数值分析4埃尔米特插值

一类四次hermite插值多项式逼近的最佳常函数估计

一类四次hermite插值多项式逼近的最佳常函数估计一类四次hermite插值多项式逼近的最佳常函数估计四次hermite插值多项式逼近是指用多项式逼近某一类常函数，其中hermite插值多项式是由插值点处的函数值和导数值求得的。

在逼近过程中，为了使逼近误差最小，通常采用最佳常函数估计的方法。

最佳常函数估计的思想是，在满足一定条件的情况下，找到一类函数，使得这一类函数在所有可能的常函数中，其逼近误差最小。

四次hermite插值多项式逼近最佳常函数估计的具体方法如下:1. 选择插值点在四次hermite插值多项式逼近中，首先要选择插值点。

一般来说，插值点的选择应当满足等距或等比分布的原则。

这样可以使逼近误差均匀分布，从而使得最终的逼近效果最优。

2. 求解hermite插值多项式在选择了插值点之后，就可以开始求解hermite插值多项式了。

这一步的具体方法是，根据插值点处的函数值和导数值，求解hermite插值多项式的系数。

3. 计算逼近误差在求得her插值多项式之后，就可以开始计算逼近误差了。

逼近误差是指多项式逼近函数时所产生的误差。

计算逼近误差的具体方法是，在所有的插值点处分别计算多项式和函数的差值，然后取这些差值的最大值。

这个最大值就是逼近误差。

4. 比较逼近效果在计算出逼近误差之后，就可以比较多项式逼近函数的效果了。

如果逼近误差较小，说明多项式逼近函数的效果较好；如果逼近误差较大，则说明多项式逼近函数的效果较差。

四次hermite插值多项式逼近最佳常函数估计的方法介绍到这里。

总的来说，四次hermite插值多项式逼近是一种非常有效的方法，可以用来逼近各种常函数。

埃尔米特曲线插值

埃尔米特曲线插值
埃尔米特曲线插值是一种数学方法，用于通过给定的一组数据点来构建一个平滑的曲线。

这种插值方法常用于计算机图形学、工程建模和动画等领域。

埃尔米特曲线插值是由法国数学家Charles Hermite在19世纪提出的。

它的基本思想是通过给定的数据点来构建一个多项式曲线，使得曲线在给定的数据点上具有相同的函数值和导数值。

这样可以确保插值曲线能够光滑地通过给定的数据点，并且在数据点处的斜率也是符合要求的。

在埃尔米特曲线插值中，曲线的形状由给定的数据点和导数值决定。

通常情况下，我们需要给定每个数据点处的函数值和导数值。

这些导数值可以根据实际问题的需求来确定，比如可以根据相邻数据点的斜率来计算导数值，或者通过其他方法来估计。

利用埃尔米特曲线插值，我们可以构建出一个符合给定数据点的平滑曲线，而且在数据点处的斜率也是符合要求的。

这种插值方法在
计算机图形学和动画中得到了广泛的应用，比如可以用来绘制自然流畅的曲线和路径，或者用来模拟真实物体的运动轨迹等。

总的来说，埃尔米特曲线插值是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们通过给定的数据点来构建出平滑的曲线，并且满足特定的函数值和导数值要求。

通过合理地选择数据点和导数值，我们可以得到符合实际需求的插值曲线，从而在计算机图形学、工程建模和动画等领域中发挥重要作用。

埃尔米特(Hermite)插值

实验二埃尔米特（Hermite）插值一、实验目的：1.掌握埃尔米特插值算法原理；2.使用C语言编程实现埃尔米特插值算法。

二、实验准备：阅读《数值分析》2.4节二、实验要求：某人从甲地开车去乙地，每隔一段时间对行车距离和速率进行一次采样，得到在n+1 个采样时刻点t i 的里程s i和速率v i（i=0, 1, ..., n）。

要求编程构造埃尔米特插值多项式H2n+1(t)，满足H2n+1(t i)=s i，H'2n+1(t i)=v i，对所有i=0, 1, ..., n成立，并据此计算m个给定时刻的里程和速率。

函数接口定义：void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] );其中N为采样点个数（注意这个N不是公式中的最大下标n，而是等于n+1），采样时刻点t i、里程s i、速率v i分别通过t、s、v传入；m是需要估算的给定时刻的个数，ht传入给定的时刻点，相应计算出的里程和速率应分别存储在hs和hv中。

