麦克斯韦方程组的几种推导方法的比较
麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程
麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程麦克斯韦方程组是电磁学中的基本方程，它描述了电场和磁场的相互作用。
在电磁波方程的推导过程中，亥姆霍兹方程是一个重要的中间步骤。
在本文中，我们将推导麦克斯韦方程组，然后展示如何通过亥姆霍兹方程推导出电磁波方程。
一、麦克斯韦方程组的推导1.高斯定理第一个麦克斯韦方程是高斯定理，它描述了电场和电荷密度的关系。
根据高斯定理，一个封闭曲面上的电通量等于该曲面内的电荷总量的四倍πε0 (其中ε0是真空介电常数)。
∮ E·ds = 4πε0 Q这个方程表明了电场的源是带电粒子。
如果一个闭合曲面内没有电荷，电场通量将为零。
2.法拉第电磁感应定律第二个麦克斯韦方程是法拉第电磁感应定律，它描述了磁场和电场的相互作用。
根据法拉第电磁感应定律，磁通量变化速率与产生感应电动势的电场强度成正比。
ε = -dΦm/dt这个方程表明了磁场的变化会产生电场。
电场和磁场是紧密相连的。
3.安培环路定理和位移电流定律第三个和第四个麦克斯韦方程分别是安培环路定理和位移电流定律。
安培环路定理描述了磁场和电流的相互作用，而位移电流定律描述了电场和时间变化的磁场之间的关系。
根据安培环路定理，通过一个封闭回路的磁通量之和等于该回路内的电流总和。
∮ B·ds = μ0 I其中μ0是真空磁导率。
根据位移电流定律，电场的旋转率等于时间变化的磁场的散度的负值。
rot E = - dB/dt二、亥姆霍兹方程的推导亥姆霍兹方程是电磁波方程的一个重要的中间步骤。
它可以通过麦克斯韦方程和一些向量运算得到。
我们首先从安培环路定律开始:∮ B·ds = μ0 I由斯托克斯定理得：∮ B·ds = ∬(rot B)·ds将rot B替换为-μ0ε0(dE/dt)，得到∮ B·ds = -μ0ε0(d/dt ∫ E·ds)因此，d/dt ∫ E·ds + ∮ B·ds = 0利用高斯定理，∮ (E·ds) = 4πε0 Q则d/dt ∫ E·ds + ∬(rot E)·ds = 0将rot E替换为- dB/dt得到d/dt ∫ E·ds - ∬(dB/dt)·ds = 0简化得到d^2/dt^2 ∫ E·ds - ∬(d^2B/dt^2)·ds = 0然后，我们使用向量恒等式rot(rot A) = grad(div A) - ∇^2 A其中，grad表示梯度，div表示散度，∇^2表示拉普拉斯算子。
麦克斯韦方程组推导波动方程
麦克斯韦方程组推导波动方程麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本定律。
它由四个方程组成，分别是高斯定律、高斯磁定理、法拉第电磁感应定律和安培环路定理。
这四个方程联立起来可以推导出波动方程，从而揭示出电磁波的性质。
首先，我们来看麦克斯韦方程组的四个方程如下：1. 高斯定律：电场通量与电荷密度成正比。
∮E·dA = ε0∫ρdV这个方程告诉我们，电场的产生是由电荷所形成的，电场是由正负电荷相互引力或排斥所形成的。
2. 高斯磁定理：磁场的闭合环路积分与电流和变化的电场通量成正比。
∮B·ds = μ0∫(J+ε0∂E/∂t)·dA这个方程说明了磁场是由电流和变化的电场所引起的，磁场的产生是由电流流动所形成的。
3. 法拉第电磁感应定律：感应电动势与磁通量变化率成正比。
ε = -dΦB/dt这个方程告诉我们，磁场的变化会产生感应电动势，也就是电磁感应现象。
4. 安培环路定理：磁场的闭合环路积分与通过这个环路的电流成正比。
∮B·ds = μ0I这个方程说明了磁场是由电流产生的，磁场和电流之间存在一种紧密的联系。
