2017年上海市高考数学试卷
2017高考数学上海卷(精编)
2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则AB =__________．【答案】{3,4}，交集2．若排列数6654mA =⨯⨯，则m =__________．【答案】3，组合数 3．不等式11x x->的解集为__________． 【答案】(,0)-∞，分式不等式4．已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于__________．【答案】9π，三视图，球体积 5．已知复数z 满足30z z+=，则||z =__________．30z z+=，可得23z =-，则z =6．设双曲线222219x y b-=（0b >）的焦点为12,F F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =__________． 【答案】11，双曲线的定义7．如图，以长方体1111ABCD A BC D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量1DB 的坐标为(4,3,2)，则向量1AC 的坐标是__________．【答案】(4,3,2)-，空间向量运算，由1DB 的坐标为(4,3,2)，可得(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，∴1AC (4,3,2)=-．8．定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若13,0()(),0x x g x f x x -⎧≤=⎨>⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为__________． 【答案】89，反函数，分段函数，函数的奇偶性，求解析式 ∵13,0()(),0x x g x f x x -⎧≤=⎨>⎩为奇函数，可得当0x >时，()13x g x -=-，∵1()2f x -=，∴8(2)9x f ==9．已知四个函数：①y x =-，②1y x=-，③3y x =，④12y x =，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为__________． 【答案】13，古典概型，基本函数图象， 基本事件总数246n C ==，“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有①③，①④，共2个，∴13p =10．已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，n +∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n +∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =__________．【答案】2，数列通项，对数运算， 由已知得，22nn b b =，∴211b b =，242b b =，293b b =，2164b b =，149161234lg()lg()b b b b b b b b 123412342(lg lg lg lg )lg lg lg lg b b b b b b b b +++=+++2= 11．设12,αα∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于__________． 【答案】4π，三角函数值域， ∵111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+，121122sin 2sin(2)αα+=++，∴1112sin α=+且2112sin(2)α=+，∴1sin 1α=-，2sin(2)1α=-，∴1122k παπ=-（1k ∈Z ），224k παπ=-（2k ∈Z ）∴12|10|παα--12|102|24k k πππππ=-+-+123|10(2)|4k k πππ=+-+，（12,k k ∈Z ）当12211k k +=时，12|10|παα--取得最小值4π 12．如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1234,,,P P P P 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“▲”的点分布在P l 的两侧．用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“▲”的点到P l 的距离之和．若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中所有这样的P 为__________．【答案】134,,P P P ，点到直线有向距离（？），直线方程，方法一：如图建立平面直角坐标系，则标记为“▲”点的坐标分别为(0,3)A ，(1,0)B ，(4,4)C ，(7,1)D ， 设平面内任意直线l ：0ax by c ++=，则四点到直线的有向距离分别为：1d =2d =3d =4d =，由12340d d d d +++=，得320a b c ++=，xyO ABCD1(0,4)P 在直线l 上，有40b c +=，又320a b c ++=，∴4c b =-，23a b =-， ∴过1P 满足条件的直线为2(4)03b x y -+-=，即2403x y -+-=； 同理过3(5,2)P 满足条件的直线为：20y -=； 过4(6,5)P 满足条件的直线为：4203x y -++=， 点2(3,2)P 在直线l 上，有320a b c ++=，则过2P 满足条件的直线有无数条．方法二：设记为“▲”的四个点为,,,A B C D ，线段四边形ABCD 的中点分别为,,,E F G H ，易知EFGH 为平行四边形，如图所示，四边形EFGH 对角线的连线交于点2P ，则经过点2P 的所有直线都是符合条件的直线P l ．因此经过点2P 的符合条件的直线P l 有无数条；经过点134,,P P P 符合条件的直线P l 各有1条，即直线123242,,PP P P P P ，故Ω中所有这样的P 为134,,P P P ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．关于,x y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（）A ．0543B ．1024C ．1523D ．6054【答案】C ，行列式14．在数列{}n a 中，1()2nn a =-，n +∈N ，则lim n n a →∞（）A ．等于12-B ．等于0C ．等于12D ．不存在【答案】B ，数列极限15．已知,,a b c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，n +∈N ，则“存在k +∈N ，使得100200300,,k k k x x x +++成等差数列”的一个必要条件是（）A ．0a ≥B ．0b ≤C ．0c =D ．20a b c -+=【答案】A ，等差定义，充要条件∵100200300,,k k k x x x +++成等差，得到0a =，∴必要条件是0a ≥16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=．P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，ω是OP OQ ⋅的最大值．记12{(,)|}P Q P C Q C OP OQ ωΩ=⋅=在上，在上，且，则Ω中的元素有（）A ．2个B ．4个C ．8个D ．无穷个【答案】D ，椭圆的参数方程，向量数量积坐标运算，两角和差的三角函数，三角函数求最值设(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，OP OQ ⋅6cos cos 6sin sin αβαβ=+6cos()αβ=-当2k αβπ-=，k ∈Z 时，OP OQ ⋅有最大值6，对应的(,)P Q 有无穷多个 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（本题满分14=6+8分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5．（Ⅰ）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（Ⅱ）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小．【解】三棱柱体积，直线与平面成角，线面垂直， （Ⅰ）1·ABC V SAA = 11··2AB AC AA =20=； （Ⅱ）连接AM ，∵直三棱柱111ABC A B C -，∴1AA ⊥底面ABC ， ∴1AMA ∠是直线1AM 与平面ABC 所成角， ∵△ABC 是直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，点M 是BC 的中点，∴12AM BC == 由1AA ⊥底面ABC ，可得1AA AM ⊥，∴11tan AA A MA AM∠==，∴直线1A M 与平面ABC 所成角的大小为 18．（本题满分14=6+8分）已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =角B 所对边5b =，若()0f A=，求△ABC 的面积．【解】倍角公式，三角函数单调性，正弦定理，同角三角函数关系，两角和差的三角函数，三角形面积（Ⅰ）函数1()cos 22f x x =+，(0,)x π∈， 由222k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，解2k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，可得()f x 的增区间为[,)2ππ；（Ⅱ）()0f A =，即有1cos 202A +=，又A 为锐角，∴3A π=，又a =5b =，由正弦定理得sin sin b A B a ==，则cos B =，∴sin sin()C A B =+=1sin 2ABCS ab C ==． 19．（本题满分14=6+8分）根据预测，某地第n （n +∈N ）个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． （Ⅰ）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（Ⅱ）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆），设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【解】实际应用，等差通项，等差求和（Ⅰ）前4个月共享单车的累计投放量为1234965a a a a +++=， 前4个月共享单车的累计损失量为123430b b b b +++=， ∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为96530935-=； （Ⅱ）令n n a b ≥，显然3n ≤时恒成立， 当4n ≥时，有104705n n -+≥+，解得46511n ≤， ∴第42个月底，保有量达到最大．当4n ≥，{}n a 为公差为10-等差数列，而{}n b 为公差为1的等差数列， ∴到第42个月底，共享单车保有量为4421423953542878222a ab b++⨯+-⨯=， 又()2424424688008736S =-⨯-+=，∵8782>8736， ∴第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量．20．（本题满分16=4+5+7分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点． （Ⅰ）若P在第一象限且||OP =P 的坐标；（Ⅱ）设83(,)55P ，若以,,A P M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （Ⅲ）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C 且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程．【解】点在椭圆上，分类讨论，直线方程，圆的方程，直线与圆相交，向量坐标运算， （Ⅰ）设(,)P x y (0,0)x y >>，由点P 在椭圆22:14x y Γ+=上且||OP =2222142x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得x =y =P ； （Ⅱ）设0(,0)M x ，已知(0,1)A ，83(,)55P ，若90P ∠=︒，则0PA PM ⋅=，即08283(,)(,)05555x -⋅--=，解得02920x =；若90M ∠=︒，则0A M P M ⋅=，解0083(,1)(,)055x x -⋅--=，解得01x =或035x =， 若90A ∠=︒，则M 点在x 轴负半轴，不合题意； ∴点M 的横坐标为2920或1或35； 【也可用直线垂直，圆的方程与x 轴交点求解】（Ⅲ）方法一：参数法设(2cos ,sin )C αα，∵2AQ AC =，(0,1)A ，∴(4cos ,2sin 1)Q αα-，又设(2cos ,sin )P ββ，0(,0)M x ， ∵||||MA MP =，∴222001(2cos )sin x x ββ+=-+， 整理得03cos 4x β=， ∵(4cos 2cos ,2sin sin 1)PQ αβαβ=---，5(cos ,sin )4PM ββ=--，4PQ PM =，∴4cos 2cos 5cos αββ-=-，2sin sin 14sin αββ--=-， ∴4cos cos 3βα=-，1sin (12sin )3βα=-， 以上两式平方相加，整理得23sin sin 20αα+-=， ∴2sin 3α=或sin 1α=-（舍去），此时，直线AC 的斜率sin 12cos AC k αα-==，∴直线AQ 的方程为110y x =+． 方法二：标点法设11(,)C x y ，22(,)P x y ，0(,0)M x ，N 为AP 中点，则221114x y +=，222214x y +=，221(,)22x y N +， 2201(,)22x y MN x +=-，22(,1)AP x y =-， 依题意MN AP ⊥，∴222021()(1)022x y x x y +-+-=，结合222214x y +=，解得20308x x =>， 则PM 225(,)8x y =--，PQ 225(,4)2xy =--……①， 另一方面：11(,1)AC x y =-，11(2,22)AQ x y =-，∴Q 点坐标为11(2,21)x y -， ∴1212(2,21)PQ x x y y =---……②，由①②得212212522421x x x y y y ⎧-=-⎪⎨⎪-=--⎩，∴121243213x x y y ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，又222214x y +=， 化简整理得：211320y y +-=，解得123y =或11y =-（舍去），∴1x =（舍去）或1x =，∴直线AQ方程为1y x =+． 21．（本题满分18=4+6+8分）设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的12,x x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤．（Ⅰ）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（Ⅲ）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上的恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值．函数()()()h x f x g x =．证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”．【解】（Ⅰ）由12()()f x f x ≤，得12()()f x f x -=3312()a x x -0≤， ∵12x x <，∴33120x x -<，得0a ≥，故a 的取值范围是[0,)+∞；（Ⅱ）证明：若()f x 是周期函数，记其周期为k T ，任取0x ∈R ，则有00()()k f x f x T =+， 由题意，对任意00[,]k x x x T ∈+，00()()()k f x f x f x T ≤≤+， ∴00()()()k f x f x f x T ==+，又∵0()f x =00((1))()k k f x n T f x nT +-=+，n ∈Z ，并且00{|(1)(),}k k x x n T x f x nT n +-≤≤+∈Z =R ， ∴对任意x ∈R ，0()()f X f x =C =，为常数；（Ⅲ）证明：【充分性】若()f x 是常值函数，记1()f x c =，设()g x 的一个周期为g T ，则1()()h x c g x =，对任意0x ∈R ，010100()()()()g g h x T c g x T c g x h x +=+==， 故()h x 是周期函数；【必要性】若()h x 是周期函数，记其一个周期为h T ．集合{|()}A x g x m ==， 任取0x A ∈，则必存在2N ∈N ，使得020g h x N T x T -≤-， 即0002h 0[][]g x T x x N T x -⊆-，，， ∵00000000[3,2][2,][,][,]k k k k k k x T x T x T x T x T x x x T -----+00[,2]k k x T x T ++=R ，∴020*******[2][,][,]h h h h x N T x N T x N T x x x N T ---+,0202[,2]h h x N T x N T ++=R ，000020202()()()()()()h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==-=--，∵002()()0h g x M g x N T =≥->，002()()0h f x f x N T ≥->， 因此若002()()h h x h x N T =﹣，必有002()()hg x M g x N T==-，且002()()hf x f x N T C=-=， 而由（Ⅱ）证明可知，对任意x ∈R ，0()()f x f x C ==为常数，要性得证． 综上所述，“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”．。