裁判程序如下：裁判输入数据：20.0 1.00.0 1.00.0 0.050.0 0.2 0.5 0.8 1.030.0 0.5 1.0100.0 170.0 200.030.0 150.0 0.050.0 0.25 0.5 0.75 1.050.0 1.0 2.0 3.0 4.00.0 60.0 160.0 260.0 300.05.0 70.0 100.0 120.0 20.0100.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 3.8 3.95 4.0标准输出数据：0.0000 0.1040 0.5000 0.8960 1.00000.0000 0.9600 1.5000 0.9600 0.0000100.0000 127.9297 170.0000 195.9766 200.000030.0000 165.4688 150.0000 52.9688 0.000030.2222 60.0000 105.9303 160.0000 206.3438 260.0000 307.9764 305.7687 299.9796 300.000062.6024 70.0000 109.0488 100.0000 92.9745 120.0000 41.2374 -44.8421 -16.2783 20.0000#include<stdio.h>#define MAXN 5 /* 最大采样点个数 */#define MAXM 10 /* 最大估算点个数 */void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] ){double l[10],p[10],h1[10],h2[10],x,ll[10],pp[10];int kk;for(kk=0;kk<m;kk++){x=ht[kk];hs[kk]=0;hv[kk]=0;int i;for(i=0;i<N;i++){l[i]=1;ll[i]=1;int j;for(j=0;j<N;j++){if(i!=j){l[i]=l[i]*(x-t[j])/(t[i]-t[j]);}}p[i]=0;pp[i]=0;int k;for(k=0;k<N;k++){if(i!=k){p[i]=p[i]+l[i]/(x-t[k]);pp[i]=pp[i]+ll[i]/(t[i]-t[k]);}}h1[i]=(1-2*pp[i]*(x-t[i]))*l[i]*l[i];h2[i]=(x-t[i])*l[i]*l[i];hs[kk]=hs[kk]+s[i]*h1[i]+v[i]*h2[i];int kkk;for(kkk=0;kkk<N;kkk++){if(x==t[kkk])break;}if(x==t[kkk])hv[kk]=v[kkk];elsehv[kk]=hv[kk]+s[i]*(2*p[i]*l[i]-4*l[i]*p[i]*(x-t[i])*pp[i]-2*pp[i]*l[ i]*l[i])+v[i]*(l[i]*l[i]+2*l[i]*p[i]*(x-t[i]));}}}int main(){int N, m;double t[MAXN], s[MAXN], v[MAXN]; /* 用于构造的数据 */double ht[MAXM], hs[MAXM], hv[MAXM]; /* 用估算的数据 */int i;while ( scanf("%d", &N) != EOF ) {for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &t[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &s[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &v[i]);scanf("%d", &m);for ( i=0; i<m; i++ )scanf("%lf", &ht[i]);Hermite_Interpolation( N, t, s, v, m, ht, hs, hv );for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hs[i]);printf("\n");for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hv[i]);printf("\n\n");}return 0; }。

埃尔米特插值法

埃尔米特插值法1. 引言埃尔米特插值法是一种用于数据插值的数值方法。

它通过给定的数据点来构造一个多项式函数，该函数在这些数据点上与给定的函数具有相同的函数值和导数值。

埃尔米特插值法可以应用于各种领域，如数学、物理、计算机图形学等。

2. 插值问题在实际问题中，我们常常需要根据已知数据点来估计未知数据点的函数值。

这就是插值问题。

给定n个不同的数据点(x0,y0),(x1,y1),...,(x n,y n)，我们希望找到一个多项式函数P(x)，使得P(x i)=y i对所有i=0,1,...,n成立。

3. 埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式是满足以下条件的多项式： - 在每个已知数据点上具有相同的函数值：P(x i)=y i - 在每个已知数据点上具有相同的导数值：P′(x i)=m i其中m i是给定的导数值。

为了构造埃尔米特插值多项式，我们需要利用这些条件来确定其系数。

4. 构造埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式的一般形式为：P(x)=∑ℎini=0(x)⋅y i+∑g ini=0(x)⋅m i其中ℎi(x)和g i(x)是满足以下条件的基函数： - ℎi(x j)=δij，其中δij是克罗内克（Kronecker）符号，当i=j时取值为1，否则为0。