通过以上四个方程的联立，我们可以推导出波动方程，即电磁波的方程：∇^2E - με∂^2E/∂t^2 = 0这个方程描述了电场的传播和波动，其中∇^2是Laplace算符，μ和ε分别是真空中的磁导率和介电常数。
波动方程的解满足行波解的形式，也就是取决于时间和空间的函数的乘积：E(r,t) = E0e^(i(k·r - ωt))其中，E0是振幅，k是波矢，r是位置坐标，ω是角频率。
这个解表明电场以速度c = ω/k传播，c是真空中的光速。
通过波动方程的推导，我们可以看出电磁波的传播是由电场和磁场相互耦合形成的。
电场和磁场相互垂直并相位差90度，它们交替地变化和传播，形成了电磁波。
这种波动的传播方式是以空间和时间的函数关系来描述的，从而揭示了电磁波的特性和行为。
总结起来，麦克斯韦方程组推导出的波动方程对我们理解电磁波的本质和行为有着重要的指导意义。
麦克斯韦方程组三种形式
麦克斯韦方程组三种形式麦克斯韦方程组是描述电磁现象的基本方程组，它包含了电场、磁场、电荷和电流之间的关系。
麦克斯韦方程组有三种形式，分别是积分形式、微分形式和矢量形式。
一、积分形式积分形式是麦克斯韦方程组最早被发现的形式，它是通过对电场和磁场的积分得到的。
积分形式包括四个方程式，分别是高斯定律、安培定律、法拉第电磁感应定律和高斯安培定理。
1. 高斯定律高斯定律描述了电场的产生和分布规律，它的数学表达式为：$$\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}$$其中，$\vec{E}$表示电场强度，$S$表示一个闭合曲面，$Q$表示曲面内的电荷量，$\varepsilon_0$表示真空介电常数。
2. 安培定律安培定律描述了磁场的产生和分布规律，它的数学表达式为：$$\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I$$其中，$\vec{B}$表示磁场强度，$C$表示一个闭合回路，$I$表示回路内的电流，$\mu_0$表示真空磁导率。
3. 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律描述了磁场对电场的影响，它的数学表达式为：$$\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d\Phi_B}{dt}$$其中，$\Phi_B$表示磁通量，$t$表示时间。
4. 高斯安培定理高斯安培定理描述了电流对磁场的影响，它的数学表达式为：$$\oint_S \vec{B}\cdot d\vec{S}=\mu_0I+\mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$$其中，$\Phi_E$表示电通量。
二、微分形式微分形式是麦克斯韦方程组的另一种形式，它是通过对积分形式进行微分得到的。
微分形式包括四个方程式，分别是高斯定理、安培定理、法拉第定律和连续性方程式。
1. 高斯定理高斯定理的微分形式是：$$\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$其中，$\rho$表示电荷密度。
麦克斯韦公式推导过程
麦克斯韦公式推导过程麦克斯韦公式，也称作麦氏方程，是电磁学中最基本的方程之一，描述了电磁场的产生和传播。
它的完整形式由四个方程组成，即麦克斯韦方程组。
公式的推导过程相对复杂，需要基于一些关键的物理概念和数学原理。
下面是一个麦克斯韦公式的推导过程的简要阐述。
1.高斯定理的应用：首先，根据高斯定理，我们可以将磁场的闭合曲面积分转化为磁场的体积积分。
假设磁场的闭合曲面为S，磁场为B，磁场的体积为V，那么高斯定理可以表示为：∮B·dS=∫∫∫V(∇·B)dV2.安培环路定理的应用：根据安培环路定理，我们可以将电场的闭合曲线积分转化为电场的环路积分。
