1 5因式分解定理
高等代数（二）预习——4、唯一因式分解定理
⾼等代数（⼆）预习——4、唯⼀因式分解定理4、唯⼀因式分解定理 上⼀篇介绍到了公因式的问题，为探索多项式最重要的问题之⼀——因式分解问题，做了很好的准备。
下⾯我们就来介绍这个问题。
因式分解问题与整数的质因数分解问题很相似，我们先来介绍基本的不需要分解的多项式：⼀、不可约多项式 不可约多项式的定义是类⽐质数做出的，实际上在因式分解问题⾥，它们也是基本的因式，因为它们不能被继续分解。
定义：⼀个多项式p∈K[x]是不可约多项式，当且仅当deg p>0，且它在K[x]中的因式只有零次多项式或者它⾃⾝的相伴式。
即若q|p，则q∼1或q∼p。
如同质数，不可约多项式有⼀些基本的性质：1、K[x]中，若p不可约，则对任意的f∈K[x]，或者(p,f)=1，或者p|f。
证明：由于(p,f)|p，则或者(p,f)=1，或者(p,f)∼p，从⽽由传递性，p|(p,f)|f。
2、K[x]中，若p不可约，且p|fg，则或者p|f，或者p|g。
证明：不妨设p∤f，那么由于不可约，(p,f)=1，⼜由于p|fg，可知p|g。
性质2可以推⼴到多个多项式的情形，即若p|f1f2...f s，则⾄少存在i=1,2...或s，使p|f i。
3、多项式p不可约当且仅当p不可表⽰为两个次数更低（但是次数为正）的多项式之积。
证明：必要性是显然的，充分性⽤反证法即可。
性质3⽴刻告诉我们，每个1次多项式都是不可约的。
有了这三条性质，我们就可以介绍此篇最重要的定理了。
⼆、唯⼀因式分解定理定理：K[x]中的任意⾮零多项式f可以唯⼀地表⽰为若⼲个K[x]中不可约多项式的乘积：f=p1p2...p s。
注意，定理中的唯⼀是指，若存在f=p1p2...p s=q1q2...q t，则s=t，且调整过顺序后，有p i∼q i,i=1,2,...,s。
证明：先来证存在性。
对f的次数做数学归纳法。
1° n=1时，显然存在分解式。
2° 假设次数⼩于n时定理均成⽴，那么对次数为n的多项式f，若其是不可约多项式，分解式显然存在，否则，由性质3，我们可以找到次数更低但是为正的f1、f2，使得f=f1f2，从⽽由归纳法，f的分解式也存在。
exall[1]高等代数习题集
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如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式（ k ≥ 1 ），那么它是 f '(x) 的 k −1重因式.
7.推论
(1) 如 果 不 可 约 多 项 式 p(x) 是 f (x) 的 k 重 因 式 （ k ≥ 1 ） , 那 么 p(x) 是
f (x), f '(x), , f (k−1) (x) 的因式，但不是 f (k) (x) 的因式.
其 中 c1, cs , p1, pr , q1, qr 全 是 实 数 ， l1, , ls , k1, , kr 是 正 整 数 ， 并 且
x2 + pi x + qi (i = 1, 2, , r) 在实数域上是不可约的.
§1.8 有理系数多项式
1．本原多项式的定义 如果一个非零整系数多项式
g(x) = bn xn + bn−1xn−1 + + b0
d (x) ，且 d (x) 可以表示成 f (x), g(x) 的一个组合，即有 F[x] 中多项式 u(x), v(x) 使
d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) .
4． 互素定义
设 f (x), g(x) ∈ F[x]，若 ( f (x), g(x)) = 1，则称 f (x) 与 g(x) 互素.
设 f (x), g(x) 是整系数多项式，且 g(x) 是本原的. 如果 f (x) = g(x)h(x) ，其中 h(x)
是有理系数多项式，那么 h(x) 一定是整系数的.
