天气学分析诊断 3.1 差分
天气诊断分析
天气诊断分析（讲义）尚可政王式功靳立亚兰州大学大气科学学院内容简介本书简明介绍了天气分析和预报中各种常用物理量场特别是涡度、散度、垂直速度、水汽通量散度、能量场、Q矢量、位涡度、条件性对称不稳定、粗Ri数、螺旋度、能量-螺旋度指数、雷暴大风指数等的诊断分析方法和数值预报产品的应用技术。
全书约13万字，共分八章。
可做为高等院校大气科学专业本科生的教材，也可供相关专业的教师、研究生及气象台站预报人员使用。
前言诊断分析方法是大气科学研究中常用的一种方法。
在天气分析中有一些十分重要的物理量，如涡度、散度、垂直速度和水汽通量散度以及各种能量场等等，这些物理量与一般的气象要素(温、压、风、湿)不同，它们通常是无法由观测直接得到的，而必须通过其它要素由计算间接获得。
这些物理量在某时刻的空间分布被称为“诊断场”。
诊断场和预报场是不同的，预报场是对未来时刻某物理量场的预报结果，在反映大气环流演变的流体动力学天气方程组中有一些十分重要的物理量即属于可以通过时间积分作预报的“预报方程”一类；而诊断场是物理量方程中不含有它对时间的微商项。
反映各气象要素场之间关系的不含有对时间微商的方程称为“诊断方程”。
研究这些物理量的计算方法、分析其空间分布特征，以及它们和天气系统发生、发展的关系称为诊断场分析。
诊断分析方法是加深认识天气系统及其发生、发展过程的一种重要途径。
可应用于大气科学中的各个领域，如气候诊断分析，大气环流模式和天气预报模式的诊断分析以及物理量场的诊断分析等等，随着计算机的发展和普及诊断分析方法已在气象台站业务中得到广泛应用，并且越来越受到广大气象工作者的重视。
本书着重介绍天气分析和预报中各种物理量场的诊断分析方法，其中不少是作者近年来在科研中改进应用的新方法。
由于作者学术水平的限制，可能会有不少错误和不妥之外，欢迎广大读者批评指正。
作者 2012年03月于兰州大学目录第一章地图投影诊断分析中需要计算某些物理量(如涡度、散度等)的空间导数，如何计算，这就涉及到坐标的选取问题。
《天气学诊断分析》课程教学实践与尝试
目前我 国大气科学在学科建设 、 究深度 和规模上都 有 研 了较 大的发展 ， 随着全球 变 暖 ， 温热 浪 ， 范 围旱灾 ， 而 高 大 强 降水等极端天气 、 气候 事件 的频发 ， 人们对 天气 、 气候愈加 关 注， 相应 地对 大气科学 本科人才 的培养 质量也 提 出了更 高的 要求 。因此 ， 以素质教育思 想为指导 ， 转变教育 理念 ， 深化 教
使得 目 前我校《 天气学诊断分析》 课程也存在一些问题 ： 首先 是开课学期发生 变动 ， 由原来 的大三 下学期提前到大三上学 期， 在开设本课程时 ， 学生不具备相应的 专业 知识 ， 导致学生 在学 习了诊 断分 析方 法 ， 进行 教学 实习后 ， 并 对所得 到的结
果 不能结合 天气学原 理进行有效的分析 ， 使得这 门课程 的作 用 和效果大 打折 扣 ； 次 ， 其 教学 中所 采用 的本校 自编 教材 内
年来该 门课程在我校 的教 学及 实习情况进行 了分析 总结， 养创 新型 实用性人 才的 角度 出发 ， 从培 对该课程教 学和 实 习中存在 的不足及案例教 学法应用 于教 学实习的尝试进行 了讨论 。
关键词 ： 天气学诊 断分析 ； 案例 教学 ； 习 实
中图分类号 ：４ １Ｇ ４ ． Ｐ ４ ／ ６２ ０ 文献标志码 ： Ａ 文章 编号 ：６４— ３ １ ２ １ ）６— ０ ９— ２ １７ ６４ （０ １ ０ ０ ８ ０
天气学分析诊断 1、 绪论 1
❖
❖在精密地分析所求得的各物理量的 空间分布特征后，分析它们和天气 系统发生。
❖发展的关系，以及和诊断对象的联 系等等，得出灾害性天气发生和发 展的三度空间物理图象。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
❖王式功，天气学与诊断分析，兰州 大学
❖周军，天气学诊断分析，南京信息 工程大学，1986
❖朱乾根，天气学原理和方法，气象 出版社，2007；
散度
流体为不可压缩时，即密度不变有：
V O u v w o x y z
上式将水平风场与垂直运动联系了起来， 在大气中进行垂直运动的观测是困难的， 可以上式，用水平风速分布采推断垂直运动。
涡度的形成
产生了顺时 针旋转
T=T0
T=T1
z
v x
u y
❖在天气分析和预报中有一些物理量 是十分重要的，如涡度、散度、垂 直速度、水汽通量和水汽通量散度， 以及各种能量场等等。
❖反映各气象要素场之间关系的，不 含有对时间微商项的方程称为诊断 方程。