假设电场的闭合曲线为C，电场为E，电场的环路为L，那么安培环路定理可以表示为：∮E·ds = ∫∫∫S (∇×E)·dS3.法拉第电磁感应定律的应用：波动方程是电磁波在真空中传播时满足的方程。
根据法拉第电磁感应定律，磁感应强度的变化率与磁场强度的旋度有关。
假设磁感应强度为B，电场为E，时间变化率为∂/∂t，那么法拉第电磁感应定律可以表示为：∇×E=-∂B/∂t4.将波动方程和安培环路定理相结合：对于变化的电场和磁场，它们满足波动方程：∇²E-με(∂²E/∂t²)=0∇²B-με(∂²B/∂t²)=0其中，μ和ε分别是真空的磁导率和电容率。
将安培环路定理的方程应用到这个方程组中，得到：∮E·ds = -μ (∂/∂t) (∫∫∫S (∇×B)·dS)在右边的积分中运用高斯定理、安培环路定理和法拉第电磁感应定律，我们可以得到：∮E·ds = -μ (∂/∂t) (∫∫∫S (∇×B)·dS)=-μ(∂/∂t)(∫∫∫S(-με(∂E/∂t))·dS)=με(∂²E/∂t²)5.求解：将以上的结果代入波动方程，我们可以得到：∇²E-με(∂²E/∂t²)=0∇²B-με(∂²B/∂t²)=0结合以上两个方程，我们可以得到麦克斯韦方程组的完整形式：∇·B=0∇·E=0∇×E=-∂B/∂t∇×B=με(∂E/∂t)其中，∇是向量微分算子，·代表数量积，×代表矢量积，∂/∂t代表对时间的偏导数。
麦克斯韦方程组推导过程
麦克斯韦方程组推导过程
麦克斯韦方程组是电磁学的基本方程，描述了电场和磁场的变化规律。
其推导过程可以从麦克斯韦方程的几个组成部分出发，依次推导得到。
首先，我们考虑电场的变化规律。
根据库仑定律，两个电荷之间的作用力与它们的距离成反比。
以这个定律为基础，我们可以得到电场的高斯定律。
高斯定律表示电场通量与电场源的关系，即被电场穿过的表面上电场通量等于其所围体积内的电荷量的比例。
接着，我们考虑磁场的变化规律。
磁场的变化可以通过安培定律来描述。
安培定律表明，磁场的闭合环路积分等于通过该环路的电流的代数和的倍数。
这个定律描述了电流对磁场产生的影响。
然后，我们考虑电磁感应现象。
法拉第电磁感应定律是描述磁场变化对电场产生影响的基本定律。
该定律表示，当一个闭合线圈中的磁通量发生变化时，线圈的产生感应电动势。
最后，我们考虑变化电场对磁场的影响。
根据法拉第电磁感应现象，我们可以得到法拉第-楞次定律。
该定律表示，磁场变
化率与闭合回路内电场的环路积分之比等于该回路内的感应电流。
综上所述，我们可以得到麦克斯韦方程组的推导过程，包括电场的高斯定律、磁场的安培定律、磁场对电场的法拉第电磁感
应定律，以及变化电场对磁场的法拉第-楞次定律。
这些方程
描述了电场和磁场的变化规律，并建立了电磁学的基本理论。
总结起来，麦克斯韦方程组的推导过程涉及了电场的高斯定律、磁场的安培定律、电磁感应现象以及变化电场对磁场的影响。
这些定律和现象的综合运用和推导，得出了麦克斯韦方程组的表达式，为电磁学的研究提供了重要的理论基础。
麦克斯韦方程组八种
麦克斯韦方程组八种麦克斯韦方程组是电磁场理论的基础，由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出。
它描述了电荷与电流产生的电场和磁场之间的相互作用。
麦克斯韦方程组共有8个方程，分别描述了电场、磁场的产生和变化规律。
本文将详细介绍这八种方程，并解释其物理意义。
1. 高斯定律（Gauss’s Law）高斯定律是麦克斯韦方程组中的第一个方程，用来描述电场与电荷之间的关系。
它可以表述为：∇⋅E=ρε0其中，∇⋅E表示电场的散度（divergence），ρ是电荷密度，ε0是真空介质中的介质常数。
高斯定律实际上是一种守恒定律，它表明了通过一个闭合曲面的电通量等于该曲面内部所包围的总电荷。
这个方程可以用来计算电场的分布，理解电荷与电场的相互作用。
2. 麦克斯韦-法拉第定律（Maxwell-Faraday Law）麦克斯韦-法拉第定律描述了磁场的变化如何产生感应电场。