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5. 定理 设
f (x) = an xn + an−1xn−1 + + a0
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高等代数习题集
高等代数几个重要定理的证明-毕业论文
---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印--- 摘要代数是学学的心础课程，是其它课程的要提.本文共分三大部分，第一大部分主要介绍了高等代数课程的七个重要定理的内容、证明.因高等代数中提出了许多新概念、新定义、新定理，譬如多项式、数域、线性空间、映射等，且都是较为抽象的内容，故此将其中各章节中的重要定理列举出来，并寻找多个定理证明来加深对其的理解及认识.第二大部分主要介绍了在高等代数学习中遇到的问题及解决的方法.第三大部分则主要讲了高等代数在实际问题中的应用中的两种应用方法，即矩阵密码与保密通讯和情报信息检索模型.关键词：定理证明；矩阵；行列式；线性空间；高等代数应用AbstractHigher algebra is the core curriculum of university mathematics,and it is an important prerequisite for learning other courses. This paper is divided into three parts,and the first part mainly introduces the seven important theorems in advanced algebra course content. Because of Higher Algebra put forward many new concepts and new definition, theorems, such as polynomial, the number of domain, linear space mapping, etc., which are more abstract content.Therefore one of the important theorem of various sections of the list, and to find a proof of the theorem to deepen understanding and understanding of these.The second part mainly introduces the problems and solutions in the study of higher algebra. The third part focuses on the application of advanced algebra in the practical application of the two methods, namely, matrix cryptography and secure communications and information retrieval model.Key words：Theorem proving;matrix;determinant;application of Advanced algebra目录TOC \o "1-2" \u 前言11 定理阐述及证明21.1因式分解及唯一性定理21.2最大公因式存在定理41.3最小数原理51.4替换定理61.5哈密尔顿-凯莱定理81.6带余除法101.7行列式计算定理121.8定理：在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵132 高等代数的重要定理在相关的对应理论中的作用、地位与应用132.1因式分解及唯一性定理142.2 最大公因式存在定理142.3 最小数定理142.4 替换定理142.5 哈密尔顿-凯莱定理152.6 带余除法152.7 行列式计算定理152.8 对称矩阵合同于对角矩阵153 高等代数的学习15结束语17参考文献18引言高代数是范学校学业的学生所学习的一门主要，是学的继与高.它的内容由多项式理论、解理论、线性空间理论三大部分组成.这三大部分的特殊性在于其中的定理和概念较多，具体的模型稀少，，可引导用的例题较少，计算性弱，逻辑性强.在对高等代数几个重要定理的证明方法的探索中，能够改变我们的思维，增强大家都思维能力，辑思维能力和代数计算.此外，高等代数已经是从事科学研究的科技人员必备的数学基础知识，因它是理论化学与理论物理的不可替代的代数基础知识，也已经渗透到了管理、经济、科学技术等多项领域，除此以外，矩阵又有了新的意，尤其是对矩阵的数值分析方面的贡献.由是对于本文探索高等代数的定理新证明又有了重大意义.1 定理阐述及证明1.1因式分解及唯一性定理：理容：数上有的多式都可一地解为域，一些可多项的积，所说的性是说，如有个分式，则，同在当排因的次后有，，且是些零数.证法一：首先要证明的式分解式是否存在，我们对的次数作数学归纳法.因为一次性多项式都是不可约的，所以当时结论成立.先，同设此论对于数的多项式已成立.如果，那么然论成，不是约的，，其的次数都.由归纳假和都可以分解成数上一些多式的积.把，的分式来就可以得到的一个式.由归纳法原理，可知结论普遍成立.下证它的一性.设可以解成约项式的积.如果还有另一个分解，其中都可约多项式，于是. （1）我们对作归纳法.当，是不可约多项式，由定义一定有且现在设可约式的时性已证.由（1）因此，能尽中的一个，.因为也可多式，，（2）在（1）式两边消去，就有.由归纳假设，有，即，（3）并且适当排列次序之后有，，（4）即（2）,（3），（4)三式加起来就是我们所要证得，即证明了分解的唯一性.[1]证法二：可以对因式的用数学归纳法.对于可多式，也是对于的情来说，理成立.假定对于能分解成个不可约因式的乘积的多项式来说，定理成立.们明对于能可因的积的多项来说也立.等(1)表明，积可以被可多式整.性，若项与的积能被可多式，则有一能被的，且某一能被.适当调整的次序，可以假定即.但不是可约多项式，而的次数是零，所以必须是一个多项式：（2）, 把的表示式代入式（1）的右端，得:，等端除为的多项式，得出式,令那么是一个能分解成不约多项式乘积的多项式.于是由归纳假定得，亦即，并且可以假定（3）其及都是次多式.令，由（2）及（3）得，这样得到明1.2最大公因式存在定理：如果中意个项在中存一个大因，且表示为的一个合，即中项式使.证法一：数学归纳法证明：将定理证明过程中会用到的引理列出：引理[1]:如有式成，和有同的因式.下面用归纳证明大因式在定理.（种形证）证明当或时，的最大公因式为或，显然有或当且时，不妨设，令，下面对n实行归纳法：.当时设，则（非零常数）或，当时，，于是的最大公因式为，有. 