麦克斯韦方程组的平面波解
麦克斯韦方程组推导波动方程
麦克斯韦方程组推导波动方程麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本定律。
它由四个方程组成，分别是高斯定律、高斯磁定理、法拉第电磁感应定律和安培环路定理。
这四个方程联立起来可以推导出波动方程，从而揭示出电磁波的性质。
首先，我们来看麦克斯韦方程组的四个方程如下：1. 高斯定律：电场通量与电荷密度成正比。
∮E·dA = ε0∫ρdV这个方程告诉我们，电场的产生是由电荷所形成的，电场是由正负电荷相互引力或排斥所形成的。
2. 高斯磁定理：磁场的闭合环路积分与电流和变化的电场通量成正比。
∮B·ds = μ0∫(J+ε0∂E/∂t)·dA这个方程说明了磁场是由电流和变化的电场所引起的，磁场的产生是由电流流动所形成的。
3. 法拉第电磁感应定律：感应电动势与磁通量变化率成正比。
ε = -dΦB/dt这个方程告诉我们，磁场的变化会产生感应电动势，也就是电磁感应现象。
4. 安培环路定理：磁场的闭合环路积分与通过这个环路的电流成正比。
∮B·ds = μ0I这个方程说明了磁场是由电流产生的，磁场和电流之间存在一种紧密的联系。
通过以上四个方程的联立，我们可以推导出波动方程，即电磁波的方程：∇^2E - με∂^2E/∂t^2 = 0这个方程描述了电场的传播和波动，其中∇^2是Laplace算符，μ和ε分别是真空中的磁导率和介电常数。
波动方程的解满足行波解的形式，也就是取决于时间和空间的函数的乘积：E(r,t) = E0e^(i(k·r - ωt))其中，E0是振幅，k是波矢，r是位置坐标，ω是角频率。
这个解表明电场以速度c = ω/k传播，c是真空中的光速。
通过波动方程的推导，我们可以看出电磁波的传播是由电场和磁场相互耦合形成的。
电场和磁场相互垂直并相位差90度，它们交替地变化和传播，形成了电磁波。
这种波动的传播方式是以空间和时间的函数关系来描述的，从而揭示了电磁波的特性和行为。
总结起来，麦克斯韦方程组推导出的波动方程对我们理解电磁波的本质和行为有着重要的指导意义。
电磁场与电磁波公式总结
电磁场与电磁波公式总结电磁场与电磁波是物质与能量在空间中相互作用的重要现象，而它们的本质则由一系列理论和数学公式所描述和解释。
本文将综述电磁场与电磁波的一些重要公式，总结它们的基本特征和应用。
首先，我们来介绍电磁场的公式。
电磁场是由电荷或电流产生的一种力场，它可以用麦克斯韦方程组来描述。
麦克斯韦方程组包括以下四个方程：1. 麦克斯韦第一方程：高斯定律∇·E = ρ/ε₀这个方程描述了电场强度E与电荷密度ρ之间的关系，其中ε₀是真空电介质常数。
2. 麦克斯韦第二方程：法拉第电磁感应定律∇×E = -∂B/∂t这个方程表明变化的磁场会产生电场强度的旋转，从而引发感应电流。
3. 麦克斯韦第三方程：高斯磁定律∇·B = 0这个方程说明磁场强度B是无源场，即它没有直接与任何电荷或电流相关。
4. 麦克斯韦第四方程：安培定律∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t这个方程描述磁场强度B与电流密度J和电场强度E之间的关系，其中μ₀是真空磁导率。
这些方程共同描述了电场和磁场的产生、相互作用和传播的规律。
通过求解这些方程，我们可以获得电场和磁场的分布情况，从而进一步研究它们对物质和能量的影响。
接下来，我们将讨论电磁波的公式。
电磁波是由电场和磁场相互耦合并传播而成的波动现象，其具体表达式可以由麦克斯韦方程组推导出来。
麦克斯韦方程组的解是电场和磁场的波动方程，可以写成如下形式：E = E₀sin(kx - ωt)B = B₀sin(kx - ωt)其中E₀和B₀分别是电场和磁场的振幅，k是波数，ω是角频率，x是位置，t是时间。
根据这些波动方程我们可以得到电场和磁场的一些重要特征：1. 波长λ 和频率 f 的关系：λ = c/f其中c是光速，它等于电磁波的传播速度。
2. 光速与真空介电常数ε₀和真空磁导率μ₀的关系：c = 1/√(ε₀μ₀)这个公式说明光速与真空电磁特性有密切的关系。