2017年高考数学真题试卷(上海卷)
第1页，总16页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2017年高考数学真题试卷（上海卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共4题)1. （2017•上海）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn+c ，n∈N * ， 则“存在k∈N * ， 使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A . a≥0 B . b≤0 C . c=0 D . a ﹣2b+c=02. （2017•上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1： =1和C 2：x 2+=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是 的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且=w}，则Ω中元素个数为（ ）A . 2个B . 4个C . 8个D . 无穷个3. （2017•上海）在数列{a n }中，a n =（﹣ ）n ， n∈N * ， 则 a n （ ）A . 等于B . 等于0C . 等于D . 不存在4. （2017•上海）关于x 、y 的二元一次方程组 的系数行列式D 为（ ）A .B .C .D .第Ⅱ卷 主观题答案第2页，总16页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第Ⅱ卷的注释评卷人得分一、填空题（共12题)1. （2017•上海）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= ．2. （2017•上海）已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣ ，③y=x 3 ， ④y=x ，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ．3. （2017•上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ．4. （2017•上海）不等式 ＞1的解集为 ．5. （2017•上海）设双曲线 ﹣=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2 ， P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= ．6. （2017•上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“∈”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1 ， P 2 ， P 3 ， P 4}，点P∈Ω，过P 作直线l P ， 使得不在l P 上的“∈”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“∈”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为 ．7. （2017•上海）已知复数z 满足z+ =0，则|z|= ． 8. （2017•上海）若排列数=6×5×4，则m= ．9. （2017•上海）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）= 为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 ．10. （2017•上海）如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标。
2017年上海市高考数学试卷(含解析版)
2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= ．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m= ．3．（4分）不等式＞1的解集为．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|= ．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|= ．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= ．11．（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω＝{P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P 的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．14．（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A．等于B．等于0C．等于D．不存在15．（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A．a≥0B．b≤0C．c=0D．a﹣2b+c=0 16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1．P 为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω＝{（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A．2个B．4个C．8个D．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= {3，4} ．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m= 3 ．【考点】D4：排列及排列数公式．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用排列数公式直接求解．【解答】解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】35：转化思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】31：数形结合；48：分析法；5U：球．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πＲ3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πＲ2=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|= ．【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案．【解答】解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：．∴．则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|= 11 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）．【考点】JH：空间中的点的坐标．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5H：空间向量及应用．【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．【考点】4R：反函数．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=．故答案为：．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则=2 ．【考点】8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n 项，可得==．于是b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．即可得出．【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==．∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．∴b1b4b9b16=．∴=2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】由题意，要使+=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω＝{P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P 的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；5M：推理和证明．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；则记为“▲”的四个点是A（0，3），B（1，0），C（7，1），D（4，4），线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；设四边形重心为M（x，y），则+++=，由此求得M（3，2），即为平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．【考点】O1：二阶矩阵．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D=．故选：C．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A．等于B．等于0C．等于D．不存在【考点】6F：极限及其运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】根据极限的定义，求出a n=的值．【解答】解：数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n==0．故选：B．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A．a≥0B．b≤0C．c=0D．a﹣2b+c=0【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】34：方程思想；54：等差数列与等比数列；5L：简易逻辑．【分析】由x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+k x300+k，代入化简即可得出．【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1．P 为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω＝{（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A．2个B．4个C．8个D．无穷个【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤αβ＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．【解答】解：椭圆C1：=1和C2：x2+=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤αβ＜2π，则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，则Ω＝{（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对．另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=9nu，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选：D．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=，由此能求出结果．（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20．（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质；58：解三角形．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】38：对应思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．【解答】解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），由∠P=90°，求出x0=；由∠M=90°，求出x0=1或x0=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0=cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣cosα，且sinα＝（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则?，即（x0﹣，﹣）?（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=．如图，若∠M=90°，则?=0，即（﹣x0，1）?（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为，或1，或．（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα＝（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα＝，或sinα＝﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图．∴直线AQ为y=x+1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【考点】3Q：函数的周期性．【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1?g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1?g（x0+T g）=c1?g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]?[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）?f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）?f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．。