当（非零常数）时，由于，故的最大公因式为，由引理，的最大公因式也为，且有定理成立..假对于的自然，定都成.看n时情形设，则或，⑴时，，于是的最大公因式为，有.⑵时，设，则或⑶时，的最大公因式为，由引理，的最大公因式也为，且有.⑷当时，由归纳假设，存在最大公因式，且由引理，的最大公因式也为，进而的最大公因式也是.所以，对于一切都存在最大公因式.由于所以,取,,则有.[3]1.3最小数原理：负整数集合的任意一个非空子集一定含一个最小数，接下来通过构造的方法证明最大公因式存在定理.证明：分成两种情况当或时，的最大公因式为或，显然有或当且时，令,记,由于，所以，则是非负整数集的一个非空子集.由最小数原理，中存在最小数，故存在，且，即是中最小次数多项式.于是，有中多项式使由带余除法或或’若则，但,即，于是，与是中最小次数多项式矛盾.因此，从而.同理可证：.于是是与的公因式.设是与的任一公因式，则，，由得：，所以是与的最大公因式，且有.1.4替换定理：设无关的量组（1）可由组（2）线表，则，且（2）中个量使得向组，（3）与量（2）.证法1.由可知性无的向组由量（2）表示，则有:可由向量组线性表示.从而，由可向量线性表示，得（3）性关.那么根据前面所提供的定理，可知至少有一个向量能用其前个向量线性表示.在向量组（3）中将除去，剩下个向量为（4）这时向量组（4）与（2）等价.同理可得（6）如果线性无关向量组的元素个数，则进行次可得向量组（7）则这个组（7）不含向，但量组（7）与向组（2）价.此又于可由，则可由性出.这与性关，故.由以上的证明过程可以的知向量组同向量组（2）等价. [4]证法2.运极无组的性质证，之后过扩极大关组来证明向量的价.设向组的极大无关组（8），然，因（1）可由线性表示，所也是的一个大无关，又因为性无关，因，又，故.因为的秩为,然，当选，可以把（1）为的一个极无关.因为，均是的极无关组，因此和等价，因此是极1.5哈密尔顿-凯莱定理：设是数上一个阵，是的，则：.证法一：是.因为矩阵都是的多项式，次数不超过，故此由矩阵的运算性质，可以写成.其中都是数字矩阵.设（6）而（7）比较（6）和（7）得（8）以依次从右边乘以（8）的第一式，第二式，…，第式，第式，得（9）把的个式子一块儿起来，就成了，右边，故.证法二:幂级数证法对于，由行列的拉普公式可得标准方程其中表示的伴随矩阵，的系数取自于的形式幂级数.因为所以可逆且为其逆矩阵，因此：将写成的次数取自于的形式幂级数，可得可以注意到中的元素都是的次数不超过的多项式，因此是零矩阵，等式两的系数，可得：，即. [5]1.6带余除法：对于中两个多项，其中，中的项存在，使（1）成立，其中，并且这样是唯一决定的.证法一：（1）中的存在性可以由高等代数北师大第四版课本上第八页所提及的除法直接得出，如果.下面设.令的次数分别为.对的次数作第二数学归纳法.当时，显然取，（1）式成立接下来讨论的情形，假设当次数时，的存在已证，现在看当次数等于时的情形.令的项，然有同的，因多项的数或为0.7对于者，取对于者，由归假，对在使其中，于是，也就是说，有,使成立.由归纳法原理，对的存在性就证明了.下面明性，设另有项使，其中，于是，即如果，又，那么,且有,但,所以不可能立，这就，因此证法二：用限维性来证明的带除法理.引理1：数上的任何线性关向量组构的一基；引理2：上一元多项式中，小于的组成的是上的；引理3：在中，一个互相同的项式组都是无关的.叙述：设是一元多项式环中的任意两个多项式，并且，那么存在唯一一对多项式满足：（1）（2）证明：设先证存在性，如果，那么就是满足定理条件（1）和（2）的唯一,如果，那么由引理2可知，中的个多项式组成的集合是线性空间的一组基.事实上，由引理3知，是一个线性无关集合，再由引理1和引理2的结论可知，它构成了的一组基.因为，所以在数域中存在唯一的一组数令，，于是满足定理的条件.再证唯一性：由于数域中的数是唯一的，所以也是唯一的1.7行列式计算定理：1.首先给出一个上三角行列式行列其实于主对线上素乘积即行列式计算定理.2.定义：数域上列式转化为三角行列式i ；ii ，；iii 换列式中的.比如把行列式的-2倍加到，得到再把第一行加到第三行，得到-2，我们将形如，，其分为三行列式和.1.8定理：在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵对角矩阵：形式为的矩阵，其中是数，通常称为对角矩阵.对称矩阵：矩阵称为对称矩阵，如果：数域上矩阵之，如果有上的矩阵，使.合同是间的一个关系，具备下列三个特点：1）自反性：；2）对称性：由即得;3) 传递性：由和即得.2 高等代数的重要定理在相关的对应理论中的作用、地位与应用2.1因式分解及唯一性定理，我们前把它成几个能再，只是续分解这个是由于我们，并它不能，实际上这是相对于系数的数域而言的，并不是绝对的.因式分解及唯一性定理是对我们初中多项式分解知识有更深刻更宽广的认知，可是该并给出能够解多项式的以上便是多项式理论中的地位与局限.此外，初阶的因式分解定理常应用于初中考试题中.2.2 最大公因式存在定理我们在维纳的经典控制论等学科里常常会用到最大公因式，这说明最大公因式不仅是数学中的重要概念，而且在多个学科里都占据着不可替代的地位，因此在求解两个多项式之间的最大公因式时所用的辗转相除法是最大公因式定理的核心内容，它又被称为欧几里得算法，历史源远流长，是现代人们已得知的最古老的算法，这就是最大公因式存在定理的地位.辗转相除法是证明与计算最大公因式的核心，并且应用范围十分广泛.当需要寻找剩余定理的数时，它会被用来解丢翻图方程；在现代密码学里，RSA的主要构成部分就是它……这些都是辗转相除法应用里的沧海一粟.2.3 最小数定理，它等故此在解决许多存在性问题时常会用到最小数定理，证法与之结合解题常有2.4 替换定理替换定理是高等代数量空间理论的又.它应用广泛，可以被，也可被用于比较大无关量组向量的；亦；也可被用于证明基的扩充性，替换定理可以使这些问题可以得到更好的解决.2.5 哈密尔顿-凯莱定理哈密尔顿-凯莱定理是线性代数中的，是式所具备的一个，它揭示了和它式之间的关系，并且在解决.哈密尔顿-凯莱定理的应用可谓十分广泛，在计算方面可以辅助证明方阵的幂与方阵的逆阵，在证明方面即矩阵多项式等于零的有关问题中，可以使问难快速的得到解决.2.6 带余除法高等代数课程中占有重要地位的多项式的整除理论的基础就是带余除法，它是初等代数中最最基础，最最重要也是最直白的定理及工具.带余除法在初等代数中常被用到，常在小学初中的试卷中以应用题的形式出现，而在做这一类题的时候，就需要把题目外面包裹的各种各样的情境忽略掉而直接注意题目的本2.7 行列式计算定理，计算理，学习行列式的计算是学好高等代数的重要基石.，也很要，学会行列式的，我们可以应用它，还可以应用它求.2.8 对称矩阵合同于对角矩阵矩阵概念在高等代数课程的应用与内容中占据了非常广泛且重要的地位.首先，线性方程组的重要性质里就包含了矩阵的知识，例如它的系数矩阵和增广矩阵，除了线性方程组之外，许多问题的研究也常常会用到矩阵，甚至会研究有关于矩阵的方面.