麦克斯韦Mawell方程组各个物理量介绍
麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的:▪描述电场是怎样由电荷生成。
开始于正电荷，终止于负电荷。
计算穿过某给定的数量，即其，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。
更详细地说，这定律描述穿过任意闭曲面的与这闭曲面内的电荷之间的关系。
▪表明，磁单极子实际上并不存在于宇宙。
所以，没有磁荷，没有初始点，也没有终止点。
磁场线会形成循环或延伸至无穷远。
换句话说，进入任何区域的磁场线，必需从那区域离开。
以术语来说，通过任意闭曲面的等于零，或者，磁场是一个。
▪描述含时磁场怎样生成（感应出）电场。
在这方面是许多的运作原理。
例如，一块旋转的条形会产生含时磁场，这又接下来会生成电场，使得邻近的闭循环因而感应出电流。
▪阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（原本的），另一种是靠含时电场（麦克斯韦修正项）。
在电磁学里，麦克斯韦修正项意味着含时电场可以生成磁场，而由于法拉第感应定律，含时磁场又可以生成电场。
这样，两个方程在理论上允许自我维持的电磁波传播于空间（更详尽细节，请参阅条目）。
自由空间:在里，不需要考虑介电质或磁化物质的问题。
假设源电流和源电荷为零，则麦克斯韦方程组变为: ?、?、?、?。
对于这方程组，平面行进是一组解。
这解答波的电场和磁场相互垂直，并且分别垂直于平面波行进的方向。
电场与磁场同地以光速??传播：?。
仔细地观察麦克斯韦方程组，就可以发现这方程组很明确地解释了电磁波怎样传播于空间。
根据法拉第感应定律，时变磁场会生成电场；根据麦克斯韦-安培定律，时变电场又生成了磁场。
这不停的循环使得电磁波能够以光速传播于空间。
第一种表述:将和总和为高斯定律所需要的总电荷，又将、和总合为麦克斯韦-安培定律内的总电流。
这种表述采用比较基础、微观的观点。
这种表述可以应用于计算在真空里有限源电荷与源电流所产生的电场与磁场。
但是，对于物质内部超多的电子与原子核无法纳入计算。
事实上，也不需要这么精确的答案。
第二种表述:以自由电荷和自由电流为源头，而不直接计算出现于的束缚电荷和出现于的束缚电流和电极化电流所给出的贡献。
电磁波在介质中的传播规律
电磁波的传播是电磁场理论的重要组成部分。
我们只考虑电磁波在各向同性均匀线性介质中传播，分别对电磁波在线性介质和非线性介质中的传播规律进行讨论。
1、电磁场的波动方程一般情况下，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程，而我们讨论的介质是各向同性均匀线性的，即（0,0==j ρ）的情形。
麦克斯韦方程组的解既是空间的函数又是时间的函数，而我们只考虑随时间按正弦函数变化的解的形式。
对于这种解，其形式可表示成一个与时间无关的复矢量和一个约定时因子()t j ωex p 相乘，这里ω是角频率。
在这种约定下，麦克斯韦方程组便可表示成[]1ΗE ωμj -=⨯∇ (1) ΕΗωεj =⨯∇ (2) 0=⋅∇Ε (3)0=⋅∇Η (4)对方程（1）两边同取旋度，并将式(2)代入便得ΕΕεμω2=⨯∇⨯∇ （5） 利用如下矢量拉普拉斯算子定义以及方程（3）()ΕΕΕ⨯∇⨯∇-⋅∇∇=∇2 （6） 方程（5）式变为[]2022=+∇ΕΕk （7） μεω=k （8） 类似地，可得Β所满足的方程为022=+∇ΒΒk （9） 方程（7）和（9）式称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程，是电磁场的波动方程。
2、平面波解一般的电磁波总可用傅里叶分析方法展开成一系列。
单色平面波的叠加。
所以，对单色平面波的研究具有重要的理论和实际意义。
