合肥一中最后一卷文数答案
安徽省合肥市一中、合肥六中2025届高考语文考前最后一卷预测卷含解析
安徽省合肥市一中、合肥六中2025届高考语文考前最后一卷预测卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
1、阅读下文，完成各题。
来世我愿意做托斯卡纳①的一棵树陈丹燕①要是有来世，我想我不愿意再做一个人了，做一个人，是很美，可是也太累。
我来世想做一棵树，长在托斯卡纳绿色山坡上的一棵树。
要是我的运气好，我就是一棵形状很美的柏树，像绿色的烛火一样尖尖地伸向天空，总是蓝色的，金光流溢的天空。
②我的树梢是尖尖的，在总是温暖的绿色的山坡上静穆地指向天空，好像是一个在沉思着什么的人，其实我没有思想，也不再了解思想的疼痛。
我站得高高的，边上就是在古代战争中留下来的城堡。
我能看见很远的地方，变成了孤儿的拉斐尔正在度过一条蓝色的小湖，他要到罗马去画画，他忧郁地看着托斯卡纳美丽的坡地，这是他在告别自己的故乡。
而在一个阳台上，达芬奇正在给蒙娜丽莎画着肖像，她微微笑着，是那种内心细腻的人，为了掩盖自己而挡在面前的微笑，没有这种心思的人，会觉得那种笑很神秘的。
年轻的米开朗基罗从翡冷翠老城里的一扇木门里走出来，他的脸带着受苦的样子，他的天才压死了多少代画家，可他觉得自己的一生是不幸福的。
而在圣马可修道院里，安波切利在墙上画出了世界上最美的天使报喜。
我终于有机会看看我喜欢的画家。
安徽省合肥市第一中学高三最后一卷数学答案和解析
合肥一中2023届高三最后一卷数学参考答案1.解析：因为][0,2,2,0A B ⎡⎤==-⎣⎦所以{}(){}0,0R A B A B x Rx ⋂=⋂=∈≠∣ð.故选：C .2.解析：因为1z =+，所以1z =，故z 的虚部是.故选：A .3.解析：5x =，故0.155 5.75 6.5y =⨯+=，经计算可得被污损的数据为6.4，答案选B .4.解析：曲线1:sin 2cos22C y x x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，把1:cos2C y x =上各点的横坐标缩短到原来的23，纵坐标不变，可得cos3y x =的图象；再把得到的曲线向左平移18π个单位长度，可以得到曲线25:cos 3cos 366C y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选：C.5.解析：设直线1y =与y 轴交点为M ，由对称性，易知MFA 为直角三角形，且1602AFM AFB ∠∠== ，2AF FM ∴=，即1212p +=，去绝对值，解得23p =或6,p =∴抛物线的准线方程为13y =-或3y =-.故选：C.6.解析：一方面，考虑{}Ω,,,a b c d =含有等可能的样本点，{}{}{},,,,,A a b B a c C a d ===.则()()()()()()11,24P A P B P C P AB P BC P AC ======，故,,A B C 两两独立，但()1148P ABC =≠，故此时，()()()()P ABC P A P B P C =不成立.另一方面，考虑{}Ω1,2,3,4,5,6,7,8=含有等可能的样本点，{}{}{}1,2,3,4,3,4,5,6,4,6,7,8A B C ===.则()()()()11,28P A P B P C P ABC ====()111822P AC =≠⨯，故,A C 不独立，也即,,A B C 两两独立不成立.综上，“,,A B C 两两独立”是“()()()()P ABC P A P B P C =”的既不充分也不必要条件.故选D.7.解析：作AQ 垂直下半平面于，作AH x ⊥轴于H ，连接,HQ QB .设11,,,(0)A m B m m m m ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题可知60AHQ ∠= ，则11,,22AH QH AQ m m m ===，两点间距离公式可得222144QB m m =+.22222144AB AQ QB m m =+=+≥，当且仅当22m =时，AB 取最小值2.故选A.8.解析：因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+①，所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称，因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②，又()()31f x g x -+=③，②+③得()()132f x f x -+-=④，即()()132f x f x +++=，即()()22f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，又()()13g x f x =--，所以()g x 的周期也为4，故选项B 正确，①代入④得()()132f x f x ++-=，故()f x 的图象关于点()2,1中心对称，且()21f =，故选项A 正确，易得()()01,41f f ==，且()()132f f +=，故()()()()12344f f f f ++==，故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑，因为()1f 与()3f 值不确定，故选项C 错误，因为()()31f x g x -+=，所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-，所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦，故()()()()01230g g g g +++=，故2023()50600i g i ==⨯=∑，所以选项D 正确，故选C .9.解析：A.()()22AD AF AB AF ED =+=+，故A 错误；B.因为()()2,22||AB EA AB EA FA AB FA AB EB AB ⊥⋅+=⋅=⋅= ，故B 正确；C.()()11,22BC CD FE BC BC CD FE FE ⋅=⋅= ，又BC FE =，所以()()BC CD FE BC CD FE ⋅=⋅ ，故C正确；D.AE 在CB方向上的投影向量为()3322AE CB CB AE CB CB CB e CB CB⋅=⋅=-=，故D 错误.故选BC .10.解析：由切线长定理易得12l r r =+，A 正确.由勾股定理知()()222121212(2)4R r r r r r r =+--=，解得R =，B 正确.()()()222122222221212121212124422S R R R S r r r r r r r r l r r r r ππππ===+++++++.()()33212222222121212121212442331233R R V R R V r r r r r r r r h r r r r ππππ===++++++.所以1122,C S V S V =正确.1122212212122122231S r r r r S r r r r r r ==≤++++，当且仅当12r r =时等号成立，这与圆台的定义矛盾，故D 错误.综上，答案为ABC .11.解析：以BC 为x 轴，DA 为y 轴建系，则()(0,0,D A 可以求得动点M 的轨迹方程：22302x y y +-=.这是一个圆心在点0,4P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，半径为34的圆(不含原点)D A 项：()1,0B -，所以max 193||4BM BP r =+=.故A 错误B项：2222||1||11424CB MB MC MD MD ⎛⎫⋅=-=-≤-=- ⎪ ⎪⎝⎭ .故B 正确C 项：易知直线:10AB x y -+=，故1328ABM M AB S AB d -=≤.故C 错误D 项：易知cos MBC ∠取最小值，当且仅当MBC ∠取最大值，也即BM 与P 相切时.此时3tan 24MBC ∠=，故221tan 132cos 191tan2MBCMBC MBC ∠∠∠-==+.故D 正确.故选：BD.12.解析：由sin 0,cos 0x x >>得()f x 的定义域为2,2,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3,2x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭不在定义域内，故()()f x f x π+=不成立，易知()f x 的最小正周期为2π，故选项A 错误，又()22222cos log cos 2sin log sin 2f x x x x x f x π⎛⎫-=⋅+⋅=⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线4x π=对称，所以选项B 正确，因为()222222sin log sin cos log cos f x x x x x =⋅+⋅，设2sin t x =，所以函数转化为()()()()()()2222log 1log 1,0,1,log log 1g t t t t t t g t t t =⋅+-⋅-∈='--，所以()0g t '>得，()0g t '<得102t <<，所以()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故min 1()12g t g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即min ()1f x =-，故选项C 正确，因为()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，由2sin t x =，令210sin 2x <<得20sin 2x <<，又()f x 的定义域为2,2,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，解得22,4k x k k Z πππ<<+∈，因为2sin t x =在2,24k k πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 的单调递减区间为2,2,4k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，同理函数的递增区间为2,2,42k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭，所以选项D 正确，故选BCD.13.解析：因为22(1)y x =-'，所以曲线11xy x+=-在点()2,3-处的切线斜率为2，所以切线方程为()322y x +=-，即27y x =-，即270x y --=.14.解析：法1：()tan tan tan 1,tan tan tan tan 11tan tan αβαβαβαβαβ++==-∴+=-- .()()()cos sin 1tan tan tan tan 2cos cos βααβαβαβαβ--+∴=-++=.法2：（特殊值法）令38παβ==，易得答案.15.解析：0.255205.2550.250.0025510.0199=+++=+=- .16.解析：设双曲线的右焦点为2F ，根据双曲线方程知，2c =.直线过原点，由对称性，原点O 平分线段原点AB ，又原点O 平分线段2,FF ∴四边形2AFBF 为平行四边形.ABF 和2ABF 中，分别有中位线，,OP BF OQ AF ∥∥，,,OP OQ AF BF ⊥∴⊥∴ 四边形2AFBF 为矩形，2BFF ∴ 为直角三角形.不妨设B 在第一象限，设直线AB 倾斜角为2θ，则2,32ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且OFB OBF ∠∠θ==，在Rt 2BFF中可得：22124cos 4sin ,2cos 2sin 4c a BF BF e a θθπθθθ∴=-=-∴===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,,,3264ππππθθ⎡⎫⎡⎫∈∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ ，易知()14f θπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在,64ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上为增函数，)11,4e ∞πθ∴=∈+⎛⎫- ⎪⎝⎭17.