平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。
2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。
同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。
故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。
3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。
它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。
4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。
（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。
平面向量基本定理及坐标表示
5.已知向量a=（8, 1 x），b=(x,1)，其中x＞0，若(a-
2
2b)∥(2a+b)，则x的值为 4 .
解析 a-2b=（8-2x, 1 x-2），2a+b=(16+x,x+1),
2
由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0，故有（8-2x,
1 x-2）= (16+x,x+1)
2
8-2x= (16+x)
A.m≠-2 C.m≠1
B.m≠ 1
2
D.m≠-1
解析 若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线.
∵ABOBOA(2，-1)-（1，-3）=(1，2)， ACOC OA （ m+1 ， m-2 ） - （ 1 ， -3 ） =
（m，m+1）.
假设A、B、C三点共线，
则1×(m+1)-2m=0,即m=1.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，
5）且 OPOAtAB,
（1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；
（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出
相应的实数t;若不能，请说明理由.
解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5），
∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则 OP =（x，y），若点P在第二
同理 NO1a(11)b
2 2n
由MO ∥NO 得MO = NO
即
1 1 2m (1 1 2n
)
1 2 1
2
① ②
①×②整理得m+n=2.
答案 2
题型二 向量的坐标运算 【例2】已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，
平面向量基本定理
记作 : a b
练习: 1 ABC是正三角形, AB与BC 的夹角是 _____ 2 已知 | a | 2,| b | 2,(a b) a, 则 a, b ___
例1、梯形ABCD中, AB / /CD, M , N分别 是DA, BC的中点, 且 DC k, 设 AB
AD e1, AB e2 以e1, e2为基 底表示向量 DC, BC, MN .
e
,e
来表示吗？
12
一、平面向量基本定理：
如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对
于这一平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数
使
a 1 e1 2 e2
1
, 2
,
我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底.
特别地 当a 0,即1e1+2e2 =0 1=2 =0
(e1 e2 )
思考：
在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序 实数（坐标）表示。那么，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
设i1, j2分别与x轴、y轴方向相同的单位向量
a xi y j (x, y)
i (1,0) j (0,1)
y
ja
j
O
i
i
x
例3、写出图中向量a、 b、 c、 d 的 坐标
在向量加法的平行四边形法则中, a e e , a 可看
1
2
作是 e , e 的合成 ; 反过来, 也可看成是 a 的分解 .
1
2
e
aee
1
2
1
e 2
问题：1) 是不是每一个向量都可分解成两个不共线
的向量之和？这样的分解是否唯一？
2)
平面向量基本定理
12345
4.已知非零向量O→A，O→B不共线，且 2O→P＝xO→A＋yO→B，若P→A＝λA→B(λ∈R)，
则 x，y 满足的关系式是
√A.x＋y－2＝0
C.x＋2y－2＝0
B.2x＋y－1＝0 D.2x＋y－2＝0
12345
解析 由P→A＝λA→B，得O→A－O→P＝λ(O→B－O→A)， 即O→P＝(1＋λ)O→A－λO→B.又 2O→P＝xO→A＋yO→B， 所以xy＝ ＝－ 2＋22λ，λ， 消去 λ 得 x＋y＝2. 即x＋y－2＝0.
二、用基底表示向量
例 2 如图，已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设A→D＝a，A→B＝b，试用基底 a，b 表示D→C，E→F.
解 因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以D→C＝A→F＝12A→B＝12b. E→F＝E→D＋D→A＋A→F＝－12D→C－A→D＋12A→B ＝－12×12b－a＋12b＝14b－a.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.(多选)若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中不能作为平面
向量的基底的是
√A.e1－e2，e2－e1 √C.2e2－3e1,6e1－4e2
√B.2e1－e2，e1－
1 2
e2
D.e1＋e2，e1＋3e2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
跟踪训练 2 如图，在正方形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D＝b，B→D＝c， 则以 a，b 为基底时，A→C可表示为___a_＋__b__，以 a，c 为基底时，A→C可 表示为__2_a_＋__c__.
2.3.1平面向量基本定理
总结： 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 （1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性 ３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
思考
设 a、b是两个不共线的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线， 求k的值。 解： A、B、D三点共线
B a b b
[0°，180°.1平面向量基本定理
给定平面内任意两个向量e1 , e2 ，取两个你自己 喜欢的实数1，2，表示向量a 1 e1 2 e2 .
提示：当e1 , e2 共线时， a跟它们有什么关系？ 当e1 , e2不共线时， a跟它们有什么关系？
通过给1 , 2赋不同的值，画出不同的a 1 e1 2 e2， 可以发现: 当e1 , e2 共线时， a跟e1 , e2 共线. 当e1 , e2不共线时， a随着1 , 2不同而不同， a可以是平面 内的任何一个向量.
