最新名校2020高考解析几何大题二(定值定点)(4.2日)
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解析几何大题二
1．椭圆M 的中心在坐标原点O ，左、右焦点F 1，F 2在x 轴上，抛物线N 的顶点也在原点O ，焦点为F 2，椭圆M 与抛物线N 的一个交点为A （3，2）．
（Ⅰ）求椭圆M 与抛物线N 的方程；
（Ⅱ）在抛物线M 位于椭圆内（不含边界）的一段曲线上，是否存在点B ，使得△AF 1B 的外接圆圆心在x 轴上？若存在，求出B 点坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F 到直线30x y -+=的距离为22，231,P ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭
在椭圆C 上.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，,A B 是1l 与椭圆C 的两个交点，,C D 是2l 与椭圆C 的两个交点，,M N 分别是线段,AB CD 的中点试，判断直线MN 是否过定点？若过定点求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
3．已知抛物线C:y 2
=2px(p>0)的焦点F 和椭圆22
143
x y +=的右焦点重合,直线过点F 交抛物线于A 、
B 两点.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线交y 轴于点M,且,MA mAF MB nBF ==u u u r u u u r u u u r u u u r
,m 、n 是实数,对于直线,m+n 是否为定值?
若是,求出m+n 的值；否则,说明理由.
4．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的上顶点为B ，点(0,2)D b -，P 是E 上且不在y 轴上的点，
直线DP 与E 交于另一点Q .若E 的离心率为2
2，PBD ∆的最大面积等于
322
. （1）求E 的方程；
（2）若直线,BP BQ 分别与x 轴交于点,M N ，判断OM ON ⋅是否为定值.
5．已知一动圆P 与定圆22
1(1)4x y -+=外切，且与直线1
02x +=相切，记动点P 的轨迹为曲线E ．
（1）求曲线E 的方程；
（2）过点()5,2D -作直线l 与曲线E 交于不同的两点B 、C ，设BC 中点为Q ，问：曲线E 上是否存在一点A ，使得1
||||2
AQ BC =恒成立？如果存在，求出点A 的坐标；如果不存在，说明理由．
6．已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，点()(),4P t t p >是抛物线C 上一点，且满足
5PF =.
（1）求p 、t 的值；
（2）设A 、B 是抛物线C 上不与P 重合的两个动点，记直线PA 、PB 与C 的准线的交点分别为M 、
N ，若MF NF ⊥，问直线AB 是否过定点？若是，则求出该定点坐标，否则请说明理由.
7．已知以动点P 为圆心的P e 与直线l ：12x =-相切，与定圆F e ：22
1(1)4
x y -+=相外切.
（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；
（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点M 、N （MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为1M 、1N ，直线l 交x 轴于点A ，记1AMM ∆、AMN ∆、1ANN ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，
且2
2134S S S =，证明：直线MN 过定点.
8.从抛物线236y x =上任意一点P 向x 轴作垂线段垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足
2PM MQ =u u u u r u u u u r
.
（1）求点M 的轨迹C 的方程；
（2）设直线)1(x my m R =+∈与轨迹C 交于A B 、两点，点T 为轨迹C 上异于A B 、的任意一点，直线AT BT 、分别与直线1x =-交于D E 、两点.问：x 轴正半轴上是否存在定点使得以DE 为直径的圆过该定点？若存在，求出符合条件的定点坐标；若不存在，请说明理由.
解析几何大题二（定值定点）参考答案
1.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），抛物线的方程为y2＝2px （p＞0），
A（3，2）在抛物线上，可得24＝6p，即p＝4，可得抛物线N的方程为y2＝8x；
由题意可得椭圆的c＝2，即F1（﹣2，0），F2（2，0），
由椭圆的定义可得2a＝|PF1|+|PF2|＝+＝7+5＝12，即a＝6，可得b2＝a2﹣c2＝32，则椭圆M的方程为+＝1；
（Ⅱ）在抛物线M位于椭圆内（不含边界）的﹣段曲线上，假设存在点B，使得△AF1B的外接圆圆心H在x轴上，
可设H（t，0），由外接圆的圆心H在线段F1A的垂直平分线上，也在线段F1B的垂直平分线上，设B（2m2，4m ），（0≤2m2＜3），由k＝，可得线段F1A的垂直平分线的斜率为﹣，且线段F1A 的中点坐标为（，），线段F1A的垂直平分线的方程为y﹣＝﹣（x ﹣），可令y＝0，可得x＝，即有t＝；
同理可得线段F1B的垂直平分线方程为y﹣2m ＝﹣（x﹣m2+1），
代入H（，0）可得﹣2m＝﹣（﹣m2+1），
化为10m4+11m2﹣39＝0，解得m2＝（﹣舍去），
这与0≤2m2＜3矛盾，故不存在这样的B点，使得△AF1B的外接圆圆心H在x轴上．2．解：（1）由题意得
22
3
22
2
14
1
3
c
a b
+
=
⎪+=
⎪⎩
，∴
3
2
a
b
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
C的方程为
22
1
32
x y
+=；
（2）由（1）得()
10
F，，设直线
1
l的方程为1
x my
=+，点,A B的坐标分别为()()
1122
,,,
x y x y，①当0
m≠时，由22
1
1
32
x my
x y
=+
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，得()22
32440
m y my
++-=，
∴
122
122
4
32
4
32
m
y y
m
y y
m
⎧
+=-
⎪⎪+
⎨
⎪÷=-
⎪+
⎩
，∴
22
32
,
3232
m
M
m m
⎛⎫
-
⎪
++
⎝⎭
同理，由
22
1
1
1
32
x y
m
x y
⎧
=-+
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，可得
2
22
32
,
3232
m m
N
m m
⎛⎫
⎪
++
⎝⎭()
22
22
22
22
5
3232
3331
3232
MN
m m
m
m m
k
m m
m m
+
++
==
-
-
++
∴直线MN的方程为()
2
53
5
31
m
y x
m
⎛⎫
=-
⎪
-⎝⎭，过定点
3
,0
5
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；②当0
m=时，则直线
1
l的方程为()()
11,00,0
x M N
=,,，∴直线MN过定点
3
,0
5
⎛⎫
⎪
⎝⎭
综上，直线MN过定点
3
,0
5
⎛⎫
⎪
⎝⎭
3．（1）∵椭圆的右焦点(1,0),1,2,
2
p
F p
∴==∴抛物线C的方程为24
y x
=
（2）由已知得直线l的斜率一定存在，所以设l：(1),
y k x l
=-与y轴交于(0,)
M k
-，设直线l交
抛物线于
1122
(,),(,),
A x y
B x y由2222
2
(1)
{2(2)0
4
y k x
k x k x k
y x
=-
⇒-++=
=
，
∴2242
4(2)416(1)0
k k k
∆=+-=+f∴
2
1212
2
24
,1
k
x x x x
k
+
+=⋅=，
又由
111111
,(,)(1,),(1),
MA mAF x y k m x y x m x
=∴+=--∴=-
u u u r u u u r
即m=1
1
1
x
x
-,同理
2
2
1
x
n
x
=
-，