❖研究这些物理量的计算方法、分析 其空间分布特征以及它们和天气系 统发生、发展的关系等等称为诊断 场的分析，简称为诊断分析。
❖诊断分析的方法，原则上适用于大 气科学的所有领域(如对各种灾害性 天气的分析)。
❖被诊断的对象不同，计算和诊断的 重点也不尽相同。
❖诊断方程的形式应便于计算，使计算 在允许的精度范围内愈简单愈好。
❖在具体计算时，如果诊断方程是微分 式，则需用差分近似地代替微分，将 其转化成计算数学表达式。然后编程 计算得出物理量的三度空间数值分布。
天气学诊断分析实习报告
天气学诊断分析I 实习报告1(实习) 一．实习目的熟悉环流分解和一阶微商差分在气象中的应用，掌握一阶微商差分的实际编程计算。
二．实习内容已知2009年4月区域的风场(u,v)、高度场(h)、温度场(T)和比湿(q),请分别用micaps和reanalysis资料的高度场和比湿场，(1)求出该区域4月18日、4月19日和4月20日的500hPa日平均高度场(单位：十位势米)，且给出相应的图；(2) 求出该区域在4月19日时h t∂∂(单位：十位势米/日)，且给出相应的图；(3) 给出该区域在4月19日20时850hPa的比湿图(单位：克/千克)。
三．实习结果分析3.1 计算的程序Micaps:（1）计算三天500hpa的平均高度场program shixi1implicit noneinteger::i,j,ii,jj,cnt=1real::h(33,18),aver(33,18)=0character::dy*2,ti*2,dir*100,dire*100!读文件do while(cnt<=6)do i=18,20write(dy(1:2),'(i2)')iaver=0do j=08,20,12ti='00'write(ti(1:2),'(i2.2)')jdir='E:\micaps\height\500\0904'//trim(dy)//''//trim(ti)//'.000'print*,trim(dir)open(cnt,file=trim(dir))read(cnt,*)read(cnt,*)read(cnt,*)read(cnt,*)read(cnt,*)h(:,:)close(cnt)!print*,hdo ii=1,33 !计算每日平均高度场do jj=1,18aver(ii,jj)=aver(ii,jj)+h(ii,jj)/2enddocnt=cnt+1enddoprint*,averdire='c:\heihgt'//trim(dy)//''//trim(ti)//'.grd'open(cnt+6,file=trim(dire),form='binary')write(cnt+6)aver(:,:)close(cnt+1)enddoenddoend∂∂（2）4月19日h tprogram shixi122implicit noneinteger::i,j,ii,jj,areal::aver4(33,18,3)=0,pt(33,18)character::dy*2,ti*2='20',dir*100,dire*100,dirr*100,i1*2!读文件do i=18,20write(dy(1:2),'(i2)')idire='c:\heihgt'//trim(dy)//''//trim(ti)//'.grd'print*,trim(dire)open(i-17,file=trim(dire),form='binary')read(i-17)aver4(:,:,i-17)close(i-17)!print*,trim(dirr)enddodo ii=1,33do jj=1,18pt(ii,jj)=(aver4(ii,jj,3)-aver4(ii,jj,1))/2enddoenddoprint*,ptopen(4,file='C:\Users\Administrator\Desktop\pt.grd',form='binary')write(4)ptclose(4)end（3）4月19日20时850hPa的比湿program shixi122implicit noneinteger::i,j,ii,jjreal::td(33,18),p=850,a=17.2693882,b=35.86,e(33,18),q(33,18)open(1,file='E:\micaps\temper\850\09041920.000')read(1,*)read(1,*)read(1,*)td(:,:)close(1)!print*,tddo j=1,18do i=1,33e(i,j)=6.1078*exp(a*td(i,j)/(273.16+td(i,j)-b))enddoenddo!print*,edo