第十六章 压 杆 稳 定 - 山西建筑职业技术学院精品课程

第十六章
压 杆 稳 定
一、内容提要 1. 概念 稳定平衡 构件受力作用且经干扰后能保持原有平衡状态，称之为稳定平衡。 失稳 构件受力作用且经干扰后不能保持原有平衡状态，构件为不稳定平衡，即为压杆丧失稳定性， 简称失稳。 临界力 临界平衡状态时作用在压杆上的压力。 2. 临界力或临界应力 细长压杆用欧拉公式
FP 120 10 3 4 MPa=56.5MPa＜64.08MPa A 3.14 52 2
稳定性满足要求. 三、思考题提示或解答 16-1 图示矩形截面杆，两端受轴向压力 F 作用。设杆端约束条件是：在 xy 平面内两端视为铰支；在 xz 平面内两端视为固定端。试问该压杆的 b 与 h 的比值等于多少时，才是合理的？ 原图 16-13 思 16-1 图 提示 在 xy 平面内弯曲时 z 为中性轴；在 xz 平面内弯曲时 y 为中性轴。使 b 与 h 的比值最合适时两 个平面内的临界力相等。b/h=0.5 16-2 有一圆截面细长压杆，试问： （1）杆长增加一倍； （2）直径 d 增加一倍。临界力各有何变化？ 提示 按欧拉公式分析。 （1）杆长增加一倍时，临界力为原来的 1/4 （2）直径 d 增加一倍时，临界力为原来的 16 倍。 16-3 根据柔度大小，可将压杆分为哪些类型？这些类型压杆的临界应力σcr 计算式是什么？分别属于 什么破坏？ 解答 根据柔度大小，可将压杆分为细长、中长、短粗三类；
16-4 图示压杆由 Q235 钢制成，材料的弹性模量 E=200GPa。在 xy 平面内，两端为铰支；在 xz 平面内， 两端固定。试求该压杆的临界力。 原图 16-19 题 16-4 图 解 查表可知 Q235 钢的λP=100 (1) 在 xy 平面内，中性轴为 z 轴 λz=
z l 1 2.4 10 3 =208＞100 40 iz 1 EI 3.14 2 200 10 3 225 10 4 N =123kN ( l ) 2 (1 6 10 3 ) 2
16-2 一端固定一端铰支的圆截面细长压杆。已知杆长 l=3m， d=50mm，材料 Q235 钢，其弹性模量
2 EI ( l AB ) 2
FcrBC= EI 均相同，所以
2 EI ( l BC ) 2
由于两杆的μ
2 FcrAB l BC 2 =2 FcrBc l AB
(3) 判断失稳 压力先达到临界力的杆先失稳 当 BC 杆上的压力达到临界力时 FNBC= FcrBC BC 杆开始失稳时。 此时 AB 杆的压力为 FNAB=1.22 FNBC=1.22 FcrBC＜FcrAB AB 杆仍处于稳定平衡状态 所以 BC 杆先失稳。
Fcr
中长压杆用经验公式 σcr=a－bλ 3. 压杆稳定计算 稳定条件 σ=
2 EI (l ) 2
2
cr
2E 2
FN ≤ [σ] A
利用稳定条件可解决三方面问题 1. 压杆稳定校核 2. 计算压杆或结构的许用荷载 3. 确定压杆截面尺寸 二、典型例题解析 例 16-1 图 16-1 所示压杆均为圆形截面细长压杆，各杆所用的材料及直径均相同。当压力从零开始以相 同的速率增加时，问哪根杆最先失稳？
FP Sin 45
0

12 2 2
kN=16.97kN
σ=
FNBC 16.97 10 3 4 MPa=13.51MPa＜ [σ] A 3.14 40 2
BC 杆稳定 (2) 求最大荷载
由 σ= 得
FNBC ≤ [ ] A 3.14 40 2 N=80.71kN 4
FNBC≤ [ ] A=0.378×170×
梁 ABC 的强度满足要求. (3) 校核 BD 的稳定性 λ=
l 1 3 10 3 =75＜91 160 i 4 1 ( )2 65
1 1 =0.43 75 1 ( )2 65