2017上海高考题
2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =I 【答案】{3,4} 【解析】{3,4}A B =I 【考点】集合 【难度】易2. 若排列数6654mA =⨯⨯，则m = 【答案】3m =【解析】6654mA =⨯⨯，3m = 【考点】排列组合 【难度】易3. 不等式11x x->的解集为 【答案】(,0)-∞【解析】111100x x x->⇒<⇒<，解集为(,0)-∞ 【考点】解不等式 【难度】易4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 【答案】9S π=【解析】3436393r r S πππ=⇒=⇒= 【考点】立体几何 【难度】易5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z =【解析】23||z z z =-⇒=⇒=【考点】复数 【难度】易6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =， 则2||PF =【答案】11【解析】226||11a PF =⇒= 【考点】双曲线 【难度】易7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu u r 的坐标为(4,3,2)，则1AC u u u u r的坐标为【答案】1(4,3,2)AC =-u u u u r【解析】(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，1(4,3,2)AC =-u u u u r【考点】空间向量 【难度】易8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为【答案】8x =-【解析】()31(2)918x f x f =-+⇒=-+=-，∴1()2f x -=的解为8x =- 【考点】反函数+分段函数 【难度】中9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 【答案】13【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为24213C = 【考点】幂函数+概率 【难度】易10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于 任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =【答案】2【解析】222149161491612341234lg()()2lg()n n a b n n b b b b b a b b b b b b b b b b b b b b =⇒=⇒=⇒=【考点】数列+对数运算 【难度】中11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于【答案】4π 【解析】111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+，∴121112sin 2sin(2)αα==++，即12sin sin(2)1αα==-，∴122k παπ=-+，24k παπ=-+，12min |10|4ππαα--=【考点】三角函数 【难度】中12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为 【答案】1P 、3P 、4P【解析】设记为“▲”的四个点为,,,A B C D 线段,,,AB BC CD DA 的中点分别为,,,E F G H ，易知EFGH 为平行四边形，如图所示，四边形ABCD 两组对边中点的连线交于点2P ，则经过点2P 的所有直线都是符合条件的直线P l .因此经过点2P 的符合条件的直线P l 有无数条；经过点1P 、3P 、4P 的符合条件的直线P l 各有1条，即直线122324,PP P P P P ，.故Ω中所有这样的P 为1P 、3P 、4P .【考点】集合 【难度】难二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（ ）A.0543 B. 1024 C. 1523 D. 6054【答案】C【解析】关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式为1523【考点】行列式 【难度】易14. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（ ）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 【答案】B【解析】数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则1lim lim()02n n n n a →∞→∞=-=．【考点】数列+求极限 【难度】易15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+= 【答案】A【解析】存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列，可得2222[(200)(200)]=(100)(100)(300)(300)a k b k c a k b k c a k b k c +++++++++++++，化简得0a =，∴使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列的必要条件是0a ≥【考点】数列 【难度】中16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动 点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅u u u r u u u r的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=u u u r u u u r，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个 【答案】D【解析】P 为椭圆221:1364x y C +=上的动点，Q 为222:19y C x +=上的动点，可设(6cos ,2sin )P αα，(cos ,3sin )Q ββ，,αβ[0,2]π∈,则OP OQ→→g 6cos cos 6sin sin 6cos()αβαβαβ=+=-，当2,k k Z αβπ-=∈时，OP OQ →→g 取得最大值6w =，即使得OP OQ w →→=g的点对(,)P Q 有无穷多对，Ω中的元素有无穷个. 【考点】椭圆 【难度】难三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.【答案】（1）20;（2）【解析】（1）Q 直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5． ∴三棱柱111ABC A B C -的体积20V =. （2）连接AM .∵直三棱柱111ABC A B C -1， ∴1AA ⊥底面ABC .∴1AMA ∠是直线1A M 与平面ABC 所成角.∵ABC ∆是直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，点M 是BC 的中点，∴AM =由1AA ⊥底面ABC ，可得1AA ⊥1A M ,∴1tan AMA ∠==∴直线1A M 与平面ABC 所成角的大小为 【考点】立体几何 【难度】易18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.【答案】（1）[,)2ππ;（2 【解析】（1）1()cos22f x x =+，(0,)x π∈，单调递增区间为[,)2ππ （2）1cos223A A π=-⇒=，∴225191cos 2252c A c c +-==⇒=⋅⋅或3c =，根据锐角三角形，cos 0B >，∴3c =，1sin 2S bc A ==【考点】三角函数+解三角形 【难度】易19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935;（2）超过了容纳量【解析】（1）12341234()()96530935a a a a b b b b +++-+++=-= （2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大12341234(42050)38(647)42()()[965]878222a a a ab b b b +⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.【考点】数列 【难度】中20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =u u u r u u u r ，4PQ PM =u u u r u u u u r， 求直线AQ 的方程.【答案】（1）P ;（2）2920m =;（3）1y =+;【解析】（1）联立22:14x y Γ+=与222x y +=，可得(33P （2）设(,0)M m ，283833(,1)(,)055555MA MP m m m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=u u u r u u u r 或1m =8283864629(,)(,)0555********PA MP m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=u u u r u u u r （3）设00(,)P x y ，线段AP 的中垂线与x 轴的交点即03(,0)8M x ，∵4PQ PM =u u u r u u u u r ，∴003(,3)2Q x y --，∵2AQ AC =u u u r u u u r ，∴00133(,)42y C x --，代入并联立椭圆方程，解得0x =，019y =-，∴1()3Q ，∴直线AQ 的方程为1y x =+ 【考点】椭圆 【难度】难21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”. 【答案】（1）0a ≥；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）由12()()f x f x ≤，得331212()()()0f x f x a x x -=-≤，∵12x x <，∴33120x x -<，得0a ≥.（2）证明：若()f x 是周期函数，记其周期为K T ，任取0x R ∈，则有00()()K f x f x T =+.由题意，对任意00[,]K x x x T ∈+，00()()()K f x f x f x T ≤≤+∴00()()()K f x f x f x T ==+． 又∵00()()K f x f x nT =+，n Z ∈，∴对任意x R ∈ ，0()()f x f x C ==，为常数.（3）证明：(充分性)若()f x 是常值函数，记1()f x C =，设()g x 的一个周期为g T ，则1()()h x C g x =，对任意0x R ∈，010100()()()()g g h x T C g x T C g x h x +=+==，故()h x 是周期函数.(必要性)若()h x 是周期函数，记其一个周期为h T ．若存在12,x x ，使得1()0f x >，且2()0f x <，则由题意可知，12x x >，那么必然存在正整数1N ，使得211k x N T x +>1，∴211()()0k f x N T f x +>>，且212()=()k h x N T h x +． 又222()()()0h x g x f x =<，而21()k h x N T + 21()k g x N T =+，21()0k f x N T +> 2()h x ≠，矛盾．综上，()0f x >恒成立． 由()0f x >恒成立，任取0x A ∈，则必存在2N N ∈，使得020h g x N T x T -≤-， ∵0()g x M =02()0h g x N T ≥->，002()()0h f x f x N T ≥->．因此若002()()h h x h x N T =-，必有002()()h g x M g x N T ==-，且002()()h f x f x N T =-C =．而由（2）证明可知，对任意x R ∈ ，0()()f x f x C ==，为常数． 必要性得证．综上所述，“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”．【考点】函数 【难度】难。
2017年上海市高考数学试卷
2017上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A ∩B= ． 2．（4分）若排列数P 6m =6×5×4，则m= ．3．（4分）不等式x−1x＞1的解集为 ．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ．5．（4分）已知复数z 满足z +3z=0，则|z |= ．6．（4分）设双曲线x 29﹣y 2b=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= ．7．（5分）如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为（4，3，2），则AC 1→的坐标是 ．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 ． 9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ． 10．（5分）已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= ．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且12+sina 1+12+sin(2a 2)=2，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于 ．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为（ ）A ．|0543|B ．|1024|C ．|1523| D ．|6054|14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣12）n，n ∈N *，则lim n→∞a n （ ）A ．等于−12 B ．等于0 C ．等于12D ．不存在15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=016．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP →⋅OQ →的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }，则Ω中元素个数为（ ） A ．2个 B ．4个 C ．8个 D ．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+12，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=√19，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．19．（14分）根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP |=√2，求P 的坐标；（2）设P （85，35），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA |=|MP |，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且AQ →=2AC →，PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A ∩B= {3，4} ． 【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}， ∴A ∩B={3，4}． 故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数P 6m =6×5×4，则m= 3 ． 【分析】利用排列数公式直接求解． 【解答】解：∵排列数P 6m =6×5×4， ∴由排列数公式得P 63=6×5×4， ∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式x−1x＞1的解集为 （﹣∞，0） ．