三道大题的考点为：2．往年考点总结：近几年高考理科数学的第19题—第21题以解析几何、数列、函数与导数及不等式的考查为主，解析几何注重考查求曲线方程与最值或取值范围问题；数列注重考查递推求通项公式及数列不等式的证明问题；函数与导数及不等式主要以一元二次方程与一元二次函数为取材，利用导数考查切线、单调性、极值与最值问题，注重不等式与分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的综合考查． 二、考点训练数列问题1．设数列{}n a 的前．n 项积．．为n T ，且n n a T 22-=()n N *∈． （1）求证数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设)1)(1(1+--=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．2．已知数列{}n a 的首项为51=a ，前n 项和为n S ，且521++=+n S S n n )(*N n ∈．（1）证明数列{}1+n a 是等比数列；（2）令()n n x a x a x a x f +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=221，求函数)(x f 在点1=x 处的导数()1'f ，并比较()12'f 与n n 13232-的大小．解析几何问题3．设21,F F 分别为椭圆C 上的点A(1到F 1，F 2两点的距离之和等于4．（1）写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）过点P(1的直线与椭圆交于两点D 、E ，若DP=PE ，求直线DE的方程；（3）过点Q(1，0)的直线与椭圆交于两点M 、N ，若△OMN 面积取得最大，求直线MN 的方程.4．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，短轴长为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线x =2与椭圆C 交于P 、Q 两点，A 、B 是椭圆O 上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB 的斜率为12．①求四边形APBQ 面积的最大值；②设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，判断1k +2k 的值是否为常数，并说明理由．导数与函数、不等式问题5．已知函数x a xx x f ln 1)(++=，∈x R ．（1）若1=a ，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）若对任意的],1[e x ∈，都有2()2f x e e≤≤恒成立，求实数a 的取值范围．6．已知函数()ln f x x x a x =--，a ∈R ．（1）若2a =，求函数()f x 在区间[]1e ，上的最值；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（注：e 是自然对数的底数，约等于2.71828）三、高考理科数学预测题1．已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=．（1）求a 1，a 3；（2）求证：数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）设1lg 3n n n a b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列?若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由． 2．3．如图，已知抛物线py x C 2:21=的焦点在抛物线121:22+=x y C 上，点P 是抛物线1C 上的动点.（1）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（2）过点P 作抛物线2C 的两条切线，M 、N 分别为两个切点，设点P 到直线MN 的距离为d ，求d 的最小值.4．如图，已知点)1,0(F ，直线m ：1-=y ，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作直线m '与轨迹C 交于不同两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为),0(0y D ，求0y 的取值范围；（3）对于(2)中的点A 、B ，在y 轴上是否存在一点D ，使得△ABD 为等边三角形?若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.5．已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴.mF xyO（1）确定a 与b 的关系；（2）试讨论函数()g x 的单调性；（3）证明：对任意*n N ∈，都有()211ln 1ni i n i=-+>∑成立. 6．函数()f x 定义在区间[a ，b ]上，设“min{()|}f x x D ∈”表示函数)(x f 在集合D 上的最小值，“max{()|}f x x D ∈”表示函数)(x f 在集合D 上的最大值．现设1()min{()|}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，2()max{()|}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数)(x f 为区间[,]a b 上的“第k 类压缩函数”．（1）若函数32()3,[0,3]f x x x x =-∈，求)(x f 的最大值，写出)()(21x 、f x f 的解析式；（2）若0m >，函数32()f x x mx =-是[0,]m 上的“第3类压缩函数”，求m 的取值范围． 四、考点训练答案 1．【解析】（1）1132T =，由题意可得：122n n n T T T -=-⇒1122n n n n T T T T --⋅=-(2)n ≥，所以11112n n T T --=． 所以，数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列． （2）122n n T +=，12n n a n +=+，1(2)(3)n b n n =++， 2．（1）解:521++=+n S S n n (1) ∴421++=-n S S n n ，2≥n (2)两列相减得)1(211+=++n n a a当1=n 时，111212=+=a a 1212=+∴a ，611=+a )1(212+=+n a a 故总有)1(211+=++n n a a ，*N n ∈，又51=a ，011≠+a 从而2111=+++n n a a ，即数列{}1+n a 是等比数列 （2）由(1)知123-⨯=n n a ，()n n x a x a x a x f +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=221∴()121'2-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=n n x na x a a x f=()12122421122++--n n n n =[])12(2)1(12+--n n n (1) 当n=1时(1)式为0，()n n f 1323122'-=； 当n=2时(1)式为－12，()n n f 1323122'-<；当3≥n 时，,01>-n 又1222)11(2110+>+≥++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=+=-n n C C C C nn n n n n n n∴[]0)12(2)1(>+--n n n ，即(1)式>0．∴()n n f 1323122'->．3．