第8章图论与网络模型及教案
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图论与网络
图论与网络引言在数学的广阔领域中，图论是一颗璀璨的明珠。
它不仅是数学的一个分支，也是计算机科学、物理学、化学等多个学科的基础工具。
图论通过图形来表示对象之间的二元关系，这些对象可以是人、地点或者任何可以被抽象为点的实体，而它们之间的关系则由连接两点的线（边）表示。
网络，作为图论中的一个重要概念，指的是由节点和连接节点的边构成的系统，它在现代社会中的应用日益广泛，从社交网络到互联网，从交通网络到神经网络，无不体现了图论的巨大价值。
图论的基本概念图论中的“图”是由顶点（Vertex）和边（Edge）组成的。
顶点代表图中的个体，而边则代表了个体之间的联系。
根据边是否有方向，图可以分为无向图和有向图；根据边是否有权值，图又可以分为无权图和加权图。
此外，图中顶点的度是指与该顶点相关联的边的数量，而在有向图中，入度和出度分别指进入和离开顶点的边的数量。
网络的分类网络可以根据其结构特性被分为多种类型。
最常见的分类包括：规则网络、随机网络、小世界网络和无标度网络。
规则网络中的节点按照固定规则连接，如环形或网格形；随机网络则是通过随机过程连接节点形成的；小世界网络结合了规则网络的高集聚系数和随机网络的短平均路径长度；而无标度网络的特点在于节点的度分布遵循幂律分布，这意味着网络中存在少数几个高度连接的枢纽节点。
图论的应用图论在现实世界中的应用极为广泛。
例如，在社交网络分析中，人们利用图论来研究人际关系的模式和动态；在网络科学中，图论帮助研究者理解互联网的结构和发展；在运筹学中，最短路径问题、最大流问题等都可以用图论的方法来解决。
此外，图论还在生物信息学、电力网设计、任务调度等多个领域发挥着重要作用。
结语图论与网络作为一门古老而又年轻的学科，正以其独特的魅力吸引着越来越多的关注。
随着科技的发展和社会的进步，图论的理论和应用必将进一步拓展，为我们解决更多实际问题提供强大的工具和方法。
通过学习和掌握图论的知识，我们能够更好地理解和改造这个由无数节点和连接构成的复杂世界。
离散数学教学课件-第8章 图论
解：以a,b,c,d,e,f,g作为顶点，能讲同一语言作一边
b
d
f
连通
a
g
c
e
§8.5 图的矩阵表示
复习：
R
传递闭包 R R R2 Rn
8.5.1 图的矩阵表示
G V , E V {v1, v2 , v3 ,, vn }
E {e1, e2 , e3 ,, em }
邻接矩阵
A (aij ) nn
起点
P v0 , v1,, vq
回
终点
路
P e1, e2 ,, eq
长度
8.2.1通路与回路
1
4
2 (1,2),(2,3) 1,2,3 (1,4),(4,3) 1,4,3
3
(1,2),(2,4),(4,1)
回路
8.2.1通路与回路
1
2 P:1,2,4,1,4,3
4
3 Q:1,2,4,3 复杂通路
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
0 1 0 0 0
2
4
1 0 1 0 0
A 0 1 0 0 0
图1
5
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
1 0 1 0 0
0 2 0
0
0
A2 1 0 1 0 0
0 0 0
1
0
0 0 0 0 1
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
1 0 1 0 0
2
4
0 2 0
cij 表示从 vi 到 v j 长度为 l 的通路数目
8.5.1 图的矩阵表示
定理 设邻接矩阵为A的无向简单图，则 Ak (k 1,2,....) 的元素
离散数学 教案 第八章 图论
西南科技大学
6
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 为方便起见，在无向图中往往用字母ei表示 边。例如，在上图中，用e1表示边(v2,v2)，e2 表示边(v1,v2)等。 对于一个确定的图，我们不关心顶点的位置， 边的长短与形状，因此，所画出的图的图形可 能不唯一。 定义 一个有向图G是一个二元组<V,E>，即 G=<V,E>，其中
西南科技大学
4
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 定义 一个无向图G是一个二元组<V,E>，即 G=<V,E>，其中
(1). V是一个非空的集合，称为G的顶点集， V中元素称为顶点或结点；