σ=
FNBD 81.67 10 3 4 MPa=4.06MPa＜ [σ]=4.3MPa A 3.14 160 2
图 16-1 知识点 压杆的临界力与失稳 解 临界力小的杆首先失稳。各杆均为细长压杆，临界力均用欧拉公式计算
2 E Fcr 2 A
由已知条件可知各杆 EA 均相同。所以λ最大者临界力最小，杆最先失稳。 λ=
l i
各杆 i 均相同，只需比较μl 的大小。
a 杆：μl=2a b 杆：μl=1.3a c 杆：μl=1.12a a 杆的μl 最大，即λ最大，a 杆最先失稳。 例 16-2 图 16-2a 为一螺旋千斤顶， 最大承载压力 FP=120kN， 材料为 Q235 钢， [σ]=80MPa， 丝杠长 l=500mm， 丝杠为圆形截面（轧制） ，直径 D=52mm，试校核其稳定性。
σcr=
解 λ=
(1) 校核 BC 杆的稳定性
l 1 2 1 10 3 =141 i 10 圆截面杆(扎制)为 a 类，查教材表 16-4 得 =0.378 [σ]=0.378×170MPa=64.26MPa
取 B 点研究求 BC 杆的压力。如题解 16-6 图
题解 16-6 图 由平衡方程 ∑Fy=0 得 FNBCsin45°－FP=0 FNBC= 又
又由题解 16-6 图可知 FP =FNBCsin45°≤80.71×0.707kN=57.06kN 故 FPmax=57.06kN 16-7 结构及受力如图示,试作梁 ABC 的强度与柱 BD 的稳定校核。 梁 ABC 为№22b 工字钢， [σ]=170Mpa； BD 杆为圆截面木杆，直径 d=160mm，木杆的许用应力[σ]=10MPa。 原图 16-21 题 16-7 图 解 (1) 求 BD 杆的压力及梁 ABC 的弯矩 取梁 ABC 为研究对象，如题解 16-7 图 a
图 16-2 知识点 压杆稳定性校核 解 （1）计算柔度 丝杆可简化为下端固定上端自由的压杆，见图 16-2b μ=2 柔度λ= i=
d 52 mm 13mm 4 4
l 2 500 =77＜100 属于中长杆 i 13
(2) 稳定性校核 查教材表 16-4 得 =0.801 [σ]=0.801×80MPa=64.08MPa 工作应力 σ=
E=200GPa。试求该杆的临界力。
原图 16-17 题 16-2 图 解 细长压杆的临界力用欧拉公式计算 一端固定另一端铰支 μ=0.7 圆截面的惯性矩
EI ( l ) 2
2
I=
d 4 64
3.14 2 200 10 3
Fcr=
3.14 50 4 64 N =137kN (0.7 3 10 3 ) 2
E 3.14 10 10 3 =70.21 20
P
λ=
l 1 4 10 3 =115.47＞λP 120 i 12
木柱为细长压杆，按欧拉公式计算临界应力
2 E 3.14 2 10 4 MPa=7.39 MPa 2 115 .47 2 题 16-6～16-9 为压杆的稳定计算问题 16-6 图示三角架中，BC 为圆截面杆(扎制)，材料为 Q235 钢。已知 FP=12kN，a=1m，d=40mm，材料的 许用应力[σ]=170MPa。 （1）校核 BC 杆的稳定性； （2）从 BC 杆的稳定条件考虑，求此三角支架所能承受的最大荷载 FPmax。 原图 16-20 题 16-6 图
BD 杆满足稳定性要求 16-8 图示托架的斜撑 BC 为圆截面木杆，材料的许用压应力[σ]=10MPa。试确定斜撑 BC 所需直径 d。 原图 16-22 题 16-8 图 解 (1) 求 BD 杆的压力，取 AD 研究如题解 16-8 图
题解 16-8 图 由平衡方程 ∑MA=0 得 (FNBCsin30°×2.4－50×3.2×1.6)kN=0 FNBC=213.33kN (2) 求直径 由题 16-8 图可得
16-3 图示结构由两个圆截面杆组成，已知二杆的直径 d 及所用材料均相同，且二杆均为细长杆。问： 当 FP 从零开始逐渐增加时，哪个杆首先失稳？（只考虑图示平面） 原图 16-18 题 16-3 图 解 (1) 求每根杆的压力 取 B 点研究，如题解 16-3 图。
题解 16-3 图 由平衡方程 ∑Fx=0 得 FNAB cos45°－FNBC cos30°=0 ∑Fy=0 得 FNAB sin45°＋FNBC sin30°－FP=0 解方程得 FNAB=0.896FP FNBC=0.732 FP 即 FNAB=1.22 FNBC (2) 求每根杆的临界力 FcrAB=
按欧拉公式计算临界力
2 EA 3.14 2 200 10 3 60 40 N=246kN 2 208 2 (2) 在 xz 平面内，中性轴为 y 轴
Fcr=
λy=
yl
iy

0.5 2.4 10 3 =69＜100 60 12
按经验公式计算临界力 2 2 Fcr=(235－0.00668λ )A=(235－0.00668×69 )×60×40N=488kN (3) 该压杆的临界力为两个平面内临界力中的较小值 Fcr=246kN 16-5 两端铰支的木柱横截面为 120mm×200mm 的矩形，l=4m，木材的弹性 E=10GPa, σp=20MPa。试求木柱的临界应力。 （提示：若需经验公式，可用σcr=28.7-0.19λ） 解 λP=
题解 16-7 图 由平衡方程
∑MA=0 FNBD×3－10×3×1.5－50×4=0 得 FNBD=81.67kN 梁 ABC 的弯矩图见题解 16-7 图 b |M|max=50kN·m (2) 校核梁 ABC 的强度 3 查型钢表得 Wz=325cm σmax=
M max 50 10 6 MPa=153.85MPa＜[σ] Wz 325 10 3
lBC=