解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上， 由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2；又点A(1，32) 在椭圆上，因此22314 1.2b+=得b 2=1，于是c 2=3；所以椭圆C的方程为22121,(3,0),(3,0).4x y F F +=-焦点， （2）∵P 在椭圆内，∴直线DE 与椭圆相交， ∴设D(x 1，y 1)，E(x 2，y 2)，代入椭圆C 的方程得x 12+4y 12-4=0， x 22+4y 22-4=0，相减得2(x 1-x 2)+4×2×14(y 1-y 2)=0，∴斜率为k =-1∴DE 方程为y -1= -1(x -14)，即4x +4y =5；（3）直线MN 不与y 轴垂直，∴设MN 方程为my =x -1，代入椭圆C 的方程得(m 2+4)y 2+2my -3=0， 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1+y 2=-224mm +， y 1y 2=-234m +，且△>0成立.又S △OMN =12|y 1-y 2|=12×222412(4)4m m m +++=22234m m ++，设t =23m +≥3，则S △OMN =21t t+，(t +1t)′=1-t -2>0对t ≥3恒成立，∴t =3时t +1t取得最小，S △OMN 最大，此时m =0，∴MN 方程为x =1 4．解：（1）设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x由已知b=32离心率222,21c b a ac e +===，得4=a 所以，椭圆C 的方程为1121622=+y x （2）①由（1）可求得点P 、Q 的坐标为)3,2(P ，)3,2(-Q ，则6||=PQ ， 设A (),,11y x B( )22,y x ，直线AB 的方程为t x y +=21，代人1121622=+y x ，得：01222=-++t tx x . 由△>0，解得44<<-t ，由根与系数的关系得⎩⎨⎧-=-=+1222121t x x tx x APBQ的面积2212212134834)(3621t x x x x x x s -=-+⨯=-⨯⨯=，故当312,0max ==S t ；②由题意知，直线PA 的斜率23111--=x y k ，直线PB 的斜率23222--=x y k则2321232123232*********--++--+=--+--=+x t x x t x x y x y k k =2222122)2(2122)2(21212211--+--+=--+-+--+-x t x t x t x x t x =4)(2)4)(2(1212121++--+-+x x x x x x t ，由①知⎩⎨⎧-=-=+1222121t x x t x x 可得011828214212)4)(2(122221=-=-++--+=++----+=+t t t t t t t t k k ． 所以21k k +的值为常数0．5．解：（1）当1=a 时，1()ln f x x x x =++，则211()1f x x x'=-+，故(1)1f '=，(1)2f =，所以曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为21y x -=-即为10x y -+=； （2）由题，[]22211()1,1,a x ax f x x e x x x+-'=-+=∈ 令2()1g x x ax =+-，注意()y g x =的图像过点(0，-1)，且开口向上，从而有(1)[](1)11001,g ()0g a a x e x '=+-≥≥∈≥当即时，在上，()f x 单调递增，所以有2(1)111()2f ef e e a ee ⎧=+≥⎪⎪⎨⎪=++≤⎪⎩，得10a e e ≤≤-； (2)当2()10g e e ea =+-≤即1a e e≤-时，[]1,g ()0,()x e x f x '∈≤在上单调递减，所以有max min ()(1)11212()()f x f ef x f e e a e e ==+≤⎧⎪⎨==++≥⎪⎩得1a e e ≥-，故只有1a e e =-符合； (3)当(1)0()0g g e <⎧⎨>⎩，即10e a e -<<时，记函数2()1g x x ax =+-的零点为(1,)t e ∈， 此时，函数()f x 在(1,)t 上单调递减，在(,)t e 上单调递增，所以，min (1)2,()212()()ln f e f e ef x f t t a t t e ≤≤⎧⎪⎨==++≥⎪⎩⇔12ln t a t t e ++≥． 因为(1,)t e ∈是函数2()1g x x ax =+-的零点，所以1a t t=-，故有112()ln t t t t t e++-≥ 令11()()ln h t t t t t t =++-，(1,)t e ∈，则21'()(1)ln 0h t t t=--≤所以函数()y h t =在(1,)e 上单调递减，故2()()h t h e e>=恒成立，此时，10e a e-<<； 综上所述，实数a 的取值范围是11[,]e e e e--．6．解：（1）若2a =，则()2ln f x x x x =--.当[2]x e ∈，时，()22ln f x xx x =--，()22211220x x f x x x x--'=--=>， 所以函数()f x 在[]2e ，上单调递增；当[]12x ∈，时，()22ln f x x x x =-+-，()22211220x x f x x x x-+-'=-+-=<. 所以函数()f x 在区间[]12，上单调递减， 所以()f x 在区间[]12，上有最小值()2ln 2f =-，又因为()11f =，()()21f e e e =--，而()211e e --<，所以()f x 在区间[]1e ，上有最大值()11f =．（2）函数()f x 的定义域为()0+∞，.由()0f x ≥，得ln x x a x -≥. (*)(1)当()01x ∈，时，0x a -≥，ln 0x x <，不等式(*)恒成立，所以a ∈R ；(2)当1x ≥时，①当1a ≤时，由ln x x a x -≥得ln x x a x -≥，即ln x a x x ≤-， 现令()ln xh x x x =-，则221ln ()x x h x x-+'=， 因为1x ≥，所以()0h x '≥，故()h x 在[)1+∞，上单调递增，从而()h x 的最小值为1，因为ln x a x x <-恒成立等价于()min a h x ≤，所以1a ≤； ②当1a >时，x a -的最小值为0，而()ln 01x x x >>，显然不满足题意． 综上可得，满足条件的a 的取值范围是(]1-∞，． 五、高考理科数学预测题答案1．解：（1）令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0 ；a 3=2；（2）由1()2n n n a a S -=，即2nn na S =，①得11(1)2n n n a S +++=.②②-①，得1(1)n n n a na +-=. ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+. ④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=又a 1=0，a 2=1，a 2-a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列. 所以，a n =n -1法二：②-①，得1(1)n n n a na +-=. ③于是，121,1211an a n a n a n a n n n n ==-=-∴-=-+ 11=-∴n a n ，所以，a n =n -1． （3）假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是，21333p qp q =+，所以，213()33q p p q =-(☆).易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解，当p ≥3，且p ∈N*时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23p p}(p ≥3)为递减数列．于是2133p p -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． 2．