j=1,18do i=1,33q(i,j)=622*e(i,j)/(p-0.378*e(i,j))enddoenddoprint*,q,sizeof(q)open(2,file='C:\Users\Administrator\Desktop\q.grd',form='binary') write(2)qclose(2)EndReanlaysis:（1）计算三天500hpa的平均高度场∂∂（2）4月19日h t（3）4月19日20时850hPa的比湿3.2 计算的绘图程序和描述文件CTL:dset C:\heihgt1820.grdundef -9.99E+33title NCEP/NCAR REANALYSIS PROJECTxdef 33 linear 32 4.0ydef 18 linear -80 4.0zdef 1 levels 500tdef 1 linear 00Z1JAN2009 1dyvars 1h 1 99 height500Endvarsdset C:\heihgt1920.grdundef -9.99E+33title NCEP/NCAR REANALYSIS PROJECTxdef 33 linear 32 4.0ydef 18 linear -80 4.0zdef 1 levels 500tdef 1 linear 00Z1JAN2009 1dyvars 1h 1 99 height500Endvarsdset C:\heihgt2020.grdundef -9.99E+33title NCEP/NCAR REANALYSIS PROJECTxdef 33 linear 32 4.0ydef 18 linear -80 4.0zdef 1 levels 500tdef 1 linear 00Z1JAN2009 1dyvars 1h 1 99 height500endvarsdset C:\Users\Administrator\Desktop\pt.grd undef -9.99E+33title NCEP/NCAR REANALYSIS PROJECTxdef 33 linear 32 4.0ydef 18 linear -80 4.0zdef 1 levels 500tdef 1 linear 00Z1JAN2009 1dyvars 1pt 1 99 height500endvarsdset C:\Users\Administrator\Desktop\q.grd undef -9.99E+33title NCEP/NCAR REANALYSIS PROJECTxdef 33 linear 32 4.0ydef 18 linear -80 4.0zdef 1 levels 850tdef 1 linear 00Z1JAN2009 1dyvars 1q 1 99 q850endvarsGS:'reinit''open C:\Users\Administrator\Desktop\h1.ctl' 'set lat -80 -12''set lon 32 160''set lev 500''set t 1''d h''draw title 18 500hpa height field''draw xlab lon''draw ylab lat'*'set gxout shaded'*'d h''enable print c:\h1.gmf''print''disable print''reinit''open C:\Users\Administrator\Desktop\h2.ctl' 'set lat -80 -12''set lon 32 160''set lev 500''set t 1''d h''draw title 19 500hpa height field''draw xlab lon''draw ylab lat'*'set gxout shaded'*'d h''enable print c:\h2.gmf''print''disable print''reinit''open C:\Users\Administrator\Desktop\h3.ctl' 'set lat -80 -12''set lon 32 160''set lev 500''set t 1''d h''draw title 20 500hpa height field''draw xlab lon''draw ylab lat'*'set gxout shaded'*'d h''enable print c:\h3.gmf''print''disable print';'reinit''open