此外，对称矩阵、对角矩阵也是矩阵理论的重要研究对象.矩阵的应用方面包括，保密通讯技术时常会用到矩阵，信息的解码和编码也是需要用到矩阵密码这个技巧的.3 高等代数的学习《等代数》与相同，是学习的大学生要学习的核心课程之，是数学在，通过对高等代数的学习，我们可以加强自身的数学素养.在对高等代数的学习过程中，我们应该注意以下几点要求，可以让我们对这门课程的学习领悟更加深刻，更加透彻.高等代数里的抽象概念非常多，学生理解起来就有困难，譬如数域，映射，线性空间等概念，这些概念的特点就在于它们从很多具体的例子中被抽象出来的，总的来说学习高等代数时首要的是注意解相关.一方面，等代数这门课程的理与概念基本属于学专业的，由此，学生首先应注重对课程义的领会和运用，在充分理解定义定理后，我们对这门课的理解也就更深刻，在面对一些复杂的题目时更容易领会解答，从而使学生解高等代数象的内容，也会使学生对这门课程产生，唯有这样，才能对数学学习有正的度.另一方面，寻求正确的学习策略是在以培养学习的兴趣，端正学习的态度的条件下所进行的十足紧要的学习步骤.有些同学学习刻苦努力，但是成绩不算太好，就把原因归结为自己太笨，自暴自弃，其实这不是计算能力的问题，而是因为概念理解能力不行，即习对大家来说，要从、象的高等代数思维蛮困难的，故此我们在学习过程中，不应只是一味努力，也要注重学习方法，课前预习，课后复习，借力于具体的例子来理解抽象的定义定理，加深对定理的理解和掌握，寻找正确的途径学习高等代数.总而言之，学习高等代数，基本上就是在熟练掌握代数方法的同时尝试深入理解几何意义.结束语在完成这篇论文的近一百天的过程中，我再次复习了OFFICE的使用方法，对此更加熟练；阅读了许多关于高等代数重要定理的书本与论文，使我对高等代数的理解变得深刻，兴趣愈发浓厚，这也是我在大学真真正正用心去做，独立思考的稚嫩的成果，希望写论文的这段人生体验能让我在以后的学习生活中乘风破浪，积极进取.参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].第四版.北京：高等教育出版社，2013：18.[2]张禾瑞，郝鈵新.高等代数上[M].第二版.北京人民教育出版社，1979：58.[3]苏白云，张瑞.最大公因式存在定理的两个新证法[D].河南郑州：河南财经政法大学数学与信息科学系，2013.[4]杜奕秋.替换定理的若干证明方法[D].吉林四平：吉林师范大学数学学院，2006.[5]邓勇.关于Cayley-Hamilton定理的新证明[D].新疆喀什：喀什师范学院数学系，2015.[6]王萼芳，石生明.高等代数[M].第四版高等教育出版社2013:8.[7]邓勇.多项式带余除法定理的一种新证明[D].新疆喀什：喀什大学数学与统计学院，[8]韦城东，尹长明，何世榕，庞伟才.大学数学学习成败的原因的成败分析[D].广西：广西师范学院学报，2006.[9]王喜建.高等代数课程教学中的几点体会[D].广东：广东五邑大学数学物理系[10]白永成，郑亚林.数学中的基本元素[D].陕西：安康师专学报,1998.[11]欧阳伦群，欧阳伦键.高等代数学习中的困惑与解决对策[D].湖南:当代教育理论与实践，2015.[12]熊斌，周瑶.最小数原理[D].数学通讯：教师阅读，2017.[13]李丽花.哈密尔顿-凯莱定理的应用[D].上海电力学院学报，2008.[14]侯波，郭艳红.高等代数教学的几点探索[D].学园，2015.[15]张爱萍.可逆矩阵的判定及求法[D].赤峰学院学报(自然科学版)，2011.。
数论中的多项式
数论中的多项式问题一．有理系数多项式的因式分解定理1：设I 是][x Q 的一个子集，满足如下性质。
,)(),(I x g x f ∈∀有Ix g x f ∈+)()(][)(,)(x Q x c I x f ∈∈∀，有Ix c x f ∈)()(则存在I x p ∈)(使得})()(|)({的因式是x q x p x q I =证明：取I 中次数最低的非零多项式)(x f ，如果有多个，任取其中一个。
若)(x f 为常数，根据第二条性质，显然I =][x Q 满足条件。
若1deg ≥f ，假设存在一个多项式)(x g 不是)(x f 的倍式，设)()()()(x r x f x q x g +=，f r deg deg <，)(x r 非零。
则)(x r I ∈，与)(x f 次数最低矛盾。
所以I 的一切多项式都是)(x f 的倍式，证毕。
定理2：对任意)(x f ∈][x Q ，)(x f 可唯一分解为)()...()(21x p x p x cp n 形式，其中c 为)(x f 首项系数，)(x p k 为次数不低于1的首一不可约多项式。
存在性是显然的，只需证明唯一性，设)(x f 还有一种分解式)()...()(21x q x q x cq m 。
我们先证明一个引理。
引理：设不可约多项式)(x p 是)()(x g x f 的因式，则或者)(|)(x f x p ，或者)(|)(x g x p ，二者至少有一个成立。
证明：令]}[,),()()()()(|][)({2121x Q c c x g x c x p x c x q x Q x q I ∈+=∈=则I 满足定理1中的条件，故I 中存在一个次数最低的多项式是I 中每个多项式的因式。
它是不可约多项式)(x p 的因式，则它或者为常数，或者为c )(x p 。
如果是常数，令)()()()(21x g x c x p x c c +=，两边乘)(x f ，由)(x p |右边，推出)(x p |)(x f 。
初中数学全套公式
初中数学全套公式初中数学是义务教育的基础学科，其公式和概念的学习是这门课程的核心部分。
以下是一套完整的初中数学公式，这些公式涵盖了初中数学的大部分内容，对于理解和应用数学概念具有重要意义。
一、代数公式1、乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²3、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)4、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)5、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)6、两数和乘两数差：2(a+b)(a-b)=2a²-2b²7、两数平方和：a²+b²=(a+b)²-2ab8、两数和的平方：(a+b)²=a²+2ab+b²9、两数差的平方：(a-b)²=a²-2ab+b²10、幂的乘方：anbn=(ab)n11、积的乘方：anbn=(ab)n12、分式的约分：同时分子分母除以公因式。
13、提公因式法：一般地，如果想要提取一个多项式的公因式，我们把这个多项式的各项都含有的相同字母因式提到括号外面，将多项式化成积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