（或用导数求25(1)()1x f x x x -=+-在[1)∞，+上的最大值.） 令22()(1)n g n n n +=+，由⎩⎨⎧+≤-≤)1()()1()(n g n g n g n g 可得3．解：（1）1C 的焦点为)2,0(p F ， 所以102+=p，2=p故1C 的方程为y x 42=，其准线方程为1-=y（2）设),2(2t t P ，)121,(211+x x M ，)121,(222+x x N ， 则PM 的方程：)()121(1121x x x x y -=+-，所以12122112+-=x tx t ，即02242121=-+-t tx x .OxyPMN1C 2C同理，PN ：121222+-=x x x y ，02242222=-+-t tx xMN的方程：)()121(121)121(121222121x x x x x x x y --+-+=+-，即))((21)121(12121x x x x x y -+=+-.由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-0224022422222121t tx x t tx x ，得t x x 421=+，21211221t tx x -=-所以直线MN 的方程为222t tx y -+= 于是222222241)1(241|24|t t tt t t d ++=+-+-=.令)1(412≥+=s t s ，则366216921=+≥++=s s d (当3=s 时取等号). 所以，d 的最小值为34．解：（1）设),(y x P ，由题意，)1,(-x Q ，)1,0(+=y QP ，)2,(x QF -=，)1,(-=y x FP ，)2,(-=x FQ ，由FQ FP QF QP ⋅=⋅，得)1(2)1(22--=+y x y ，化简得y x 42=.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y x 42=（2）轨迹C 为抛物线，准线方程为1-=y ，即直线m ，所以)1,0(-M ， 设直线m '的方程为1-=kx y ( )0≠k ，由⎩⎨⎧=-=，y x kx y 4,12得0442=+-kx x ，由△016162>-=k ，得12>k 设),(11y x A ，),(22y x B ，则k x x 421=+， 所以线段AB 的中点为)12,2(2-k k ，所以线段AB 垂直平分线的方程为0)]12([)2(2=--+-k y k k x ， 令0=x ，得1220+=k y 因为12>k ，所以),3(0∞+∈y（3）由(2)，k x x 421=+，421=x x ，所以221221)()(||y y x x AB -+-=假设存在点),0(0y D ，使得△ABD 为等边三角形，则D 到直线AB 的距离||23AB d =因为)12,0(2+k D ，所以121)1(21|1|22220+=++=++=k k k k y d ， 所以113212222-⋅+=+k k k ，解得342=k 所以，存在点⎪⎭⎫⎝⎛311,0D ，使得△ABD 为等边三角形 5．解：（1）依题意得2()ln g x x ax bx =++，则1'()2g x ax b x=++由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)120g a b =++=，∴21b a =--.（2）由(1)得22(21)1'()ax a x g x x -++=(21)(1)ax x x--=. ∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞∴当0a ≤时，210ax -<在(0,)+∞上恒成立， 由'()0g x >得01x <<，由'()0g x <得1x >，即()g x 在(0，1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减；当0a >时，令'()0g x =得1x =或12x a=， 若112a<，即12a >时，由'()0g x >得1x >或102x a<<，由'()0g x <得112x a<<， 即函数()g x 在1(0,)2a ，(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a单调递减； 若112a>，即102a <<时，由'()0g x >得12x a>或01x <<，由'()0g x <得112x a<<， 即函数()g x 在(0,1)，1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a单调递减； 若112a =，即12a =时，在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，综上得：当0a ≤时，函数()g x 在(0，1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减； 当102a <<时，函数()g x 在(0,1)单调递增，在1(1,)2a 单调递减；在1(,)2a+∞上单调递增；当12a =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，当12a >时，函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增，在1(,1)2a单调递减；在(1,)+∞上单调递增.（3）由(2)知当1a =时，函数2()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增，2ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-，即2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---，令*11,x n N n =+∈，则2111ln(1)n n n +>-，即()211ln 1ni i n i=-+>∑. 6．解：（1）由于2()36f x x x '=-，故)(x f 在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．所以，)(x f 的最大值为max{(0),(3)}0f f =．3213,02()4,23x x x f x x ⎧-≤≤=⎨-<≤⎩，2()0f x =， （2）由于2()32f x x mx '=-，故)(x f 在2[0,]3m 上单调递减，在2[,]3m m 上单调递增，而(0)()0f f m ==，324()327m m f =-，故32132,03()42,3273m x mx x f x m m x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，2()0f x =， 232132,03()()42,3273m mx x x f x f x m m x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪<≤⎪⎩．设对正整数k 有21()()f x f x kx -≤对[0,]x m ∈恒成立， 当x =0时，N k *∈均成立； 当203m x <≤时，21()()f x f x k x-≥恒成立，而222221()()()244f x f x m m m x mx x x -=-+=--+≤，故24m k ≥；当23m x m <≤时，21()()f x f x k x -≥恒成立，而332214()()4227279m f x f x m m x x x -==<；故229m k ≥；所以，24m k ≥，又)(x f 是[0,3]上的“第3类压缩函数”，故2234m <≤，所以，m <≤．。
第19题 解三角形-2021年高考数学真题逐题揭秘与以例及类(新高考全国Ⅰ卷)(含答案解析)