C:\Users\Administrator\Desktop\pt.ctl' 'set lat -80 -12''set lon 32 160''set lev 500''set t 1''d pt''draw title p/t 500hpa height field''draw xlab lon''draw ylab lat''enable print c:\pt.gmf''print''disable print';'reinit''open C:\Users\Administrator\Desktop\q.ctl' 'set lat -80 -12''set lon 32 160''set lev 850''set t 1''d q''draw title q 500hpa humidity field''draw xlab lon''draw ylab lat''enable print c:\q.gmf''print''disable print';3.3 绘制图形、统计表格和相关分析3.4 存在的问题或遇到的问题或体会或小结遇到问题：刚开始比湿场的图有些奇怪，不知道哪里有问题，之后发现是数据少读了两行；循环读文件时对文件名的循环比较陌生，通过本次实习，学会了使用trim函数以及如何将变量写进字符中，对文件的循环读取有了一定的了解；小结：如何可以用循环的话就可以避免大量的重复操作，所以学习好循环的使用是很重要、很有用的。
天气诊断分析
1. 地图投影：用投影的方法，把地球表面投影到预先规定的投影面上，然后把投影面沿某一指定的方向切开展成平面2.正形投影：两条交线间角度保持不变的投影。
3.为什么要进行气象资料处理:气象测站分布不规则，但是数值预报中的网格点是规则的，因而资料无法直接使用。
同时，从观测、编码、发报，到传递、转换、接收等环节上，气象资料都存在着出错的可能性。
4.如何进行错误记录的简单判断；利用要素值的上限值和下限值进行判断；利用要素值的空间连续性进行判断（与周围记录比）；利用要素值的时间连续性进行判断（与前后记录比）5.什么是客观分析：为了得到网格上的资料，可根据直接联系格点值与台站值的方程，从数值上进行内插。
方法：有限元、多项式、样条等，数值天气预报中还常使用逐步订正法、最优插值法、谱方法、变分法等。
6.什么叫逐步订证法：将格点周围站记录与终点值进行比较，用格点周围不同半径范围内各测站的观测数值情形与估计值之差的加权平均作修正量逐步对其订正，最终使格点分析值与周围测站记录相比达到完全合理为止。
7.资料同化：把各不同时刻的观测资料纳入统一的分析预报中来，使之自然满足一定的协调条件8.垂直速度的计算方法：个别变化，动力学学方法，运动学方法，由降水量反算。
9.Q矢量判断锋生锋消和垂直运动；Q矢量由冷区指向暖区，锋生；Q矢量由暖区指向冷区，锋消。
Q矢量辐合，引起上升运动；Q矢量辐散，引起下沉运动。
10.惯性不稳定：在地转平衡条件下，水平扰动使气块有远离原有平衡位置的趋向。
条件性对称不稳定：从物理上看，就是在垂直方向上为对流性稳定和在水平方向上为惯性稳定的环境中，空气作倾斜上升运动时可能出现的一种不稳定。
对流性不稳定：原来稳定的上干下湿的整层空气被抬升，其下部先达到饱和，并释放潜热，按湿绝热直减率降温，而上部则未达到饱和，仍按干绝热直减率降温，形成该气层上部降温多，下部降温少，使该气层转化为不稳定。
11.天气的可预报性：未来天气状态是既可以预报，又是不可预报的，即存在一个可预报期限，在此期限内是可预报的，超过这个期限是不可预报的。
天气诊断分析
天气诊断分析内容简介本书简明介绍了天气分析和预报中各种常用物理量场特别是涡度、散度、垂直速度、水汽通量散度、能量场、Q矢量、位涡度、条件性对称不稳定、粗Ri数、螺旋度、能量-螺旋度指数、雷暴大风指数等的诊断分析方法和数值预报产品的应用技术。
全书约13万字，共分八章。
可做为高等院校大气科学专业本科生的教材，也可供相关专业的教师、研究生及气象台站预报人员使用。
前言诊断分析方法是大气科学研究中常用的一种方法。
在天气分析中有一些十分重要的物理量，如涡度、散度、垂直速度和水汽通量散度以及各种能量场等等，这些物理量与一般的气象要素(温、压、风、湿)不同，它们通常是无法由观测直接得到的，而必须通过其它要素由计算间接获得。
这些物理量在某时刻的空间分布被称为“诊断场”。
诊断场和预报场是不同的，预报场是对未来时刻某物理量场的预报结果，在反映大气环流演变的流体动力学天气方程组中有一些十分重要的物理量即属于可以通过时间积分作预报的“预报方程”一类；而诊断场是物理量方程中不含有它对时间的微商项。
反映各气象要素场之间关系的不含有对时间微商的方程称为“诊断方程”。
