静电场的麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组在静电场中的散度和旋度
麦克斯韦方程组在静电场中的散度和旋度
麦克斯韦方程组在静电场中的散度和旋度
麦克斯韦方程组是在静电场中最常用的量子力学模型，它根据相对论建立了量
子物理学的基石。
在这个方程组的研究中，有一种特殊的量叫做“散度”和“旋度”。
散度就是一个力学概念，它代表了电场的分布方式，用来描述电场的流动情况，也可以理解为电量在不同方向上的流动情况。
而旋度则是一种场的特性，描述了电场的“旋转”状态，可以理解为某个场向不同方向旋转的距离，也可以用来描述一个场的弯曲程度。
在静电场中，麦克斯韦方程组可以大致描述为：电场分布的流动和旋转总是恒
定的，而散度和旋度的值则取决于当前的静电场的情况。
他们的值取决于场的强度、分布方式和旋转情况，因此这些量可以用来测量电场的实际状态。
另外，由于散度和旋度可以提供关于静电场发展情况的重要信息，因此它们也
可以用于预测未来的静电场状况。
这对工程应用非常实用，比如原子能、核燃料带电问题和太阳活动等学科。
除此之外，它们还可以用于其他微观物质问题的研究，例如飞行器设计和电子设计等。
总的来说，散度和旋度是麦克斯韦方程组的重要量，它们在静电场中可以测量
电场的实际状况，同时也可以用来预测未来的静电场状况，并可用于许多工程实践的科学研究。
关于麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组▽-----乐天10518关于热力学的方程，详见“麦克斯韦关系式”。
麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。
它含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。
麦克斯韦方程组Maxwell's equations麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与的四个基本方程。
方程组的微分形式，通常称为麦克斯韦方程。
在方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。
该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。
麦克斯韦提出的涡旋电场和假说的核心思想是：变化的磁场可以激发涡旋电场，变化的电场可以激发涡旋磁场；电场和磁场不是彼此孤立的，它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场。
麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，建立了完整的体系。
这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组在中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。
以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。
它所揭示出的的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。
另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。
[]历史背景1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。
概念的产生，也有麦克斯韦的一份功劳，这是当时物理学中一个伟大的创举，因为正是场概念的出现，使当时许多物理学家得以从牛顿“超距观念”的束缚中摆脱出来，普遍地接受了电磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。
1855年至1865年，麦克斯韦在全面地审视了、—毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。
第2讲 麦克斯韦方程组ppt课件
r E t
r )dS
C
S t
rr
Ñ S
B
dS
0
rr1
Ñ S
E
dS
0
V
ρdV
v v dq
ÑS JgdS dt
第二讲 麦克斯韦方程组
二、介质中的麦克斯韦方程
媒质对电磁场的响应可分为三种情况：极化、磁化和传导。 极化：媒质在电场作用下呈现宏观电荷（束缚电荷）分布 磁化：媒质在磁场作用下呈现宏观电流（磁化电流）分布 描述媒质电磁特性的参数为：介电常数、磁导率和电导率。
第二讲 麦克斯韦方程组
四、静态场与时变场的麦克斯韦方程
宏观电磁场的普遍规律是Maxwell方程组，而静态场是