第19题 解三角形一、原题呈现【原题】记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=．（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠．解法一：（1）由sin sin BD ABC a C ∠=及正弦定理得2sin sin a C ac b BD b ABC b b ====∠（2）由余弦定理得22222223cos 2223b c b b c a A b c b c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==⨯⨯⨯⨯整理得22211203a c b +-=，即2211203a c ac +-=， 所以233c a c a ==或， 当3c a =时，由2b ac =得b =，此时)1a b a c +=<，不满足题意，当23c a =时，由2b ac =得3b a =， 所以2227cos 212ac b ABC ac +-∠==解法二：（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c bC ABC=∠，即sin sin C cABC b=∠，∴acBD b=，又2b ac =， ∴BD b =，得证．（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===， ∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅， ∵ADB CDB π∠=-∠， ∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =， ∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=． 【就题论题】本题第（1）问比较简单，利用正弦定理进行边角代换，即可得出结论．第（2）问求解的关键是利用正弦定理、余弦定理整理出,a b 的关系式，再利用余弦定理求cos ABC ∠．二、考题揭秘【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．难度：中等偏易【考情分析】新教材高考，解三角形是必考题，一般以解答题形式考查，考查主要方式是利用正弦定理与余弦定理解三角形，有时还会涉及到三角形中的三角变换．【得分秘籍】（1）正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．（2）运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．（3）应用正弦、余弦定理的解题技巧①求边：利用公式a＝sinsinb AB，b＝sinsina BA，c＝sinsina CA或其他相应变形公式求解．②求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝sina Bb，sin B＝sinb Aa，sin C＝sinc Aa或其他相应变形公式求解．③已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．④灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．（4）判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．（5）三角形面积公式的应用原则①对于面积公式S＝ɑb sin C＝ɑc sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．②与面积有关的问题，一般要用到正弦定理和余弦定理进行边和角的转化．（6）应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步：①根据题意，画出示意图，并标出条件；②将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；③检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案．【易错警示】（1）已知两边及其中一边的对角解三角形时，注意要对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否合理，当正弦值小于等于1时，还应判断各角之和与180°的关系；二是两边的大小关系．（2）等式两边都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷） 解答题(2021福建省厦门市高三三模)1. 锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足4sin s sin sin in C B a B C +=． （1）求A ；（2）若4b =，ABC 的面积为D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求AD ．【答案】（1）3A π=；（2）AD =. 【解析】【分析】（1）先利用正弦定理进行边化角并化简得到sin A =，再结合锐角三角形得到角A 即可；（2）先利用面积公式求得c 边，再结合角平分线，利用BAD CAD BAC S S S +=△△△和面积公式，列式计算求得AD 即可.【详解】解：（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==，4sin s sin sin in C B a B C +=，sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，即sin 4sin sin sin B C A B C =又因为sin sin 0B C ≠，所以4sin A =，即sin A =， 又因为ABC 为锐角三角形，所以3A π=；（2）由1sin 2ABCSbc A ==14sin 23c π⨯⨯=3c =，因为BAC ∠的角平分线为AD ，所以126BAD CAD BAC π∠∠∠===， 又因为BAD CAD BAC S S S +=△△△，所以11sin sin 2626c AD b AD ππ⋅+⋅=113sin 4sin 2626AD AD ππ⨯⋅+⨯⋅=，所以74AD =7AD =． 【点睛】思路点睛：一般地，解有关三角形的题目时，常运用正弦定理（或余弦定理）进行边角互化，要有意识地根据已知条件判断用哪个定理更合适. 如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.（2021福建省福州市高三5月二模） 2.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos()6b A a B π=-.（1）求B ；（2）若D 是ABC 的外接圆的劣弧AC 上一点，且3a =，4c =，1AD =，求CD .【答案】（1）3π；（2）3. 【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角，再用差角的余弦公式展开化成正切即可得解； (2)利用余弦定理求出边b ，借助圆内接四边形性质求得ADC ∠，最后又由余弦定理建立方程得解.【详解】（1）ABC 中，由正弦定理有sin cos()sin sin sin cos()66b A a B B A A B ππ=-⇒=-，从而1sin sin sin sin )2B A A B B =+，化简得，1sin sin cos 22A B A B =，因为0A π<<，即sin 0A ≠，所以tan B =0B π<<，故3B π=.（2）在ABC 中，由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-2234234cos133π=+-⨯⨯⋅=，即 b =又由于A ，B ，C ，D 四点共圆，从而23ADC B ππ∠=-=， 在ADC 中，设DC x =，由余弦定理得，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠，即得22213121cos3x x π=+-⋅⋅⋅，化简得，2120x x +-=，解得3x =或 4x =-（舍去）， 故3DC =.【点睛】思路点睛：已知两边及一边的对角求第三边的三角形问题，可用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解. （广东省汕头市高三二模）3. 