假定波动方程（7）和（8）式的单色平面波的复式量解为[]3()[]r k ΕΕ⋅-=t j ωex p 0 （10） ()[]r k ΒΒ⋅-=t j ωex p 0 （11） 式中0Ε,0Β分别为Ε,Β振幅，ω为圆频率，k 为波矢量（即电磁波的传播方向）。
()[]t kx j ω-ex p 代表波动的相位因子。
为了描述均匀平面波的相位在空间的变化快慢，在此引入相速的概念，即平面波等相位的传播速度。
很显然等相位面由下面方程决定[]1const kr t =-ω （12）方程（12）两边对时间t 求导可得 kdt dr v ω==(13) 由式（8）可知 εμ1=v （14）将（10）和（11）式代入我们上面给出的麦克斯韦方程组可得[]300Βk Εω-=⨯ （15） 0201Εk Βωv=⨯ （16） 00=⋅Εk （17） 00=⋅Βk （18） 由（17）和(18)可以看出，介质中传播的电磁波是横波，电场与磁场都与传播方向垂直；由（15）和（16）式可知：0Ε，0Β与k 三者相互垂直，且满足右手螺旋关系。
第四章-平面波
第四章 平面波本章从麦克斯韦方程及物质的本构关系出发，研究在均匀介质中平面波的传播及其主要特征。
首先讨论线性、均匀、各向同性介质中均匀平面波的传播，再推广到各向异性介质中的情况。
比平面波更复杂的电磁波也可用平面波展开，本章对此也作了讨论。
最后讨论平面波传播的传输线模型，为以后用传输线模型求解复杂的场问题打下基础。
4.1得出电场强度E 与磁场强度H 满足的波方程，4.2从波方程得到简单介质中的平面波解，4.3、4.4讨论平面波的极化特性以及平面波在有耗介质中的传播，4.5介绍色散与群速的基本概念，4.6与4.7分别研究电各向异性介质和磁各向异性介质中平面波的传播特征。
4.8讨论髙斯波束的平面波展开，4.9证明电磁波沿某一方向传播可与特定参数传输线上电压、电流波的传播等效，即电磁波传播的传输线模型。
4.1 波方程3.4已分析过，麦克斯韦方程组中两个旋度方程是独立的。
在两个旋度方程中电场强度E 与磁场强度H 耦合在一起。
从解方程角度看，先要将E 跟H “去耦”，即从两个旋度方程消去H （或E ），然后得到只关于E （或H ）的方程。
本节讨论无源、简单介质中麦克斯韦方程的解，所谓无源，就是指所研究的区域内不存在产生电磁场的源J 与ρv 。
对于简单介质，ε、μ是常量。
在这种特定情况下，将物质的本构关系（3.4.1）、（3.4.2）代入麦克斯韦方程（3.2.8）~（3.2.11），得到 ∇⨯E =–j ωμH （4.1.1） ∇⨯H = j ωεE （4.1.2） ∇⋅E = 0 （4.1.3） ∇⋅H = 0 （4.1.4） 式（4.1.1）、（4.1.2）两个方程中，只有E 和H 两个独立的场量，但E 和H 耦合在一起。
为了从这两个方程得到只关于E 或H 的方程，对式（4.1.1）取旋度，并将式（4.1.2）代入，得到 ()()()E E H E μεωωεωμωμ2=-=⨯∇-=⨯∇⨯∇j j j利用恒等关系()()E E E 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，而根据式（4.1.3），0=⋅∇E ，所以上式成为022=+∇E E μεω（4.1.5）同样对式（4.1.2）取旋度，将式（4.1.1）代入，并利用式（4.1.4）及上面的矢量运算恒等关系，得到022=+∇H H μεω（4.1.6）式（4.1.5）、（4.1.6）可合并写成 ()022=⎩⎨⎧+∇HEk（4.1.7） 式中μεω22=k（4.1.8）在自由空间或真空中，μ = μ0，ε = ε0，k 记作k 000220εμω=k（4.1.9）式（4.1.5）、（4.1.6）或（4.1.7）叫做无源简单介质中的波方程，在这个方程中E 跟H 不再耦合在一起。
麦克斯韦(Maxwell)方程组各个物理量的介绍
麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的:▪高斯定律描述电场是怎样由电荷生成。
电场线开始于正电荷，终止于负电荷。
计算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即其电通量，可以得知包含在这闭曲面的总电荷。