它可以表述为：∇×E=−∂B ∂t其中，∇×E表示电场的旋度（curl），B是磁感应强度。
这个方程说明了当磁场发生变化时，会产生一个环绕着磁场变化区域的感应电场。
这个定律是电磁感应现象的基础，也是电磁波传播的重要原理之一。
3. 安培环路定理（Ampere’s Circuital Law）安培环路定理描述了通过一条闭合回路的磁感应强度与该回路内部所包围的总电流之间的关系。
它可以表述为：∇×B=μ0J其中，∇×B表示磁感应强度的旋度，μ0是真空中的磁导率，J是电流密度。
安培环路定理说明了电流会产生磁场，并且磁场的强度与电流的大小和方向有关。
这个定律对于计算磁场分布、设计电磁设备等都具有重要意义。
4. 法拉第电磁感应定律（Faraday’s Law of Electrom agnetic Induction）法拉第电磁感应定律描述了通过一个闭合回路的磁感应强度与该回路内部所包围的总磁通量之间的关系。
麦克斯韦方程组推导过程
麦克斯韦方程组是电磁学中描述电场和磁场的基本方程组，由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪中期推导出来。
这个方程组总共包含四个方程，分别是高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
下面是麦克斯韦方程组的推导过程：1.高斯定律（电场的高斯定理）：高斯定律描述了电场的源和汇，即电荷和电场的关系。
我们从库仑定律出发，该定律描述了电荷之间的相互作用。
设一个正电荷Q位于原点，电场E为其造成的电场强度。
现在我们考虑一个半径为r的闭合球面S，它将原点包围。
根据高斯定律，电场通过球面的总通量等于包围在球心的电荷量的比例。
即，Φ(E) = ∮(E·dA) = (1/ε₀) * Q其中，Φ(E)表示电场E通过球面S的通量，∮(E·dA)表示电场E 的面积积分，ε₀是真空中的电介质常数（电容率）。
2.高斯磁定律：高斯磁定律指出，不存在孤立的磁荷（单极磁荷）。
这意味着磁场线总是形成闭合回路，没有类似电荷的单一起点或终点。
因此，对于任何闭合曲面S，磁场B通过曲面的通量为零。
即，Φ(B) = ∮(B·dA) = 0其中，Φ(B)表示磁场B通过曲面S的通量，∮(B·dA)表示磁场B的面积积分。
3.法拉第电磁感应定律：法拉第电磁感应定律描述了磁场随时间变化时，电场的感应效应。
考虑一个线圈或导体回路，它的边界为曲面S。
当磁场B通过这个曲面的通量随时间变化时，将会在回路内部产生电动势（电压）。
该电动势大小与通量变化率成正比。
法拉第电磁感应定律的数学表达式为：∮(E·dl) = -(dΦ(B)/dt)其中，∮(E·dl)表示沿着闭合回路的电场E的线积分，dl表示回路的微小线段，-(dΦ(B)/dt)表示磁场B通过曲面S的通量随时间的变化率。
4.安培环路定律：安培环路定律描述了电流通过闭合回路时，磁场的环绕效应。
假设我们有一个闭合回路C，其中有电流I通过。
几种推导麦氏关系的方法
几种推导麦氏关系的方法
1. 矢量方法：利用矢量运算和矢量分解，将麦氏关系推导为矢量形式。
首先将麦氏关系写成等式形式，然后使用矢量内积、外积等运算，将该等式进行变换，最终得到麦氏关系的矢量形式。
2. 微分方法：利用电磁场的微分形式方程，如麦克斯韦方程组，结合适当的推导和变换，推导出麦氏关系。
这种方法常用于推导电场与磁场之间的关系，例如根据法拉第电磁感应定律结合麦克斯韦方程组中的对应项，可以得到麦氏关系的一种推导方法。
3. 基本积分定理方法：利用电磁场对应的矢量场具有无旋和无源性质，可以利用基本积分定理进行推导。
通过在闭合曲面上应用斯托克斯定理和在闭合曲线上应用高斯定理，将电磁场的体积分和面积分转化为对应的线积分，然后利用电场和磁场的定义和物理性质，最终推导出麦氏关系。