研究这些物理量的计算方法、分析其空间分布特征，以及它们和天气系统发生、发展的关系称为诊断场分析。
诊断分析方法是加深认识天气系统及其发生、发展过程的一种重要途径。
可应用于大气科学中的各个领域，如气候诊断分析，大气环流模式和天气预报模式的诊断分析以及物理量场的诊断分析等等，随着计算机的发展和普及诊断分析方法已在气象台站业务中得到广泛应用，并且越来越受到广大气象工作者的重视。
本书着重介绍天气分析和预报中各种物理量场的诊断分析方法，其中不少是作者近年来在科研中改进应用的新方法。
由于作者学术水平的限制，可能会有不少错误和不妥之外，欢迎广大读者批评指正。
目录第一章地图投影 (1)§1.1 正形投影的基本关系 (2)§1.2 兰勃托投影 (4)§1.3 极射赤平投影 (4)§1.4 麦开脱圆柱投影 (5)第二章资料处理和客观分析 (6)§2.1 资料处理 (6)§2.2 客观分析 (12)第三章基本物理量的计算 (24)§3.1 表示空气湿度的物理量 (24)§3.2 运动学量的计算 (38)第四章垂直速度的计算 (45)§4.1 个别变化法 (45)§4.2 动力学方法 (48)§4.3 运动学方法 (54)§4.4 从降水量反算大气的垂直速度 (57)第五章湿度场分析 (59)§5.1 水汽通量 (59)§5.2 水汽通量散度 (60)§5.3 水汽净辐合的计算 (61)§5.4 降水率P的计算 (63)§5.5 总降水量的计算 (67)§5.6 降水效率 (67)第六章稳定度和能量分析 (69)§6.1 稳定度分析 (69)§6.2 能量分析 (74)第七章若干诊断量的分析应用 (78)§7.1 Q矢量分析 (78)§7.2 位涡思想的应用 (89)§7.3 条件性对称不稳定 (97)§7.4 强对流天气分析预报中新近引入的几个参数 (105)第八章数值预报及其产品应用技术 (115)§8.1 概述 (115)§8.2 数值预报产品的接收和预处理 (119)§8.3 数值预报误差的分析和订正 (120)§8.4 数值预报产品的定性应用方法 (128)§8.5 数值预报产品的定量应用方法 (131)§8.6 综合集成方法 (151)思考题 (158)编制程序题 (159)主要参考文献 (161)第一章地图投影诊断分析中需要计算某些物理量(如涡度、散度等)的空间导数，如何计算，这就涉及到坐标的选取问题。
天气诊断分析答疑库(含答案)
答疑库1. 何为地图投影？从数学上讲地图投影的本质是什么？所谓地图投影就是用投影的方法，把地球表面投影到预先规定的投影面上，然后把投影面沿某一指定的方向切开展成平面。
从数学上讲地图投影的本质就是将球面集合映射到平面集合上。
2. 什么叫正形投影? 正形投影有哪些基本关系?两条交线间角度保持不变（或沿各方向放大倍数相等）的投影叫正形投影。
正形投影的基本关系有：θϕϕππsin cos cos 22a kla kl a kl L L m s ====(1) 000s i n c o s θϕkak a l ==(2) kktg tg k atg tg l l ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2()2(sin )2()2(0000θθθθθ (4) λ=k λs (5) 3. 写出极射赤平、兰勃脱、麦开脱三种投影的放大系数表达式。
极射赤平投影 ϕsin 11232=+∙+m 兰勃脱投影 ktg tg m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2()2(sin sin 00θθθθ 麦开脱投影 ϕϕθθcos cos sin sin 00==m 4. 为什么要进行气象资料处理?气象测站分布不规则，但是数值预报中的网格点是规则的，因而资料无法直接使用。
同时，从观测、编码、发报，到传递、转换、接收等环节上，气象资料都存在着出错的可能性。
因此，要正确使用这些气象资料，必须经过必要的处理。
5. 如何进行错误记录的简单判断?①利用要素值的上限值和下限值进行判断；②利用要素值的空间连续性进行判断（与周围记录比）； ③利用要素值的时间连续性进行判断（与前后记录比）。
6. 什么是客观分析? 客观分析的方法有哪些?为了得到网格上的资料，可根据直接联系格点值与台站值的方程，从数值上进行内插。
这种方法叫客观分析。
常用的客观分析的方法有：有限元、多项式、样条等，数值天气预报中还常使用逐步订正法、最优插值法、谱方法、变分法等。
7. 写出实测风分解及风场订证公式实测风分解公式u v -=-⎧⎨⎪⎩⎪i n (/)o s (/)παππαπ180180风场订证公式 ⎩⎨⎧-=+=ααααs i n c o s 's i n c o s 'u v v v u u8. 写出三点、五点、九点平滑算子。
