三角函数 正切、余切图象及其性质
高一正弦、余弦、正切函数的图像与性质复习课
2.设函数f(x)＝sin(2x－ )，x∈R，则f(x)是 ( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为 的奇函数
D.最小正周期为 的偶函数
练习 3.函数y＝sin(2x＋ )的图象 ()
A.关于点( ,0)对称 B.关于直线x＝
对称
C.关于点( ,0)对称 D.关于直线x＝ 对称
对称中心 ( ，0)， k∈Z
无
2π
πቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求下列函数的定义域：
变式：求函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域.
已知函数f(x)＝log2[
(2x－ )].
(1)求函数的定义域；
(2)求满足f(x)＝0的x的取值范围；
(3)求函数f(x)的单调递减区间. 变式：求函数y＝sin ( －2x)，x∈[-π,π]的单调减区间.
例 3. 求函数 y sin x tan x 在[ , ]上最大值和最小值.
44
例 4. 求函数 y 3 tan x 的定义域和值域.
例
5.已知函数
f
(x)
tan(
2x) .
3
⑴求函数的单调区间；
⑵求函数图象在 x (0, 2 ) 上的对称点坐标.
例 6.已知函数 f ( x) tan( x )( 0)
ymin＝－1(k∈Z)
x＝2kπ 时 ， yXm＝aπx＝＋12(kkπ∈Z时)；， ymin＝－1(k∈Z)
无最值
函数 奇偶
性
对称 性
周期 性
y＝sinx 奇
y＝cosx 偶
y＝tanx 奇
对称中心 (kπ，0)，k∈Z
对称轴l： x＝kπ＋ ，
常见三角函数图像及其性质
常见三角函数图像及其性质三角函数介绍正弦函数主词条：正弦函数格式：sin（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-余弦函数主词条：余弦函数格式：cos（θ）作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-正切函数主词条：正切函数格式：tan（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。
函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：()∞-∞，+余切函数主词条：余切函数格式：cot（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数值域：()∞-∞，+正割函数主词条：正割函数格式：sec（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：(][)∞-1-，1∞，+余割函数主词条：余割函数格式：csc（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数值域：(][)∞-1-∞，+，1。
6-2.余弦,正切,余切函数的图象和性质(15
解
在本节课的最后一个例题中出现了图象变换对函数性质的影响．有关这个问题在下节课还要详细分析．总之，学习了函数的性质，特别是学习正弦函数、余弦函数独特的性质周期性后，使我们对它们的其它性质有了进一步的认识，也使我们对两个函数有了较为全面的了解．
4．增减性：从图象上可以看出正弦函数在整个实数域上不是增函数，也不是减函数，但具有增减区间．引导学生从图象上先标出一个增区间，
5．最值：最大值为1，最小值为-1，但取得最值的时刻不唯一．例
取到最小值．
函数值取最值．而如前面讨论的正弦函数取得最大值时，对应的自变量x的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．
所以它们的定义域相同，都为R．值域也相同，都是［-1，1］．最大值都是1，最小值都是-1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大（或最小）值的时刻不同．它们的周期相同，最小正周期都是2π．它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现．也是由于y轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同．也使奇偶性发生了改变．
再比如奇偶性的讨论：
奇非偶函数.