解析：（1）因为1cos 3B =，所以2222sin 1cos 2costan 222cos 2A CB AC B A C ++++=++()()1cos 1cos 21cos A C B A C -++=+++1cos 1cos 821cos 3B B B ++=+=-.（2）因为ABC S =1122sin 223ac B ac =⋅=，所以6ac =再由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-，即222614263c c ⎛⎫=+-⨯⨯ ⎪⎝⎭，也即4220360c c -+=，解得c =c =.18.解析：（1）因为21342n n n n S S S a +++=-，所以()21132n n n n n S S S S a +++-=--，即2132n n na a a ++=-所以()()()()()()21111111223222220n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++---=----=---=（为常数）所以数列{}12n n a a +-是等差数列.（2）由（1）知121221n n a a a a +-=-=，即121n n a a +=+.也即()1121n n a a ++=+，又112a +=，所以11222n n n a -+=⋅=..所以()()()()1222112122121n n n n n n n b n n n n n n a +⎡⎤++===-⎢+⋅+⋅++⎢⎥⎣⎦.∴数列{}n b 的前n 项和()12231111111212222232212n n n T n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()1111121121212n n n n +⎡⎤=-=-⎢⎥⋅+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦19.（1）补全四面体PQRS 如图，即证：PQ SR ⊥取SR 的中点M ，正四面体中各个面均为正三角形，故,PM SR QM SR ⊥⊥，又PM QM M ⋂=，所以SR ⊥面PQM .又PQ ⊂面PQM ，所以PQ SR ⊥.（2）在QSR 的中心建系如图：则()(33,,,0,,02222S P R Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,0,,,33623A C ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31,,022K ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，.设面ACK 的法向量为(),,n x y z = ，则00n AC n AK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()n =- ，又33,,22PQ ⎛=- ⎝ ，所以22sin cos ,11n PQ θ== .20.解析：（1）设事件A 为“小周在这三个月集齐三款模型”，则()3333111034500A P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）1,2,,12X = ，由题意得()()1911,2,,111010k P X k k -⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，()1191210P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭11111199()12101010k k k E X -=⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑，错位相减求得最后结果为()11910910E X ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.21.解析：（1）将()1,1M 代入，可以求得243b =.联立22314410x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，得24610x x --=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12262AB x =-=，又易知点M 到直线l的距离为2，故ABM的面积4ABM S = ..（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立22314410x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得()223230t y ty +--=，则1221222333t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，11sin ,sin 22ABM PQM S AM BM AMB S PM QM PMQ ∠∠== ，又sin sin PMQ AMB∠∠=所以5PQM ABM S S = 等价于5PM QM AM BM =，也即5QM AM BMPM=5QM AMBMPM =即1251313x x -=-，也即129115x x --=，也即1295ty ty --=，也即223935t t =+，解得322t =±.22.解析：（1）()ln f x x ax =-'在()0,∞+上有两个变号零点，即ln xa x=有两个不等实根，设()()2ln 1ln ,x x g x g x x x-'==，故()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e ∞+上单调递减，所以max 1()g x e=，且()10g =，又(),0x g x ∞+→+→，故10a e<<，且121x e x <<<，所以()2111111ln 12f x x x ax x =--+，又11ln x a x =，所以()21111111111ln 11ln 1ln 122x f x x x x x x x x x =-⋅⋅-+=-+，设()()1ln 1,1,2h x x x x x e =-+∈，所以()()1ln 102h x x =-<'，所以()h x 在()1,e 上单调递减，所以()1,02e h x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以()11,02e f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（2）法一：ln 0x ax -=的两个实根12,x x ，所以1122ln ,ln x ax x ax ==，所以()2121ln ln x x a x x -=-，得：2121ln ln x x a x x -=-，设21x t x =，又1202x x <<，所以2t >，要证：2128x x <，即证：123ln2ln 2ln x x +<，即证：123ln22ax ax +<，即证：()2123ln2a x x ->，即证：()212121ln ln 23ln2x x x x x x -->-，即证：2211212ln 3ln2x x xx x x -⋅>-，即证：22121121ln 3ln21x x x x x x -⋅>-，即证：21ln 3ln21t t t -⋅>-，设()()212ln 321ln ,(2),,(2)1(1)t t t t t t t t t t t ϕϕ+---=⋅>-'=>-，设()()()()222111112ln 3,(2),20t t F t t t t F t tt t t+-=+-->=--=>'，所以()F t 在()2,∞+上单调递增，所以()()32ln202F t F >=->，所以()0t ϕ'>，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln2t ϕϕ>=，所以21ln 3ln21t t t -⋅>-，所以2128x x <成立.法二：ln 0x ax -=的两个实根12,x x ，所以1122ln ,ln x ax x ax ==，所以2211ln ln x x x x =，设21x t x =，又1202x x <<，所以2t >，.由2211ln ln x x x x =可得：12ln ln ln ,ln 11t t tx x t t ==--，.要证：2128x x <，即证：123ln2ln 2ln x x +<，即证：ln 2ln 3ln211t t t t t +<--，即证：21ln 3ln21t t t -⋅>-设()()212ln 321ln ,(2),,(2)1(1)t t t t t t t t t t t ϕϕ+---=⋅>-'=>-，设()()()()222111112ln 3,(2),20t t F t t t t F t tt t t+-=+-->=--=>'，所以()F t 在()2,∞+上单调递增，所以()()32ln202F t F >=->，所以()0t ϕ'>，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln2t ϕϕ>=，所以21ln 3ln21t t t -⋅>-，所以2128x x <成立.法三：由（1）知：10a e<<，且121x e x <<<，()ln xg x x=在()0,e 上单调递增，在(),e ∞+上单调递减，又1122x x x <<，且()()12g x g x a ==，所以()()()2112g x g x g x =<，所以1111ln ln22x x x x <，所以211ln ln2x x <，所以2112x x <，所以112x <<，又()ln222g =，所以ln202a <<，又ln2ln424=，即()()24g g =，所以24x >，因为122x x <，所以212284x x x <<，故2128x x <.。
安徽省合肥市一中、合肥六中2025届高考数学考前最后一卷预测卷含解析
安徽省合肥市一中、合肥六中2025届高考数学考前最后一卷预测卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元2．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A ．15B ．120C ．112D ．3403．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．23π B ．2πC ．4πD ．6π4．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2 B ．3 C ．-2 D ．-35．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．196．函数()()()22214f x xxx =--的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数2|sin |2()61x x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%9．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．由曲线3,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）A ．512B ．13C ．14D ．1212．已知复数()()2019311i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽合肥2024届高三下学期最后一卷语文试题含答案
合肥2024届高三最后一卷语文试题（答案在最后）全卷满分150分。
考试用时150分钟。
注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，18分）阅读下面的文字，完成1~5题。
中国文学史上的大作家都有不同程度的孤独感，尤其是先秦汉魏六朝至初盛唐的诗人。
失意困顿的遭际、缺乏同道的寂寞、对理想和操守的坚持、对世俗的洞彻和鄙视，是他们产生孤独感的共同原因。
而对不同时代、不同境遇的诗人而言，其孤独感又有不同的内涵。
对于孤独感提炼的艺术方式的差异，往往会造成诗人不同的艺术个性。
如屈原以香草自饰、独清独醒的孤洁，阮籍独坐空堂、徘徊旷野的茫然，陶渊明面对“八表同昏”独酌思友的寂寞，李白天马行空、从云端俯视人寰的清高，都与他们构筑的独特的艺术境界有关。