随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A 地接到两份外卖单，他须分别到B 地､D 地取餐，再将两份外卖一起送到C 地，运餐过程不返回A 地.A ，B ，C ，D 各地的示意图如图所示，2km BD =，AD =，120ABD ∠=︒，45DCB ∠=︒，30CDB ∠=︒，假设小李到达B ､D 两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如：AB BD DB BC →→→)，并计算各种送餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位小数)(参考数据：1.414≈ 1.732≈)【答案】答案见解析 【解析】【分析】根据正弦定理先求解出,BC CD 的值，再根据余弦定理求解出AB 的值，然后分析每条送餐路径的路程并确定出最短送餐路径对应的送餐时间.【详解】解：在BCD △中，由正弦定理可知：sin sin BC BDBDC BCD =∠∠，即：2sin 30sin 45BC =︒︒，解得：BC =由sin sin CD BDCBD BCD =∠∠，即：2sin105sin 45CD =︒︒，解得：1CD =(由余弦定理可得22cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠，解得=1CD +或者1CD ，,CBD DCB CD BD ∠>∠∴>=1CD ∴)在ABD △中，由余弦定理可知：222cos 2AB BD AD ABDAB BD即2412cos1204AB AB+-︒=，解得2AB =或4AB =-(舍)；①若送餐路径为：AB BD DB BC →→→，则总路程=67.414km +≈①若送餐路径为：AD DB BC →→，则总路程=2 6.878km ≈①若送餐路径为：AB BD DC →→，则总路程=221 6.732km ++≈①若送餐路径为：AD DB BD DC →→→，则总路程=22110.196km ++≈所以最短送餐路径为AB BD DC →→， 此路径的送餐时间为：6.7326020.19620⨯=(分钟). 【点睛】关键点点睛：本题是实际问题中解三角形的应用，解答问题的关键在于通过正余弦定理求解出每一段未知的线段长度，然后再去分析每一条路径对应的总路程并确定出最短路径以及送餐时间. （2021广东省广州市天河区高三三模）4. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知22cos c b a B -=． （1）求角A 的值； （2）若ABC的面积S c ==sin sin B C 的值 【答案】（1）3π；（2）12．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦变形可求得A 角；（2）由三角形面积求得b ，由余弦定理求得a ，然后用正弦定理可得sin sin B C ． 【详解】（1）因为22cos c b a B -=，由正弦定理得2sin sin 2sin cos C B A B -=，sin 2sin()2sin cos 2sin()2sin cos 2(sin cos cos sin )B A B A B A B A B A B A B π=---=+-=+2sin cos 2cos sin A B A B -=，又B 是三角形内角，sin 0B ≠，所以()1cos ,02A A π=∈，，3A π=； （2）11sin sin 223ABC S bc A b π===△，b =2222212cos 292a b c bc A =+-=+-⨯=，3a =，又3sin sin sin sin 3a b c A B C π==== sin 1B =，1sin 2C = 所以1sin sin 2B C =．【点睛】方法点睛：正弦定理、余弦定理、三角形面积是解三角形的常用公式，解题方法是利用正弦定理进行边角转换，化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式变形求角，然后再根据问题先用相应公式计算． （2021河北省张家口市高三三模）5. 在四边形ABCD 中，,1,2AB CD AB AC BD ===，且sin sin DBC DCB ∠∠=.（1）求AD 的长； （2）求ABC 的面积.【答案】（1）AD =（2 【解析】【分析】（1）在DBC △中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得 2.BD CD ==设.AD x =在ABD △和ACD △中，分别由余弦定理，列方程22144724x x x x+-+-=-，解得AD ；（2）在ACD △中，由222AD CD AC +=，得到AD CD ⊥，直接利用面积公式求出ABC 的面积.【详解】（1）因为在四边形ABCD 中，AB CD ，所以cos cos .CDA DAB ∠∠=- 在DBC △中，由sin sin DBC DCB ∠∠=及正弦定理可得 2.BD CD == 设.AD x =在ABD △和ACD △中，由1,AB AC ==22144724x x x x+-+-=-， 所以()()2221447.x x +-=-+-解得x =AD =.（2）在ACD △中，2AD AC CD ===，得222AD CD AC +=，所以AD CD ⊥，所以12ABCSAB AD =⋅=.所以ABC 【点睛】（1）在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：①从题目给出的条件，边角关系来选择；②从式子结构来选择． （2）平面四边形问题通常转化为解三角形来处理. （2021河北省唐山市高三三模）6. 如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2BAD π∠=，点E 是AD 上一点，2=4DE AE =，2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠.（1）求BEC ∠的大小；（2）若BCE 的面积S 为BC .【答案】（1）∠BEC ＝3π；（2）BC = 【解析】【分析】（1）利用余弦定理将角化为边，从而可得1cos 2BEC ∠=，故可求其大小. （2）设AEB α∠＝，由解直角三角形可得,BE CE ，根据面积可求α的值，利用余弦定理可求BC 的长.【详解】（1）∵2cos cos cos BC BEC BE EBC CE ECB ∠=∠+∠2222222•2•BE C BE BC CE CE BC BE BE BC CE E BC BC+-+-⋅⋅＝＋＝∴1cos 2BEC ∠=，而BEC ∠为三角形内角，故3BEC π∠=． （2）设AEB α∠＝，则23DEC πα∠=-，其中203πα<<， ∵DE ＝2AE ＝4， ∴2cos cos AE BE αα==，422cos()cos()33CE DE ππαα=--=， ∵△BCE的面积1sin 23cos cos()3S BE CE παα=⋅⋅=-==2sin(2)16πα==--，2sin(21)6α=--， ∴sin 216πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为72666πππα-<-<，故262ππα-=，即3πα=， 此时24cos BE α==，482cos()3CE πα==-， ∴在△BCE 中，由余弦定理得：2222cos 48BC BE CE BE CE BEC +⨯∠＝－＝，∴BC =（2021湖北省襄阳市高三下学期5月第二次模拟）7. 如图，设ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，AD 为BC 边上的中线，已知1c =，12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+，cos 7BAD ∠=．