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由x−1x＞1得：1−1x ＞1⇒1x ＜0⇒x ＜0，故不等式的解集为：（﹣∞，0）， 故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得43πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z满足z+3z=0，则|z|=√3．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案．【解答】解：由z+3z=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即{a2−b 2=−32ab=0，解得：{a=0b=±√3．∴z=±√3i．则|z|=√3．故答案为：√3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线x 29﹣y 2b=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= 11 ．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得||PF 1|﹣|PF 2||=6，解可得|PF 2|的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：x 29﹣y 2b 2=1，其中a=√9=3，则有||PF 1|﹣|PF 2||=6， 又由|PF 1|=5，解可得|PF 2|=11或﹣1（舍） 故|PF 2|=11， 故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为（4，3，2），则AC 1→的坐标是 （﹣4，3，2） ．【分析】由DB 1→的坐标为（4，3，2），分别求出A 和C 1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点， 过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵DB 1→的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2）， ∴AC 1→=(−4，3，2)． 故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 89 ．【分析】由奇函数的定义，当x ＞0时，﹣x ＜0，代入已知解析式，即可得到所求x ＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，可得当x ＞0时，﹣x ＜0，即有g （﹣x ）=3﹣x ﹣1， 由g （x ）为奇函数，可得g （﹣x ）=﹣g （x ）， 则g （x ）=f （x ）=1﹣3﹣x ，x ＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ）， 且f ﹣1（x ）=2，可由f （2）=1﹣3﹣2=89，可得f ﹣1（x ）=2的解为x=89．故答案为：89．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 13．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C 42=6，再利用列举法求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率． 【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C 42=6， ③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有： ①③，①④共2个，∴事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P （A ）=26=13．故答案为：13．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{bn }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= 2 ．【分析】a n =n 2，n ∈N *，若对于一切n ∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项，可得b a n =a b n =(b n )2．于是b 1=a 1=1，(b 2)2=b 4，(b 3)2=b 9，(b 4)2=b 16．即可得出．【解答】解：∵a n =n 2，n ∈N *，若对于一切n ∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项， ∴b a n =a b n =(b n )2．∴b 1=a 1=1，(b 2)2=b 4，(b 3)2=b 9，(b 4)2=b 16． ∴b 1b 4b 9b 16=(b 1b 2b 3b 4)2．∴lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)=2． 故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且12+sina 1+12+sin(2a 2)=2，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于π4．【分析】由题意，要使12+sinα1+12+sin2α2=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使12+sinα1+12+sin2α2=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：α1=−π2+2k 1π，k 1∈Z ．2α2=−π2+2k 2π，即α2=−π4+k 2π，k 2∈Z ．那么：α1+α2=（2k 1+k 2）π−3π4，k 1、k 2∈Z ．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π+3π4﹣（2k 1+k 2）π|的最小值为π4．故答案为：π4．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为（ ）A ．|0543|B ．|1024|C ．|1523| D ．|6054|【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式：D=|1523|．故选：C ．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣12）n ，n ∈N *，则lim n→∞a n （ ）A ．等于−12 B ．等于0 C ．等于12D ．不存在【分析】根据极限的定义，求出lim n→∞a n =lim n→∞(−12)n的值．【解答】解：数列{a n }中，a n =（﹣12）n ，n ∈N *，则lim n→∞a n =lim n→∞(−12)n=0． 故选：B ．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=0【分析】由x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ，代入化简即可得出．【解答】解：存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c ]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c +a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0．∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a ≥0．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y29=1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP →⋅OQ →的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }，则Ω中元素个数为（ ） A ．2个 B ．4个 C ．8个 D ．无穷个【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．【解答】解：椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π， 则OP →⋅OQ →=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }中的元素有无穷多对． 另解：令P （m ，n ），Q （u ，v ），则m 2+9n 2=36，9u 2+v 2=9， 由柯西不等式（m 2+9n 2）（9u 2+v 2）=324≥（3mu +3nv ）2， 当且仅当mv=nu ，即O 、P 、Q 共线时，取得最大值6， 显然，满足条件的P 、Q 有无穷多对，D 项正确． 故选：D ．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． （1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．【分析】（1）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ×AA 1=12×AB ×AC ×AA 1，由此能求出结果．（2）连结AM ，∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，由此能求出直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积： V=S △ABC ×AA 1=12×AB ×AC ×AA 1 =12×4×2×5=20． （2）连结AM ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M 是BC 中点， ∴AA 1⊥底面ABC ，AM=12BC =12√16+4=√5，∴∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，tan ∠A 1MA=AA 1AM =√5=√5，∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan √5．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=√19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f （A ）=0，解得A ，再由余弦定理解方程可得c ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +12=cos2x +12，x ∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x ≤2kπ，解得kπ﹣12π≤x ≤kπ，k ∈Z ，k=1时，12π≤x ≤π，可得f （x ）的增区间为[π2，π）；（2）设△ABC 为锐角三角形， 角A 所对边a=√19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，即有cos2A +12=0，解得2A=23π，即A=13π，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 化为c 2﹣5c +6=0， 解得c=2或3， 若c=2，则cosB=2×√19×2＜0，即有B 为钝角，c=2不成立， 则c=3，△ABC 的面积为S=12bcsinA=12×5×3×√32=15√34．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】（1）计算出{a n }和{b n }的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n ≥b n 得出n ≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论． 【解答】解：（1）∵a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5∴a 1=5×14+15=20 a 2=5×24+15=95 a 3=5×34+15=420 a 4=﹣10×4+470=430 b 1=1+5=6 b 2=2+5=7 b 3=3+5=8b 4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a 1+a 2+a 3+a 4=20+95+420+430=965， 前4个月共损失单车为b 1+b 2+b 3+b 4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935． （2）令a n ≥b n ，显然n ≤3时恒成立，当n ≥4时，有﹣10n +470≥n +5，解得n ≤46511，∴第42个月底，保有量达到最大．当n ≥4，{a n }为公差为﹣10等差数列，而{b n }为等差为1的等差数列， ∴到第42个月底，单车保有量为a 4+a 422×39+535﹣b 1+b 422×42=430+502×39+535﹣6+472×42=8782．S 42=﹣4×16+8800=8736． ∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP |=√2，求P 的坐标；（2）设P （85，35），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA |=|MP |，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且AQ →=2AC →，PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．【分析】（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），联立{x 24+y 2=1x 2+y 2=2，能求出P 点坐标．（2）设M （x 0，0），A （0，1），P （85，35），由∠P=90°，求出x 0=2920；由∠M=90°，求出x 0=1或x 0=35；由∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．由此能求出点M 的横坐标．（3）设C （2cosα，sinα），推导出Q （4cosα，2sinα﹣1），设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0）推导出x 0=34cosβ，从而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣43cosα，且sinα=13（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ ．【解答】解：（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0）， ∵椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，P 在第一象限，且|OP |=√2，∴联立{x 24+y 2=1x 2+y 2=2， 解得P （2√33，√63）．（2）设M （x 0，0），A （0，1）， P （85，35），若∠P=90°，则PA →•PM →，即（x 0﹣85，﹣35）•（﹣85，25）=0，∴（﹣85）x 0+6425﹣625=0，解得x 0=2920．如图，若∠M=90°，则MA →•MP →=0，即（﹣x 0，1）•（85﹣x 0，35）=0，∴x 02−85x 0+35=0，解得x 0=1或x 0=35，若∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．∴点M 的横坐标为2920，或1，或35．（3）设C （2cosα，sinα）， ∵AQ →=2AC →，A （0，1）， ∴Q （4cosα，2sinα﹣1），又设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0），∵|MA |=|MP |，∴x 02+1=（2cosβ﹣x 0）2+（sinβ）2，整理得：x 0=34cosβ，∵PQ →=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），PM →=（﹣54cosβ，﹣sinβ），PQ →=4PM →，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣43cosα，且sinα=13（1﹣2sinα）， 以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=23，或sinα=﹣1（舍去）， 此时，直线AC 的斜率k AC =﹣1−sinα2cosα=√510（负值已舍去），如图． ∴直线AQ 为y=√510x +1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R 上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1、x 2∈R ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．。