时变场的特殊情况。
Maxwell方程组
H
E
J
D
t
B
t
B 0
D
0 t
静态场方程
静电场
E
0
（ J = 0 ） D
J 0
恒定电场 （J≠0）
第二讲 麦克斯韦方程组
一、真空中的麦克斯韦方程
麦克斯韦方程组(Maxwell’s equations)
r B
r E r
微分形式
r 0(J
r B
t
0
r E t
)
B 0
r
E / 0
r gJ
t
Ñ
Ñ
C
r B r E
r dl
r dl
积分形式
r
0
(J
S
r
B
0 r
麦克斯韦第二方程，表明时变磁 场产生电场
麦克斯韦第三方程，表明磁场是 无源场，磁力线总是闭合曲线
绝对原创 Maxvell麦克斯韦方程组总结
5
E .d l
s
B .dS 6 t
B 0 7
v
D
s
dV
8
1 和 5 是修正后的麦克斯韦方程，表明电流和时变电场都可以激发磁场。2 和 6 是法拉第电磁感应定律，表明时变磁场产生电场。这 4 个公式是麦克斯韦方程的核 心，说明时变电场和时变磁场互相激发，时变电磁场可以脱离场源而独立存在，在 空间形成电磁波。
利用哈密顿微分算子，可以证明，散度运算符合以下： A B A B 斯定理）
矢量场 A 的散度代表的是其通量的体密度，矢量场 A 散度的体积分等于该矢量 穿过包围该体积的封闭曲面的总通量，即
A dS S
A dl
l
它将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分， 将矢量 A 的线积分转换为该矢 量旋度的面积分。
六．亥姆霍兹定理
散度表示矢量场中各点场与通量源的关系，而旋度表示场中各点场与漩涡源的关 系。故场的散度和旋度一确定，则通量源和漩涡元也就是确定的。既然场是由源激 发的，通量源和漩涡源的确定便意味着场也确定，则亥姆霍兹定律成立。 亥姆霍兹定律的简答表达是：若矢量场 F 在无限空间中处处单值，且其导数连续有 界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表 示为一有界函数的梯度和一个矢量的旋度之和，即：
s 0
A dl lim
l
s
此极限值的意义是环量的面密度，称为环路强度。为此引入如下定义，称为矢 量场 A 的旋度，记为 rotA;
l A dl max rotA n lim s 0 S
麦克斯韦方程组的推导及说明
13-6麦克斯韦方程组关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理：静电场的高斯定理：静电场的环路定理：稳恒磁场的高斯定理：磁场的安培环路定理：上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。
麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念：1.麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。
2.麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，即上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。
综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。
这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。
在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则一般情况下，空间任一点的磁感强度应该表示为因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律，根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。
因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。
变化电磁场的规律是：1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。
通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有：2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。
麦克斯韦方程组的积分形式
S
B t
dS
高斯定理
D dS
S
qi内
i
2
二、磁场 (Magnetic Field )
1、环路定律
（全电流环路定律）
H dl L
(Ii Iid )
i
2、高斯定理