解成竖直向上和水平向前的两个分速度等。
反馈训练
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有 D A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有 a=λe1+μe2(λ,μ∈R) D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向 量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不 共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系 B A.不共线 B.共线 C.相等 D.无 法确定
e2
B
A
e1 2.5e
1
3e2
第二章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理
2．3.1平面向量基本定理1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向[点睛]当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.用基底表示向量[典例]如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC＝a，BD＝b，试用基底a，b表示AB，BC.[活学活用]如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，BA＝a，BC＝b.试以a，b为基底表示EF，DF，CD.向量夹角的简单求解[典例]已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b 与a的夹角又是多少？[活学活用]如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB与向量BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．平面向量基本定理的应用[典例]NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP，2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN .层级一 学业水平达标1．已知平行四边形ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°2．设点O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB . A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④3．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则以a ，b 为基底表示AD ＝( ) A ．12(a －b )B ．12(a ＋b )C ．12(b －a )D ．12b ＋a4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝( ) A ．12(e 1＋e 2)B ．12(e 1－e 2)C ．12(2e 2－e 1)D ．12(e 2－e 1)5．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43AC B ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13AC D ．AD ＝43AB －13AC6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．7．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.8．如下图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝13BC ，CN ＝13CA ，AP ＝13AB ，若AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 将MN ，NP ，PM 表示出来．10．证明：三角形的三条中线共点．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 可用基底a ，b 表示为( )A ．12(a ＋b )B ．23a ＋13bC ．13a ＋23bD ．13(a ＋b )2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( ) A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －23bD ．－23a ＋23b3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对4．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝05．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a ＋________b.6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM＝34AB＋14AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比．(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设BO＝x BM＋y BN，求x，y的值．。
2.2-3平面向量基本定理
ur uur
思考：一个平面内的两个不共线的向量 r
e1、e2
与该平面
内的任一向量 a 之间的关系.
M
C
r
ur e1
a
uur e2
A
uuur uuuur uuur O
如图 OC OM ON
NB
uuuur uuur ur uuur uuur uur
Q OM
uuur
1OurA
1ueur1
ON 2OB 2 e2
r rr r (1)a 2e,b 2e;
r ur uur r ur uur (2)a e1 e2 ,b 2e1 2e2
题型一 向量共线的判定及应用 【例 2】 (2011·长春高一检测)已知非零向量 e1，e2 不共线． (1)如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋8e2，C→D＝3(e1－e2)，求证：A、 B、D 三点共线． (2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值． [思路探索] 对于(1)，欲证 A、B、D 共线，只需证存在实数 λ， 使B→D＝λA→B即可；对于(2)，若 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线，则一定 存在 λ，使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
OC 1e1 r2 e2 ur
uur
即 a 1e1 +2 e2
ur e1
uur e2
r
a
N A
B
C O
uuur uuuur uuur
如图 OC OM ON
M
uuuur uuur ur uuur uuur uur
Q
OM
uuur
1OurA
1ueur1
ON 2OB 2 e2
OC 1e1 r2 e2 ur
平面向量基本定理概念
平面向量基本定理概念
平面向量基本定理也被称为平面向量基本等式，它是平面向量基本运算定律之一，描述了平面向量的加法和乘法运算的关系。
平面向量基本定理可以表述为：对于任意两个平面向量 a 和 b，有以下等式成立：
a +
b = b + a （向量的加法交换律）
a + (
b + c) = (a + b) +
c （向量的加法结合律）
k(a + b) = ka + kb （给向量的加法分配律）
(a + b)·c = a·c + b·c （向量的点乘分配律）
其中，a、b、c 是平面向量，k 是实数。
这些定理告诉我们，在平面向量的加法和乘法运算中，满足交换律、结合律和分配律，可以随意改变运算的顺序，但运算结果不会改变。
平面向量基本定理在平面向量的运算和推导中起到了重要的作用，使得我们可以简化计算，并且轻松地推导出一些重要的结论和性质。
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B
a
e1 O e2
M A
2021年3月13日星期六
B
a x
Oy
M A
思考、二 若基底选,则 取表 不示 同同一
的 实1数 ,2是 否相 ? 可同 以相同,也可以不同
B
M
B
M
a
a
e1
O e2
A
mx
Oyn
A
3
a3e12e2
a x4y 2
a3m2n
2021年3月13日星期六
当 a0时 ,有 且只 1有 20时 可 使 01e12e2,(e1,e2不 共 ). 线
例 3.证明 :向O 量,A O,B O的 C 终A,点 B,C共线
的等价条件是 、存 且 在 实 1，使 数得 OC OA O.B
2021年3月13日星期六
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
作为表示该平面所有向量的基底； （3）零向量不可作为基底的向量
其中正确的说法是( B )
A、(1)(2) B、(2)(3) C、(1)(3) D、(2)201年3月13日星期六练习
1、若e1，e2是平面内向量的一组基底，则下面的
向量中不能作为一组基底的是（B）
A）e1 + e2和e1 - e2
B）3 e1 -2 e2和-6e1 +4 e2
C）e1+3 e2和3 e1 + e2 D） e1 + e2和 e2
2021年3月13日星期六
例3：
已知向量 e1 、e 2 求做向量-2.5 e 1+3 e 2
还有其他作法?
