高数下高斯公式汇总图文
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高斯公式全解
积为V, 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径
的夹角,
试证
证: 设 的单位外法向量为
则
cos
n
0
r
0
n0 r0
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
d
S
1 3
3
dv
V
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1 R3
3( x 2
y2
z2)dv
3 R
d
v
4
R
2
(2)
x3 r3
dy
d
z
y3 r3
d
z
d
x
z3 r3
d
x
d
y
x
x3 r3
y
y3 r3
z
z3 r3
dv
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作业
P236 1 (4), (5); 4
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
①
的充要条件是:
P Q R 0 , (x, y, z) G
②
x y z
证: “充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件.
“必要性”. 用反证法已. 知①成立, 假设存在 M 0 G, 使
P Q R x y z
M 0
0
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dxd y
Dx y
z2(x,y) R d z z1(x, y) z
2
3
R(x,
高斯定理
高斯定理陈述报告班级：电气121班姓名：徐鹏学号：2012230106 姓名：邵辉学号：2012230158 姓名：王天宇学号：2012230102高斯定理高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系由曲面向外定义为其方向，为闭合曲面内的电荷，为真空电容率，为此处电介质的介电常数（如果是真空的话，其数值为1）。
其微分形式；其中，为电荷密度(单位 C/m3)。
在线性材料中，等式变为。
其中为材料的电容率。
基本定义：高斯定理（Gauss Law）也称为高斯公式（Gauss Formula），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。
设空间有界闭合区域Ω，其边界∂Ω为分片光滑闭曲面。
函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)及其一阶偏导数在Ω上连续，那么[1]：图一（高数上的高斯公式）（由于百科不支持很多格式及字符，故本词条使用一些截图，本公式请见右侧图一）（如图一）其中∂Ω的正侧为外侧，cos α、cos β、cos γ为∂Ω的外法向量的方向余弦。
高斯投影称向量场的散度(divergence)。
[1]即矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分。
它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系，是矢量分析中的重要恒等式，也是研究场的重要公式之一。
其他高斯定理：高斯定理2定理：凡有理整方程至少有一个根。
推论：一元n次方程有且只有n个根（包括虚根和重根）。
高斯定理3正整数n可被表示为两整数平方和的充要条件为n的一切形如4k+3形状的质因子的幂次均为偶数。
适用条件：任何电场静电场（见电场）的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。
根据库仑定律可以证明电场强度对任意封闭曲面的通量正比于该封闭曲面内电荷的代数和，即公式这就是高斯定理。
高等数学第十章 曲线积分与曲面积分第六节 高斯(Gauss)公式10-6
2
x
柱，前，右
zxdydz
1
o
1
y
6/16
例1 求
2 2 ( x y ) dxdy ( y z ) xdydz ， Σ ： x + y =1 及
z= 0、z= 3 所围闭区域边界曲面的外侧。
Gauss
P Q R 解2 原 式 ( )dv x y z
解1 原 式 (
顶 底 左右对称
( )( x y )dxdy 2
柱
)
顶 底
柱 xOy
顶、 底 yOz
柱 ， 前
( y z ) xdydz 0
z
柱
( y z ) xdydz
3
4
3 4 z 1 y ( dydz) 2 D yz
R R dxdydz dxdydz z k 1 k z n Rdxdy Rdxdy.
n
k 1 k
同理
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z 证毕
用法：同格林公式。
14/16
三、*物理意义----通量与散度
记 A( x, y, z ) ( P, Q, R), ,
P Q R ( )dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ＝ ＝
dir A dxdydz A dS
其中 是 的边界曲面的正向，cos 、cos 、 cos 是 上正向法向量的方向余弦。
Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面曲 面积分之间的关系.
x
柱，前，右
zxdydz
1
o
1
y
6/16
例1 求
2 2 ( x y ) dxdy ( y z ) xdydz ， Σ ： x + y =1 及
z= 0、z= 3 所围闭区域边界曲面的外侧。
Gauss
P Q R 解2 原 式 ( )dv x y z
解1 原 式 (
顶 底 左右对称
( )( x y )dxdy 2
柱
)
顶 底
柱 xOy
顶、 底 yOz
柱 ， 前
( y z ) xdydz 0
z
柱
( y z ) xdydz
3
4
3 4 z 1 y ( dydz) 2 D yz
R R dxdydz dxdydz z k 1 k z n Rdxdy Rdxdy.
n
k 1 k
同理
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z 证毕
用法：同格林公式。
14/16
三、*物理意义----通量与散度
记 A( x, y, z ) ( P, Q, R), ,
P Q R ( )dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ＝ ＝
dir A dxdydz A dS
其中 是 的边界曲面的正向，cos 、cos 、 cos 是 上正向法向量的方向余弦。
Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面曲 面积分之间的关系.