SB dS 0
3பைடு நூலகம்
三、麦克斯韦方程LE组 d的l积分形S 式Bt
dS
麦 电场 克 斯
D dS
S
i
qi内
H x z
H z x
y
Dy t
H y x
H x y
z
DZ t
5
Ez Ey Bx y z t Ex Ez By z x t Ey Ex Bz x y t
6
i
j
k
x y z
D
B 0
H
E
B
D t
t
哈密顿 算符
7
3. 关系式
D E 0r E B H 0r H
E
dl
d m
或
E dl
B
dS
L
dt
L
S t
1
2、高斯定理
静电场
S D静电场 dS qi内
i
涡旋电场
S
D涡旋场
dS
0
一般电场 D D静电场 D涡旋场
D dS S
qi内
i
一般电场： E E静电场 E涡旋场, D D静电场 D涡旋场
环路定律
LE
dl
§14-2 麦克斯韦方程组的积分形式
( Maxwell Equations )
一、电 场 (Electric Field )
电磁场与电磁波复习题（含答案）
电磁场与电磁波复习题（含答案）电磁场与电磁波复习题⼀、填空题1、⽮量的通量物理含义是⽮量穿过曲⾯的⽮量线总数，散度的物理意义⽮量场中任意⼀点处通量对体积的变化率。
散度与通量的关系是⽮量场中任意⼀点处通量对体积的变化率。
2、散度在直⾓坐标系的表达式 z A y A x A z yxA A ??++=??=ρρdiv ；散度在圆柱坐标系下的表达；3、⽮量函数的环量定义⽮量A 沿空间有向闭合曲线C 的线积分，旋度的定义过点P 作⼀微⼩曲⾯S,它的边界曲线记为L,⾯的法线⽅与曲线绕向成右⼿螺旋法则。
当S 点P 时,存在极限环量密度。
⼆者的关系 ndS dC e A ρρ?=rot ；旋度的物理意义点P 的旋度的⼤⼩是该点环量密度的最⼤值；点P 的旋度的⽅向是该点最⼤环量密度的⽅向。
4.⽮量的旋度在直⾓坐标系下的表达式。
5、梯度的物理意义标量场的梯度是⼀个⽮量,是空间坐标点的函数。
梯度的⼤⼩为该点标量函数?的最⼤变化率，即该点最⼤⽅向导数;梯度的⽅向为该点最⼤⽅向导数的⽅向,即与等值线（⾯）相垂直的⽅向，它指向函数的增加⽅向等值⾯、⽅向导数与梯度的关系是梯度的⼤⼩为该点标量函数的最⼤变化率，即该点最⼤⽅向导数;梯度的⽅向为该点最⼤⽅向导数的⽅向,即与等值线（⾯）相垂直的⽅向，它指向函数的增加⽅向.； 6、⽤⽅向余弦cos ,cos ,cos αβγ写出直⾓坐标系中单位⽮量l e r 的表达式；7、直⾓坐标系下⽅向导数u的数学表达式是，梯度的表达式8、亥姆霍兹定理的表述在有限区域内，⽮量场由它的散度、旋度及边界条件唯⼀地确定，说明的问题是⽮量场的散度应满⾜的关系及旋度应满⾜的关系决定了⽮量场的基本性质。
9、麦克斯韦⽅程组的积分形式分别为 0()s l s s l sD dS Q BE dl dS t B dS D H dl J dS t ?=??=-??=?=+r r r r r r r r g r r r r r g ????其物理描述分别为10、麦克斯韦⽅程组的微分形式分别为 020E /E /t B 0B //t B c J E ρεε??=??=-=??=+??r r r r r r r其物理意义分别为11、时谐场是激励源按照单⼀频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正弦变化的场，⼀般采⽤时谐场来分析时变电磁场的⼀般规律，是因为任何时变周期函数都可以⽤正弦函数表⽰的傅⾥叶级数来表⽰；在线性条件下，可以使⽤叠加原理。
麦克斯韦方程的积分形式
波动方程和辐射方程的应用
波动方程和辐射方程在电磁波 传播、通信、雷达、光学等领
域有广泛的应用。
通过求解波动方程和辐射方程 ，可以预测和控制电磁波在空 间中的传播行为，以及电磁波
积分形式与微分形式的关系
关系概述
积分形式和微分形式是描述电磁场的两种方式，它们在本质上是一致的，可以相互转换。
应用场景
微分形式适用于描述场在空间中的变化，而积分形式适用于描述场在封闭曲面上的总量。
02
静电场和静磁场
静电场的积分形式
静电场的散度
$int_{Omega} rho , dV = int_{partial Omega} E cdot dA$
时变电磁场中的物理量（如电场强度、磁场强度、波速等）可以表现出波动性和粒子性，这是电磁波的 基本特征。
时变电磁场的应用
时变电磁场在通信领域有广泛应用，如无线电通信、 卫星通信等。这些技术利用电磁波的传播特性来实现
信息的传输。
时变电磁场还在雷达、导航、测距等领域有广泛应用。 这些技术利用电磁波的反射、折射和干涉等特性来实 现目标探测和定位。
静电场的环流
$oint_{C} E cdot dl = 0$
静磁场的积分形式
静磁场的散度