e2
e 2021年3月113日星期六
3e2 O 2.5e1
四、例题分: 析
例1、如,图 平行四边 AB形C的 D 两条对角
实 数 ,使ba.
2021年3月13日星期六
二、新课导:入
问 题 1:给 定 平 面 内 任 量e意 1,e2,两 我个 们向 能 否 作 出3e向 12量 e2,e12e2?
问题 2:平面内的任一 都向 可量 以是 用否 形
1e12e2的向量表 ? 示呢
2021年3月13日星期六
问题3．学生活动： 已知 e 1 , e 2 , 是同一平面内的两个
2021年3月13日星期六
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理
学中的力的分解模型来理解，它说明在 同一平面内任一向量都可以表示为不共 线向量的线性组合，该定理是平面向量 坐标表示的基础，其本质是一个向量在 其他两个向量上的分解。
2021年3月13日星期六
2. 在实际问题中的指导意义在于找 到表示一个平面所有向量的一组基底
如果 e 1 , e 2 , 是同一平面内的两个不共线向量， 存 唯
那么对于这一平面的任意向量 a ,
在一
有且只存有在 一对实数， 1, 2 ,
性性
使 a1e12e2
思考： 上述表达式中的 1,2 是否唯一？
2021年3月13日星期六
思 考、一 平 面 内 用 来 表量示的一基个底向有
多 少?组（有无数组）
（不共线向量 与e 1 ），e 2从而将问题 转化为关于 、 e的1 相e应2 运算。
2021年3月13日星期六
若 1与 2 中只有 ,情 一况 个会 ? 为
若 20 ,则 a1e 1,即 a 与 e 1 共 , 线 若 10 ,则 a2e2,即 a 与 e2 共 , 线
2021年3月13日星期六
检测
1、给出下面三种说法： （1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可
作为表示该平面所有向量的基底； （2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可
线 相 交 于 M,点 且ABa, ADb,试 用 a,b
表示 MA,MB,MC,MD.
D
C
b
M
A
a
B
变1式 :上题 ,若 N 中 在 A上 C,且 AN 3N,C
P为 B的 C 中 ,求 P点 .N
2021年3月13日星期六
变2 、式 已 知 平 AB 行 的 C B 四 边 D ,C C的 边 D 中 形
不共线向量，a 是这一平面内的任一向量．
♦ 探究１：a 与 e 1 , e 2 , 的关系
想 e1 一 想 ？
2021年3月13日星期六
a
e2
学生活动：
e1
a
e2
2021年3月13日星期六
OC OM ON 1OA2OB
即 a1e12e2
M
C
A AA
e1
e
e
1
1
O
e2
NB
三．数学建构
１）平面向量基本定理的内容
2.3.1 平面向量基本定理
如果没有运算,向量只是一个“” .因为有了运算,向量的力量无限!
2021年3月13日星期六
一、回顾:向量的数乘运算
一般,规 地定实 与数向a的 量积是一,这 个种 向运 量 叫做向量,记 的作 数 a,它 乘的长度与方 下:向
(1)|a||||a|;
(2)当 0时 ,a的方 a相 向 ;当 同 与 0时 ,
a的方 a相 向 ;反 与
(3)0时 ,a0.
2021年3月13日星期六
向量的数乘运算律 :
(1)(a)()a ;
(2 )()aaa ; (3 )(ab)ab .
特 ,我 别 ( ) 们 a 地 (a ) 有 ( a )
(ab)ab.
2021年3月13日星期六
共线向量定理 : 向 量 a(a0)与b共 线 ,当 且 仅 当 有 唯 一 一
为 M ,N ,A M e1,A N e2,试 e1,用 e2表B 示 ,C C.D
D A
N C
M B
2021年3月13日星期六
例2.用 向 量 的 方 法 : 证 明
平 行 四 边 OA形C中 B,BD1BC,OD与BA 3
相 交E于,求 证:BE1BA. 4
BD
C
E
O
A
2021年3月13日星期六