更详细地说，这定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面的电荷之间的关系。
▪高斯磁定律表明，磁单极子实际上并不存在于宇宙。
所以，没有磁荷，磁场线没有初始点，也没有终止点。
磁场线会形成循环或延伸至无穷远。
换句话说，进入任何区域的磁场线，必需从那区域离开。
以术语来说，通过任意闭曲面的磁通量等于零，或者，磁场是一个螺线矢量场。
▪法拉第感应定律描述含时磁场怎样生成（感应出）电场。
电磁感应在这方面是许多发电机的运作原理。
例如，一块旋转的条形磁铁会产生含时磁场，这又接下来会生成电场，使得邻近的闭循环因而感应出电流。
▪麦克斯韦-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（原本的安培定律），另一种是靠含时电场（麦克斯韦修正项）。
在电磁学里，麦克斯韦修正项意味着含时电场可以生成磁场，而由于法拉第感应定律，含时磁场又可以生成电场。
这样，两个方程在理论上允许自我维持的电磁波传播于空间（更详尽细节，请参阅条目电磁波方程）。
自由空间:在自由空间里，不需要考虑介电质或磁化物质的问题。
假设源电流和源电荷为零，则麦克斯韦方程组变为:、、、。
对于这方程组，平面行进正弦波是一组解。
这解答波的电场和磁场相互垂直，并且分别垂直于平面波行进的方向。
电场与磁场同相位地以光速传播：。
仔细地观察麦克斯韦方程组，就可以发现这方程组很明确地解释了电磁波怎样传播于空间。
根据法拉第感应定律，时变磁场会生成电场；根据麦克斯韦-安培定律，时变电场又生成了磁场。
这不停的循环使得电磁波能够以光速传播于空间。
第一种表述:将自由电荷和束缚电荷总和为高斯定律所需要的总电荷，又将自由电流、束缚电流和电极化电流总合为麦克斯韦-安培定律的总电流。
这种表述采用比较基础、微观的观点。
平面电磁波的波动方程
电磁波的能量
例题16-9 某广播电台的平均辐射功率 P 15 kW。假定辐 射出来的能流均匀地分布在以电台为中心的半个球面上,(1)求 在离电台为r =10km处的辐射强度;(2)在r=10km处一个小的空 间范围内电磁波可看作平面波,求该处电场强度和磁场强度的振 幅。
赫兹
电磁波的辐射
电磁理论证明,振荡偶极子在单位时间内辐射的能量 与频率的四次方成正比。为有效辐射电磁能量，要求： (1)振荡电路中所产生的电场和磁场必须散布到周 围的空间中 (2)提高辐射频率 pe p0 cos t 振荡偶极子电矩：
一条闭合 电场线的 形成过程
电磁波的辐射
振荡电偶极子不仅产生电场，而且产生磁场。振荡 电偶极子周围的电磁场线如下图示：
平面电磁波的波动方程
讨论一维问题,场量E 和H 是坐标 x 和时间 t 的函数。 前述方程组可简化为：
E x E x (I) 0, 0 x t H x H x (II) 0, 0 x t E y E y H z H z (III) , x t x t H H E z E z y y (IV) , x t x t
无线电 广播、 电报通 信
调频无线 电视、雷达、无 电广播、 线电导航及其他 专门用途 电视广播、 无线电导 航
电磁波谱
可见光 能使人眼产生视觉效应的电磁波段。
紫蓝 青
0.40 0.45 0.50
绿
0.55
黄 橙
0.60 0.65
红
0.70 0.75 / m
红外线 波长范围在0.76～750m之间的电磁波。 红外线最显著的性质是热效应。 紫外线 波长范围在4×10-7～10-9m之间的电磁波。 紫外线有明显的生理作用。
麦克斯韦方程组推导波动方程
麦克斯韦方程组推导波动方程麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程组，包括四个方程：高斯定律、高斯磁定律、安培定律和法拉第电磁感应定律。