4. 麦氏关系的物理直观推导：根据电场和磁场之间存在的物理机制，例如洛伦兹力和安培力的作用、电荷守恒定律、电流连续性等，进行直观的物理推导。
通过分析电磁感应、电磁波传播等现象，利用物理常识和逻辑关系，可以推导出麦氏关系。
5. 科学实验方法：通过实验观测和测量电场和磁场的相互作用、现象和量值，结合实验数据与理论关系，对麦氏关系进行推导验证。
利用认知规律和实验结果，可以反推出麦氏关系的推导方法。
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麦克斯韦方程组的几种推导方法及其比较摘要：介绍麦克斯韦方程组的几种推导方法。
从经典、能量守恒、拉格朗日方程的方面推导得出现有的麦克思维方程组，从侧面说明了麦克斯韦的普遍适用性和有其他一些普遍存在的定理定律的等价性。
通过分析三种方法的优缺点，从而加深对麦克斯韦方程组的物理意义的理解，培养科学求真的探索精神。
关键词：拉格朗日方程、麦克思维方程组、能量守恒定律目录引言： (4)1_用经典方法推导麦克斯韦方程组的方法 (4)1.1 第一方程式的推导 (4)1.2第二方程式的推导 (5)1.3第三方程式的推导 (6)1.4第四方程式的推导 (7)2_从电磁场能量和能流形式推导麦克斯韦方程组 (8)3_用拉格朗日方程推导麦克斯韦方程组的方法。
(10)4_三种方法的比较 (14)4.1经典方法的优势 (14)4.2能量方法推导的优缺点 (14)4.3拉格朗日方程推导的特点 (15)结束语： (15)参考文献： (15)引言：麦克斯韦方程组是电磁理论的基本方程，在电磁学中有很重要的地位，在与很多工业领域有很多应用。
关于它的推导建立，有我们熟知的经典方法，还有后来的根据拉格朗日方程等分析力学方法推导，以及由能量守恒的方法推导等诸多方法。
下面我们来一一推导证明1_用经典方法推导麦克斯韦方程组的方法 1.1 第一方程式的推导 电荷的库仑定律：F =0ε41πr r q q 3'此电荷的场强为：E =0ε41πr rq 3对电荷的场强沿着球面求面积分，得到：⎰SdS E =∑0εi Q =⎰V1dV ρε电场强度通过面元d S的通量为：dS E •=Ecos θds=204rQ πεcos θds 。
θ是d S与E 的夹角，cos θds/2r 位球面的立体角元。
所以包裹电荷的闭合曲面和球面的积分是相同的。
由于对电荷的场强求面积分只与包裹着的电荷有关系，所以积分的面没有关系。
又因为电荷的体密度的定义：ρ=V q根据斯托克斯公式可以把面积分化成散度的体积分：⎰•∇VdV E=ρV/0ε得到：0/ερ=•∇E等效都是在真空下的方程式，如果在介质下的束缚电荷密度p ρ，那么：E•∇=（ρ+p ρ）/0ε。
定义电位移矢量：D =0εE +P－∇P=p ρ， 则推广后得：D•∇=ρ， (1.1.1)D =εE,其中ρ是自由电荷密度。
1.2第二方程式的推导静电力是保守力，对静电场强度对任意闭合曲线的积分为零： l d F L⎰=0所以对应的电场强度也为零，即： l d E L⎰=0由法拉第电磁感应定律：ε=－dt d φ=－S d B dt d S ⎰又因为在闭合电路中感应电动势是电场强度的线积分： l d E L⎰=ε得到： l d E L ⎰=－S d B dt d S⎰ 根据斯托克斯公式将电场强度的线积分化成电厂强度的旋度的面积分： ⎰⨯∇S E =－S d B dt d S⎰ 将上式化成微分形式，所以有：∇×E =－t B∂∂(1.2.1) 由于上式中只有电场强度、磁感应强度等电磁场的特点的参数，于介质无关，所以无论是介质中还是真空中都是一样的。
1.3第三方程式的推导根据比奥－萨法尔定律可以得到一小段电流元产生的磁场：d B =304r r l Id⨯πμ 那么长度为无穷大导线电流产生的磁场为： B=rIπμ20， （r 是离导线的距离）对包围直导线的闭合的回路，并求积分得到： l d B L⎰=0μI (1.3.1)对于没有包围载流直导线的回路磁感应强度的线积分为零。