（1）求b 边的长度；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）4b =；（2）【解析】【分析】（1）角化边即可求解；（2）设,AB AC θ=，根据cos 7BAD ∠=列方程即可求解 【详解】（1）由条件12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+， 可得：2212cos 4ca B a b bc =-+，即222221224a c b ca a b bc ac +-⋅=-+， 化简可得：4c b =，因为1c =，所以4b =（2）因为D 为中点，所以()12AD AB AC =+， 设,AB AC θ=，由()()()22222211122cos 444AD AB AC AB AC AB AC c b c b θ=+=++⋅=++⋅ 得17||2AD =， 又()114cos 22AB AD AB AB AC θ+⋅=⋅+=，所以1cos 7||||17AB AD BAD AB AD ⋅=∠==⋅ 化简可得：228cos 8cos 110θθ+-=解得1cos 2θ=或11cos 14θ=-， 又14cos 0θ+>，所以1cos 2θ=，则sin θ==，所以ABC 的面积为11sin 14222bc A =⨯⨯⨯=【点睛】关键点点睛：计算线段长度，关键是找到基底，然后用基底表示，平方之后再开方即可.（2021湖北省武汉市高三下学期4月质量检测）8. 平面凸四边形ABCD 中，9034BAD BCD AD AB ∠=∠=︒==，，.（1）若45ABC ∠=︒，求CD ；（2）若BC =AC .【答案】（1）2；（2） 【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出BD ，利用差角公式求出sin DBC ∠，再利用直角三角形性质可求CD ；（2）先利用直角三角形及BC 求出sin cos 55CBD CBD ∠=∠=，再利用和角公式求出cos ABC ∠，结合余弦定理可得AC .【详解】（1）连接BD ，在Rt BAD 中，由4390AB AD BAD ==∠=︒，，. 得5BD =，①34sin cos 55ABD ABD ∠=∠=，. ∵45ABC ∠=︒，∴45DBC ABC ∠=︒-∠，①43sin sin 45cos cos 45sin 252510DBC ABD ABD ∠=︒⋅∠-︒⋅∠=⨯=-，在Rt BCD 中，由90BCD ∠=︒知：sin 5102CD BD DBC =⋅∠=⨯=.（2）连接AC ，由（1）知5BD =，在Rt ABD △中易知34sin cos 55ABD ABD ∠=∠=，.在Rt BCD 中，由5BC BD ==得CD =，易知sin cos CBD CBD ∠=∠= ①()cos cos cos cos sin sin ABC ABD CBD ABD CBD ABD CBD ∠=∠+∠=∠⋅∠-∠⋅∠4355=-=. 在ABC 中由余弦定理得：(222222cos 424205AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯= ①AC =（2021湖南省衡阳市高三下学期毕业班联考）9. 如图，ABC 中，1302BD CD BAD =∠=︒，．（1）若AB AC =，求sin DAC ∠；（2）若AD BD =，求AC BC的值． 【答案】（1）sin 1DAC ∠=；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的面积比列方程，化简求得sin DAC ∠.（2）设AD x =，求得3BC x =，利用余弦定理列方程，求得AC =，从而求得AC BC. 【详解】（1）设BC 边上的高为h ，11sin 2211sin 22BAD CAD BD h AB AD BAD SS CD h AC AD CAD ⋅⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅⋅∠， 而1sin 302BD CD AB AC BAD ==∠=︒，，，∴sin 1DAC ∠=. （2）设AD x =，则3060AD BD x BAD ABD ADC ==∠=∠=︒∠=︒，，，2,3CD x BC x ==，在ADC 中，由余弦定理得：()()2222222cos603AC x x xx x =+-⋅︒=，∴AC =，∴33AC BC x ==. （2021湖南省株洲市高三下学期质量检测）10. 如图所示，在四边形ABCD中，tan tan BAD BAC ∠=-∠=（1）求DAC ∠的大小；（2）若2DC =，求ADC 周长的最大值.【答案】（1）3π；（2）6. 【解析】【分析】（1）根据DAC BAD BAC ∠=∠-∠，由()tan tan DAC BAD BAC ∠=∠-∠，利用两角差的正切公式求解；（2）利用正弦定理得到,in AD AC ACD ADC =∠=∠，则ADC 的周长为)22si n sin AD AC ACD ADC ++=+∠+∠，再根据23ACD ADC π∠+∠=，利用两角和与差的三角函数转化为22sin 64AD AC ACD π⎛⎫++=+∠+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质求解. 【详解】（1）因为DAC BAD BAC ∠=∠-∠，且tan tan 2BAD BAC ∠=-∠= 所以()tan tan DAC BAD BAC ∠=∠-∠，tan tan 1tan BAD BAC BAD BAC∠-∠=+∠⋅∠，-== 因为()0,DAC π∠∈， 所以3DAC π∠=；（2）由正弦定理得sin si n s in DAC A DC A CD ADC D AC ∠=∠==∠所以,in 33AD AC ACD ADC =∠=∠，所以ADC 的周长为)22si n sin AD AC ACD ADC ++=+∠+∠，22sin s n 33i ACD ACD π⎛⎫⎛⎫=+∠+-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32sin cos 223ACD ACD ⎛⎫=+∠+∠ ⎪ ⎪⎝⎭， 2n 64si ACD π⎛⎫=+∠+ ⎪⎝⎭， 因为203ACD π<∠<， 所以5666ACD πππ<∠+<， 所以1sin 126ACD π⎛⎫<∠+≤ ⎪⎝⎭， 所以ADC 的周长的最大值为2416+⨯=.【点睛】方法点睛：三角形周长问题，一般地是利用公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为ABC 外接圆半径)，将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A ＋B ＋C ＝π，然后利用三角函数的性质求解.（2021江苏省扬州中学高三3月调研）11. 如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，3AB =百米，2CD =百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P 在道路AC 上（异于A ，C 两点），6BAC π∠=，DPA θ∠=．（1）用θ表示直道DP 的长度；（2）计划在ADP △区域内种植观赏植物，在CDP 区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路DP 的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．【答案】（1）1sin DP θ=，566ππθ<<；（2） 【解析】【分析】（1）根据解三角形和正弦定理可得1sin DP θ=，566ππθ<<， （2）分别求出APD S △，ADC S △，可得DPC S △，设三项费用之和为f，可得()1cos 12sin 2f θθθ+=+，566ππθ<<，利用导数求出最值. 