(2). E是无序积 的一个多重子集 (元素可重复 出现的集合为多重集)，称E为G的边集，E中元 素称为无向边或简称边。 在一个图G=<V,E>中，为了表示V和E分别 为G的顶点集和边集，常将V记成V(G)，而将E 记成E(G)。
由于2m，
为偶数，所以
也为偶数。
可是,vV1时，d(v)为奇数，偶数个奇数之和才能 为偶数，所以|V1|为偶数。结论得证。
西南科技大学
17
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 对有向图来说，还有下面的定理： 定理 设G=<V,E>为有向图， V={v1,v2,…,vn} ， |E|=m，则
(5).设E´ E且E´ ≠Φ ，以E´为边集，以E´中边
关联的顶点的全体为顶点集的G的子图，则称G´是由 边集E´导出的G的子图。
西南科技大学
26
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 例如，在下图中，(2)，(3)均为(1)的子图；(3)是 生成子图；(2)是顶点子集{v1,v2}的导出子图，也
数学建模讲义 第8章图论与网络模型
权值表示两点之间的长度
邻接矩阵M
• 求最短路已有成熟的算法：迪杰斯特拉 （Dijkstra）算法。具体可见数据结构或 者图论方面的参考书。 • 数学规划方法，用Lingo解决：
min z cij xij
i 1 j 1
n
n
1 V0 4
V1 5
2 V3 4
5 2
V4
6 V6 4
V2
起点多一条边出去 1, i 1 n n st : xij x ji 1, i n 终点多一条边进入 j 1 j 1 0, i 1, n
max v f
n
13
3
5
v f , i 1 st : xij x ji v f , i n j 1 j 1 0, i 1, n
n
0 xij cij
除去源点和汇点的流量等于网络总流量之外， 其他点所有流入的流量和流出的流量相等。
最小生 2
1
3 5
2
• 求最小生成树已有成熟的算法：prim算法 和Kruskal算法。具体可见图论方面的参 1 考书。 6 7 • 数学规划方法，用Lingo 解决： 2 3
min z cij xij
i 1 j 1 n n
《数学建模》多媒体课件
第6章 图与网络模型
文法系 高等数学教研室
最短路径问题 例：求以下带权图从V0到V6最短路径。
V1 5 4 V2
1 V0
2
4
0 1 V4 6 5 4 V3 V6 5 2 0 4 V5 0 3 0
1 4 5 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 4 0 3 0 2 4 0 5 2 0 0 0 5 0 0 6 0 3 2 0 0 4 0 0 0 6 4 0
网络模型课件
3、基本假定
分枝 ( arc )－－有流量限制且讲究方向 结点 ( node )－－进、出相等。
Ling Xueling
第三节 最大流问题
4、例子
某国道自北向南方向计划进行大修，运输部门拟以如下网络 的公路系统暂时替代之（单位：1000）
0 5 1 2 3 2 2 0 3 3 0 0 4 5 3 7 0 0 1 6 7 0 0 0 5 1 8 0 7 南 sink
4
Ling Xueling
第四节 路径巡视问题
18 世纪，29 岁的欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题：
C A D C B
抽象出“图”：
A
B
D 结论：不是欧拉图，亦非半欧拉图，不论起点和终点在哪里 都不可能找到一条经过七座桥且每座桥只走一次的路线。
Ling Xueling
第四节 路径巡视问题
路径巡视问题，又称中国邮递员问题，1962 年首先 由（山东大学）管梅谷先生提出 抽象说就是：对给定的一个连通图，在每条边（弧 ）上赋予一个非负的权，要求一个回路，过每边至 少一次并使回路总权数最小－－商店在弧不在结点 处 首先介绍 一、一笔画问题
(1) 弧值为负数； (2) 有向网络 ( 如：单行运输问题 )。
Ling Xueling
第二节 最小支撑树问题
一、概念
1、树－－不含圈的联通图
2、什么是（网络）最小支撑树
1) 贯通网络所有结点――支撑 2) 分枝 (弧) 总长度最小――最小
3、用处：分子结构问题、电网络分析问题、计算机 网络设立问题、管道铺设问题等等的解决。
1、结点之标号(给出：累计路程、路径两个指标)
20, 4 表示从起始结点 到本结点的距离 是 20 表示从起始结点到 本结点的最短路径 上前一个结点是 4
第8章 图与网络模型
35