不过，虽然他们比兴和构思的方式不同，其艺术提炼的原理却是相同的，这就是以诗人高大伟岸的个人形象与污浊的世俗世界造成反差强烈的对比。
这也可以说是盛唐以前诗歌浪漫精神的表现传统之一。
杜甫忧国忧民、悲天悯人的精神受到万世敬仰。
他毕生的饥寒流离，往往被看成造就诗圣的前提条件，而他内心的孤独、寂寞和矛盾却较少被人关注。
其实，杜甫体会了屈原、阮籍、陶渊明和李白诸家大诗人的各种孤独感，而且越到晚年，他对孤独心境的提炼也愈益自觉。
“乾坤一腐儒”，就是他对自己与整个世界的关系经过反复思考之后的最后概括。
与其他大诗人相比，最大的不同是：杜甫在个人形象和广漠时空的对比中，突显的是自己的渺小和无力，然而其思考的深度和高度却迥出于前人。
2020届安徽省合肥市第一中学高三下学期最后一卷数学(文)试题(解析版)
2020届安徽省合肥市第一中学高三下学期最后一卷数学（文）试题一、单选题1．记全集U =R ，集合{}2|16A x x =≥，集合{}|22xB x =≥，则()UA B =（ ）A ．[)4,+∞B ．(]1,4C ．[)1,4D ．()1,4【答案】C【解析】求得集合{|4A x x =≤-或4}x ≥，{|1}B x x =≥，求得{|44}UA x x =-<<，再结合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，全集U =R ，集合{}2|16{|4A x x x x =≥=≤-或4}x ≥， 集合{}|22{|1}xB x x x =≥=≥， 所以{|44}UA x x =-<<，所以()[){|14}1,4U AB x x =≤<=.故选：C . 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，再结合集合的补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．若复数z 的共轭复数满足()112i z i -=-+，则z =（ ）A ．B ．32C D ．12【答案】C【解析】根据复数的乘法、除法运算求出z ，再由复数的模的求法即可求出z 【详解】由题意()112i z i -=-+， 所以()()()()1211231112i i i iz i i i -++-+-+===--+，所以22311022z z ⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C 【点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算，考查复数的模的求法以及复数与共轭复数的模相等，属于基础题.3．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】当1n =时，1542a b ==，，满足进行循环的条件； 当2n =时，45,84a b == 满足进行循环的条件； 当3n =时，135,168a b ==满足进行循环的条件； 当4n =时，405,3216a b ==不满足进行循环的条件， 故输出的n 值为4. 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4．从区间[0，1]内随机抽取2n 个数1x ，2x ，…n x ，1y ，.. ，n y 构成n 个数对(1x ，1y )，…，(n x ，n y )，其中两数的平方和不小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为( ) A ．m nB ．4mnC ．n mn- D ．4()n m n- 【答案】D【解析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值． 【详解】由题意，从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），对应的区域的面积为12．而两数的平方和不小于1，对应的区域的面积为1-14π•12， ∴2211141m n π-⋅==1-21π41， ∴π()4n m n-=．故选D ．【点睛】本题考查了几何概型的应用，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到，本题属于基础题．5．已知x ，y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则yz x =的最大值为（ ）A ．0B ．35C ．53D ．6【答案】D【解析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,然后求解目标函数的最大值即可. 【详解】由x ，y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，作出可行域如图，由可行域可知()5,3A ，()2,0B ，1,32C ⎛⎫⎪⎝⎭， y z x =可以看作是可行域内的点和点()0,0的最大值，显然在1,32C ⎛⎫⎪⎝⎭处都最大值6， 故选：D ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解分式型目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 6．已知235log log log 0x y z ==<，则2x 、3y、5z 的大小排序为A ．235x y z<<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x<<【答案】A【解析】x y z ，， 为正实数，且235log log log 0x y z ==<，111235235k k k x y z---∴===，，， 可得：1112352131,51k k k x y z，．---=>=>=> 即10k -> 因为函数1kf x x -=（） 单调递增，∴235x y z<<.故选A.7．正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，点,M N 分别是棱1,BC CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，则1PA 的长度范围为（ ）A ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．325,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．323,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，EF 中点O ，根据面面平行的判定可证得平面//AMN 平面1A EF ，由此可确定P 点轨迹为EF ，进而确定1PA 取得最大值和最小值时P 的位置，进而得到所求取值范围. 【详解】取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连结1A E ，1A F ，EF ， 取EF 中点O ，连结1A O ，点,M N 分别是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中棱1,BC CC 的中点，1//AM A E ∴，//MN EF ，AMMN M =，1A E EF E ⋂=，,AM MN ⊂平面AMN ，1,A E EF ⊂平面1A EF ，∴平面//AMN 平面1A EF ，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，∴点P 的轨迹是线段EF ，221115122A E A F ⎛⎫==+=⎪⎝⎭，22121122EF =+=， 1AO EF ∴⊥，∴当P 与O 重合时，1PA 的长度取最小值1A O ，14AO ==， 当P 与E （或F ）重合时，1PA 的长度取最大值1A E 或1A F ，112A E A F ==． 1PA ∴的长度范围为⎣⎦． 故选：B ． 【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，关键是能够通过面面平行关系确定动点所形成的轨迹，进而通过轨迹确定最值点.8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率3e =，过焦点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为M ，直线MF 交另一条渐近线于N ，则MF NF=（ ）A ．2B ．12CD【答案】B【解析】画出图象，利用已知条件、双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，即可求解． 【详解】解:由题意双曲线的离心率为：3e =，可得3c a =22243a b a +=，所以b a =y x =，如图：30MOF ∠=︒，(),0F c 则MF b==，OM a=，所以MN =，所以，31323333aMF bNF a ba a===--．故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了转化思想，数形结合思想，以及推理与计算能力．9．已知函数()()sinf x A x=+ωϕ，π0,0,2Aωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则使()2f a x++()0f x-=成立的a的最小正值为（）A．π6B．π4C．5π12D．π2【答案】C【解析】首先由图象先求函数的解析式，由关系式()2f a x++()0f x-=可知，函数关于(),0a对称，再由函数解析式求函数的对称中心.【详解】由()()20f a x f x++-=，得()()2f a x f x+=--，得函数关于(),0a对称，由图象知2A=，()02sin1fϕ==，得1sin2ϕ=，得π6ϕ=，则()π2sin6f x xω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由五点对应法得11ππ2π126ω+=，得2ω=， 则()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由π2π6x k +=，得ππ212k x =-， 即函数的对称中心为ππ,0212k ⎛⎫-⎪⎝⎭， 当0x >时，当1k =时，x 为最小值， 此时5π12x =，即此时5π12a =． 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，解析式，重点考查分析图象的能力，属于基础题型，本题的关键是求函数的解析式.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-，若存在两项,n m a a ，使得64n m a a ⋅=，则12m n+的最小值为（ ）A ．123+B ．1C ．3+D ．75【答案】B【解析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得a n ＝2n ．求得m +n ＝6，1216m n +=（m +n ）（12m n +）16=（32n m m n ++），运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值． 【详解】S n ＝2a n ﹣2，可得a 1＝S 1＝2a 1﹣2，即a 1＝2， n ≥2时，S n ﹣1＝2a n ﹣1﹣2，又S n ＝2a n ﹣2， 相减可得a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣2a n ﹣1，即a n ＝2a n ﹣1， {a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以a n ＝2n ．a m a n ＝64，即2m •2n ＝64， 得m +n ＝6，所以1216m n +=（m +n ）（12m n +）16=（32n m m n ++）16≥（），当且仅当2n m m n=时取等号，即为m 6=，n 12=-因为m 、n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1216m n +＞（，验证可得，当m ＝2，n ＝4，或m ＝3，n ＝3，，12m n+取得最小值为1．故选：B ． 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，注意检验等号成立的条件，考查化简运算能力，属于中档题． 11．已知函数()1e xf x -=，()1ln 22xg x =+，若()()f a g b =成立，则b a -的最小值为（ ） A ．1ln 22-B ．