14、运用公式法：如果一个式子的值等于几个其他式子的值乘积，那么这个式子就叫公式的原式，这几个其他式子就叫这个公式的因式。
如果把一个公式的所有因式分解出来，那么它们就都叫这个公式的因式分解。
二、几何公式1、勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
2、平行线间的距离公式：如果两条直线平行，那么一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等。
3、三角形的面积公式：一个三角形的面积等于底边乘以高再除以2。
因式分解的一种妙法——主元法
所谓主元法分解因式就是在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元(未知数),将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式,再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解。
利用方式较为简单的利用1.因式分解(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.分析：如果懂得因式定理的话，解此题自然会流畅很多，但是用主元法的话，也十分简便。
拆开原式,并按a的降幂排列得：(b+c)a2+(b2+c2+2bc)a+b(bc+c2)=(a+c)(b+c)(a+b)------------------------------【十字相乘法】十字相乘图为a--------------- b(b+c)a -----bc+c2对于低次因式分解，主元法与十字相乘法的配合是卓有成效的。
2.因式分解16y+2x2(y+1)2+(y-1)2x4分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x 为主元的话，原式的难度就大大降低了。
原式=(y-1)2x4+2(y+1)2x2+16y---------------------【主元法】=(x2y2-2x2y+x2+8y)(x2+2)---------------------【十字相乘法】十字相乘图为(y-1)2x2----8yx2------------2如果能很好地利用主元法，低次因式分解就不会太难了。
高难度的主元法利用1.因式分解2x3+6y3+15z3-9x2y+7xy2-x2z-16xz2-37y2z+32yz2+13xyz分析：本题属于高难度因式分解中的中档题，如果不假思索就上边的方法，就会处处碰壁。
1.原式=2x3-(9y+z)x2+(13yz+7y2-16z2)x+6y3+15z3-37y2z+32yz2---------------【主元法】这样本题的条理就清晰多了，现抛开x,只看6y3+15z3-37y2z+32yz2,这是一个2元三次因式分解，难度简单多了。
高等代数定理汇总前三章
第一章多项式定理1对于数域上的任意两个多项式f(x)，g(x)，其中g(x)≠0，g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.定理2对于P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式ⅆ(x)，且ⅆ(x)可以表成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x)，v(x)使ⅆ(x)=u(x)f(x)+ν(x)g(x).定理3P[x]中两个多项式f(x)，g(x)互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u(x)，v(x)使u(x)f(x)+ν(x)g(x)=1.定理4如果(f(x),g(x))=1，且f(x)|g(x)ℎ(x)，那么f(x)|ℎ(x).推论如果f1(x)|g(x)，f2(x)|g(x)，且(f1(x)，f2(x))=1，那么f1(x)f2(x)|g(x).定理5如果p(x)是一个不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f(x)，g(x)，由p(x)|f(x)g(x)一定推出p(x)|f(x)或者 p(x)|g(x).因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f(x)都可以唯一地被分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.定理6如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1)，那么它是微商f′(x)的k−1重因式.推论1如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1)，那么p(x)是f(x)，f′(x)，⋯，f(k−1)(x)的因式，但不是f(k)(x)的因式.推论2不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的充分必要条件为p(x)是f(x)与f′(x)的公因式.推论3多项式f(x)没有重因式的充分必要条件是f(x)与f′(x)互素.定理7（余数定理）用一次多项式x−α去除多项式f(x)，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f(α).推论α是f(x)的根的充分必要条件是(x−α)|f(x).定理8P[x]中n次多项式(n≥0)在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算.如果多项式f(x)，g(x)的次数都不超过n，而它们对n+1个不同的数α1，α2，⋯，αn+1有相同的值，即f(αi)=g(αi)，i=1，2，⋯，n+1，那么f(x)=g(x).代数基本定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理每个次数≥1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理10（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.设f(x)=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a0是它的一个有理根，其中r，s互素，那么必是一个整系数多项式，而rs有s|a n，r|a0.特别地，如果f(x)的首项系数a n=1，那么f(x)的有理根都是整根，而且是a0的因子.