2017年上海市高考数学试卷
2017上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A ∩B= ． 2．（4分）若排列数P 6m =6×5×4，则m= ．3．（4分）不等式x−1x＞1的解集为 ．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ．5．（4分）已知复数z 满足z +3z=0，则|z |= ．6．（4分）设双曲线x 29﹣y 2b=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= ．7．（5分）如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为（4，3，2），则AC 1→的坐标是 ．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 ．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ． 10．（5分）已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= ．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且12+sina 1+12+sin(2a 2)=2，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于 ．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为（ ）A ．|0543|B ．|1024|C ．|1523| D ．|6054|14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣12）n ，n ∈N *，则lim n→∞a n （ ）A ．等于−12 B ．等于0 C ．等于12 D ．不存在15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=016．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP →⋅OQ →的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }，则Ω中元素个数为（ ） A ．2个B ．4个C ．8个D ．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+12，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=√19，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．19．（14分）根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP |=√2，求P 的坐标；（2）设P （85，35），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA |=|MP |，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且AQ →=2AC →，PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A ∩B= {3，4} ．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}， ∴A ∩B={3，4}． 故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数P 6m =6×5×4，则m= 3 ． 【分析】利用排列数公式直接求解． 【解答】解：∵排列数P 6m =6×5×4， ∴由排列数公式得P 63=6×5×4， ∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式x−1x＞1的解集为 （﹣∞，0） ．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由x−1x＞1得：1−1x ＞1⇒1x ＜0⇒x ＜0，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得43πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z满足z+3z=0，则|z|=√3．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案．【解答】解：由z+3z=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即{a2−b 2=−32ab=0，解得：{a=0b=±√3．∴z=±√3i．则|z|=√3．故答案为：√3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线x 29﹣y 2b2=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= 11 ．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得||PF 1|﹣|PF 2||=6，解可得|PF 2|的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：x 29﹣y 2b 2=1，其中a=√9=3，则有||PF 1|﹣|PF 2||=6， 又由|PF 1|=5，解可得|PF 2|=11或﹣1（舍） 故|PF 2|=11， 故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为（4，3，2），则AC 1→的坐标是 （﹣4，3，2） ．【分析】由DB 1→的坐标为（4，3，2），分别求出A 和C 1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， ∵DB 1→的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2）， ∴AC 1→=(−4，3，2)． 故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g（x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 89 ．【分析】由奇函数的定义，当x ＞0时，﹣x ＜0，代入已知解析式，即可得到所求x ＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，可得当x ＞0时，﹣x ＜0，即有g （﹣x ）=3﹣x ﹣1， 由g （x ）为奇函数，可得g （﹣x ）=﹣g （x ）， 则g （x ）=f （x ）=1﹣3﹣x ，x ＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ）， 且f ﹣1（x ）=2，可由f （2）=1﹣3﹣2=89，可得f ﹣1（x ）=2的解为x=89．故答案为：89．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为13． 【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C 42=6，再利用列举法求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率． 【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C 42=6， ③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有： ①③，①④共2个，∴事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P （A ）=26=13．故答案为：13．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= 2 ．【分析】a n =n 2，n ∈N *，若对于一切n ∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项，可得b a n =a b n =(b n )2．于是b 1=a 1=1，(b 2)2=b 4，(b 3)2=b 9，(b 4)2=b 16．即可得出．【解答】解：∵a n =n 2，n ∈N *，若对于一切n ∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项，∴b a n =a b n =(b n )2．∴b 1=a 1=1，(b 2)2=b 4，(b 3)2=b 9，(b 4)2=b 16． ∴b 1b 4b 9b 16=(b 1b 2b 3b 4)2．∴lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)=2． 故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且12+sina 1+12+sin(2a 2)=2，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于π4．【分析】由题意，要使12+sinα1+12+sin2α2=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使12+sinα1+12+sin2α2=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：α1=−π2+2k 1π，k 1∈Z ．2α2=−π2+2k 2π，即α2=−π4+k 2π，k 2∈Z ．那么：α1+α2=（2k 1+k 2）π−3π4，k 1、k 2∈Z ．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π+3π4﹣（2k 1+k 2）π|的最小值为π4．故答案为：π4．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为（ ） A ．|0543|B ．|1024|C ．|1523|D ．|6054|【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式：D=|1523|．故选：C ．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣12）n，n ∈N *，则lim n→∞a n （ ）A ．等于−12 B ．等于0 C ．等于12D ．不存在【分析】根据极限的定义，求出lim n→∞a n =lim n→∞(−12)n的值．【解答】解：数列{a n }中，a n =（﹣12）n，n ∈N *，则lim n→∞a n =lim n→∞(−12)n=0． 故选：B ．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=0【分析】由x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ，代入化简即可得出．【解答】解：存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c ]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c +a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0．∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a ≥0． 故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP →⋅OQ →的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }，则Ω中元素个数为（ ） A ．2个B ．4个C ．8个D ．无穷个【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数． 【解答】解：椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π， 则OP →⋅OQ →=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }中的元素有无穷多对． 另解：令P （m ，n ），Q （u ，v ），则m 2+9n 2=36，9u 2+v 2=9， 由柯西不等式（m 2+9n 2）（9u 2+v 2）=324≥（3mu +3nv ）2， 当且仅当mv=nu ，即O 、P 、Q 共线时，取得最大值6， 显然，满足条件的P 、Q 有无穷多对，D 项正确． 故选：D ．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． （1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．【分析】（1）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ×AA 1=12×AB ×AC ×AA 1，由此能求出结果．（2）连结AM ，∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，由此能求出直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积： V=S △ABC ×AA 1=12×AB ×AC ×AA 1 =12×4×2×5=20． （2）连结AM ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M 是BC 中点，∴AA 1⊥底面ABC ，AM=12BC =12√16+4=√5，∴∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，tan ∠A 1MA=AA 1AM =√5=√5，∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan √5．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=√19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f （A ）=0，解得A ，再由余弦定理解方程可得c ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +12=cos2x +12，x ∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x ≤2kπ，解得kπ﹣12π≤x ≤kπ，k ∈Z ，k=1时，12π≤x ≤π，可得f （x ）的增区间为[π2，π）；（2）设△ABC 为锐角三角形， 角A 所对边a=√19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，即有cos2A +12=0，解得2A=23π，即A=13π，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 化为c 2﹣5c +6=0， 解得c=2或3，若c=2，则cosB=2×√19×2＜0，即有B 为钝角，c=2不成立， 则c=3，△ABC 的面积为S=12bcsinA=12×5×3×√32=15√34．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】（1）计算出{a n }和{b n }的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n ≥b n 得出n ≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．