1ln 22+C ．1ln2+D ．1ln2-【答案】C【解析】首先根据()()y f a g b ==，先求,a b ，再表示122ln 1y b a e y --=--，通过设函数()122ln 1x h x e x -=--，0x >，利用导数求函数的最小值.【详解】 设1a y e-=，则1ln a y =+，1ln 22by =+，则122y b e -=， 则122ln 1y b a e y --=--，令()122ln 1x h x ex -=--，0x >，则()1212x h x e x-'=-，∴()h x '递增， ∴12x =时，()0h x '=， ∴()h x '有唯一零点， ∴12x =时，()h x 取最小值， 即b a -取最小值，11ln 22h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 故选：C 【点睛】本题考查导数与函数的最值，通过构造函数求函数的最值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.12．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，1AB =，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线210y -=相切，若存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值，则点P 的坐标为（ ） A ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．14⎛⎫- ⎪⎝⎭0，D ．102，⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设M 的坐标为（x ，y ），然后根据条件得到圆心M 的轨迹方程为x 2＝﹣y ，把|MA |﹣|MP |转化后再由抛物线的定义求解点P 的坐标． 【详解】解：∵线段AB 为⊙M 的一条弦O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上， 设点M 的坐标为（x ，y ），则|OM |2+|OA |2＝|MA |2， ∵⊙M 与直线2y ﹣1＝0相切，∴|MA |＝|y 12-|， ∴|y 12-|2＝|OM |2+|OA |2＝x 2+y 214+， 整理得x 2＝﹣y ， ∴M 的轨迹是以F （0，14-）为焦点，y 14=为准线的抛物线， ∴|MA |﹣|MP |＝|y 12-|﹣|MP | ＝|y 14-|﹣|MP |14+=|MF |﹣|MP |14+， ∴当|MA |﹣|MP |为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为（0，14-）， ∴存在定点P （0，14-）使得当A 运动时，|MA |﹣|MP |为定值． 故选：C. 【点睛】本题主要考查了点轨迹方程的求解，抛物线的定义，属于一般题.二、填空题13．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则{12,k k λ==，所以12λ=．【考点】向量共线．14．若圆()()22341x y -+-=上存在两点A 、B ，使得60APB ∠=︒，P 为圆外一动点，则P 点到原点距离的最小值为__________． 【答案】3【解析】首先由条件求出点P 的轨迹，再求两点间距离的最小值. 【详解】对于点P ，若圆上存在两点A ，B 使得60APB ∠=︒， 只需由点P 引圆的两条切线所夹的角不小于60︒即可， 当正好是60︒时，圆心到点P 的距离2d =，故动点P 在以()3,4为圆心，半径为1与2的圆环内运动， 由()3,4到原点的距离为5，所以P 点到原点距离的最小值为523-= 故答案为：3 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，重点考查转化与化归，临界思想，属于中档题型，本题大概重点是求出点P 的轨迹.15．如图，在正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥面ABCD 且22AB =，设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN MN +取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】64π3【解析】如图，在PC 上取点M '，使得PM PM '=，求出4PA AC ==，PO =，解方程()224r r =+得该四棱锥的外接球的半径，即得该四棱锥的外接球的表面积. 【详解】如图，在PC 上取点M '，使得PM PM '=， ∵顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心， ∴POC POD POA POB ≌≌≌， ∴PA PB PC PD ===， ∴MN MN '=，∴||||||||AN MN AN NM '+=+， ∴当AM PC '⊥时AM '最小， ∵M 为PD 的中点， ∴M '为PC 的中点， ∴4PA AC ==，∴PO =，又∵顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心， ∴外接球的球心在PO 上，设外接球的半径为r ，则()224r r =+．解得r =． 故外接球的表面积为264π4π3r =． 故答案为：64π3．【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对于任意的*n ∈N ，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”．则以下{}n a 为“T 数列”的是__________．①若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <； ②若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <； ③若()212n nn a n n +=+；④若11a =，()210nn n a a ++-=． 【答案】②③【解析】根据“T 数列”的定义，分别判断四个数列是否满足存在实数A ，使得对任意的*n ∈N ，都有n S A <，从而可选出答案. 【详解】①若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <， 则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当n →+∞时，n S →+∞， 所以数列{}n a 不是“T 数列”；②若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <，所以()11111112111111n n n n a q a a q a a q a S qq q q q q-==-≤+<------， 所以数列{}n a 是“T 数列”； ③若()()121112212n n n n n a n n n n ++==-+⋅+⋅，所以()1223111111112222232212n n n S n n +=-+-++-⨯⨯⨯⨯⋅+⋅ ()11112122n n +=-<+⋅， 则数列{}n a 是“T 数列”；④在数列{}n a 中，11a =，()210nn n a a ++-=，当n 是奇数时，20n na a +-=，数列{}n a 中奇数项构成常数列，且各项均为1； 当n 是偶数时，20nna a ，即任意两个连续偶项和为0，显然当n →+∞时，n S →+∞， 所以数列{}n a 不是“T 数列”； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查数列新定义，考查等差数列、等比数列的前n 项和公式的应用，考查裂项相消求和法的运用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.三、解答题17．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且99cos c a b A -=. （1）求cos B ；（2）若角B 的平分线与AC 交于点D ，且1BD =，求11a c+的值. 【答案】(1)19；. 【解析】【详解】试题分析：()1方法一：根据余弦定理可得222992b c a c a b bc+--=⋅，化简求出结果即可；方法二：利用正弦定理得99sinC sinA sinBcosA -=，化简即可求得结果()2先求出23sin ABD ∠=，利用面积法，12S S S +=，结合面积公式求出结果 解析：（1）方法一：由99cos c a b A -=及余弦定理得222992b c a c a b bc +--=⋅，整理得22229a c b ac +-=，所以2221cos 29a cb B ac +-==.方法二：由99cos c a b A -=及正弦定理得9sin 9sin cos sinC A B A -=， 又()sinC sin A B sinAcosB cosAsinB =+=+， 所以1909sinAcosB sinA cosB -=⇒=. （2）由（1）可知21cos cos212sin 9ABC ABD ABD ∠=∠=-∠=，且sin 0ABD ∠>，所以2sin 3ABD ∠=， 同理可得2sin 3CBD ∠=，设,,ABC ABD CBD 的面积分别为12,,S S S ，则22111125sin 1cos 12229S ac ABC ac ABC ac ac ⎛⎫=∠=-∠=-= ⎪⎝⎭， 111sin 23S c BD ABD c =⋅∠=，211sin 23S a BD CBD a =⋅∠=，由12S S S +=得112533c a ac +=，所以1125a c +=. 18．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求200名职工每天晚上9:30上传手机计步截图，对于步数超过10000的予以奖励.图1为甲乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图2为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图.（1）在这一周内任选两天检查，求甲乙两人两天全部获奖的概率；（2）请根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15000的人数，并估计全体职工在该天的平均步数；（3）如果当天甲的排名为第130名，乙的排名为第40名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图.【答案】（1）27，（2）80人，13.25千步，（3）星期二【解析】（1）根据统计图统计出甲乙两人合格的天数，再计算全部获奖概率； （2）根据频率分布直方图求出人数及平均步数；（3）根据频率分布直方图计算出甲乙的步数从而判断出星期几． 【详解】（1）由统计图可知甲乙两人步数超过10000的有星期一、星期二、星期五、星期天设事件A 为甲乙两人两天全部获奖，则24272()7C P A C ==（2）由图可知()0.020.030.040.0651m ++++⨯=，解得0.05m = 所以该天运动步数不少于15000的人数为()0.050.03520080+⨯⨯=（人） 全体职工在该天的平均步数为：2.50.1+7.50.2+12.50.317.50.2522.50.1513.25⨯⨯⨯+⨯+⨯=（千步）（3）因为402000.2,1302000.65÷=÷= 假设甲的步数为x 千步，乙的步数为y 千步 由频率分布直方图可得：10.650.3(10)0.06x --=-⨯，解得656x =0.20.15(20)0.05y -=-⨯，解得19y =所以可得出的是星期二的频率分布直方图. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图来求平均数和概率，要注意计算的准确性，较简单. 19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，1AA AC =，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若160A AC ∠=︒，22AC CB ==，求四棱锥11A BCC B -的体积. 