定理13（艾森斯坦判别法）设f(x)=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a0是一个整系数多项式.如果有一个素数p，使得1）p∤a n；2）p|a n−1， a n−2， ⋯， a0；3）p2∤a0，那么f(x)在有理数域上是不可约的.第二章行列式定理1对换改变排列的奇偶性.推论个在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n!2定理2任意一个n级排列与排列12⋯n都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.行列式性质1 行列互换，行列式不变.性质2 如果行列式一行为零，那么行列式为零.性质3 如果某一行是两组数的和，那么行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应行一样.性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零. 性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零. 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变.性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号.定理3设ⅆ=|a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n ⋮⋮⋮a n1a n2⋯a nn|， A ij 表示元素a ij 的代数余子式，则下列公式成立：a k1A i1+a k2A i2+⋯+a kn A in={ⅆ，当k =i ，0，当k ≠i ； a 1l A 1j +a 2l A 2j +⋯+a nl A nj={ⅆ，当l =j ，0，当l ≠j.用连加号简写为∑a ks A is =n s=1{ⅆ，当k =i ，0，当k ≠i ； ∑a sl A sj=n s=1{ⅆ，当l =j ，0，当l ≠j.定理4（克拉默法则）如果线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1，a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2，⋯⋯⋯⋯a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=b n的系数矩阵A=[a11a12⋯a1n a21a22⋯a2n ⋮⋮⋮a n1a n2⋯a nn]的行列式，即系数行列式ⅆ=|A|≠0，那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为x1=d1d ，x2=d2d，⋯，x n=d nd，其中ⅆj是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项b1，b2，⋯，b n所组成的矩阵的行列式.定理5如果齐次线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=0，a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=0，⋯⋯⋯⋯a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=0的系数矩阵的行列式|A|≠0，那么它只有零解.换句话说，如果方程组有非零解，那么必有|A|=0.第三章线性方程组定理1在齐次线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=0，a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=0，⋯⋯⋯⋯a s1x1+a s2x2+⋯+a sn x n=0中，如果s<n，那么它必有非零解.定理2设α1，α2，⋯ ，αr与β1，β2，⋯，βs是两个向量组.如果1)向量组 α1，α2，⋯ ，αr可以经β1，β2，⋯，βs线性表出；2)r>s，那么向量组α1，α2，⋯ ，αr必线性相关.推论1如果向量组 α1，α2，⋯ ，αr可以经向量组β1，β2，⋯，βs线性表出，且α1，α2，⋯ ，αr线性无关，那么r≤s.推论2任意n+1个n维向量必线性相关.推论3两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.定理3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.定理4矩阵的行秩与列秩相等. 定理5n×n矩阵A=[a11a12⋯a1n a21a22⋯a2n ⋮⋮⋮a n1a n2⋯a nn]的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n. 推论齐次线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=0，a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=0，⋯⋯⋯⋯a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=0 有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵A=[a11a12⋯a1n a21a22⋯a2n ⋮⋮⋮a n1a n2⋯a nn]的行列式等于零.定理6一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有r+1级子式全为零.。
-多项式的因式分解定理
§1-5多项式的因式分解定理多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的.如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =，的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数.反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的.不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约.2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x).3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除.Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1 时,结论成立;当s=n 时,令)()()()(),()(32211x f x f x f x g x f x g n ==, 如果)(|)(),(|)(11x f x p x g x p 则命题成立,如果1))(),((),(|)(11=/x g x p x g x p 则,从而)(|)(2x g x p ,即)(,),(),()(32x f x f x f x p n 整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设)(x p 整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证. 因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(>n n 次多项式)(x f 都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；)()()()(21x p x p x p x f s =所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有),2,1()()(s i x cq x p i i ==标准分解式（典型分解式）：)()()()(2121x p x p x cp x f s r s rr =其中c 是f(x)的首项系数，)(),(),(21x p x p x p s 是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,21正整数.例1：在有理数域上分解多项式， 22)(23--+=x x x x f . )2)(1)(1()2)(1(22)(223+-+=-++=--+=x x x x x x x x x x f例2：求 的典型分解式内在][122)(2345x Q x x x x x x f -++--=. 23242345)1()1()12)(1(122)(+-=+--=-++--=x x x x x x x x x x x f 例3.求 的典型内在][6141616102)(2345x R x x x x x x f -+-+-= 分解式. )3()1)(1(2)(22--+=x x x x f例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 15-x 和16-x 为不可约多项式的乘积.解:)1)(1()1(2345++++-=-x x x x x x Q[x]][)154cos 2)(152cos 2)(1()1)(1()1(222345x R x x x x x x x x x +-+--=++++-=-ππ][)52sin 52cos ()1()1)(1()1(412345x C k i k x x x x x x x x k ππ---=++++-=-=在Q[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在R[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在C[x]上)2321)(2321)(1)(2321)(2321)(1(16i x i x x i x i x x x -++++--+--=-。
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高等代数II 第一章多项式第5节.因式分解定理教学大纲.素因子的个数小学算术就学了正整数的因子分解，学了质数合数.初中学了多项式的因式 分解.因子分解是你们熟悉的.很多人就认为因式分解很容易，就凭那三招(提取 公因子，用乘法公式，分组分解法)就可以纵横天下。
其实，正整数的因子分解都是世界难题。
多项式就更不可能容易。
先别去碰难题。
还有些入门的小儿科都没有搞清楚。
比如,1不能分解,为什么不是质数？学了负整数,2=(-2)(-1)可以分解,2还是质数吗？-6的分解式是 3冬-2)还是(-3)X2还是(-1) X 3X 22X+4在有理系数范围内能不能分解？ 2x+4=2(x+2)不就分解了吗？还有一个被忽略的问题：书上要求因式分解到底。
你分到不知道怎么分就结 束了。
为什么不想一下，你不知道怎么分，不能断定它就不能分。
有可能是它还能 分，你水平不够没有发现它的分解式。
因此，不但应该有方法教你怎样分，还应该教你判别分到什么时候就到底了。
最简单的情况：全部因式都是一次，肯定到底了。
大部分时候不能分到一次，怎 么知道它到底没有。
比如 x 10+x 5+1, x 12+x 9+x 6+x 3+1在有理数范围内能不能分？ 1. 正整数的分解：不能分解的正整数叫做 质数(也叫素数)，能分解的叫合数.1是质数还是合数？1不能分解，是质数.1既不是合数，也不是质数.既不是合数，也不是质数，是什么呢？它就是1. 为什么不说“ 2既不是合数，也不是质数，它就是2”？例1. 学生 老师 学生 老师 点评1和2都不能分解，它们有什么区别？例2.如下正整数是多少个素因子的乘积？(1)24; (2) 24 X 2X 1X 3X(3)1;24 2 1 3 1; (4) 23X32; (5) 210 210。
解.⑴24=2 X 2X,X个素因子。
(2)24X 2X 1X 2X214, 含4 个素因子, 乘2 乘3 各增加一个素因子变成6 个.乘1 不变, 素因子不增加, 仍是6 个.(3)24 2 3, 24 含4 个素因子,除以2,3 能够整除,各减少一个素因子变成2 个.除以1 不变, 素因子不减少, 仍是6 个.(4)23X32，3 个素因子乘2 个素因子，共5 个素因子。
(5)210 210, 10 个素因子除以10 个素因子，减少10 个,变成0 个素因子. 因此规定210 210 =210-10=20=1点评：两个整数相乘, 素因子个数相加. 相除，素因子个数相减.乘1 不增加, 除以1 不减少, 说明1 是0 个素因子。
素数幕p n自己除以自己等于1,素因子个数n-n=0,说明P°=1, 也说明1 是0 个素因子。
结论. 1 个素因子叫做素数, 2 个或更多个素因子的乘积叫做合数.0 个素因子的乘积是1 ．这种分类言之成理了.如果将1也规定为素因子,2=2 X 1X1XX 1X的分解就永远分不完了。
2.整数的分解：整数包括正整数、0、负整数. 0 不能作因子，只考虑正负整数.例3. 如下整数是几个素因子的乘积.(1)-1; (2) 1; (3) -2; (4) 6; (5) - 6.解. (1) -1=(-1)(-1)(-1)=(-1)5=(-1)2019. -1 是不是素因子？如果是, 它也是3 个,5个,2019个, 任意奇数个素因子的乘积. 显然不合理。
(2)1=(-1)(-1)=(-1)2020。
1 是2 个-1 的乘积,也是2020个-1 的乘积.既然1 是0 个素因子个数为0, - 1 的素因子个数就是0 2 = 0 2020 = 0。