【解答】解：（1）∵a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5∴a 1=5×14+15=20 a 2=5×24+15=95 a 3=5×34+15=420 a 4=﹣10×4+470=430 b 1=1+5=6 b 2=2+5=7b 3=3+5=8 b 4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a 1+a 2+a 3+a 4=20+95+420+430=965， 前4个月共损失单车为b 1+b 2+b 3+b 4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935． （2）令a n ≥b n ，显然n ≤3时恒成立，当n ≥4时，有﹣10n +470≥n +5，解得n ≤46511，∴第42个月底，保有量达到最大．当n ≥4，{a n }为公差为﹣10等差数列，而{b n }为等差为1的等差数列， ∴到第42个月底，单车保有量为a 4+a 422×39+535﹣b 1+b 422×42=430+502×39+535﹣6+472×42=8782．S 42=﹣4×16+8800=8736． ∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP |=√2，求P 的坐标；（2）设P （85，35），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA |=|MP |，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且AQ →=2AC →，PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．【分析】（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），联立{x 24+y 2=1x 2+y 2=2，能求出P 点坐标．（2）设M （x 0，0），A （0，1），P （85，35），由∠P=90°，求出x 0=2920；由∠M=90°，求出x 0=1或x 0=35；由∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．由此能求出点M 的横坐标．（3）设C （2cosα，sinα），推导出Q （4cosα，2sinα﹣1），设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0）推导出x 0=34cosβ，从而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣43cosα，且sinα=13（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ ．【解答】解：（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0）， ∵椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，P 在第一象限，且|OP |=√2，∴联立{x 24+y 2=1x 2+y 2=2，解得P （2√33，√63）．（2）设M （x 0，0），A （0，1）， P （85，35），若∠P=90°，则PA →•PM →，即（x 0﹣85，﹣35）•（﹣85，25）=0，∴（﹣85）x 0+6425﹣625=0，解得x 0=2920．如图，若∠M=90°，则MA →•MP →=0，即（﹣x 0，1）•（85﹣x 0，35）=0，∴x 02−85x 0+35=0，解得x 0=1或x 0=35，若∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意． ∴点M 的横坐标为2920，或1，或35． （3）设C （2cosα，sinα）， ∵AQ →=2AC →，A （0，1）， ∴Q （4cosα，2sinα﹣1），又设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0），∵|MA |=|MP |，∴x 02+1=（2cosβ﹣x 0）2+（sinβ）2，整理得：x 0=34cosβ， ∵PQ →=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），PM →=（﹣54cosβ，﹣sinβ），PQ →=4PM →，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣43cosα，且sinα=13（1﹣2sinα）， 以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=23，或sinα=﹣1（舍去）， 此时，直线AC 的斜率k AC =﹣1−sinα2cosα=√510（负值已舍去），如图． ∴直线AQ 为y=√510x +1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f （x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f （x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f （x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f （x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．。
2017年度上海地区高考数学试卷
2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A ∩B= ． 2．（4分）若排列数P 6m =6×5×4，则m= ．3．（4分）不等式x−1x＞1的解集为 ．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ．5．（4分）已知复数z 满足z+3z=0，则|z|= ．6．（4分）设双曲线x 29﹣y 2b=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= ．7．（5分）如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为（4，3，2），则AC 1→的坐标是 ．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 ．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x ，③y=x 3，④y=x 12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ．10．（5分）已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= ．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且12+sina 1+12+sin(2a 2)=2，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于 ．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为（ ）A ．|0543|B ．|1024|C ．|1523| D ．|6054|14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣12）n ，n ∈N *，则lim n→∞a n （ ）A ．等于−12 B ．等于0 C ．等于12D ．不存在15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn+c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ）A．a≥0 B．b≤0 C．c=0D．a﹣2b+c=016．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x 236+y24=1和C2：x2+y 29=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是OP→⋅OQ→的最大值．记Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且OP→⋅OQ→=w}，则Ω中元素个数为（）A．2个B．4个C．8个D．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+12，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=√19，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n={5n4+15，1≤n≤3−10n+470，n≥4，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：x 24+y2=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=√2，求P的坐标；（2）设P（85，35），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且AQ→=2AC→，PQ→=4PM→，求直线AQ的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= {3，4} ．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数P6m=6×5×4，则m= 3 ．【分析】利用排列数公式直接求解．【解答】解：∵排列数P6m=6×5×4，∴由排列数公式得P63=6×5×4，∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式x−1＞1的解集为（﹣∞，0）．x【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．＞1得：【解答】解：由x−1x1−1x＞1⇒1x＜0⇒x＜0，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，πR3=36π，设球的半径为R，可得43可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z 满足z+3z=0，则|z|= √3 ．【分析】设z=a+bi （a ，b ∈R ），代入z 2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案．【解答】解：由z+3z=0，得z 2=﹣3，设z=a+bi （a ，b ∈R ），由z 2=﹣3，得（a+bi ）2=a 2﹣b 2+2abi=﹣3，即{a 2−b 2=−32ab =0，解得：{a =0b =±√3．∴z =±√3i ． 则|z|=√3． 故答案为：√3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线x 29﹣y 2b =1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= 11 ．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得||PF 1|﹣|PF 2||=6，解可得|PF 2|的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：x 29﹣y 2b 2=1，其中a=√9=3， 则有||PF 1|﹣|PF 2||=6， 又由|PF 1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1→的坐标为（4，3，2），则AC1→的坐标是（﹣4，3，2）．【分析】由DB1→的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵DB1→的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴AC1→=(−4，3，2)．故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 89 ．【分析】由奇函数的定义，当x ＞0时，﹣x ＜0，代入已知解析式，即可得到所求x ＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，可得当x ＞0时，﹣x ＜0，即有g （﹣x ）=3﹣x ﹣1， 由g （x ）为奇函数，可得g （﹣x ）=﹣g （x ）， 则g （x ）=f （x ）=1﹣3﹣x ，x ＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ）， 且f ﹣1（x ）=2， 可由f （2）=1﹣3﹣2=89， 可得f ﹣1（x ）=2的解为x=89．故答案为：89．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为13． 【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C 42=6，再利用列举法求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率． 【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C 42=6， ③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有： ①③，①④共2个，∴事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P （A ）=26=13．故答案为：13．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)=2 ．【分析】a n =n 2，n ∈N *，若对于一切n ∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项，可得b a n =a b n =(b n )2．于是b 1=a 1=1，(b 2)2=b 4，(b 3)2=b 9，(b 4)2=b 16．即可得出．【解答】解：∵a n =n 2，n ∈N *，若对于一切n ∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项，∴b an =a bn=(b n)2．∴b1=a1=1，(b2)2=b4，(b3)2=b9，(b4)2=b16．∴b1b4b9b16=(b1b2b3b4)2．∴lg(b1b4b9b16)lg(b1b2b3b4)=2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a1、a2∈R，且12+sina1+12+sin(2a2)=2，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于π4．【分析】由题意，要使12+sinα1+12+sin2α2=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使12+sinα1+12+sin2α2=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：α1=−π2+2k1π，k1∈Z．2α2=−π2+2k2π，即α2=−π4+k2π，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π−3π4，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π+3π4﹣（2k1+k2）π|的最小值为π4．故答案为：π4．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P ∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P 1、P 3、P 4． 故答案为：P 1、P 3、P 4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为（ ）A ．|0543|B ．|1024|C ．|1523| D ．|6054|【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式：D=|1523|．故选：C ．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣12）n ，n ∈N *，则lim n→∞a n （ ）A ．等于−12 B ．等于0 C ．等于12D ．不存在【分析】根据极限的定义，求出lim n→∞a n =lim n→∞(−12)n的值．【解答】解：数列{a n }中，a n =（﹣12）n ，n ∈N *，则lim n→∞a n =lim n→∞(−12)n=0． 故选：B ．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn+c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b+c=0【分析】由x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ，代入化简即可得出．