根据斯托克斯公式和电流密度的定义式（1.3.1）还可以写成：⎰⨯∇SdS B =⎰SS d J 0μ去掉积分符号化成微分形式后：∇×B=J 0μ (1.3.2) 变化的电场会产生位移电流，位移电流也会产生磁场：⎰L l d B0μ=dS tE S ⎰∂∂ 9ε 同理也可变为：∇×B =00μεt E ∂∂(1.3.3)综合(1.3.2)、 (1.3.3)得到：∇×B =0μJ +tE ∂∂00με推广到介质中，电磁介质中的分子在电场下会出现极化电荷，极化电荷运动会出现极化电流P J，就会出现和自由电荷类似的极化电流密度；在磁场作用下，分子电流就先通电的小线圈在磁场中受到磁场的作用一样，也会出现定向的规则取向，很多分子电流产生的磁场相当于总的磁化电流产生的磁场，所以就要求出等效的磁化电流的密度M J。
上式就变为：∇×B =0μJ +P J +M J +tE∂∂0με。
(1.3.4) J可以通过实验来测定，但是P J 、M J 会随着电场和磁场的增强而增大。
定义：H =0μB－M ，M J =∇×M；又因为：D =0εE +P，P J =tP ∂∂；所以上式可以化为 ：∇×H =J +t D∂∂(1.3.5) 1.4第四方程式的推导 根据比奥萨法尔定律B =dV r r x J V ⎰⨯'30)(4 πμ=－dV rx J V⎰∇⨯'1)(40πμ ∇是对x 的作用的算符，得：∇×[J （x '）]=（r 1∇）×J （x '）因此：B =∇πμ40×V d r x J V ''⎰)(=∇×A 式中A =πμ40V d rx J V''⎰)( 用∇点乘B =∇×A 左右两边，由于旋度的散度为零得到•∇B=0；也可以认为磁感应强度是闭合的，对任何闭合曲面的通量为零，即根据高斯定理写出：⎰⎰SS d B=0；根据斯托克斯公式化成：⎰⎰SS d B=⎰⎰⎰•∇VB =0；其化成微分形式为：B•∇=0 (1.4.1)由于方程式中仅包含磁感应强度B ，代表的是电磁场的性质，仅与电磁场本身有关系，无论在真空还是在介质中表达式是一样的。
综合(1.1.1) (1.2.1) (1.3.5)（1.4.1）为麦克斯韦方程组 2_从电磁场能量和能流形式推导麦克斯韦方程组 为了以下都是真空中的麦克斯韦方程推导。
电磁场对电荷做的功率为dV v f V⎰•空间内电磁能变化率为：－⎰V wdV dt d流出闭合空间V 的能流为：⎰Sd S σS 、V 分别表示闭合空间的总的表面积、总的体积。
参照热力学第一定律：能量的变化=对外做的功+因为热传导热量的变化，可以得到电磁场的能量守恒定律：－⎰VwdV dt d=dV v f V ⎰• +⎰S d S σ微分形式是：S •∇+t w∂∂=－v f • 【1】 (2.1)又因为：f =V 洛伦兹F =V B v q E q ⨯+=ρE +ρv ×B 带入（2.1）得：v f •=（ρE +ρB v⨯）v •=ρv E •+ρv ×B v •由于第二项B v ⨯与v垂直所以为零，那么v f •=ρv E •=E j • (2.3)其实（2.2）表示电场对电荷做功，磁场不做功。
能量密度为： )1(212020B E w με+=(2.4) S是电磁波传播的能量密度，在时变电磁场中可能有电磁波，波就是能量的流动，所以S≠0；S的表达式为：S =B E⨯01μ ])()[(1)(100E B B E B E S •⨯∇-•⨯∇=⨯•∇=•∇μμ （2.5）将(2.3) (2.4)(2.5)带入(2.1)得到：0)1(][1000=+⨯∇-∂∂•+•∂∂+⨯∇J B t E E B t B E μεμ 【2】(2.6) 要让（2.6）有三种情况第一种情况：B 和E 等于零,中括号内的不为零。
（2.6）是对任意的在真空中的电磁场都是成立的， 任意的B 和E 可以不为零。
第一种程度不成立。