【答案】（1）见解析；（223【解析】（1）根据面面垂直性质可证得BC ⊥平面11ACC A ，从而可得1BC A C ⊥，利用平行关系可得111AC B C ⊥；根据四边形11ACC A 是菱形，可得11A C AC ⊥；根据线面垂直判定定理可得1A C ⊥平面11AB C ，根据面面垂直判定定理可证得结论；（2）由图形可知11111122A BCC B A CC B B ACC V V V ---==，可利用三棱锥体积公式求得11B ACC V -，代入可求得结果. 【详解】 （1）平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠= BC ∴⊥平面11ACC A1A C ⊂平面11ACC A 1BC AC ∴⊥ 11//B C BC 111AC B C ∴⊥ 四边形11ACC A 是平行四边形，且1AA AC = ∴四边形11ACC A 是菱形11AC AC ∴⊥ 1111AC B C C = 1A C ∴⊥平面11AB C又1AC ⊂平面11A B C ∴平面11AB C ⊥平面11A B C （2）四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=，2AC =1122sin 6032ACC S ∆∴=⨯⨯⨯=11//B C BC ，11B C BC =，BC ⊥平面11ACC A ，1BC =11111111333B ACC ACC V S B C -∆∴=⨯⨯==，111111223A BCCB A CC B B ACC V V V ---∴===即四棱锥11A BCC B -【点睛】本题考查面面垂直关系的证明、四棱锥体积的求解问题，涉及到面面垂直判定定理和性质定理、线面垂直判定定理和性质定理、棱锥体积公式、体积桥求解体积的问题，属于常规题型.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为(2,0)F -，离心率为3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q ．当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．【答案】(1)22162x y +=；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）由已知得：c a =2c =，所以a =再由222a b c =+可得b ，从而得椭圆的标准方程. 椭圆方程化为2236x y +=.设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=.面积121222OPTQ OPQ S S OF y y ==⨯⋅-，而12y y -==所以只要求出m 的值即可得面积.因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =，即1122(,)(3,)x y x m y =---.再结合韦达定理即可得m 的值.试题解析：（1）由已知得：c a =2c =，所以a =又由222a b c =+，解得b =22162x y +=.（2）椭圆方程化为2236x y +=.设T 点的坐标为(3,)m -，则直线TF 的斜率03(2)TF m k m -==----.当0m ≠时，直线PQ 的斜率1PQ k m=，直线PQ 的方程是2x my =- 当0m =时，直线PQ 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式. 将2x my =-代入椭圆方程得：22(3)420m y my +--=. 其判别式22168(3)0m m ∆=++>. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则121212122224212,,()4333m y y y y x x m y y m m m --+==+=+-=+++. 因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =，即1122(,)(3,)x y x m y =---.所以1221221233{43x x m my y mm -+==-++==+，解得1m =±.此时四边形OPTQ 的面积121222OPTQ OPQ S S OF y y ==⨯⋅-==【考点定位】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.21．已知函数()()()2ln 11af x x a x a=++>+． （1）()f x 的导函数记作f x ，且fx 在()1,-+∞上有两不等零点，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在两个极值点，记作1x ，2x ，求证：()()124f x f x +>． 【答案】（1）1,2；（2）证明见解析． 【解析】（1）先求fx ，令0f x ，转化为二次方程根的分布问题，结合二次函数的性质即可得出结论；（2）由（1）知，12a <<，1x ，2x 是0fx的两个不同实根，由韦达定理可得1x ，2x 的关系式，把要证明的结论()()124f x f x +>等价化简变形后换元转化为证明不等式()22ln 1201a a -+->-，构造函数()22ln 2g t t t=+-，利用导数判断单调性即可证明结论成立. 【详解】解：（1）()()()()()22221211x a a af x x x a x x a +-=-=+'+++，1x >-， ()()()()22201x a a f x x x a +-==++'，令()()22h x x a a =+-．由题意，()0{10h ∆>->，解得：12a <<.所以a 的取值范围为1,2． （2）由（1）知，12a <<， 由()()()()22201x a a f x x x a +-==++'，即()220x a a +-=，得()12120{2x x x x a a +==-，()()()()12121222ln 11a af x f x x x a x a x ⎡⎤+=++++⎣⎦++ ()()()1212122121222ln 1a x x a x x x x x x a x x a ++=++++++()()2224ln 12a a a a a =-+-+()22ln 121a a ⎡⎤=-++⎣⎦-，要证明()()124f x f x +>，则只需证明()22ln 1201a a -+->-， 令1a t -=，由()1,2a ∈可得()0,1t ∈， 当()0,1t ∈时，()22ln 2g t t t =+-，()()2210t g t t-'=<， 所以g t 在0,1上是减函数，所以()()10g t g >=，适合题意. 综上，()()124f x f x +>． 【点睛】本题考查函数的零点分布和极值不等式证明，关键在于等价变形转化为常见的问题，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上取两点M 、N 于原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.【答案】（1）4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （2）2.【解析】（1）求出直线l 的直角坐标方程为y =+2，曲线C ，1），半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，求出r ＝2，曲线C 的普通方程为（x 2+（y ﹣1）2＝4，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）设M （ρ1，θ），N （ρ2，6πθ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），由126MON S OM ON sin π==2sin （23πθ+）MON 面积的最大值．【详解】（1）由题意可知将直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C 是圆心为)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为(()2214x y +-=，∴曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()120,0ρρ>>21211sin ?4sin ?sin 2sin cos 26432MON S OM ON πππρρθθθθθ∆⎛⎫⎛⎫===++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin22sin 23πθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭当12πθ=时，2MON S ∆≤MON ∴∆面积的最大值为2+.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23．已如函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ． （1）2a =，0b =，解不等式()4f x x >-；（2）m ，n 是()f x 的两个零点，若1a b +<，求证：1m <，1n <．【答案】（1）{4x x <-或1}x >；（2）证明见解析．【解析】（1）由条件可知不等式等价于224x x x +>-，根据公式去绝对值解不等式；（2）根据韦达定理表示,m n a mn b +=-=，代入1a b +<后，利用含绝对值三角不等式变形证明不等式.【详解】（1）当2a =，0b =时，224x x x +>-⇔22242x x x x x --<-<+， 222424x x x x x x⎧--<-⎨+>-⎩ 不等式的解集为{}41x x x <->或． （2）依题意得m n a mn b +=-⎧⎨=⎩， ∴m n a +=，mn b =．∵1a b +<，∴1m n mn ++<．又∵m n m n -≤+， ∴10m n mn -+-<，()()110m n -+<． ∴1m <． 同理可证，1n <．【点睛】本题考查解含绝对值不等式，含绝对值三角不等式的应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.。
安徽省合肥市第一中学2022届高三下学期最后一卷文科数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 若复数满足，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面一颗珠（简称上珠）代表5，下面一颗珠（简称下珠）代表1，即五颗下珠的大小等于同组一颗上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一颗上珠，从个位、十位和百位这三组中随机往上拨2颗下珠，算盘表示的数能被5整除的概率是（）A．B．C．D．3. 记号[x ]表示不超过实数x 的最大整数，若，则的值为（ ）A ．899B ．900C ．901D ．9024.如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．圆柱侧面积为，其底面直径与母线长相等，则此三棱柱的体积为（）A．B ．12C．D． 5.的定义域是A．B．C．D．6.若函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是A．B．C．D．7.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．的定义域为B．将的图象经过适当的平移后所得的图象可关于原点对称C ．若在上有最小值－2，则安徽省合肥市第一中学2022届高三下学期最后一卷文科数学试题(高频考点版)安徽省合肥市第一中学2022届高三下学期最后一卷文科数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题D ．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为（，2，…，2022），则的值为08. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件，和表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B 表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（ ）A ．事件B 与事件相互独立B．，，是两两互斥的事件C．D．9. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆､则该圆锥的体积为__________.10. 二项式的展开式中，常数项为______（用数值表示）.11.已知一组数据：，且，这组数据的中位数是5，则这组数据的平均数的最大可能值是____.12. 函数的最大值为_______，记函数取到最大值时的，，则_______.13. 已知函数，.（1）根据定义证明函数是减函数；（2）若存在两不相等的实数，，使，且，求实数的取值范围.14. 已知函数f (x )=ln x x +1.（1）求f (x )的最大值；（2）设函数g (x )=f (x )+a (x 1)2，若对任意实数b ∈(2，3)，当x ∈(0，b ]时，函数g (x )的最大值为g (b )，求a 的取值范围；（3）若数列{a n }的各项均为正数，a 1=1，a n +1=f (a n )+2a n +1(n ∈N +).求证：a n ≤2n1.15. 如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足，其中，，.(1)求，，，；(2)求这一天时的最大温差近似值.参考数据：，.16. 设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a 的取值范围.。