(3)-2=(-1)X2 的素因子个数= 0+1=1 。
素因子个数为1 的, 自己就应该是素数。
但是-2=(-1)X2 可以分解,能够称为素数吗？2=2X1=(-2)(-1) 也可以分解, 是素数吗？如果说前一种分解2X1 的因子是2 自己和1,不算是分解。
后一种分解的因子-2,-1 既不是2 自己也不是1,算不算分解？如果也算分解，每个素数p=(- p)(- 1) 都可以分解为既非p 也非1的因子的乘积，就都不是素数，就没有素数了。
p=(- p)(-1)2k+1的因子个数2k+2可以任意大。
就永远分不完了。
由此可见，整数P因子分解p=bc的因子b,c不但不应该是1,也不应该是1 的因子-1.不应该是P自己，也不应该是P的-1倍-P。
-1应该看成与1同样都是0个素因子。
P的-1倍(-1)P应该看成与P是同一个素因子，同样都是素数。
虽然它们不相等，但是可以把它身上的倍数-1 随时拿走或添上， (拿走.可以乘另外一个素因子，添上可以在另外一个素因子也添一个, 不改变乘积，也不改变素因子个数。
)不能说(-1)p与P相等，但称它们相伴。
⑷6=2 X3=(-2)(-3)两种分解都正确，素因子都是2个。
(5)-6=(-2)3=2(-3), 2个素因子。
3.数域上多项式的分解：可逆元. 与整数的分解同理，1 的因子是每个多项式的因子, 可以无穷地往外提取，不能算是一个独立的因子，只能算是“ 0个素因子”，不能充当因式分解的因式。
因式分解f(x)=g(x)h(x) 的每一个因式都不能是1 的因子，这样的分解才算是真正的分解。
哪些多项式g(x) 是1 的因子，满足1= q(x)g(x) ? 多项式q(x), g(x) 乘积g(x)h(x)=1 的次数等于q(x),g(x) 次数之和. 但1 的次数等于零, 多项式次数不能为负, 因此1 的因子q(x), g(x) 的次数都是0，都是非零常数。
g(x)=c 0 是非零常数，它的逆c-1=1/c也就是c的倒数，也是非零常数，也是多项式。
因此我们称c是多项式集合中的可逆元。
如果g(x)次数至少是1,含有字母X,它的逆g(x)-1=1/g(x) 就是分式而不是多项式，这样的g(x) 就不是多项式集合的可逆元，而是分式集合的可逆元。
分式集合的可逆元很多, 除了0以外的分式都是可逆元。
有理数集合也是除了0 以外都是可逆元，所以称有理数集合Q 是数域。
分式集合也是域，但其中大量的元素不是数，因此不是数域，而称为分式域。
正整数集合只有1 才是可逆元。
因子分解只要两个因子都不是1，就是真正的分解，只有a=aX1不算是分解,算是没有分解。
整数集合Z有两个可逆元1,-1, a=a X1=(-a)(-1) 都算是没有分解。
多项式集合P[x] 中所有的非零常数c 都是可逆元, c-1都是多项式，就有无穷多个可逆元。
从多项式f(x)提取可逆元作为因子得到的分解f(x)= c(c-1f(x))都不算是分解，而算是没有分解。
如2x+4=2(x+2), 2x+3=2(x+1.5)都不算分解。
但如果不在有理系数多项式集合内而在整系数多项式集合内分解，也只有1,-1 是可逆元，2 不是可逆元，2x+4=2(x+2) 就是真分解。
2x+3 就不能分解了。
只要一个运算系统对加减乘封闭, 就可以考虑元素的因子分解。
不过，如果乘法不交换，就不好办。
例如同一数域上的全体n 阶方阵对加减乘封闭，但乘法不交换，你就难以分解。
还存在两个非零方阵A,B 的乘积为零，这也会给因式分解制造麻烦。
我们学过因式分解的整数集合Z, 数域P 上多项式集合P[x] 都没有这些奇怪现象，很规矩，适合做因式分解。
但0 和可逆元不能出现在因式分解中充当因式。
0 本来就不是非零元的因子，不会出现。
所有的可逆元都是所有的数的因子, 如果允许它们充当因子, 它们全都可以出现任意多次，因式分解就没法收场了。
因此就一律不准它们作为独立因子出现。
因式分解, 就是将非零非可逆的元素分解为非零非可逆的元素的乘积a=pip2・・-pm直到每个因子p i 都不能再分解为两个非零非可逆的元素的乘积。
二．教材内容解读有了以上的观念，就不难理解教材这一节各种定义和定理了。
1.不可约多项式.教材第18页定义8.数域P上次数》1的多项式p(x)称为域P上不可约多项式，如果它不能表成两个数域P上次数比p(x)的次数低的多项式的乘积。
解读：要求p(x)的次数》1,就是p(x)不是常数,有一个含有x的项a k x k (k>0) 的系数a k 0。
p(x)不是0也不是可逆元。
只考虑这样的多项式的因式分解。
也只允许这样的多项式作为分解出来的因式。
不可约就是不能分解。
但是，任何p(x)总可以提出任何一个可逆元因子C,分解为p(x) = C C-1 p(x)，常数因子C为零次多项式,另一个因子是p(x)的常数倍,次数与p(x) 相等. 为了排除这种情况，就不承认这种分解为真分解，认为它是“假分解”，实质上没有分解.要求的真分解是两个因式的次数都要低于p(x)，经过分解之后把p(x)的次数降下去，这才是真正的分解.只要有一个因式的次数没降，另一个因式的次数就是0，这就是“假分解”。
两个因式的次数都降了,次数也就都大于0，将p(x) 的次数真正分摊了。
这才是分解。
已经不能分摊了,就是分解到底了, 这就叫不可约。
与其说他是解释不可约,不如说是解释什么叫可约。
可约解释清楚了,做不到的就叫不可约。
初中就知道，可约还是不可约，依赖于系数范围P。
比如x4-4在有理数范围内分为(X2+2)(X2-2),两个因子都不可约了。
实数范围内，后一个可以分解，前一个仍不可约。
复数范围内都可分解到一次因式才不可约。
2.分解定理：(第19页)数域P上每个次数》1的多项式f(x)都可以唯一地分解为数域P上一些不可约多项式的乘积.(1)可能性：如果f(x)已经不可约，已经分解成一个不可约多项式的乘积。
如果可约，可分解成两个次数》1的因式g(x),h(x)的乘积f(x)=g(x)h(x)。
如果两个因式都不可约,分解已完成。
只要还有一个因式可约, 就可以将它分解为两个次数》1的因式g(x),h(x)的乘积,f(x)成为3个次数》1的因式的乘积。
只要还有一个因式可约, 就可以再分解一次, 增加一个因式。
经过m 次分解f(x)=g1(x)g2(x)…g m+1(x)被写成m+1个次数》1的因式g i(x)的乘积，次数和s>m+1,等于f(x)的次数n. 由不等式n=s》m+1知m <n-1.经过不超过n-1 次分解，分解就不能再继续进行下去了,就是说所有的因式(不超过n 个)都不可约了. 就完成了定理要求的分解。
(2)唯一性：教材定理对唯一性做了如下解释：如果有两个分解式f(x)=p 1(x) p2(x)…p s(x)=q1(x)q2(x)…q t(x)那么必有s=t.并且适当排列因式的顺序后有P i(x)=c i q i(x), 0 o€ P, ( =1,2,...,s).所谓唯一性，当然不是分解出来完全相同。