第二种情况：(∇×E )+t B ∂∂ 与B 并且(t EJ B ∂∂++⨯∇-01εμ)与E 都是垂直的，那么t B ∂∂ 与B 垂直，t E ∂∂与E 垂直，那么电磁场都是特定的。
所以不符合任意真空电磁场的条件。
第三种情况：0=∂∂+⨯∇t B E ，0100=∂∂++⨯∇-tE J B εμ整理得到：∇×E =－tB ∂∂ (2.7)t E J B ∂∂+=⨯∇0ε (2.8)用∇点乘（3.8）式的左右两边，由于旋度的散度为零，所以:－t B ∂•∂∇ =0,再对方程左右两边t 积分得到：B•∇=0 （2.9）用∇点乘（2.8）式的左右两边，由于旋度的散度为零，所以：00=∂•∂∇+•∇t E Jε在非恒定电流中有电荷守恒定律：j •∇=－t ∂∂ρ,（恒定电流中t∂∂ρ=0是特殊情况）带入上式有t E ∂•∂∇ 0ε=t∂∂ρ，在对左右求关于t 的积分有：E•∇0ε=ρ (2.10)（2.7）(2.8) (2.9)(2.10)构成了真空中的麦克斯韦方程组。
3_用拉格朗日方程推导麦克斯韦方程组的方法。
拉格朗日量：L=T －V=21m 2v －q(ϕ－A v •)带入拉格朗日方程：αq L dt d ∂∂－αq L ∂∂=0（α=1,，2，3，…s ） (3.1) 在这里α等于3；∂q 分别等于x ，y ，z 。
由于推迟势：【3】V d rc rt x t x V'-'=⎰04),(),(περϕV d rc r t x J t x A V '-'=⎰),(4),(0 πμ 因为A,ϕ都是x,t 的函数，所以写成),(),,(t x A t x ϕ所以：拉格朗日量可以变为：)],(),([212121222t x A v t x q z m y m x m L •--++=ϕ 那么拉格朗日量对广义坐标的偏导为：xA v q x q x L ∂•∂+∂∂-=∂∂)(ϕ yA v q y q y L ∂•∂+∂∂-=∂∂)(ϕ z A v q z q z L ∂•∂+∂∂-=∂∂)( ϕ拉格朗日量对广义速度的偏导为：1qA x m x L-=∂∂ 2qA y m yL+=∂∂ 3qA z m zL+=∂∂ 将上一组式子对t 求导：dtdA q x m x Ldt d 1+=∂∂ dtdA q y m y Ldt d 2+=∂∂ dt dA q z m y Ldt d 3+=∂∂ 带入拉格朗日方程组得到：)(1xA v q x q dt dA q x m ∂•∂+∂∂--+ϕ=0)(2y A v q y q dt dA q y m ∂•∂+∂∂--+ϕ=0)(3zA v q z q dt dA q z m ∂•∂+∂∂--+ ϕ=0分别将上式乘以i ，j ，k ，相加)]([)()(321kA jA iA dt d q z A v k y A v j x A v i q z k y j x i q a m ++-∂•∂+∂•∂+∂•∂+∂∂+∂∂+∂∂-= ϕϕϕ 上式第一项可以变为：ϕ∇-q上式第二项可以变为：)(A v q•∇上式第三项可以变为：dtAd q -则上式可以变为：dt Ad q A v q q a m-•∇+∇-=)(ϕ (3.2)由于：dz zA dy y A dx x A dt t A A d ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=+∂=dt A dt A dzzAy y A x x A ∂∂+∂∂+∂∂ A v tA dt A d∇•+∂∂= (3.3) 将上式带入(3.2)得到：])([)(A v A v q t Aq a m∇•-•∇+∂∂+∇-=ϕ由于公式：A v A v A v∇•-•∇=⨯∇⨯)()( 化简得到：)]()[(A v tA q a m⨯∇⨯+∂∂+∇-=ϕ【4】又因为运动电荷的所受的洛仑兹力：B v q q E F⨯+==)(B v E q ⨯+在理想状态下，电荷不受重力，则合力与洛仑兹力相等。