一、求解最短路的Dijkstra算法(双标号法） 步骤： 1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J }
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号 （lt,kt），则 vs到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径， 则可以从kt 反向追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号， 则可以断言不存在从 vs到vt的有向路。如果上述的弧的集 合不是空集，则转下一步。 4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。在所有的 sij中，找到其值为最小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd），则 给此弧的终点以双标号（scd, Vc）,返回步骤2。
对象之间的关系并不是重要的，如对赵等七人的相互
认识关系我们也可以用图8-4来表示。
e2 (v1) e1 e4 e3 赵 (v2)钱 孙(v3) 李(v4) e5 吴(v6) 陈(v7)
周(v5)
图8-4
13
从以上的几个例子可以看出，我们用点和点 之间的线所构成的图，反映实际生产和生活中的 某些特定对象之间的特定关系。一般来说，通常 用点表示研究对象用点与点之间的线表示研究对
果两个顶点之间有边相联时，记为1，
否则为0。
v2
v1
v3
v4
v1
v1 0
v2
1
v3
1
v41v2Fra bibliotekv31
1
1
1
1
0
0
1
v2
v4
1
0
1
0
v1
v3
无向图的邻接矩阵是对称矩阵。
一、求解最短路的Dijkstra算法(双标号法） 步骤： 1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J }
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号 （lt,kt），则 vs到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径， 则可以从kt 反向追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号， 则可以断言不存在从 vs到vt的有向路。如果上述的弧的集 合不是空集，则转下一步。 4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。在所有的 sij中，找到其值为最小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd），则 给此弧的终点以双标号（scd, Vc）,返回步骤2。
对象之间的关系并不是重要的，如对赵等七人的相互
认识关系我们也可以用图8-4来表示。
e2 (v1) e1 e4 e3 赵 (v2)钱 孙(v3) 李(v4) e5 吴(v6) 陈(v7)
周(v5)
图8-4
13
从以上的几个例子可以看出，我们用点和点 之间的线所构成的图，反映实际生产和生活中的 某些特定对象之间的特定关系。一般来说，通常 用点表示研究对象用点与点之间的线表示研究对
果两个顶点之间有边相联时，记为1，
否则为0。
v2
v1
v3
v4
v1
v1 0
v2
1
v3
1
v41v2Fra bibliotekv31
1
1
1
1
0
0
1
v2
v4
1
0
1
0
v1
v3
无向图的邻接矩阵是对称矩阵。
运筹学8图与网络分析
（8）考察V8点，只有一个T标号，T(V8)=15，令P(V8)=15)，记录路 径（V7，V8），计算结束。
反推得最V1至V8的最短路为V1→V2 →V5 →V7 →V8,路长15。
8.2 最短路问题
一、Dijkstra算法：求无负权网络最短路问题。
计算步骤：
（1）给Vs以P标号，P（Vs）=0，其余各点给T标号， T（Vi）=+∞；
且仅得一个圈。
4）图中边数为：p-1（p为顶点数）
8.1 图与网络基本知识
例8-4：一个班级的学生共计选修A、B、C、D、 E、F六门课程，其中一部分人同时选修D、C、A， 一部分人同时选修B、C、F，一部分人同时选修 B、E，还有一部分人同时选修A、B，期终考试 要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生 负担，要求每人都不会连续参加考试，试设计一 个考试日程表。
（2）若Vi点为刚得到P标号的点，考虑点Vj: (Vi,Vj) 属于E，且Vj为T标号。则修改T(Vj)