推导波动方程的过程如下：首先考虑电场和磁场在时空上的变化关系，根据安培定律和法拉第电磁感应定律，可以得到：$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$其中，$\mathbf{E}$是电场，$\mathbf{B}$是磁场，$\mathbf{J}$是电流密度，$\mu_0$是真空中的磁导率，$\epsilon_0$是真空中的电介质常数。
然后，根据法拉第电磁感应定律，可以得到电场的旋度与磁场的空间变化率之间的关系：$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = - \nabla \times\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$由矢量恒等式$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) =\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}$，可以将上式改写为：$\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} = - \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$再根据高斯方程$\nabla \cdot \mathbf{E} =\frac{\rho}{\epsilon_0}$，其中$\rho$是电荷密度，可有：$\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} = \frac{1}{\epsilon_0} \rho$其中$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$为真空中的光速。
麦克斯韦方程组及其解法
麦克斯韦方程组及其解法麦克斯韦方程组被公认为经典电磁学的基石，它描述了电场、磁场与电荷之间的关系，并且包含了电磁波的传播规律。
数学上，麦克斯韦方程组是四个偏微分方程，它们分别是高斯定理、安培定理、法拉第电磁感应定律和法拉第电磁感应定律的推论。
本文将介绍麦克斯韦方程组的物理及数学意义，以及解法与应用。
1. 麦克斯韦方程组的物理意义麦克斯韦方程组描述了电磁学的基本规律，其中最重要的是法拉第电磁感应定律和安培定理。
法拉第电磁感应定律表示一个变化的磁场可以在一个导体中产生感应电场，而安培定理则说明电流会产生磁场。
这两个定律统一了电场和磁场的产生原理，引出了电磁波传播的概念。
此外，高斯定理用于衡量一个电场的大小，而法拉第电磁感应定律则可以解释电磁感应现象。
麦克斯韦方程组的物理意义可以总结为电磁现象之间的相互作用。
2. 麦克斯韦方程组的数学理解麦克斯韦方程组是四个偏微分方程，写成数学形式如下：\begin{align}\mathrm{div}\;\mathbf{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\\mathrm{div}\;\mathbf{B} &= 0 \\\mathrm{curl}\;\mathbf{E} &= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \\\mathrm{curl}\;\mathbf{B} &=\mu_0\mathbf{J}+\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\end{align}其中 $\mathbf{E}$ 表示电场，$\mathbf{B}$ 表示磁场，$\rho$ 表示电荷密度，$\mathbf{J}$ 表示电流密度，$\varepsilon_0$ 表示真空介质中的电容率，$\mu_0$ 表示真空中的磁导率。
电磁场导论之平面电磁波
得
H z 1 E y 1 t x x
2 E y cos(t x E )
2 E y sin(t x E )
上式对时间积分，略去表示恒定分量的积分常数， 并将 代入，得
H ( x ,t ) 2E y cos(t x E )