安徽省合肥一中2024届高三下学期最后一卷语文含答案解析
合肥一中2024届高三最后一卷语文试题（考试时间：150分钟满分：150分）注意事项：1、答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。
2、答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4、考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。
一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，18分）阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一：数字媒介的核心特征之一是互动性。
互动性从根本上改写了传统新闻文本的构成法则——文本不再是一个封闭的、固定的叙事形式，亦不再拥有相对稳定的意义结构，而是在互动的作用下为用户提供了一个自主选择、参与、探索的叙事空间，最大限度地激活了文本的开放性内涵，为用户打开了一个意义协商空间。
不同的互动实践与方法，形成了不同的语义规则，亦形成了不同的意义生成方式。
因此，互动可以在修辞维度上加以认识——互动的语言，即是修辞的语言。
在时间维度上，用户可以自主地选择故事在时间维度的“展开”方式，并从容地处理“沿途”的页面悬停时长，由此决定叙事“前行”的时间结构，如内容呈现的顺序、方向和时间，并在此基础上形成一种独特的时间意识。
当不同的信息模块之间存在一定的时间逻辑时，用户便可以在自由选择中建立特定的时间概念或时间意识。
2023年杭州亚运会期间，央视新闻推出的融媒体产品《亚运山水间》，设置了富春江、良渚、西湖、钱塘江四个“探险”板块，用户点击不同的板块，即可触发漂流、迷宫、龙舟和射箭四个不同场景的游戏，从而体验特定场景的游戏内容。
不同的选择顺序，形成的是不同的内容呈现顺序和结构，这便从根本上改写了传统新闻的内容呈现顺序，由此摆脱了文本意义生成所高度依赖的时间逻辑。
安徽省合肥市2024届高三“最后一卷”数学试题含答案
合肥2024届高三“最后一卷”数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．4．本卷命题范围：高考范围.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|1,N}A x x x =≤∈，{}|=>B x x a ，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A.(],0-∞ B.(),0∞- C.()1,+∞ D.[)1,+∞【答案】B 【解析】【分析】根据几集合中的元素化简集合A ，再根据集合间的关系即可得实数a 的取值范围.【详解】因为集合{}2{|1,N}0,1A x x x =≤∈=，{}|=>B x x a ，若A B ⊆，则a<0，故实数a 的取值范围是(),0∞-.故选：B.2.某校运动会，一位射击运动员10次射击射中的环数依次为：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．则下列说法错误的是（）A.这组数据的平均数为8B.这组数据的众数为7C.这组数据的极差为4D.这组数据的第80百分位数为9【答案】D 【解析】【分析】利用众数、中位数、极差、百分位数的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】这组数据的平均数为771097691078810+++++++++=，故A 正确；这组数据的众数为7，故B 正确；这组数据的极差为1064-=，故C 正确；将这组数据按照从小到大的顺序排列为6,7,7,7,7,8,9,9,10,10，因为80%108⨯=，所以这组数据的第80百分位数为9109.52+=，故D 错误.故选：D .3.若x ，R y ∈，则“112222xyx y ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“ln()0x y ->”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】等价变形112222x yxy⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后构造函数得出x y >，解不等式ln()0x y ->得1->x y ，再利用充分条件和必要条件的定义，即可得解.【详解】设命题p ：112222x yx y ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题q ：ln()0x y ->对于命题p ，因为112222xyxy⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，112222xyx y ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()122xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在R 上为增函数，所以x y >；对于命题q ，因为ln()0x y ->，所以1->x y ，即1x y >+；所以p q ⇒为假命题，q p ⇒为真命题；所以p 是q 的必要不充分条件;故选：B.4.已知点P 在圆221x y +=上运动，点,F A 为椭圆22184x y+=的右焦点与上顶点，则PFA ∠最小值为（）A.15︒B.30︒C.45︒D.75︒【答案】A【分析】由题意知(2,0),(0,2)F A ，且圆在椭圆内，则确定FP 与圆相切时PFA ∠取得最小值，即可求解.【详解】由题意知，(2,0),(0,2)F A ，且圆在椭圆内，当FP 与圆相切时，PFA ∠取得最小值，此时30,45OFP OFA ︒︒∠=∠=，所以453015PFA OFA OFP ︒︒︒∠=∠-∠=-=，所以PFA ∠的最小值为15︒.故选：A5.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆面叫做球冠的底，垂直于圆面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面．假设球面对应球的半径是R ，球冠的高是h ，那么球冠的表面积公式为2πS Rh =．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2023年12月21日21时35分，经过约7.5小时的出舱活动，航天员汤洪波、唐胜杰已安全返回天和核心舱，神舟十七号航天员乘组第一次出舱活动取得圆满成功．若航天员汤洪波出仓后站在机械臂上，以背后的地球为背景，如图所示，面向镜头招手致意，此时汤洪波距离地球表面约为400km （图中的点A 处），设地球半径约为R km ，则此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（）A.22100π400R km R + B.22200π400R km R + C.22400π400R km R + D.22800π400R km R +【答案】D【分析】由题意可得2400R OO R '=+，结合公式2πS Rh =计算即可求解.【详解】如图，400AB =km ，由~OO C OCA ' ，得OO OCOC OA='，又OC R =，则2(400)R OO OA OO R ''=⋅=+，得2400R OO R '=+，所以222400800π2π2π()2π()2π400400400R R S Rh R R OO R R R R R R '==-=-=⋅+++（2km ）.即此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为2800π400R R +（2km ）.故选：D6.已知()()()cos 10cos 50cos 50ααα-+︒︒-︒=+，则tan α=（）A.33B.33-C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据两角和差的余弦公式化简，再根据506010︒=︒-︒结合两角差的余弦公式化简即可得解.【详解】由()()()cos 10cos 50cos 50ααα-+︒︒-︒=+，得cos10cos sin10sin 2cos50cos ααα︒+︒=︒，故sin10sin 2cos50cos cos10cos ααα︒=︒-︒所以2cos50cos10tan sin10α︒-︒=︒()2cos 6010cos10sin10︒-︒-︒=︒cos10cos10sin10︒︒-︒==︒.7.已知数列{}n a 各项为正数，{}n b 满足21n n n a b b +=，112n n n a a b +++=，若12a =，11b =，则122024111a a a +++= （）A.10121013B.10111012C.20242025D.20232024【答案】C 【解析】【分析】由21n n n a b b +=，得n a =，再结合112n n n a a b +++==，进而可得数列是等差数列，即可求出{}nb 的通项，从而可求出数列{}na 的通项，再利用裂项相消法求解即可.【详解】因为0n a >，21n n n a b b +=，所以n a =，因为112n n n a a b +++=，所以0n b >12n b ++=，=，所以数列是等差数列，又12a =，11b =，所以24b =，所以数列1=，首项为1=，n =，所以2n b n =，所以()1n a n n ==+，则()111111n a n n n n ==-++，所以1220241111111112024112232024202520252025a a a +++=-+-++-=-= .故选：C.8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，1(,0)F c -、2(,0)F c 分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P 使得线段1PF 与y 轴交于点E ，2PO PF =，线段2EF 的中点H 满足120F H PF ⋅=uuu r uuu r ，则双曲线的离心率为（）A.2B.2C.7+D.7-【答案】A 【解析】【分析】由2PO PF =，设0(,)2cP y ，表示出1PF 的方程求得02(0,)3y E ，则0(,)23y c H ，由120F H PF ⋅=uuu r uuu r 表示出P 的坐标，代入双曲线方程，整理计算即可求解.【详解】由2PO PF =，得P 的横坐标为2c ，设0(,)2cP y ，则直线1PF 的方程为02()3y y x c c =+，令0x =，得023y y =，即02(0,)3yE ，所以线段2EF 的中点0(,)23y c H ，则01203(,),(,)232y c cF H PF y ==- ，由120F H PF ⋅=uuu r uuu r ，得2200033(,)(,)023243y y c c c y ⋅-=-=，则032cy =±，即3(,22c cP ±，代入双曲线方程得22229144c c a b -=，即222229144()c c a c a -=-，整理得421440e e -+=，由1e >，解得32102e +=.