T(Vj)=min[T(Vj),P(Vi)+lij]；
（3）比较所有T标号的点，把最小者改为P标号，即： P（Vi）=min[T(Vi)] 当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。
8.2 最短路问题
8.1 图与网络基本知识
三、有向图的有关概念:
有向图：
由点和弧组成。表示为：D=（V，A）
V--点集合 A--弧集合
始点和终点： 对弧a=(u，v)， u为a的始点，v为a的
终点。
链（道路）：
点弧交错序列。
圈（回路）：
如一条链中起点和终点重合。
初等链（道路）： 链中无重复的点和弧。
（3） 考察V5V6和V5V7两边： T(V6)=min[T(V6),P(V5)+l56]=min[+∞,8+5] =13 T(V7)=min[T(V7),P(V5)+l57]=min[+∞,8+6] =14
反推得最V1至V8的最短路为V1→V2 →V5 →V7 →V8,路长15。
8.2 最短路问题
一、Dijkstra算法：求无负权网络最短路问题。
计算步骤：
（1）给Vs以P标号，P（Vs）=0，其余各点给T标号， T（Vi）=+∞；
且仅得一个圈。
4）图中边数为：p-1（p为顶点数）
8.1 图与网络基本知识
例8-4：一个班级的学生共计选修A、B、C、D、 E、F六门课程，其中一部分人同时选修D、C、A， 一部分人同时选修B、C、F，一部分人同时选修 B、E，还有一部分人同时选修A、B，期终考试 要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生 负担，要求每人都不会连续参加考试，试设计一 个考试日程表。
（2）若Vi点为刚得到P标号的点，考虑点Vj: (Vi,Vj) 属于E，且Vj为T标号。则修改T(Vj)
T(Vj)=min[T(Vj),P(Vi)+lij]；
（3）比较所有T标号的点，把最小者改为P标号，即： P（Vi）=min[T(Vi)] 当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。
8.2 最短路问题
8.1 图与网络基本知识
三、有向图的有关概念:
有向图：
由点和弧组成。表示为：D=（V，A）
V--点集合 A--弧集合
始点和终点： 对弧a=(u，v)， u为a的始点，v为a的
终点。
链（道路）：
点弧交错序列。
圈（回路）：
如一条链中起点和终点重合。
初等链（道路）： 链中无重复的点和弧。
（3） 考察V5V6和V5V7两边： T(V6)=min[T(V6),P(V5)+l56]=min[+∞,8+5] =13 T(V7)=min[T(V7),P(V5)+l57]=min[+∞,8+6] =14
图论及网路模型_图文_图文
程序中的第3]句中&1 #1t# &2是逻辑运算语 句，表示所说明的变量只有行小于列的部分，因 此所说明的矩阵是上三角阵.
1962年-1984年，作为一个数学教授任职于 Eindhoven Unviersity of Technology.
1984年至1999年，作为计算机系系主任任职与美国UT Austin分校，并于1999年退休。
2002年8月6日在荷兰Nuenen自己的家中与世长辞
Dijkstra 最短路径算法被广泛的应用 在网络协议方面，如OSPF。
返回
算法原理—— 查找最短路路径的方法
则由点i到j的最短路的路径为：
i
pk
p3 p2 p1
q1
q2
qm
j
返回
算法步骤
TO MATLAB (road2(floyd))
返回
返回
(设备更新问题) 张先生打算购买一辆新轿车，轿
车的售价是12万元人民币.轿车购买后，每年的各
种保险费养护费等费用由表7-5所示.如果在5年之
2] nodes/1..6/;
3] arcs(nodes, nodes)|&1 #lt# &2: c, x;
4]endsets
5]data:
6] w = 7 12 21 31 44
7] 7 12 21 31
8]
7 12 21
9]
7
10]
7;
11]enddata 12]n=@size(nodes); 13]min=@sum(arcs:c*x); 14]@for(nodes(i) | i #ne# 1 #and# i #ne# n: 15] @sum(arcs(i,j):x(i,j)) = @sum(arcs(j,i):x(j,i))); 16]@sum(arcs(i,j)|i #eq# 1 : x(i,j))=1; END
1962年-1984年，作为一个数学教授任职于 Eindhoven Unviersity of Technology.