天气学分析诊断 2.2.1 平滑滤波与尺度分离 Shuman—Shapiro滤波
如果令R=0，即可以得到S和n的关系：
S=0.5*1/ sin2π/n
（5）
2.2 二维滤波
对于二维问题，在△x=△y时有9点滤波算 子：
响应函数： 其滤波特性和(2)式相同。
（8） （9）
不足之处：
上述方法在滤波的同时，其他波的 振幅也会受到不同程度的歪曲（削弱或 者加强）。因而用初始场减去滤波场后， 所分离出来的中尺度扰动，可以混杂了 较多其他波长的分量，为了解决这个问 题，还需要使用对较长波分量有恢复作 用的算子。（正逆平滑）
R(S,n)=1-2S sin2π/n
(7)
其中，n为格距的倍数,n=L/△x。
R(S,n)=1-2S sin2π/n
(7)
由（7）式可见，如果取S=0.5， n=2，得到R=0，因此通过滤波算子的平 滑运算后，可以滤去2倍格距的扰动。如 果n=10，则R=0.905，即经过滤波算子 平滑运算后，使得原波长扰动振幅减少 10%左右。
在天气尺度流场上(图3a)，暴雨区 在副热带高压边缘的偏南气流控制下， 存在较适合的大尺度环流场。
在图3b的次天气尺度流场上，可清 楚看出，在罗平地区附近(24°-25°N， 104°-106°E)存在一明显的辐合区，系 统的波长在500km左右，是典型的次天气 尺度系统的扰动,产生暴雨的系统在这种 流场上反映得十分清楚，而在未分离的 流场及天气尺度的流场(图3a)上反映不 明显。
3.2 天气形式
图2为所选取区域为1985年7月13日08 时500hPa的等高线图。从图中可知，在西太 平洋副热带高压与青藏高原高压之间存在一 弱的切变线，位于川滇之间。罗平地区仍然 主要处于西太平洋副热带高压边缘，直接产 生强降水的系统不明显。
3.3 流场分析
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（1.1.5）式，（1.1.6）式和（1.1.7）式分别称 为向前差分，向后差分和中心差分，可以证明中心差 分是前两种差分形式的平均。
dA A x x A x
dx x
x
dA
A x A x x
dx x
x
dA A x x A x x
dx x
2x
1 2
dA dx
前 x
dA dx
后 x
x
（1.1.3） （1.1.4）
❖ （一）两点式差分方案
由第（1.1.1）式可得
dA
A x x A x
dx x
x
1 x
d2A
dx2
x
x2 2!
d3 dx3
x3 3!
略去高次微项，可得近似差分表达式
dA
A x x A x
dx x
x
（1.1.5）
由第（1.1.2）式可得
dA
A x A x x
dA A x x A x
dx x
x
dA
A x A x x
dx x
x
dA A x x A x x
dx x
2x
实际上分别表示图 2 中斜线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的斜率，
从图中可见斜线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ与 AB 之间斜率均不一样，
但以斜线Ⅲ的斜率与 AB 的斜率更为接近，这也大致
说明（1.1.7）式比两点式差分具有较高的精度。
x
（1.1.1）
A
x
x
Ax
dA dx
x
x
d2A dx2
x
x2 2!
d3A dx3
x3 3!
x
（1.1.2）
Ax
2x
Ax
dA dx
x
2x
d2A dx2
x
22 x2 2!
d 3 A 22 x3
dx3 3!
x
Ax
2x
A x
dA dx
x
2x
d2A dx2
x
22 x2 2!
d 3 A 22 x3 dx3 3!
A
x
x
Ax
dA dx
x
x
d2A dx2
x
x2 2!
d 3 A x3 dx3 3!
x
（1.1.1）
A
x
x
Ax
dA dx
x
x
d2A dx2
x
x2 2!
d3A dx3
x3 3!
x
（1.1.2）
Ax
2x
Ax
dA dx
1 A x x A x A x A x x
2
x
x
1 A x x A x x
2
x
dA 中心 dx x
（四）五点式差分方案
五点式差分方案的表达式为
dA 4 A x x A x x
dx x 3
2x
1 A x 2x A x 2x
3
4x
（1.1.8）
❖ 把（1.1.1）－（1.1.4）式代入（1.1.8）式， 得：
dx x
2x
1 x
d3A
dx3
x
x3 3!
d5A dx5
x
x5 5!