故选：A【点睛】思路点睛：解答本题的思路是根据点P 的坐标表示出点E 的坐标，由中点坐标公式表示出点H 的坐标，结合平面向量数量积的坐标表示求得3(,)22c cP ±，代入双曲线方程计算即可.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z ，1z ，2z ，下列结论正确的有（）A.若复数z 满足1R z∈，则R z ∈B.若12z z ≠，z 满足12zz zz =，则0z =C.若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D.若复数z 满足228z z ++-=，则z 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆【答案】ABD 【解析】【分析】A 根据z R ∈的条件，得出0b =可以判断；B 根据复数相等的充要条件即可求解；C 举反例可求解；D 令z i x y =+，再结合椭圆的定义可以求解.【详解】对于A 选项，令i z a b =+，()()22222211i i i i i i a b a b a b z a b a b a b a b a b a b --====-++-+++因为1R z ∈，所以220b a b -=+，即0b =，所以R z ∈，故A 正确；对于B 选项，令111222i,i,i z a b z x y z x y =+=+=+，因为12z z ≠，所以12x x ≠或22y y ≠，()()()1111111i i i zz a b x y ax by ay bx =++=-++；()()()2222222i i i zz a b x y ax by ay bx =++=-++；因为12zz zz =，所以11221122ax by ax by ay bx ay bx -=-⎧⎨+=+⎩，因为12x x ≠或22y y ≠，所以0a b ==，所以0z =，故B 正确；对于C 选项，令12i z z ==1，，易知1212z z z z +=-，所以12i 0z z ⋅=≠，故C 错误；对于D 选项，令i z x y =+，因为228z z ++-=，84=>，由椭圆定义可得z 在复平面内所对应点的轨迹是椭圆，故D 正确，故选：ABD.10.群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“．”是G 上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对所有的a 、b G ∈，有a b G ⋅∈；②a ∀、b 、c G ∈，有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ⋅=⋅=，e 称为单位元；④a G ∀∈，b G ∃∈，使a b b a e ⋅=⋅=，称a 与b 互为逆元．则称G 关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（）A.{}1,1G =-关于数的乘法构成群B.自然数集N 关于数的加法构成群C.实数集R 关于数的乘法构成群D.{},Z G a b a b =+∈关于数的加法构成群【答案】AD 【解析】【分析】根据“⋅”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即要可．【详解】对于A 选项，对所有的a 、b G ∈，有a b G ⋅∈，且满足①乘法结合律；②1e G ∃=∈，使得a G ∀∈，有11a a a ⋅=⋅=；③a G ∀∈，a G ∃∈，有1a a a a ⋅=⋅=，故A 正确；对于B 选项，①自然数满足加法结合律；②0N e ∃=∈，使得N a ∀∈，有00a a a +=+=；但是对于0N ∈，1N ∈，不存在N b ∈，使110b b +=+=，故B 错误；对于C 选项，对所有的a 、R b ∈，有R a b ⋅∈，①实数满足加法结合律；②1R e ∃=∈，使得R a ∀∈，有11a a a ⋅=⋅=；但对于1R ∈，0R ∈，不存在R b ∈，使001b b ⋅=⋅=，故C 错误；对于D 选项，对所有的a 、b G ∈，可设a x =+，b s =+，(x ，y ，s ，Z)t ∈，则())a b x s y t G +=+++∈，①G 满足加法结合律，即a ∀、b 、c G ∈，有()()++=++a b c a b c ；②0e G ∃=∈，使得a G ∀∈，有e a a e a +=+=；③a G ∀∈，设a x =+，x ，Z y ∈，b x G ∃=--∈，使a b b a e +=+=，故D 正确．故选：AD ．11.已知函数()f x ，对任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ 都有()()()f x f y f xy y x =+，且()1e ef =（其中e 为自然对数的底数），则（）A.()10f -=B.1e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()f x 是偶函数D.e x =是()f x 的极小值点【答案】AB 【解析】【分析】由题意，合理巧妙赋值，即可判断ABC ；根据()()()xyf xy xf x yf y =+构造函数()ln xf x x =，利用导数研究()f x 的性质即可判断D.【详解】A ：令1x y ==，得(1)(1)(1)f f f =+，解得(1)0f =，令1x y ==-，得(1)(1)(1)f f f =----，解得(1)0f -=，故A 正确；B ：令1e,ex y ==，得1((e)e (1)1e ef f f =+，又1(e)e f =，所以1()e ef =-，故B 正确；C ：令1y =-，得()(1)()()1f x f f x f x x--=+=--，所以()f x 为奇函数，故C 错误；D ：由()()()f x f y f xy y x=+，得()()()xyf xy xf x yf y =+，设函数()ln xf x x =，则ln ,0ln ()ln(),0xx x xf x x x x x⎧>⎪⎪==⎨-⎪<⎪⎩，当0x >时，21ln ()xf x x-'=，令()00e,()0e f x x f x x ''>⇒<<<⇒>，所以()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，所以e x =是()f x 的极大值点，故D 错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，本题的关键是：根据()()()xyf xy xf x yf y =+，构造函数()ln xf x x =.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()2,3a =-r ，()1,2b =- ，若()a b a λ+⊥，则λ=______．【答案】813【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标运算与向量垂直的坐标运算列方程求解即可.【详解】因为()2,3a =-r，()1,2b =- ，由()a b a λ+⊥ 可得()()()()()()21,322,32213321380a b a λλλλλλ+⋅=--+⋅-=-+-⨯-+=-=，解得813λ=.故答案为：813.13.除数函数（divisor function ）()()*Ny d n n =∈的函数值等于n 的正因数的个数，例如，()11d =，()43d =．则()2160d =______．【答案】40【解析】【分析】根据定义写出2160的质数因数，即可得解.【详解】因为432160235=⨯⨯，它的因数形如235i j k ⨯⨯，其中{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,2,3,0,1i j k ∈∈∈，所以不同的因数有54240⨯⨯=个，即()216040d =.故答案为：40.14.已知函数()21x f x x+=，若()()ln f x f a x >对任意()2e,e x ∈恒成立，则正数a 的取值范围为______．【答案】1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】一方面，通过题设条件可以证明1e e a ≤≤；另一方面，在1e ea ≤≤的情况下又可证明题设条件成立，这就得到了a 的取值范围是1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【详解】一方面，如果对任意()2e,ex ∈有()()ln f x f a x >：设()()()ln g x f x f a x =-，则对任意()2e,ex ∈有()0g x >，从而由()2e 1e,e +∈知()e 10g +>.假设()e 0g <，则由零点存在定理知存在()e,e 1t ∈+使得()0g t =.但由()()2e,e 1e,et ∈+⊆又有()0g t >，矛盾，所以()e 0g ≥.代入得到()()e 0f f a -≥，从而22e 11e a a++≥，解之，得到1e e a ≤≤；另一方面，如果1e ea ≤≤：设()ln h x x x =，则()ln 1h x x ='+.从而当10e x <<时()0h x '<，当1e x >时()0h x '>.所以()h x 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.当()2e,e x ∈时，有11111ln e ln e ln e e e e e a x x x x h x h x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤=-⋅=-⋅<-⋅=-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()()111111ln ln ln e e e e e e e a x x x x h x h x x x x x≥=⋅=⋅>⋅=⋅=.所以1ln a x x x <<，这就意味着()1ln ln 0a x x a x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，展开即()21ln 1ln a x a x x x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，此即()2ln 11ln a x x x a x++>，故()()ln f x f a x >.综上，a 的取值范围是1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：分类讨论是求取值范围的典型方法.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -各棱长均为2，π3BAD ∠=，O 是线段BD 的中点．（1）求点O 到平面11AC D 的距离；（2）求直线AB 与平面11AC D 所成角的正弦值．【答案】（1）255（2）55【解析】【分析】（1）连接AC ，11B D 交11A C 于点1O ，连接1OO ，以点O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（2）利用向量法求解即可.【小问1详解】连接AC ，由题意，点O 为,AC BD 的交点，连接11B D 交11A C 于点1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为菱形，则AC BD ⊥，如图，以点O 为原点，建立空间直角坐标系，在ABD △中，π3BAD ∠=，则ABD △为等边三角形，则2,3BD AC ==则()()()()110,0,0,1,0,0,0,3,2,0,3,2O D A C -，故()()()1111,0,0,0,3,0,1,3,2OD A C DA =-==-，设平面11AC D 的法向量为(),,n x y z = ，则有11130320n A C n DA x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，可取()2,0,1n =- ，则点O 到平面11AC D 的距离为555OD n n ⋅== ；【小问2详解】()()0,3,0,1,0,0A B ，故()3,0AB =，则cos,5n ABn ABn AB⋅===，即直线AB与平面11AC D．16.已知函数()π2π1sin sin332f x x x⎛⎫⎛⎫=+⋅+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，角A为△ABC的内角，且()0f A=．