【详解】解：（1）过点D 作DD AB '⊥，垂足为D ，在Rt ABC 中，∵AB BC ⊥，6BAC π∠=，3AB =，∴BC =在Rt ADD '中，∵1AD '=，DD '=2AD =，∴sin DAD '∠=∴3DAD π'∠=， ∵6BAC π∠=， ∴6DAP π∠=， 在ADP △中，由正弦定理可得sin sin 6AD DP πθ=， ∴1sin DP θ=，566ππθ<<， （2）在ADP △中，由正弦定理可得sin sin AD AP ADPθ=∠，∴52sin6sinAPπθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=，∴5sin16sin2sinAPDS AP PDπθθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=⋅⋅=△，又11sin22222 ADCS AD DC ADC=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△∴5sin6sinDPC ADC APDS S Sπθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=-=△△△，设三项费用之和为f，则()55sin sin1 66211 sin sin sinfπθπθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⨯+⨯+⨯⎪⎪⎝⎭5sin16sin sinπθθθ⎛⎫-⎪⎝⎭=+1cos12sinθθ+=+，566ππθ<<，∴()21cos2sinfθθθ-='-，令()0fθ'=，解得23πθ=，当2,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0fθ'<，函数f单调递减，当25,36ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0fθ'>，函数f单调递增，∴()min23f fπθ⎛⎫==⎪⎝⎭（2021江苏省南京师范大学《数学之友》高三下学期一模）12. 已知ABC中，D是AC边的中点，且①3BA=；①BC=①BD=①60A ∠=︒.（1）求AC 的长；（2）BAC ∠的平分线交BC 于点E ，求AE 的长.上面问题的条件有多余，现请你在①，①，①，①中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是___________，请写出用剩余条件解答本题的过程.【答案】删去条件见解析；（1）2；（2）5. 【解析】【分析】若删去①①，由余弦定理易得出两解，不满足题意.删①，在ABD △中和ABC 中分别利用余弦定理建立关系可求解，再利用ABE ACE ABC S S S +=可求AE的长；删①，在ABD △中，由余弦定理有2cosADB ∠=，在BCD △中，cosCDB ∠=，由cos cos ADB CDB ∠=-∠求得x ，利用ABE ACE ABC S S S +=可求AE 的长. 【详解】删①.（1）设,AD CD x BA y ===，在ABD △中，由余弦定理可得227x y xy +-=，在ABC 中，由余弦定理可得22427x y xy +-=，联立方程解得1,3x y ==，所以3,2BA AC ==；（2）设AE m =，则由ABE ACE ABC S S S +=得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯+⨯=⨯⨯，解得5m =； 删①，则在ABD △中，由余弦定理有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅，即2796cos60AD AD =+-⋅，解得1AD =或2AD =，则2AC =或4，有2解，不满足题意；删①，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即2796cos60AC AC =+-⋅，解得1AC =或2，有2解，不满足题意； 删①.（1）设AD CD x ==，在ABD △中，由余弦定理有22222cos2BD AD AB ADB BD AD ∠+-===⋅， 同理，在BCD △中，cosCDB ∠=，cos cos ADB CDB ∠∠=-，2=1x =，2AC ∴=； （2）设AE m =，则由ABE ACE ABC S S S +=得1113sin 302sin 3032sin 60222m m ⨯+⨯=⨯⨯，解得m =. 【点睛】关键点睛：解决本题得关键是熟练应用余弦定理建立等量关系求解. （2021江苏省苏州市高三下学期三模）13. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知11(0)k k a b c+=>．（1）若2k C π==，求A 的值；（2）若k =2，求当C 最大时ABC 的形状．【答案】（1）4A π=；（2）正三角形. 【解析】【分析】（1）由11a b c +=，结合2C π=，利用正弦定理化简得到c 1o 1sin s A A +=24A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解；（2）由112a b c +=，得到2ab c a b =+，由余弦定理得到222cos 2a b c C ab+-=()2142a b ab b a a b ⎡⎤=+-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）11a b +=sin 11sin si 2n 2A A π⎛⎫- ⎪⎝==⎭+即c 1o 1sin s AA +=sin cos cos A A A A +=⋅，24A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以24A A π+=或24A A ππ+=-， 解得4A π=； （2）112a b c+=，即2a b ab c +=， 所以2ab c a b =+， 由余弦定理得2222222cos 22ab a b a b c a b C ab ab ⎛⎫+- ⎪+-+⎝⎭==， ()()22141412222a b ab ab b a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+-≥-=⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 当且仅当a b =时，等号成立，此时3C π=，ABC 是正三角形．【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2021山东省泰安肥城市高三三模）14. 已知锐角ABC ∆的外接圆半径为1，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S2224)S c b =+-．（1）求C ；（2）求bc a的取值范围． 【答案】（1）3C π=；（2bc a<< 【解析】 【分析】（1)2224S c b =+-)2224a b c S +-=，根据余弦定理以及三角形的面积公式可得1cos 4sin 2C ab C =⨯，化简整理即可求出结果；（2）根据正弦定理把bc a变形为2sin 2sin B A，进而得到23sin A Aπ⎛⎫- ⎪⎝⎭然后以函数的思想根据角A 的范围求值域即可.【详解】解:（1)2224S c b =-)2224a b c S +-=∴1cos 4sin 2C ab C =⨯sin C C = ∵cos 0C ≠，∴tan C =又(0,)C π∈ ∴3C π=．（2）ABC ∆的外接圆半径为1 ∴2sin c C=，即2sin c C =又sin sin sin a b c A B C ==， ∴2sin a A =，2sin b B =∴bc a==23sin sin A B A Aπ⎛⎫- ⎪⎝⎭==1cos sin22sinA AA⎫+⎪⎝⎭=32tan A=+又因为ABC∆是锐角三角形∴22ABππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即2232AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62Aππ<<∴tan3>A，1tan A<<32tan2A<<，∴bca<<【点睛】解三角形中的求值域的问题，有两种解题思路：（1）找到边与边之间的关系，利用均值不等式求出最值，再结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来确定范围；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，以函数的思想求值域，注意转化的角的范围是关键.（2021山东省潍坊市高三三模）15. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是AC上的点，BM平分ABC∠，ABM的面积是BCM面积的2倍．（1）求sinsinCA；（2）若1cos4B=，2b=，求ABC的面积．【答案】（1）2；（2）4．【解析】【分析】（1）由2ABM BCMS S=△△，ABM MBC∠=∠，得到2AB BC=，由正弦定理得sin2sinC ABA BC==；（2）由（1）知2c a =，代入满足1cos 4B =的余弦定理，求得a ，c ，并求得sin B ，则由面积公式1sin 2ABC S ac B =△即可求得三角形面积. 【详解】解：（1）1sin 2ABM AB S BM ABM =⋅∠△， 1sin 2BCM BC S BM MBC =⋅∠△． 因为2ABM BCM S S =△△，ABM MBC ∠=∠，所以2AB BC =． 由正弦定理得sin 2sin C AB A BC == （2）由sin 2sin C A=得2c a =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 又因为1cos 4B =，2b =， 所以2221444a a a +-⨯4=， 所以1a =，从而2c =． 又因为1cos 4B =且0πB <<，所以sin 4B =．因此 11sin 122244ABC a S c B ==⨯⨯⨯=△． 【点睛】关键点点睛：根据角平分线及面积关系求得2c a =，并利用正弦定理，余弦定理进行边角转化，解得三角形中的参数.。