略去高次项即得
dA A x x A x x
dx x
2x
（1.1.7）
由于（1.1.7）式涉及到三个计算格点 x x ， x ，
x x ，所以称之为一阶微商的三点式差分方案。
（三）两点式差分方案和三点式差分 方案的精度和物理意义
数值预报：
❖ 时间差分格式必须是计算稳定
诊断分析：
❖ 不存在时间积分以及计算不稳定问题 ；
❖ 常要求二阶精度的方案
❖ 各种差分方案的构成均建立在泰勒（Taylor）开展的 基础上
§1 简单有限差分公式
泰勒（Taylor）展开是气象上构造有限差
分方案的出发点若。
在
a
的邻域上，
存在，则 f
n x
f a h f a f 1 ah h2 f h a
0x
x
x
（1.1.7）式中的误差取决于
1 d3A
x dx3
x3 1 d 3 A
3!
3
dx3
x2
0 x2
x
x
所以，三点式差分方案具有二阶的精确度。
P 5 图2
dA
在如图所示的几何图象中 dx x 对应着曲线 A x 在
x 处切线 AB 的斜率，而（1.1.5）式，（1.1.6）式
和（1.1.7）式
（1.1.5），（1.1.6）和（1.1.7）式均是一阶微商 dA
的近似表达式，它们与真值 dx 之间是有误差的。
根据误差理论，各式的误差量级，取决于泰勒展 开式中被略去的第一项的量级。
（1.1.5）式和（1.1.6）式中的误差（常称截断误差） 取决于
1 d 2 A x2 1 d 2 A x x dx2 2! 2 dx2
2!
h3 f a
3!
hn n!
fan
泰勒展开的实质是用 f 在 a 点的值和 f
在 a 点的各阶导数值来表示函数 f 在另一点
a h处的值 f a h 。
用该公式来构造有限差分公式，则是用 f
在 a 点和 a h点的值 f a 和 f a h ，来表示
f 在 a 点处的一阶导数值。
❖ 一、一阶微商的几种差分方案
dA dx
，由于只需知道两点的
dA
A 值即可求得 dx x 的近似值，因此称为一阶微商的两
点式差分方案。
❖ （二）三点式差分方案
由（1.1.1）式减去（1.1.2）式可得
A x x A x x dA x
dx x
移项整理即得
2
d3A dx3
x3 3!
d5A dx5x5 5!x源自dA A x x A x x
间导数和时间导数，例如需要计算
A x
、
2 A x2
、A
、2
A
、
J A,B和 A 。计算空间导数就是用不同的差分方法计算
t
出在 x 轴或 y 轴或垂直轴上任一固定点或网格点上的
导数值，这需要知道该点及附近诸点的 A 值。有限差
分方法不同，所算出的导数的精确度也不同。
❖ 诊断分析和数值预报中的差别：
dx x
x
1 x
d2A
dx2
x
x2 2!
d3 dx3
x
x3 3!
略去高次微项，可得近似差分表达式
dA A x A x x
dx x
x
（1.1.6）
对于（1.1.5）和（1.1.6）式，只知道 A 在 x x 处 和 x 处的值，或者知道 x 处和 x x 处的值，即可以求
出
x
处一阶微商的近似值
在一个离散的等距离格点
x, x x, x 2x, x 3x, 上，
取得了各点对应的观测值
Ax, Ax x, Ax 2x,
其中 x 是格点之间的距离，简称格距。
在 x x,x 2x 诸点上，泰勒展开的
形式为
A
x
x
Ax
dA dx
x
x
d2A dx2
x
x2 2!
d 3 A x3 dx3 3!
§3 差分
§3.1 差分的概念
❖ 有限差分法：数值求解常微分方程或偏微分 方程的方法。
❖ 物理学和其他学科领域的许多问题在被分析 研究之后, 往往可以归结为常微分方程或偏微 分方程的求解问题。
❖ 有限差分法以变量离散取值后对应的函数值 来近似微分方程中独立变量的连续取值。
在诊断分析和数值天气预报中，经常需要计算空