教案编号(.极限的概念)Word版

三、例题讲解

例 1 已知函数x

e x

f =)(，画出函数的图形，求)(lim x f x -∞

→，)(lim x f x +∞

→，

并讨论)(lim x f x ∞

→是否存在。

解 )(x f 的图形（图1-4），由图形不难看出：

)(lim x f x -∞

→=lim 0x x e →-∞=

)(lim x f x +∞

→=lim x x e →+∞

=∞

即：≠-∞

→)(lim x f x )(lim x f x +∞

→ 所以，)(lim x f x ∞

→不存在

例2 已知函数x

x f 1

)(=画出函数的图形，求)(lim x f x -∞→，)(lim x f x +∞→，

并讨论)(lim x f x ∞

→是否存在。

解 )(x f 的图形（图1-4），由图形不难看出：

)(lim x f x -∞

→=1

lim

0x x →-∞=

)(lim x f x +∞

→=1

lim 0x x →+∞=

即：)(lim x f x -∞

→=lim ()0x f x →+∞

=

所以，)(lim x f x ∞

→存在，且等于0。

即lim ()0x f x →∞

=

例3 2

232

lim

.2

x x x x →-+-求 解 2232lim 2x x x x →-+- 2(2)(1)

lim 2

x x x x →--=- 2lim(1) 1.x x →=-=

例4 2

2

lim() .x x x →+求

解 22

2

lim()22 6 .x x x →+=+=

例3,4，5和6说明了下列几种重要现象：

(1) 函数()f x 在0

x

处极限存在，但函数

()f x 在处可以没有

定义(如例 3) 。 (2) 函数()f x 在

x 处虽然有定义，

且在

x 处有极限，

但两者不相等，

0lim ()()

x x f x f x →≠即（如例5） (3) 函数()f x 在

x 处有定义，也有

极限。且极限值与函

数值两者相等 （如例4）。 (4) 函数()f x 在

x 处虽然有定义，

但在

x 处没有极限

（如例6）。

图1-2

图1-1

例 5 已知函数,0,0,

012

12)(2<=>??

?

??++=x x x x x x f （图1-6）所示，求)(lim 0

x f x -→，)(lim 0x f x +

→，并讨论)(lim 0

x f x →是否存在。

解 根据)(x f 的分段表达式，并观察图形得：

)(lim 0x f x -

→=)1(lim 0

+-→x x =1

)(lim 0

x f x +→=)12(lim 20

++→x x =1

即：)(lim 0

x f x -→=)(lim 0

x f x +→=1

所以，)(lim 0

x f x →存在，且等于1

即)(lim 0

x f x →=1

例 6 已知函数,0,0,0101)(<=>??

?

??-=x x x x f 画出函数的图形，求)(lim 0

x f x -→，

)(lim 0x f x +

→，并讨论)(lim 0

x f x →是否存在。

解 )(x f 的图形（图1-7），且

)(lim 0x f x -

→=1lim 0

--→x =-1

)(lim 0x f x +

→=1lim 0

+→x =1

即：≠-→)(lim 0

x f x )(lim 0

x f x +→ 所以，)(lim 0

x f x →不存在.

四、课堂练习

练习：1.○

1=∞→n n 1

lim ○

2=∞

→n n 2lim ○

3=∞→n n 21lim ○4=+∞→n

n n 1lim 图1-3

图1-4

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）