高数高斯公式
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
2、高斯公式的实质
（1）应用的条件
（2）物理意义 divAdv AdS
21
习题10 6
P174
高斯 ( Gauss ) 公 式25
1(2)(3)(4),2(3),3(2)
22
1
3
x2 y2 dxdy
Dxy
2
d
R
r rdr
2 R3
0
0
3
1
1
1
高斯
1 4 R3 2 R3 4 R3
( Gauss ) 公 式10
23
3
3
9
例 3 计算曲面积分
高斯
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为
( Gauss ) 公 式11
解 P ( y z)x, Q 0, x R x y,
1
3
z
o1
y
5
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
z
高斯 ( Gauss ) 公
式7
1
3
原式 ( y z)dxdydz
(利用柱面坐标得)
(r sin z)rdrddz
o1
y
x
2
1
3
0 d 0 rdr 0 (r sin z)dz
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为
AdS Pdydz Qdzdx Rdxdy
如E为称电为场向强量 度,场单A位(时x,间y,通z)过向正的侧电穿通过量曲面I Σ的E通dS量.
第六节：高斯公式
2
2
2
2
2 ( x y z )dxdydz 2 (a b c )dxdydz
由对称性知 ( x y z )dxdydz 0
4 3 2 ( a b c ) R I 2(a b c ) dxdydz 3
P x dxdydz Pdydz,
Q y dxdydz Qdzdx ,
假设条件（1）用平行于 z 轴的直线穿越 的内部 时，与 的边界曲面 交点恰好为两点。
（2） 取外侧。
（3）R (x , y , z) 在 上具有一阶连续偏导数。 R dxdydz R( x , y , z )dxdy 结论： z P Q x dxdydz Pdydz, y dxdydz Qdzdx , 说明 1. 若 不满足条件（1），则可类似于格林公 式的情形进行处理。 2. 三式合并即为
其中 为锥面 z 2 x 2 y 2 介于平面 z = 0 及 z = h （h > 0）之间部分的下侧。 n (cos , cos , cos ) 是与 的侧向一致的法向量的方向余弦。
解：在 1 可以应用高斯公式。
zn (0,0,1)
I ( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
2 3 dxdydz z dxdydz a 3 a x 3 2 2 a a 2 2 a 3 0 d d 0 r cos r sin d r a 3 a 2
2
0 n
y
例4：计算 I y ln rdydz x ln rdzdx zdxdy
高等数学11.6高斯(Gauss)公式
公式称为高斯(Gauss,1777-1855,德国)公式.
一、高斯公式
P Q R )dV ( x y z Pdydz Qdzdx Rdxdy
其中 取外侧 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) dv x y z
对图中区域 , 可添加曲面 3 ( 上侧 ),
1 2 ,
1 2 ,
1 1 3 , 2 2 3 ,
1 2
z
2
3
2
1
1 3
2 3
2
z=h
1
法向量 y z h( h 0) (0,0,1)
2 2
h
D xy
o
y
2 2 2 1 4 ( x cos y cos z cos ) dS 2 ( x y z ) dv h . 2 1
x
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS z 2 dS
2
y z h( h 0)
2 2
h
D xy
o
y
2
x P Q R ( P cos Q cos R cos )dS . ( ) dv x y z
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ( x y z )dv 1
0,
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
一、高斯公式
P Q R )dV ( x y z Pdydz Qdzdx Rdxdy
其中 取外侧 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) dv x y z
对图中区域 , 可添加曲面 3 ( 上侧 ),
1 2 ,
1 2 ,
1 1 3 , 2 2 3 ,
1 2
z
2
3
2
1
1 3
2 3
2
z=h
1
法向量 y z h( h 0) (0,0,1)
2 2
h
D xy
o
y
2 2 2 1 4 ( x cos y cos z cos ) dS 2 ( x y z ) dv h . 2 1
x
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS z 2 dS
2
y z h( h 0)
2 2
h
D xy
o
y
2
x P Q R ( P cos Q cos R cos )dS . ( ) dv x y z
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ( x y z )dv 1
0,
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
13.4 高斯公式(1-31)
则对 M(x , y , z) 有
P ( x , y , z ) Q( x , y , z ) R( x , y , z ) divf ( x , y , z ) x y z
说明 (1) 利用哈密尔顿向量微分算子
{ , , } x y z P Q R divf ( x , y , z ) f ( x , y , z ) x y z
表示流体流过有向封闭曲面外侧的流量 当流体流出时 v ( x , y , z ) 与 n 夹锐角
在该部分区域上的积分为正值 当流体流入时 v ( x , y , z ) 与 n 夹钝角
在该部分区域上的积分为负值
v ( x , y , z ) n dS : 表示单位时间内流体流出和
可证:
P P ( x , y, z )dydz dV x Q Q( x , y, z )dzdx dV y
沿闭曲面 的外 ) dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
流入曲面流量的代数和
(1) v ( x , y , z ) n dS 0
表示流出的流体量大于流入的流体量
表明: 曲面 所界的区域 内必有产生流体的 “源泉” ( 简称 源 )
(2) v ( x , y , z ) n dS 0
S1
x 2 y 2 a 2
2 xydxdy 0
2 5 I a 5
直角坐标系下散度的计算公式 设向量场
f ( x , y, z ) { P ( x , y, z ) , Q( x , y, z ) , R( x , y, z ) } C 1 ( )
高数下之---6,高斯 (Gauss)公式
( x y
P
Q
R z
)dv
( P cos Q cos R cos )dS
高斯Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其 边界曲面上的曲面积分之间的关系. 高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了 一个新途径, 它能简化曲面积分的计算.