1984年至1999年，作为计算机系系主任任职与美国UT Austin分校，并于1999年退休。
2002年8月6日在荷兰Nuenen自己的家中与世长辞
Dijkstra 最短路径算法被广泛的应用 在网络协议方面，如OSPF。
返回
算法原理—— 查找最短路路径的方法
则由点i到j的最短路的路径为：
i
pk
p3 p2 p1
q1
q2
qm
j
返回
算法步骤
TO MATLAB (road2(floyd))
返回
返回
(设备更新问题) 张先生打算购买一辆新轿车，轿
车的售价是12万元人民币.轿车购买后，每年的各
种保险费养护费等费用由表7-5所示.如果在5年之
2] nodes/1..6/;
3] arcs(nodes, nodes)|&1 #lt# &2: c, x;
4]endsets
5]data:
6] w = 7 12 21 31 44
7] 7 12 21 31
8]
7 12 21
9]
7
10]
7;
11]enddata 12]n=@size(nodes); 13]min=@sum(arcs:c*x); 14]@for(nodes(i) | i #ne# 1 #and# i #ne# n: 15] @sum(arcs(i,j):x(i,j)) = @sum(arcs(j,i):x(j,i))); 16]@sum(arcs(i,j)|i #eq# 1 : x(i,j))=1; END
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实验
见实验指导。
x ij 0 或 1 其他点进入的边数等于出去的边数
3 最大流问题
例：求以下带权有向图从V1到V4的最大流。
12 1
13
2
100
7 8
4
3
5
权值表示两点之间的流量限制
求最大流已有成熟的算法：标号法 （ Ford-Fulker1s2on算2法）。100具体可见图
论 数方 学m面规ax的划v f 参方1考法书 ，13 。 用Lin7g3o解8 决5 ：4
找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处 参加面试，并且不允许插队（即在任何一个阶段4名同学的 顺序是一样的）。由于4名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示（单位：分 钟）。这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。 假定现在时间是早晨8:00，问他们最早何时能离开公司?
秘书初试
主管复试
经理面试
同学甲
13
15
20
同学乙
10
20
18
同学丙
20
16
10
同学丁
8
10
15
记tij为第i名同学参加第j阶段面试需要的时间 （已知），令xij表示第i名同学参加第j阶段面 试的开始时刻（早上8点为0时刻）：
目标：最后一阶段的最迟面试结束时间最小。
m i n T s . t . T x i 3 t i 3 , i 1 ,2 , 3 ,4
0 1 4 5 0 0 0
1 V1 2
5 V4 6
1
0
0
2
0
0
0
4 0 0 4 0 3 0
V0
V3
5
2
0
4 V2
4 3
4 V5
0 0 0 5 0 0 6
0 0 3 2 0 0 4
0 0 0 0 6 4 0
权值表示两点之间的长度
邻接矩阵M
求最短路已1有成V1熟的2 算法5：迪V4杰斯6 特拉
除起点和终点外， 不构成回路。
lingo教程.doc
6 关键路径问题
如下图，某个项目由4个作业（边）完成，每项 作业需要一定时间（边的权值）完成，并且每项 作业都需要在一定的状态（顶点）下才能开始， 即要完成所有先行作业（所有进入该顶点的边）。 求完成这个项目的最短时间。
无回路有向赋权图中的最长路径：关键路径。
nn
m i n z
c ij x ij
i1 j1
只能在有哈密顿回路的情况下。
n
s t :
x
＝
ij
1
,
j
1, 2,
,n
每个点只有一条边出去
j1
n
x
＝
ji
1
,
i
1, 2,
,n
每个点只有一条边进入
j1
u i u j n x ij n 1 , 2 i j n x ij 0 或 1, i, j 1, 2 , , n ui 0, i 2,3, ,n