【解答】解：存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c+a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0．∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a ≥0． 故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP →⋅OQ →的最大值．记Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且OP→⋅OQ→=w}，则Ω中元素个数为（）A．2个B．4个C．8个D．无穷个【分析】设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．【解答】解：椭圆C1：x 236+y24=1和C2：x2+y29=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，则OP→⋅OQ→=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且OP→⋅OQ→=w}中的元素有无穷多对．另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选：D．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．【分析】（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=12×AB×AC×AA1，由此能求出结果．（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M 与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1=12×AB×AC×AA1=12×4×2×5=20．（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM=12BC=12√16+4=√5，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA=AA1AM =√5=√5，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan√5．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．，x∈（0，π）．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+12（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=√19，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+12，x∈（0，π），=cos2x+12π≤x≤kπ，k∈Z，由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣12π≤x≤π，k=1时，12，π）；可得f（x）的增区间为[π2（2）设△ABC为锐角三角形，角A 所对边a=√19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，即有cos2A+12=0，解得2A=23π，即A=13π，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 化为c 2﹣5c+6=0， 解得c=2或3， 若c=2，则cosB=2×√19×2＜0，即有B 为钝角，c=2不成立， 则c=3，△ABC 的面积为S=12bcsinA=12×5×3×√32=15√34．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】（1）计算出{a n }和{b n }的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．【解答】解：（1）∵a n={5n4+15，1≤n≤3−10n+470，n≥4，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤46511，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为a4+a422×39+535﹣b1+b422×42=430+502×39+535﹣6+472×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点． （1）若P 在第一象限，且|OP|=√2，求P 的坐标；（2）设P （85，35），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且AQ →=2AC →，PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．【分析】（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），联立{x 24+y 2=1x 2+y 2=2，能求出P 点坐标．（2）设M （x 0，0），A （0，1），P （85，35），由∠P=90°，求出x 0=2920；由∠M=90°，求出x 0=1或x 0=35；由∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．由此能求出点M 的横坐标．（3）设C （2cos α，sin α），推导出Q （4cos α，2sin α﹣1），设P （2cos β，sinβ），M （x 0，0）推导出x 0=34cos β，从而 4cos α﹣2cos β=﹣5cos β，且2sin α﹣sin β﹣1=﹣4sin β，cos β=﹣43cos α，且sin α=13（1﹣2sin α），由此能求出直线AQ ．【解答】解：（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0）， ∵椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，P 在第一象限，且|OP|=√2，∴联立{x 24+y 2=1x 2+y 2=2， 解得P （2√33，√63）． （2）设M （x 0，0），A （0，1），P （85，35）， 若∠P=90°，则PA →•PM →，即（x 0﹣85，﹣35）•（﹣85，25）=0， ∴（﹣85）x 0+6425﹣625=0，解得x 0=2920． 如图，若∠M=90°，则MA →•MP →=0，即（﹣x 0，1）•（85﹣x 0，35）=0， ∴x 02−85x 0+35=0，解得x 0=1或x 0=35， 若∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．∴点M 的横坐标为2920，或1，或35． （3）设C （2cos α，sin α），∵AQ →=2AC →，A （0，1），∴Q （4cos α，2sin α﹣1），又设P （2cos β，sin β），M （x 0，0），∵|MA|=|MP|，∴x 02+1=（2cos β﹣x 0）2+（sin β）2，整理得：x 0=34cos β， ∵PQ →=（4cos α﹣2cos β，2sin α﹣sin β﹣1），PM →=（﹣54cos β，﹣sin β），PQ →=4PM →， ∴4cos α﹣2cos β=﹣5cos β，且2sin α﹣sin β﹣1=﹣4sin β，∴cos β=﹣43cos α，且sin α=13（1﹣2sin α），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=23，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣1−sinα2cosα=√510（负值已舍去），如图．∴直线AQ为y=√510x+1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．。
2017上海高考数学真题
2017上海高考数学真题2017年的上海高考数学真题在考查学生对数学知识的掌握和运用能力上是非常具有挑战性的。
以下是该份数学真题的内容回顾和解析。
第一部分：选择题1. 设函数$y = x^2 - 2x + 3$，则其对称轴方程为（）A. $\left. x = 1 \right.$B. $\left. y = 2 \right.$C. $\left. x = 2\right.$ D. $\left. y = 1 \right.$2. 抛物线$y = x^2$与直线$2y = mx + 3$相交于两点$M$、$N$。
如果$\mathrm{MN} = 3$，则（）A. $m = 3$B. $m = 1$C. $m = 0$D. $m = -3$3. 已知函数$f(x) = a^2 - a\textsuperscript{x}$（ $a > 0$ ）的值域是$[1, \infty)$，则实数$a$的取值范围是（）A. $\left. 0 < a \leqslant 1 \right.$B. $\left. 0 < a < 1 \right.$C. $\left. a \geqslant 1 \right.$D. $\left. a > 1 \right.$4. 设集合$D = \{x | \frac{1}{2} < x < \pi\}$，集合$H = \{x | \sqrt{2} < \sin x \leqslant 1\}$，则集合$D \cap H$等于（）A. $\left. \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \pi \right] \right.$B. $\left.\left( \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right] \right.$ C. $\left. \left( 0,\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right.$ D. $\left. \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) \right.$5. 已知集合$M = \{x | x^2 - 2x < 0\}$，集合$N = \{x | \left| x - 1 \right| + x < 2\}$，则集合$M \cap N$的元素个数为（）A. 2B. 1C. 0D. 3第二部分：解答题1. 点$A(4, 2)$关于直线$2x + y - 7 = 0$的对称点为$B$，求线段$AB$的中点坐标。
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2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A ∩B= ． 2．（4分）若排列数P 6m =6×5×4，则m= ．3．（4分）不等式x−1x＞1的解集为 ．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ．5．（4分）已知复数z 满足z +3z=0，则|z |= ．6．（4分）设双曲线x 29﹣y 2b2=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= ．7．（5分）如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为（4，3，2），则AC 1→的坐标是 ．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 ． 9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ． 10．（5分）已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= ．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且12+sina 1+12+sin(2a 2)=2，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于 ．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为（ ）A ．|0543|B ．|1024|C ．|1523| D ．|6054|14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣12）n，n ∈N *，则lim n→∞a n （ ）A ．等于−12 B ．等于0 C ．等于12D ．不存在15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=016．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP →⋅OQ →的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }，则Ω中元素个数为（ ） A ．2个 B ．4个 C ．8个 D ．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． （1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．18．（14分）已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=√19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积．19．（14分）根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP |=√2，求P 的坐标；（2）设P （85，35），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA |=|MP |，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且AQ →=2AC →，PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A ∩B= {3，4} ． 【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}， ∴A ∩B={3，4}． 故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数P 6m =6×5×4，则m= 3 ． 【分析】利用排列数公式直接求解． 【解答】解：∵排列数P 6m =6×5×4， ∴由排列数公式得P 63=6×5×4， ∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式x−1x＞1的解集为 （﹣∞，0） ．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由x−1x＞1得：1−1x ＞1⇒1x ＜0⇒x ＜0，故不等式的解集为：（﹣∞，0）， 故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 9π ． 【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积． 【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R ，可得43πR 3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆， 可得面积为πR 2=9π． 故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z 满足z +3z=0，则|z |= √3 ．【分析】设z=a +bi （a ，b ∈R ），代入z 2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案．【解答】解：由z +3z=0，得z 2=﹣3，设z=a +bi （a ，b ∈R ），由z 2=﹣3，得（a +bi ）2=a 2﹣b 2+2abi=﹣3，即{a 2−b 2=−32ab =0，解得：{a =0b =±√3．∴z =±√3i ． 则|z |=√3． 故答案为：√3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线x 29﹣y 2b2=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= 11 ．