$int_{Omega} J_m , dV = int_{partial Omega} B cdot dA$
静磁场的环流
$oint_{C} B cdot dl = mu_0 int_{partial D} H cdot dA$
预测电磁波的存在
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静电场的麦克斯韦方程组
引言
静电场是电磁学中的一种特殊情况，指的是电荷分布保持不变或者运动速度远小于光速的情况下所产生的电场。
静电场的研究对于理解电磁现象以及应用于各个领域都具有重要意义。
麦克斯韦方程组是描述电磁现象最基本、最完整的数学表达式，其中包含了静电场的方程组。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组由四个基本方程构成，分别是： 1. 高斯定律（Gauss’s law）：描述了电场与其周围电荷分布之间的关系。
2. 高斯定律（Gauss’s law for magnetism）：描述了磁场与其周围磁荷分布之间的关系。
3. 法拉第电磁感应定律（Faraday’s law of electromagnetic induction）：描述了变化磁场引起感应电场产生。
4. 安培环路定律（Ampere’s circuital law）：描述了通过闭合回路的感应电流与该回路内部和周围磁场之间的关系。
这四个方程组成了静电场的麦克斯韦方程组，可以用来描述电场和磁场之间的相互作用以及它们随时间的变化。
静电场的麦克斯韦方程组推导
首先，我们从高斯定律开始推导。
高斯定律表达了电场与其周围电荷分布之间的关系，数学形式如下：
∇⋅E=ρε0
其中，∇是梯度算子，E是电场强度，ρ是电荷密度，ε0是真空介电常数。
接着，我们来推导高斯定律对应的积分形式。
假设我们有一个闭合曲面S，并且曲面内部没有自由电荷。
根据高斯定理（Gauss’s theorem），我们可以得到：
∫(∇⋅E) S dS=
1
ε0
∫ρ
S
dS
由于曲面内部没有自由电荷，所以右侧积分为零。
因此，我们得到了高斯定律的积分形式：
∮E
S
⋅dS=0
其中，S是曲面S的法向量，⋅表示点乘。
接下来，我们推导高斯定律对应的微分形式。
根据矢量分析中的散度定理（divergence theorem），我们可以将上述积分形式转换为微分形式：
∇⋅E=0
这就是高斯定律的微分形式。
接着，我们来推导高斯定律对应的磁场方程。
根据安培环路定律，我们可以得到：
∮B
C
⋅dl=μ0I enc
其中，B是磁场强度，C是一个闭合回路，dl是回路上的微元弧长，μ0是真空磁导率，I enc是通过闭合回路C所围成的面积内部的电流。
如果我们考虑没有自由磁荷存在，并且回路C不包围任何电流，则右侧积分为零。
因此，我们得到了高斯定律对应的积分形式：
∮B
C
⋅dl=0
同样地，根据矢量分析中的旋度定理（curl theorem），我们可以将上述积分形式转换为微分形式：
∇×B=0
这就是高斯定律对应的微分形式。
接下来，我们推导法拉第电磁感应定律。
根据法拉第电磁感应定律，变化的磁场可以引起感应电场产生。
数学表达式如下：
∇×E=−∂B ∂t
其中，∂B
∂t
表示磁场随时间的变化率。
最后，我们推导安培环路定律。
安培环路定律描述了通过闭合回路的感应电流与该回路内部和周围磁场之间的关系。
数学表达式如下：
∮B C ⋅dl=μ0I enc+μ0ε0
∂
∂t
∫E
S
⋅dS
其中，C是一个闭合回路，dl是回路上的微元弧长，I enc是通过闭合回路C所围成的面积内部的电流，∫E
S
⋅dS表示回路C所围成的面积内部的电场通量。
将上述方程化简，我们可以得到安培环路定律的微分形式：
∇×B=μ0J+μ0ε0∂E ∂t
其中，J是电流密度。
应用与意义
静电场的麦克斯韦方程组在物理学、工程学以及其他领域都有广泛应用和重要意义。
以下是其中几个应用示例： 1. 电磁波传播：麦克斯韦方程组揭示了电磁波的存在和传播方式，对于无线通信、雷达、卫星通信等领域具有重要意义。
2. 静电场分析：通过求解静电场的麦克斯韦方程组，可以计算出复杂几何体内的电场分布情况，为工程设计和优化提供依据。
3. 电磁感应：法拉第电磁感应定律揭示了磁场变化引起感应电场产生的原理，为发电机、变压器等设备的设计和运行提供了理论基础。
4. 电磁场与物质相互作用：麦克斯韦方程组描述了电磁场与物质之间的相互作用，为光学、材料科学等领域的研究提供了基础。
结论
静电场的麦克斯韦方程组是描述电磁现象最基本、最完整的数学表达式。
通过对高斯定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律的推导，我们可以得到麦克斯韦方程组的微分形式。
这些方程对于理解和应用静电场以及其他与电磁现象相关的领域具有重要意义。