2020年上海高考数学试卷(参考答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（上海卷）一、填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 已知集合，，求_______2. ________3. 已知复数z 满足（为虚数单位），则_______4. 已知行列式，则行列式_______5.已知，则_______6.已知a 、b 、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab=________7.已知，则的最大值为___________8.已知是公差不为零的等差数列，且，则___________9.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有____种排法。
10.椭圆，过右焦点F 作直线交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知都在椭圆上，且，，则直线的方程为______11.设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为______12、已知是平面内两两互不平等的向量，满足，{}1,2,4A ={}2,3,4B =A B =1lim31n n n →∞+=-12z i =-i z =126300a cd b =a c d b=()3f x x =()1f x -=20230x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩2z y x =-{}n a 1109a a a +=12910a a a a ++⋅⋅⋅=22143x y +=l ()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y y'0Q Q y +='FQ PQ ⊥l a R ∈R ()f x 0x R ∈()0f x 20x 0x x ()f x a =α且(其中)，则K 的最大值为________二、选择题（本题共有4小题，每题5分，共计20分） 13、下列不等式恒成立的是（） A 、 B 、 C 、 D 、14、已知直线的解析式为，则下列各式是的参数方程的是（）A 、B 、C 、D 、15、在棱长为10的正方体.中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，点到的距离为2，则过点且与平行的直线交正方体于、1,21,2,...i j k ==，，222a b ab +≤22-2a b ab +≥2a b ab +≥-2a b ab +≤l 3410x y -+=l 4334x ty t=+⎧⎨=-⎩4334x t y t =+⎧⎨=+⎩1413x ty t =-⎧⎨=+⎩1413x ty t =+⎧⎨=+⎩1111ABCD A B C D -P 11ADD A P 11A D P 1AA P 1A C P两点，则点所在的平面是（ ）A. B. C. D.16.、若存在,对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质的充分条件是（）A 、只有B 、只有C 、D 、都不是三、解答题（本题共5小题，共计76分） 综合题分割17、已知边长为1的正方形ABCD ，沿BC 旋转一周得到圆柱体。
2020年高考数学上海卷附答案解析版
【解析】根据向量减法的运算规律，ai bj {1,2}可转化为以向量a1 和 a2 终点为圆心，作半径r1 1 和 r2 2
的圆，两圆交点即为满足题意的b ，由图知， k 的最大值为 6。
1 /6
二、 13.【答案】B 14.【答案】D 15.【答案】D 【解析】 延长 BC 至 M 点，使得CM 2 延长C1C 至 N 点，使得CN 3 ，
2
b4 a b2
，
所以有4＜ b4 ，解得b2＞2 2 5 ，或 b2＜2 2 5 （舍） 4 b2
又因为OM ON由 ON 在 OM 上的投影可知： OM ON b2 4
所 以 OM ON b2 4＞6 2 5
OM ON 6 2 5,
21.【答案】（1）对于第一个数列有 2 3 1， 5 3 2 ， 1 3 2 ， 满足题意，该数列满足性质 p
以 C 、 M 、 N 为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为 H ， 连接 A1P 、 PH 、 HC ，则易得四边形 A1PHC 为平行四边形，
因为点 P 在平面 ADD1A1内，点 H 在平面 BCC1B1 内，
且点 P 在平面 ABCD 的上方，点 H 在平面 ABCD 下方， 所以线段 PH 必定会在和平面 ABCD 相交， 即点Q 在平面 ABCD 内。 16.【答案】C 【解析】本题要看清楚一个函数具有性质 P 的条件是，存在a R 且 a 0 ，
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2020年高考数学（上海）第19题（理）试题优美解
试题（上海、 理科19）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，
PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2，
AD=22，PA=2.求：
（1）三角形PCD 的面积；（6分）
（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）
解析：（1）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ， 从而CD ⊥PD . ……3分 因为PD=32)22(222=+，CD =2，
所以三角形PCD 的面积为3232221=⨯⨯
（2）解析1如图所示，建立空间直角坐标系，
则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2, 1)， )1,2,1(=，)0,22,0(=.
设AE 与BC 的夹角为θ，则
222224cos ===⨯⋅BC
AE θ，θ=4π. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π
解析2 取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则
EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角
在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2
知AEF ∆是等腰直角三角形，
所以∠AEF =4π
.
因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π
试题或解法赏析.
本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.y A B C D P E F
本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．。