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得||PF 1|﹣|PF 2||=6，解可得|PF 2|的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：x 29﹣y 2b 2=1，其中a=√9=3，则有||PF 1|﹣|PF 2||=6， 又由|PF 1|=5，解可得|PF 2|=11或﹣1（舍） 故|PF 2|=11， 故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为（4，3，2），则AC 1→的坐标是 （﹣4，3，2） ．【分析】由DB 1→的坐标为（4，3，2），分别求出A 和C 1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点， 过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵DB 1→的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2）， ∴AC 1→=(−4，3，2)． 故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，则f ﹣1（x ）=2的解为 89 ．【分析】由奇函数的定义，当x ＞0时，﹣x ＜0，代入已知解析式，即可得到所求x ＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g （x ）={3x −1，x ≤0f(x)，x ＞0为奇函数，可得当x ＞0时，﹣x ＜0，即有g （﹣x ）=3﹣x ﹣1， 由g （x ）为奇函数，可得g （﹣x ）=﹣g （x ）， 则g （x ）=f （x ）=1﹣3﹣x ，x ＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ）， 且f ﹣1（x ）=2，可由f （2）=1﹣3﹣2=89，可得f ﹣1（x ）=2的解为x=89．故答案为：89．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 13．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C 42=6，再利用列举法求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率． 【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣1x，③y=x 3，④y=x12，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=C 42=6， ③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有： ①③，①④共2个，∴事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P （A ）=26=13．故答案为：13．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N *，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{bn }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= 2 ．【分析】a n =n 2，n ∈N *，若对于一切n ∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项，可得b a n =a b n =(b n )2．于是b 1=a 1=1，(b 2)2=b 4，(b 3)2=b 9，(b 4)2=b 16．即可得出．【解答】解：∵a n =n 2，n ∈N *，若对于一切n ∈N *，{b n }中的第a n 项恒等于{a n }中的第b n 项， ∴b a n =a b n =(b n )2．∴b 1=a 1=1，(b 2)2=b 4，(b 3)2=b 9，(b 4)2=b 16． ∴b 1b 4b 9b 16=(b 1b 2b 3b 4)2．∴lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)=2． 故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且12+sina 1+12+sin(2a 2)=2，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于π4．【分析】由题意，要使12+sinα1+12+sin2α2=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使12+sinα1+12+sin2α2=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：α1=−π2+2k 1π，k 1∈Z ．2α2=−π2+2k 2π，即α2=−π4+k 2π，k 2∈Z ．那么：α1+α2=（2k 1+k 2）π−3π4，k 1、k 2∈Z ．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π+3π4﹣（2k 1+k 2）π|的最小值为π4．故答案为：π4．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为（ ）A ．|0543|B ．|1024|C ．|1523| D ．|6054|【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式：D=|1523|．故选：C ．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣12）n ，n ∈N *，则lim n→∞a n （ ）A ．等于−12 B ．等于0 C ．等于12D ．不存在【分析】根据极限的定义，求出lim n→∞a n =lim n→∞(−12)n的值．【解答】解：数列{a n }中，a n =（﹣12）n ，n ∈N *，则lim n→∞a n =lim n→∞(−12)n=0． 故选：B ．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=0【分析】由x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ，代入化简即可得出．【解答】解：存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c ]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c +a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0．∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a ≥0．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y29=1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP →⋅OQ →的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }，则Ω中元素个数为（ ） A ．2个 B ．4个 C ．8个 D ．无穷个【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．【解答】解：椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π， 则OP →⋅OQ →=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP →⋅OQ →=w }中的元素有无穷多对． 另解：令P （m ，n ），Q （u ，v ），则m 2+9n 2=36，9u 2+v 2=9， 由柯西不等式（m 2+9n 2）（9u 2+v 2）=324≥（3mu +3nv ）2， 当且仅当mv=nu ，即O 、P 、Q 共线时，取得最大值6， 显然，满足条件的P 、Q 有无穷多对，D 项正确． 故选：D ．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． （1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．【分析】（1）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ×AA 1=12×AB ×AC ×AA 1，由此能求出结果．（2）连结AM ，∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，由此能求出直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积： V=S △ABC ×AA 1=12×AB ×AC ×AA 1 =12×4×2×5=20． （2）连结AM ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M 是BC 中点， ∴AA 1⊥底面ABC ，AM=12BC =12√16+4=√5，∴∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，tan ∠A 1MA=AA 1AM =√5=√5，∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan √5．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）．（1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=√19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f （A ）=0，解得A ，再由余弦定理解方程可得c ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x +12=cos2x +12，x ∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x ≤2kπ，解得kπ﹣12π≤x ≤kπ，k ∈Z ，k=1时，12π≤x ≤π，可得f （x ）的增区间为[π2，π）；（2）设△ABC 为锐角三角形， 角A 所对边a=√19，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，即有cos2A +12=0，解得2A=23π，即A=13π，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 化为c 2﹣5c +6=0， 解得c=2或3， 若c=2，则cosB=2×√19×2＜0，即有B 为钝角，c=2不成立， 则c=3，△ABC 的面积为S=12bcsinA=12×5×3×√32=15√34．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】（1）计算出{a n }和{b n }的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n ≥b n 得出n ≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论． 【解答】解：（1）∵a n ={5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4，b n =n +5∴a 1=5×14+15=20 a 2=5×24+15=95 a 3=5×34+15=420 a 4=﹣10×4+470=430 b 1=1+5=6 b 2=2+5=7 b 3=3+5=8b 4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a 1+a 2+a 3+a 4=20+95+420+430=965， 前4个月共损失单车为b 1+b 2+b 3+b 4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935． （2）令a n ≥b n ，显然n ≤3时恒成立，当n ≥4时，有﹣10n +470≥n +5，解得n ≤46511，∴第42个月底，保有量达到最大．当n ≥4，{a n }为公差为﹣10等差数列，而{b n }为等差为1的等差数列， ∴到第42个月底，单车保有量为a 4+a 422×39+535﹣b 1+b 422×42=430+502×39+535﹣6+472×42=8782．S 42=﹣4×16+8800=8736． ∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP |=√2，求P 的坐标；（2）设P （85，35），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA |=|MP |，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且AQ →=2AC →，PQ →=4PM →，求直线AQ 的方程．【分析】（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），联立{x 24+y 2=1x 2+y 2=2，能求出P 点坐标．（2）设M （x 0，0），A （0，1），P （85，35），由∠P=90°，求出x 0=2920；由∠M=90°，求出x 0=1或x 0=35；由∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．由此能求出点M 的横坐标．（3）设C （2cosα，sinα），推导出Q （4cosα，2sinα﹣1），设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0）推导出x 0=34cosβ，从而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣43cosα，且sinα=13（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ ．【解答】解：（1）设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0）， ∵椭圆Γ：x 24+y 2=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，P 在第一象限，且|OP |=√2，∴联立{x 24+y 2=1x 2+y 2=2， 解得P （2√33，√63）．（2）设M （x 0，0），A （0，1）， P （85，35），若∠P=90°，则PA →•PM →，即（x 0﹣85，﹣35）•（﹣85，25）=0，∴（﹣85）x 0+6425﹣625=0，解得x 0=2920．如图，若∠M=90°，则MA →•MP →=0，即（﹣x 0，1）•（85﹣x 0，35）=0，∴x 02−85x 0+35=0，解得x 0=1或x 0=35，若∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．∴点M 的横坐标为2920，或1，或35．（3）设C （2cosα，sinα）， ∵AQ →=2AC →，A （0，1）， ∴Q （4cosα，2sinα﹣1），又设P （2cosβ，sinβ），M （x 0，0），∵|MA |=|MP |，∴x 02+1=（2cosβ﹣x 0）2+（sinβ）2，整理得：x 0=34cosβ，∵PQ →=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），PM →=（﹣54cosβ，﹣sinβ），PQ →=4PM →，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ， 且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣43cosα，且sinα=13（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=23，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC 的斜率k AC =﹣1−sinα2cosα=√510（负值已舍去），如图．∴直线AQ 为y=√510x +1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R 上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1、x 2∈R ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．第21页（共21页）。