4 10 7 120 377 9 10 / 36
50 50 8 H cos(6 10 x) cos(6 108 x) e z Z0 377
3）坡因亭矢量
穿过园环的功率
~ H * ] 50 50 e 1250 e S av Re[ E x x 377 2 377 2
波动方程复数形式改写为
2Ey x 2 k 2Ey
2H z k 2H z x 2
在无限大导电媒质中，没有反射波的情况下， 其通解为 kx x jx
E y ( x) E y e
Ey e
e
( x) H e kx H e x e jx Hz z z
1250 ~ P S av dA (2.5) 2 65.1W A 377
2013-8-19 第七章均匀平面波 15
例7-2 已知某移动电话基站发射电磁波的磁场强度 （有效值相量） j(17.3 y ) 3 H 50e e x (A/m) 求：1）频率和波长； 2）电场强度（有效值相量）； 3）坡印亭矢量的平均值。
解：1）因为相位系数=17.3，空气中v=3108m/s， 得 v 17.3 3 108 f 826 106 Hz 2 2 2
2 0.363 m 17.3
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【麦克斯韦方程组的平面波解】
令0ρ=，0J =
，可得自由空间（真空）中的Maxwell 方程组
0,E ∇⋅=
(1)
0,B ∇⋅=
(2)
,B E t ∂∇⨯=-∂
(3)
00,E B t
με∂∇⨯=∂
(4)
其中真空介电常数（Permittivity constant ）1208.8510F m ε-=⨯，真空磁导率（Permeability constant ）60 1.2610H m μ-=⨯由实验测定。
按照现行计量方案，确保光在真空中的传播速度
299 792 458 m/s.c =
=
利用矢量分析公式
()()
2
,A A A ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇
可以推导出电磁场的波动方程
2222
2222
01100.E B E B c t c t
∂∂∇-=∇-=∂∂ ， (5)
这是6个独立的线性齐次微分方程；即电场强度矢量E 或磁感应强度矢量B
的任意分量都
满足微分方程
22222222210.A A A A
x y z c t
∂∂∂∂++-=∂∂∂∂ 若以平面电磁波传播方向为x 轴，波阵面平行于yz 平面，则场分量(,)A A x t =与位置坐标y 和z 无关，并满足如下简单微分方程
2222210,A A
x c t
∂∂-=∂∂ (6)
作为练习，读者可以证明任何形如
(,)(),A x t A t kx ω=-
的函数都是波动方程(6)的解，只要其中的参数ω和k 满足
.c k
ω
=±
显然，简谐平面波
()0(,),i t kx A x t A e ω-=
(7)
是波动方程(6)的特殊解，其中2ωπ=和2k π
λ=分别是简谐平面波的园频率和波矢量。
值得指出的是，电场强度矢量E 或磁感应强度矢量B
的6个分量必须同时满足Maxwell 方程组（1.15-18）四个微分方程。
这就要求简谐平面波
()()
00(,),(,)i t k r i t k r E r t E e B r t B e ωω-⋅-⋅==
，
还必须满足一些附加条件，即
000000000,0,,,k E k B k E B k B E ωμεω⋅=⋅=⨯=⨯=-
(8)
从而自由空间中沿x 轴正方向传播的简谐平面电磁波可以写作
()()00(,),(,)i t kx i t kx y z E x t E e B x t B e ωω--==e e
，
(9)
并且
0.E B c
=
(10)
类似地，沿x 轴负方向传播的简谐平面电磁波可以写作
()()00(,),(,)i t kx i t kx y z E x t E e B x t B e ωω++==-e e .
简谐平面电磁波具有显著的横波特性，即
()
0.k E B ⋅⨯=。