函数的有些性质利用函数图象来讨论既直观又简明，所以熟记基本的正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图象，并利用它们作出有关的三角函数图象是分析函数性质的关键．
四、小结
高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质
高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质一、正弦函数的图象与性质1、正弦函数图象的作法：（1）描点法：关键是选定一个周期，把这个周期分成四等份，根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点，确定函数图象的大致形状；（2）几何法：一般是用三角函数线来作出图象。
注意：①的图象叫正弦曲线；②作图象时自变量要用弧度制；③在对精确度要求不太高时，作的图象一般使用“五点法”。
2、正弦函数的性质（1）定义域为，值域为；（2）周期性：正弦函数具有周期性，这可由诱导公式来推导，其最小正周期是。
函数的最小正周期是；（3）奇偶性：奇函数；（4）单调性：在每一个闭区间，上为增函数，在每一个闭区间，上为减函数。
3、周期函数函数周期性的定义：对于函数y＝，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数y＝就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数y＝的最小正周期。
4、关于函数的图象和性质（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；（3）函数取最值的点与其相邻的与x轴的交点间的距离为函数的个周期。
5、正弦型图象的变换方法（1）先平移后伸缩的图象的图象的图象的图象的图象。
（2）先伸缩后平移的图象的图象的图象的图象的图象。
二、余弦函数、正切函数的图象与性质1、余弦函数的图象和性质（1）由函数可知，用平移变换法可以得到余弦函数的图象，也可以使用“五点法”得到，同时还要学会用这两种方法画出函数的图象。
（2）余弦函数的性质可类比正弦函数的性质得到。
2、正切函数与正、余弦函数的比较（1）正切函数的定义域不是全体实数，这与正、余弦函数的定义域为全体实数有着较大的差别；（2）正、余弦函数是有界函数，而正切函数是无界函数；（3）正、余弦函数是连续函数，反映在图象上是连续无间断的点；而正切函数在定义域上不连续，它有无数条渐近线（垂直于x轴的直线），其图象被这些渐近线分割开来；（4）正、余弦函数的图象既是中心对称图形（对称中心分别为），又是轴对称图形（对称轴分别为）；而正切函数的图象只是中心对称图形，其对称中心为；（5）正、余弦函数既有单调递增区间，又有单调递减区间；而正切函数只有单调递增区间，即正切函数，在每一个区间上都是单调递增函数。
10正切与余切函数的图象与性质
正切与余切函数图像与性质一、一周内容概述（一）、正切函数的图象1、“三点两线法”作上的简图.2、左、右平移π的整数倍即得正切曲线.注：正切曲线是被互相平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的.（二）、函数y=tanx与y=tan(ωx＋φ)的性质对比：二、重难点知识归纳及讲解（一）、利用正切函数的图象及图象变换规律作有关函数的简图.例1、作下列函数的简图（1）y=tan(－x) （2）y=|tanx|（3）y=tan|x|（二）、利用正切函数的单调性比较大小及求单调区间.例2、比较下列各组数的大小. （1）tan2和tan9 （2）例3、求函数单调区间（三）正切函数性质的综合运用例4、已知函数f(x)是以3为周期的奇函数，且f(－1)=1，若，求f(tan2α).选择题1、下列命题中，正确的是（）A．y=tanx是增函数B．y=tanx在第一象限是增函数C．y=tanx在每个区间上是增函数D．y=tanx是某一区间内的减函数2、正切函数的定义域是（）A．B．C．D．3、下列不等式中正确的是（）A ．B．C ．D ．4、直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx(ω为常数，且ω＞0）相交的相邻两点间的距离是（）A．πB ．C ．D．与a值有关5、将函数y=tan2x 的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式是（）A ．B ．C ．D ．6、以下四个函数：①y=sinx＋cotx；②y=xtanx－cotx；③；④，其中奇函数的个数是（）A．1B．2 C．3D．47、同时满足在上递增，以π为周期，是奇函数的是（）A．y=|tanx|B．y=tanxC．y=|cotx|D．y=cotx8、若tanα＞sinα＞cosα，且，则α∈（）A ．B ．C ．D ．9、若，则（）A．α＜βB．α＞βC．α＋β＞3πD．α＋β＜2π10、如图所示为函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx在上的图象，则它们所对应的图象的编号顺序是（）A．①②③④B．①③②④C．③①②④D．③①④②综合题1、函数的定义域是_______________.2、已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c的大小关系为______ ____.3、已知（1）用定义判断f(x)的奇偶性；（2）在[－π,π]上画出y=f(x)的简图；（3）指出f(x)的最小正周期及在[－π,π]上的单调区间.4、已知函数（1）求出函数的定义域和值域；（2）判断函数是否为周期函数，若是，则求出周期；（3）讨论这个函数的单调性.5、有两个函数，它们的周期之和为，求这两个函数，并求g(x)的单调递增区间.。