- g i(x j)=0对所有i,j成立。

基于这些条件，我们可以求解出基函数ℎi(x)和g i(x)的表达式，并将其代入埃尔米特插值多项式的公式中。

5. 插值误差估计在实际应用中，我们通常需要估计插值多项式的误差。

通过使用泰勒展开和拉格朗日余项定理，可以得到以下插值误差的估计公式：f(x)−P n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)(x−x1)...(x−x n)其中f(n+1)(ξ)是函数f(x)在x0,x1,...,x n之间某个点ξ处的(n+1)阶导数。

6. 示例假设我们有以下数据点：(0,1),(1,2),(2,−1)。

我们希望通过这些数据点构造一个埃尔米特插值多项式。

埃尔米特(Hermite)插值

实验二埃尔米特（Hermite）插值一、实验目的：1.掌握埃尔米特插值算法原理；2.使用C语言编程实现埃尔米特插值算法。

二、实验准备：阅读《数值分析》2.4节二、实验要求：某人从甲地开车去乙地，每隔一段时间对行车距离和速率进行一次采样，得到在n+1 个采样时刻点t i 的里程s i和速率v i（i=0, 1, ..., n）。

要求编程构造埃尔米特插值多项式H2n+1(t)，满足H2n+1(t i)=s i，H'2n+1(t i)=v i，对所有i=0, 1, ..., n成立，并据此计算m个给定时刻的里程和速率。

函数接口定义：void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] );其中N为采样点个数（注意这个N不是公式中的最大下标n，而是等于n+1），采样时刻点t i、里程s i、速率v i分别通过t、s、v传入；m是需要估算的给定时刻的个数，ht传入给定的时刻点，相应计算出的里程和速率应分别存储在hs和hv中。

裁判程序如下：裁判输入数据：20.0 1.00.0 1.00.0 0.050.0 0.2 0.5 0.8 1.030.0 0.5 1.0100.0 170.0 200.030.0 150.0 0.050.0 0.25 0.5 0.75 1.050.0 1.0 2.0 3.0 4.00.0 60.0 160.0 260.0 300.05.0 70.0 100.0 120.0 20.0100.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 3.8 3.95 4.0标准输出数据：0.0000 0.1040 0.5000 0.8960 1.00000.0000 0.9600 1.5000 0.9600 0.0000100.0000 127.9297 170.0000 195.9766 200.000030.0000 165.4688 150.0000 52.9688 0.000030.2222 60.0000 105.9303 160.0000 206.3438 260.0000 307.9764 305.7687 299.9796 300.000062.6024 70.0000 109.0488 100.0000 92.9745 120.0000 41.2374 -44.8421 -16.2783 20.0000#include<stdio.h>#define MAXN 5 /* 最大采样点个数 */#define MAXM 10 /* 最大估算点个数 */void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] ){double l[10],p[10],h1[10],h2[10],x,ll[10],pp[10];int kk;for(kk=0;kk<m;kk++){x=ht[kk];hs[kk]=0;hv[kk]=0;int i;for(i=0;i<N;i++){l[i]=1;ll[i]=1;int j;for(j=0;j<N;j++){if(i!=j){l[i]=l[i]*(x-t[j])/(t[i]-t[j]);}}p[i]=0;pp[i]=0;int k;for(k=0;k<N;k++){if(i!=k){p[i]=p[i]+l[i]/(x-t[k]);pp[i]=pp[i]+ll[i]/(t[i]-t[k]);}}h1[i]=(1-2*pp[i]*(x-t[i]))*l[i]*l[i];h2[i]=(x-t[i])*l[i]*l[i];hs[kk]=hs[kk]+s[i]*h1[i]+v[i]*h2[i];int kkk;for(kkk=0;kkk<N;kkk++){if(x==t[kkk])break;}if(x==t[kkk])hv[kk]=v[kkk];elsehv[kk]=hv[kk]+s[i]*(2*p[i]*l[i]-4*l[i]*p[i]*(x-t[i])*pp[i]-2*pp[i]*l[ i]*l[i])+v[i]*(l[i]*l[i]+2*l[i]*p[i]*(x-t[i]));}}}int main(){int N, m;double t[MAXN], s[MAXN], v[MAXN]; /* 用于构造的数据 */double ht[MAXM], hs[MAXM], hv[MAXM]; /* 用估算的数据 */int i;while ( scanf("%d", &N) != EOF ) {for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &t[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &s[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &v[i]);scanf("%d", &m);for ( i=0; i<m; i++ )scanf("%lf", &ht[i]);Hermite_Interpolation( N, t, s, v, m, ht, hs, hv );for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hs[i]);printf("\n");for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hv[i]);printf("\n\n");}return 0; }。