11
3
cos 是 上点 ( x , y , z ) 处的法向量的方向余弦
( x
P
Q y
R z
)dv
Pdydz Qdzdx Rdxdy
证明思路 分别证明以下三式,从而完成定理证明.
x dv P ( x , y , z )dydz
1 2
4
1
1
h
n
O
1 2
h .
4
h
x
D xy
y
17
利用高斯公式计算三重积分
I
( xy
2
yz zx ) d v
其中 是由平面 x 0 , y 0 , z 0 , z 1以及
圆柱面 x y 1围在第一挂限内的立体
2
.
提示
2
D xy
R ( x , y , z ) d x d y 0
3
7
R z
dv
{ R [ x , y , z 2 ( x , y )] R [ x , y , z 1 ( x , y )]} d x d y
D xy
于是 R ( x , y , z ) d x d y
高斯公式
Σ
证 设与n同向的单位向量为(cosα, cosβ, cosγ), 则
u v dS = ∫∫u(v cosα + v cos β + v cosγ )dS ∫∫ n z x y
=∫∫[(u v)cosα +(u v)cos β +(u v)cosγ ]dS z x y = ∫∫∫[ (u v)+ (u v)+ (u v)]dxdydz>>> x x y y z z
2v + 2v + 2v . v = 2 x y2 z2
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例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域上具有一阶及二阶连 续偏导数, Σ是的整个边界曲面, n是Σ的外法线方向, 证明
uvdxdydz= ∫∫u v dS ∫∫∫(u v + u v + u v)dxdydz . ∫∫∫ n x x y y z z
Σ
P + Q + R)dv = (Pcosα +Qcos β +Rcosγ )dS , 或∫∫∫( ∫∫ x y z
这里Σ是的整个边界的外侧, cos α 、cos β 、cos γ 是Σ在点 (x, y, z)处的法向量的方向余弦.
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Σ
例 1 利用高斯公式计算曲面积分∫∫(x y)dxdy+(yz)xdydz ,
P + Q+ R divA= . x y z
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散度 向量场A(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k的散度:
证 设与n同向的单位向量为(cosα, cosβ, cosγ), 则
u v dS = ∫∫u(v cosα + v cos β + v cosγ )dS ∫∫ n z x y
=∫∫[(u v)cosα +(u v)cos β +(u v)cosγ ]dS z x y = ∫∫∫[ (u v)+ (u v)+ (u v)]dxdydz>>> x x y y z z
2v + 2v + 2v . v = 2 x y2 z2
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例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域上具有一阶及二阶连 续偏导数, Σ是的整个边界曲面, n是Σ的外法线方向, 证明
uvdxdydz= ∫∫u v dS ∫∫∫(u v + u v + u v)dxdydz . ∫∫∫ n x x y y z z
Σ
P + Q + R)dv = (Pcosα +Qcos β +Rcosγ )dS , 或∫∫∫( ∫∫ x y z
这里Σ是的整个边界的外侧, cos α 、cos β 、cos γ 是Σ在点 (x, y, z)处的法向量的方向余弦.
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Σ
例 1 利用高斯公式计算曲面积分∫∫(x y)dxdy+(yz)xdydz ,
P + Q+ R divA= . x y z
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散度 向量场A(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k的散度:
高等数学-高斯公式
z 1
S
O
1y
L
1 x
（图8-28）
【例8-22】计算
Ñ I ( y2 z2 )dx (2z2 x2 )dy (3x2 y2 )dz, L
其中L是平面 x+y+z=2与柱面 x y 1 的交线，从 z 轴 正向看去L是逆时针（图8-29）．
z L
y
O
x
（图8-29）
PQR
rr
则 Ñ Pdx Qdy Rdz rot(A)dS
L
S
r rot(A)
( R
Q
,
P
R,Q源自P )y z z x x y
r
则 div(rot(A)) 0.
设曲面 S1 与曲面 S 有公共的边界曲线,则 S1 与 S 可
围成立体 V ,由高斯公式 :
L
S
S1
这说明: 第二类空间曲线积分写成斯托克斯公式时,
与曲面 S 的取法无关.
O
1
2
x
x 1 y2 z2 （图8-27）
斯托克斯(Stokes)公式
定理 8 4. 设 L 为分段光滑的空间有向闭曲线, S 为以 L为边界的分片光滑有向曲面,L 的正向 与 S 的法向量构成右手系,函数 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) 在 S 内有一阶连续偏导数,则有
1(3)(4) 2 3 4 6(3)(4)
作业:习题 8-4
关于斯托克斯公式的一些讨论*
r 设 A (P,Q, R) ,rot(A)为 A的旋度,即
rrr i jk
r rot(A)=