高考数学中的三角函数图像及解析式
高考数学中的三角函数图像及解析式在高中数学的学习中，三角函数是一个非常重要的概念之一，而三角函数的图像及解析式往往是高考数学中的常考的知识点之一。
在本文中，我们将详细地探讨三角函数的图像及解析式，帮助读者更好地掌握这一知识点，提高高考数学的成绩。
一、正弦函数的图像及解析式正弦函数是三角函数中最为基础的一个函数，其通式为：y = sin x正弦函数的图像为一条波形曲线，波峰和波谷交替出现，形状类似于一条弯曲的绳子或者水波。
正弦函数的图像以 y 轴为对称轴，且有一个最高点和最低点，最高点为(π/2，1)，最低点为(3π/2，-1)。
而整张图像的周期为2π，也就是说函数在 x 轴上每隔2π 个单位长度就会重复一次。
二、余弦函数的图像及解析式余弦函数也是一个基础的三角函数，通式为：y = cos x余弦函数的图像也是一条波形曲线，波峰和波谷也是交替出现，但是与正弦函数的图像不同，余弦函数图像是以 x 轴为对称轴，它也有一个最高点和最低点，最高点为(0，1)，最低点为(π，-1)。
余弦函数的周期也是2π。
三、正切函数的图像及解析式正切函数是三角函数中比较特别的一个函数，通式为：y = tan x正切函数的图像类似于一条斜率一直不断变大或变小的直线，它的图像在π/2 和3π/2 处有一个垂直渐近线。
除此之外，还有一个水平渐近线 y=0。
正切函数的周期为π。
四、余切函数的图像及解析式余切函数是正切函数的倒数，通式为：y = cot x余切函数的图像是一条波形曲线，它也有一个垂直和水平的渐近线。
余切函数的周期也是π。
总之，三角函数的图像及解析式是高考数学中的重要知识点，掌握这些知识不仅能够帮助我们在数学考试中取得好成绩，还能增进我们对数学知识的理解和掌握。
正切函数和余切函数的图像与性质(二)(学生版)
年级：高一辅导科目：数学课时数：课题正切函数和余切函数的图像与性质1、让学生掌握正切函数的图像，性质教学目的2、熟练求出正切函数的周期，单调区间等教学内容【知识梳理】正切函数y tan x x R ，且 x k k z 的图象，称“正切曲线”2余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的图象（余切曲线）正切函数的性质：1．定义域：x | x k , k z ，22．值域： R3．当xk , k k z 时y0 ，当x k, k k z 时y 0224．周期性：5．奇偶性：Ttan x tan x 奇函数6．单调性：在开区间k ,k k z内，函数单调递增22余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的性质：1．定义域：x R且x k , k z2．值域： R，3．当 xk , k k z 时 y 0 ，当 x k, k k z 时 y 0224．周期： T5．奇偶性：奇函数6．单调性：在区间k , k 1上函数单调递减【典型例题分析】例 1、用图象解不等式tan x 3 。
变式练习： tan x1。
例 2、作出函数 ytan x , x 0,2 且 x ,3的简图1 tan2 x2 2例 3、求下列函数的定义域。
cot x cot x csc x1、 y2、 ytan x1变式练习：求下列函数的定义域。
（1）y cos x tan x；（2）y log2 (cot x1)1（ 3）y1 tan x例 4、求函数y tan 3x的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性3变式练习：画出函数y cot( x)tan x 的图像，并指出其定义域，值域，最小正周期和单调区间。
2例5、（ 1）求y tan2 x 4tan x1的值域；（ 2）若x,时，y k tan(2x) 的值总不大于零，求实数k 的取值范围。
633变式练习：求函数 y tan2x tan x 1的最大值、最小值，并求函数取得最大值最小值时自变量x 的集合。
三角函数入门什么是正弦余弦和正切
三角函数入门什么是正弦余弦和正切三角函数入门：什么是正弦、余弦和正切三角函数是数学中的重要概念，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
其中，正弦、余弦和正切是三个基本的三角函数，今天我们就来探讨一下它们的定义和性质。
一、正弦函数（sin）正弦函数是最基本的三角函数之一，它描述了一个角度对应的正弦值。
在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边的比值。
以角记作θ，那么正弦函数sinθ可以表示为：sinθ = 对边 / 斜边其中，对边指的是角θ的对边的边长，斜边指的是角θ对应直角三角形的斜边的边长。
在单位圆中，以圆心为原点，角θ的顶点P(x, y)位于圆上。
这时，对边就是点P的纵坐标y，斜边则是单位圆的半径1。
因此，我们可以将正弦函数sinθ定义为：sinθ = y正弦函数sinθ的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。
二、余弦函数（cos）余弦函数是另一个基本的三角函数，它描述了一个角度对应的余弦值。
在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值。
以角记作θ，那么余弦函数cosθ可以表示为：cosθ = 邻边 / 斜边其中，邻边指的是角θ的邻边的边长。
在单位圆中，以圆心为原点，角θ的顶点P(x, y)位于圆上。