艾米特插值

若 αi ( x ) , βi ( x )( i = 0,1) ,满足
αi (x j ) = δi j
1 i = j = , , α i′( x j ) = 0 0 i ≠ j (i = 0 , 1)
β i ( x j ) = 0 , β i′( x j ) = ( x ) = ( − 2 l ( x j ) x + 1 + 2 x l ( x j )) l ( x )
' j ' j j 2 j
= (1 − 2 ( x − x j ) l ( x j )) l ( x )
' j 2 j
其中 l ( x j ) ∑ ＝
' j
n
k =0 k≠ j
由于
′ α 0 ( x 0 ) = 1, α 0 ( x 0 ) = 0 2.2 (2.6.2) ′ α 0 ( x1 ) = 0, α 0 ( x1 ) = 0 , (2.6.3) 2.3
由（2.6.3）可设
α0 ( x) = ( x − x1 ) a ( x − x0 ) + b ,
2.4 埃尔米特(Hermite)插值
• Hermite插值问题的提出 • 三次 Hermite 插值 • 2n+1 次Hermite 插值多项式 • Hermite插值余项 • 数值实例
一、 Hermite插值问题的提出
由于理论与实践的需要，在构造插值函数时，不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的（高阶）导数值也相等（即要求在节点上具有一定的光滑度），使得插值函数与被插函数贴近程度更好，满足这种要求的插值多项式就是 Hermite 插值多项式，有时也称为具有重节点插值。
2
再由（2.6.2）可求得

数值分析4-埃尔米特插值

yi +
x − xi xi+1 − xi
yi+1
x ∈ [ xi , xi+1 ]
记
h
=
max
|
xi+1
−
xi
| ，易证：当
h→0 时，P1h (
x)
一致
→f
(x)
y
y= f(x)
y=p(x)
失去了原函数的光滑性。
o
x
分段线性插值的余项
f (x) −
s1 ( x )
≤
max
xi ≤ x ≤ xi+1
-10
解以泰勒公式，满足条件
q(0) = 2, q ' (0) = −2, q"' (0) = −10 的插值多项式
q(x) = −5x 2 − 2x + 2
令
p(x) = −5x2 − 2x + 2 + x3(ax2 + bx + c)
p′(x) = −10x − 2 + 3x2 (ax2 + bx + c) + x3(2ax + b)
f ′′
x
分段Hermite插值
给定 x0 , ... , x n ; y0 , ... , yn ; y0′ , ... , y′n 导数一般不易得到。
余项
( ) max f 4
( ) f
(x) − s1(x)
≤
xi ≤x≤xi+1
4!
x
⎜⎜⎝⎛ xj
− xi 2
⎟⎟⎠⎞4
≤
hi4 max 384xi ≤x≤xi+1

4c埃尔米特插值

n
, xn ] ( x xi )
i 1
n1
f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
f ( x0 ) ( x x0 ) n n!
Taylor 插值多项式
f ( n1) ( ) n1 R ( x ) ( x x ) 余项 n 0 ( n 1)!
2 2 2 2
余项为 R3 ( x ) f ( x ) H 3 ( x ) f ( 4 ) ( ) ( x x0 )2 ( x x1 )2 , ( x0 , x1 ). 4!
作业
教材第页：提示
l 2 ( x). j
令 j ( x) (c j x d j )l ( x),
2 j

j ( x) ( x x j )l 2 j ( x).
H 2 n1 ( x ) [ f j j ( x ) f j j ( x )]
j 0 n
n
n 1 1 2( x x j ) j 0 k 0 x j xk k j
x2 x0
一般地，n 阶重节点差商定义为
f [ x0 , , x0 ] lim f [ x0 , x1 ,
xi x0
1 ( n) , xn ] f ( x0 ) n!
重节点Newton插值
在 Newton 插值公式中，令 xi x0 , i = 1, … , n, 则
N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 ,
(i, j 0,1,
, n)
H 2 n 1 ( x) [f (x j ) j ( x) f (x j ) j ( x)] .