（ 者D图ij论ks方Vtr0面a）的算参法5考。书具。体V3可见2 数据结V6构或
数学n规划n 方4法，V2用L4ing3o解决：V5 4
m in z
cij xij
i1 j1
1, i 1 起点多一条边出去
s t :
n
xij
n
x ji
1,
i
n
终点多一条边进入
j1
j1
0 , i 1, n
和 考K书r。uskal算法。具体可7 见图论6方面的参
3
2
数学规划方法，用Lin9go解决：5
nn
4
m i n z
c ij x ij
i1 j1
n
s t : x 1 j 1 j1
根至少有一条边连接到其他点
n
x j i 1 , i 1 除根外,每个点只有一条边进入 j1
x ij 0 或 1
数学建模讲义
第8章 图论与网络模型
dx rx dt
黄可坤
嘉应学院
主要内容
1 运输问题与分派问题 2 最短路径问题（重点） 3 最大流问题 4 最小生成树问题 5 旅行商(TSP)问题 6 关键路径问题 7 作业排序问题（难点）
1 运输问题与分派问题
是图论（二分图）问题，有图论方面的算法。 也可以用数学规划解决，比如05年B题：
x10,xi 0, i1,2, ,n
为了得到每个作业的最早开工时间和最迟 开工时间，可更改模型如下：
n
min z xi
全部作业的开始时间最小
i1
st : sij
xj
xi
tij , ti, j
0, i1,2j
1
1, 22,
, n100
sij 0
7
4
x1 0, xi 0, i 1,2, ,n 13
5 旅行商(TSP)问题
一名推销员准备前往若干城市推销产品， 然后回到他的出发地。如何为他设计一条 最短的旅行路线（从驻地出发，经过每个 城市恰好一次，最后返回驻地）？
1
7
6
3
2
9
5
4
1
旅行商问题图论7 中没有6 成熟的算法，有改 良圈算法3，但几乎不能找到2 最优解。
数学规划方法9，用4Lin5go解决：
st :
n
xij
n
x ji
vf v
f
, i , i
1 n
j 1
j 1
0, i 1, n
0 xij cij
除去源点和汇点的流量等于网络总流量之外， 其他点所有流入的流量和流出的流量相等。
4 最小生成树问题
例：求以下带权图的最小生成树。
1
7
6
3
23
9
5
4
1
2 5
求最小生成树已有成熟的算1法：prim算法
1000 100
m a x z
c ij x ij
i1 j1
1000
x ij
N
j,
j
1, 2,
,1 0 0
i1
1 0 0
st : xij 3, j 1, 2 , ,1 0 0 0
j1
x ij
0或
1,
i, j 1, 2, , n
2 最短路径问题
例：求以下带权图从V0到V6最短路径。
每人只有参加完前一阶段的面试后才能进入下一阶段：
x ij tij x i,j 1 , i 1 ,2 ,3 ,4 ;j 1 ,2
每个阶段j同一时间只能面试1名同学：用0-1变量yik 表示第k名同学是否排在第i名同学前面：
x ij tij x k j T y ik, i,k 1 ,2 ,3 ;j 1 ,2 ,3 ;i k x k j tk j x ij T ( 1 y ik), i,k 1 ,2 ,3 ;j 1 ,2 ,3 ;i k
12 1
13
2 100
7
4
3
关键路径问题图论中已有成熟的算法，具 体可见数据结构或者图论方面的参考书。
数学规划方法，用Lingo解决：
设xi是作业i的开始时间。
12
目标：最后一个作业的 1
开始时间最小。
13
minzxn
2 100
7
4
3
st:xj xi tij, ti,j 0, i,j1,2, ,n
3
当sij>0时，说明对应的作业的开始时间可以推迟 sij，从而得到每个作业i的最迟开工时间。
关键路径还可以看成最长路，用求最短路径的方 法来求解。
图论其他问题
图的遍历：深度优先，广度有限 平面图,着色问题 二分图 树：二叉树，二叉树遍历，编码，表达式
7 作业排序问题
（题目在书134页，代码在lingo教程.doc）有4名同学到一家 公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先