这时，邻边就是点P的横坐标x，斜边仍然是单位圆的半径1。
因此，我们可以将余弦函数cosθ定义为：cosθ = x余弦函数cosθ的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。
三、正切函数（tan）正切函数是三角函数中的第三个基本函数，它描述了一个角度对应的正切值。
在直角三角形中，正切值等于对边与邻边的比值。
以角记作θ，那么正切函数tanθ可以表示为：tanθ = 对边 / 邻边其中，对边指的是角θ的对边的边长，邻边指的是角θ的邻边的边长。
在单位圆中，以圆心为原点，角θ的顶点P(x, y)位于圆上。
这时，对边就是点P的纵坐标y，邻边就是点P的横坐标x。
因此，我们可以将正切函数tanθ定义为：tanθ = y / x正切函数tanθ的定义域是所有不等于π/2 + kπ（k为整数）的实数，值域是整个实数集。
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正切、余切函数图象和性质反三角函数[知识要点]
1．正切函数、余切函数的图象与性质
2．反三角函数的图象与性质
3．已知三角函数值求角
[目的要求]
1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点.
2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质.
3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题.
4．能用反三角函数值表示不同范围内的角.
[重点难点]
1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角
[内容回顾]
一、正切函数与余切函数图象
由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象.
作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”.
若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案.
二、正、余切函数的性质
由图象可得:
y=tanx y=cotx 定义域值域R R 单调性在上单增(k∈Z) 在上单减(k∈Z) 周期性T=π T=π 对称性10 对称中心，奇函数(k∈Z)
20 对称轴；无10 对称中心，奇函数(k∈Z)
20 对称轴；无
注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）.
2、每个单调区间一定是连续的.
3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内.
三、反三角函数的概念和图象
四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义:
1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数.
y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数.
y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数.
y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数.
2．反三角函数的图象
由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象.
注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是
（2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）.
（3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和.
（4）y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π.
四、反三角函数的性质由图象，有
y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域[-1,1] [-1,1] R R 值域[0, π] (0, π) 单调性在[-1，1]上单增在[-1，1]上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心（0，0）奇函数
20对称轴；无10对称中心非奇非偶
20对称轴；无10对称中心
（0，0）奇函数
20对称轴；无10对称中心非奇非偶
20对称轴；无周期性无无无无
另外:
1．三角的反三角运算
arcsin(sinx)=x(x∈)arccos(cosx)=x (x∈[0, π])
arctan(tanx)=x(x∈)arccot(cotx)=x(x∈(0, π))
2．反三角的三角运算
sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1])cos(arccosx)=x (x∈[-1,1])
tan(arctanx)=x (x∈R)cot(arccotx)=x (x∈R)
3．x与-x的反三角函数值关系
arcsin(-x)=-arcsinx(x∈[-1,1])
arccos(-x)=π-arccosx (x∈[-1,1])
arctan(-x)=-arctanx (x∈R)
arccot(-x)=π-arccotx(x∈R)
4．。