广义逆矩阵及其应用
题目广义逆矩阵及其应用学院
专业通信与信息系统学生
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目录
第一章前言 (1)
第二章广义逆矩阵 (2)
§2.1 广义逆矩阵的定义 (2)
§2.2 广义逆矩阵的性质 (3)
第三章广义逆矩阵的计算 (12)
§3.1 一般广义逆求解 (12)
§3.2 Moore-Penrose 广义逆 (16)
结论 (19)
第一章前言
线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。
广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小数解。
逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广：
（1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；
（2）它具有通常逆矩阵的一些性质；
（3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。
满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。
1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。
第二章广义逆矩阵
§2.1 广义逆矩阵的定义
一、Penrose 广义逆矩阵的定义
为了推广逆矩阵的概念，我们引进了广义逆矩阵的定义，下面给出广义逆矩阵的Moore-Penrose 定义。
定义2.1 设矩阵n m C A ?∈，若矩阵m n C X ?∈满足如下四个Penrose 方程
A AXA = （ⅰ）
X XAX = （ⅱ）
AX AX H =)( （ⅲ） XA XA H =)(
（ⅳ） 中的一部分或全部方程，则称X 为A 的一个广义逆矩阵。
若X 只满足（ⅰ）式，则X 成为A 的一个}1{-逆，可记为()1A ，所有满足}1{-逆
的X 构成的集合记为{}1A 。若X 满足四个方程中的第k j i ,,, 个方程，则称X 为A 的
一个{}k j i ,,, -逆，记为()k j i A ,,, ，所有满足{}k j i ,,, -逆的X 构成的集合记为{}k j i A ,,, 。
二、常见广义逆定义
按照广义逆定义，分别满足一个、两个、三个和四个方程的广义逆矩阵一共有44342414C C C C +++=15类，其中常见的有{}1A ，{
}2,1A ，{}3,1A ，{}4,1A ，{}4,3,2,1A 。 定义2.2 设有复矩阵n m C A ?∈。若有一个m n ?复矩阵X 存在，使下式成立，则称X 为A 的减号逆：
A AXA = (2.1)
当1-A 存在时，显然1-A 满足上式，可见减号逆X 是普通逆矩阵1-A 的推广；另外，由A AXA =得
H H A AXA =)(，
即
H H H H A A X A =
可见，当X 为A 的一个减号逆时，H X 就是H A 的一个减号逆。
定义2.3 设复矩阵n m C A ?∈，若有一个m n ?矩阵X ，满足：
A AXA =且X XAX =
称X 为A 的一个自反逆矩阵，记作为-r A ，-r A 满足Penrose 方程的（ⅰ），（ⅱ）式，所以}2,1{A A r ∈-。
显然，自反广义逆为减号逆的子集。对矩阵X 是矩阵A 的{}1-逆，
即{}1A X ∈, 若矩阵A 也是矩阵X 的{}1-逆，即{
}1X A ∈， 则X 为A 的一个自反逆矩阵。 定义2.4 设复矩阵n m C A ?∈，若有一个m n ?矩阵X ，满足：
A AXA = 及 AX AX H =)(，
则称X 为A 的最小二乘广义逆，记作-l A ，-l A 满足Penrose 方程的（ⅰ），（ⅲ）式，
所以}3,1{A A m ∈-。
最小二乘广义逆是用条件AX AX H =)(对减号逆进行约束后所得到的子集。 定义2.5 设复矩阵n m C A ?∈，若有一个m n ?矩阵X ，满足：
A AXA = 及 XA XA H =)(，
则称X 为A 的最小数广义逆，记作-m A ，-m A 满足Penrose 方程的（ⅰ），（ⅳ）式，
所以}4,1{A A l ∈-。
显然，最小数广义逆也是减号逆的子集。
若X 满足全部四个方程，则称X 为A 的Moore-Penrose 广义逆矩阵，记为+A 。
§2.2 广义逆矩阵的性质
将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，是矩阵分解理论中的常见问题。特别是在广义逆矩阵的计算与研究中有着重要的应用。
定义 2.6 设矩阵n m r C A ?∈（r ＞0），如果存在一个列满秩矩阵r m r C F ?∈与一个行满秩矩阵n r r C G ?∈使得
FG A =，
则称上式为A 的一个满秩分解。
定理2.1 对任意矩阵n m r C A ?∈（r ＞0），必存在着矩阵r m r C F ?∈和n r r C G ?∈使
FG A =。
证明： 由r rankA =，对A 进行若干次初等行变换后，可将A 化为行阶梯矩阵B ，
??
????=0G B ， 其中r rankG =。故存在若干个m 阶初等矩阵的乘积P ，使得
B PA =，
即
B P A 1-=， 将1-P 分块为 []M F P ,1=-,r m r
C F ?∈，)(r m m C M -?∈，
便有
[]FG G M F A =??????=0,。 因F 是可逆矩阵1-P 的前r 列，所以F 是一个r m ?列满秩矩阵，G 是n r ?行满秩矩阵，故FG A =是A 的一个满秩分解。
上式FG A =是A 的一个满秩分解，但是A 的满秩分解并不是唯一的。任意取一个r 阶非奇异矩阵B ,若FG A =是一个满秩分解，则显然()()G B FB A 1-=也是A 的一个满秩分解。
一、{1}-逆的性质
定理2.2 设n m C A ?∈，则A 的Moore-Penrose 逆存在且唯一。 证 设 r rankA =.若r =0，则A 是n m ?零矩阵，可以验证m ?n 零矩阵满足四个Penrose 方程。若r>0，则A 有满秩分解分解FG A =,
取()()H H H H F F F GG G X 11--=，则X 满足4个Penrose 方程，所以，X 是