（1）求角A的大小；（2）如图，若角A为锐角，3AB=，且△ABC的面积SE、F为边AB上的三等分点，点D为边AC的中点，连接DF和EC交于点M，求线段AM的长．【答案】（1）π6A=或5π6A=（2）73【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据()0f A=即可得解；（2）先根据三角形的面积公式求出边c，再将AM用,AF AC表示，结合数量积的运算律即可得解.【小问1详解】()π2π1sin sin332f x x x⎛⎫⎛⎫=+⋅+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13131sin cos sin22222x x x x⎛⎫⎛⎫=+-+-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭22311cos sin442x x=--21sin4x=-，则()21sin 04f A A =-=，因为()0,πA ∈，所以sin 0A >，所以1sin 2A =，所以π6A =或5π6A =；【小问2详解】若角A 为锐角，则π6A =，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则13sin 244S bc A b ===，所以b =如图，连接CF ，因为点E 、F 为边AB 上的三等分点，所以E 为AF的中点，因为点D 为边AC 的中点，所以点M 为ACF △的重心，则()222112333233CM CE AE AC AF AC AF AC ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭，所以()13AM AC CM AF AC =+=+，又2,AF AC ==，所以73AM ==== ，即线段AM 的长为73．17.混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有A 、B 两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案：①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A 的数目，以此作为一次试验的结果；②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验n次（其中*n ∈N ），记第i 次试验中鱼苗A 的数目为随机变量)i 1,2,(,X n =⋯；③记随机变量11ni i X X n ==∑，利用X 的期望()E X 和方差()D X 进行估算．设该鱼塘中鱼苗A 的数目为M ，鱼苗B 的数目为N ，其中M N <，每一次试验都相互独立．．．．．．．．．．．（1）在第一次试验中，若捕捉的50条鱼苗中鱼苗A 的数目有20条，记录员逐个不放回的记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A 的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A 的概率；（2）已知()()()i j i j E X X E X E X +=+，()()()i j i j D X X D X D X +=+，（i ）证明：()()1E X E X =，()()11D X D X n=；（ii ）试验结束后，记i X 的实际取值分别为()1,2,,i x i n = ，平均值和方差分别记为x 、2s ，已知其方差2758s n=．请用x 和2s 分别代替()E X 和()D X ，估算M N 和x ．【答案】（1）1949（2）（i ）证明见解析，（ii ）13M N =，252x =【解析】【分析】（1）设事件M ：“第一次记录的是鱼苗A “，事件N ：“第二次记录的是鱼苗A ”，然后根据题意求出()P M 和()P MN ，再利用条件概率公式即可求得所求概率；（2）（i ）由题意可得，(1i X i =，2，L ，)n 都近似服从完全相同的二项分布，则12()()()n E X E X E X === ，12()()()n D X D X D X === ，然后利用期望和方差的公式计算即可得证；（ii ）由（i ）可知1~(50,)M X B M N +，则1X 的均值150()M E X M N =+，1X 的方差1()50M ND X M N M N=⨯⋅++，然后结合题意即可求解．【小问1详解】设事件M ：“第一次记录的是鱼苗A “，事件N ：“第二次记录的是鱼苗A ”，由题意可得，120150C 2()C 5P M ==，220250C 38()C 245P MN ==，所以5()938242519(|)()4P MN P N M P M ===；【小问2详解】（i ）证明：由题可得，(1i X i =，2，L ，)n 都近似服从完全相同的二项分布，则12()()()n E X E X E X === ，12()()()n D X D X D X === ，11111111()()()()()()n nn i i i i i i i E X E x E X E X nE X E X n n n n=======⨯=∑∑∑，1122211111111()()()()()()n nn i i i i i i D X D X D X D X nD X D X n n n n n ========∑∑∑，所以1()()E X E X =，11()()D X D X n=；（i i ）解：由（i ）可知1~(50,)M X B M N +，则1X 的均值150()ME X M N=+，1X 的方差1()50M N D X M N M N=⨯⨯++，所以25075()()8MN D X n M N n ==+，解得13M N =或3MN=，又0M N ≤<，则01MN≤<，所以13M N =，15025()()2M x E X E X M N ====+．18.已知抛物线2:2y x Γ=，点000(,)(0)R x y y ≠在抛物线Γ上．（1）证明：以R 为切点的Γ的切线的斜率为1y ；（2）过Γ外一点A （不在x 轴上）作Γ的切线AB 、AC ，点B 、C 为切点，作平行于BC 的切线11B C （切点为D ），点1B 、1C 分别是与AB 、AC 的交点（如图）．（i ）若直线AD 与BC 的交点为E ，证明：D 是AE 的中点；（ii ）设三角形△ABC 面积为S ，若将由过Γ外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如11AB C △．再由点1B 、1C 确定的切线三角形221B B C △，133C B C △，并依这样的方法不断作1，2，4，…，12n -个切线三角形，证明：这些“切线三角形”的面积之和小于13S ．【答案】（1）证明过程见解析（2）（i ）证明过程见解析；（ii ）证明过程见解析【解析】【分析】（1）设出切线方程并和抛物线联立，再由方程有唯一解得到结论；（2）使用（1）的结论即可直接得到（i ）的结论；求出每次作的切线三角形的面积与前一次作的切线三角形的面积的比值，从而确定每个切线三角形的面积，然后即可证明（ii ）.【小问1详解】设()00y k x x y =-+是以R 为切点的Γ的切线，则0k ≠.由于该直线和Γ有唯一公共点()00,R x y ，故联立后的方程组()0022y k x x y y x⎧=-+⎨=⎩只有唯一解00x x y y =⎧⎨=⎩.从而将第一个方程代入第二个，得到的方程2002y y y x k -⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭只有唯一解0y y =.此方程展开即为2002220y y y x k k -+-=，从而002y y k=+，所以01k y =.【小问2详解】（i ）设211,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12y y ≠.根据上一小问的结论，可知Γ在B 和C 处的切线分别是2112y y y x =+和2222y y y x =+.联立两直线解得121222y y x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以1212,22y y y y A +⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于A 不在x 轴上，所以120y y +≠，故1112221212222B C BC y y k k y y y y -===+-，所以D 的纵坐标是122y y +，从而212121,222y y y y D ⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.而1212,22y y y y A +⎛⎫⎪⎝⎭，A 在Γ外，D 在Γ上，所以直线AD 的方程是122y y y +=.这表明该直线通过BC 的中点221212,42y y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以直线AD 与BC 的交点E 就是BC 的中点，即221212,42y y y y E ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.而1212,22y y y y A +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221212121124222y y y y y y ⎛⎫++⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故AE 的中点坐标为212121,222y y y y ⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，这就是点D 的坐标，所以D 是AE 的中点.（ii ）由于D 是AE 的中点，11B C 和BC 平行，故11,B C 分别是,AB AC 的中点.所以()1121213,44y y y y y B ⎛⎫++⎪⎝⎭，()2121213,44y y y y y C ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.首先有3322312121212121111224282ABC B C y y y y S AE y y y y y y y y ⎛⎫+⎛⎫=⋅-=-⋅-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .从而3ABCS S ==，1131144AB C ABC S S == .而1212,22y y y y A +⎛⎫⎪⎝⎭，故根据点的一般性可知对Γ外的任意一点(),T x y ，该点确定的切线三角形的面积为314.再由()1121213,44y y y y y B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()2121213,44y y y y y C ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，可知1221133311114448B BC AB C S S ⎛ ==== ⎝，同理1331118C B C AB C S S = .这就表明，不断作11,2,4,...,2n -个切线三角形后，第()2,3,...,k k n =次作的所有切线三角形的面积均为任意一个第1k -次作的切线三角形的面积的18.而1114AB C S S =，所以第()1,2,...,k k n =次作的切线三角形的面积均为28k S .设所有切线三角形的面积之和为t S ，由于第()1,2,...,k k n =次作的切线三角形的个数为12k -，故11112221884k k nn nt k k kk k k S S S S -===⋅==⋅=⋅∑∑∑.从而2111 (44)4t n S S ⎛⎫=+++⎪⎝⎭，这就得到21444114...1 (44)444t nn S S S -⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121111111 (44444)4t n n nS S S S S -⎛⎫⎛⎫<++++=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3t S S <，即13t S S <，结论得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对抛物线性质的使用和探究.19.贝塞尔曲线（Be'zier curve ）是一种广泛应用于计算机图形学、动画制作、CAD 设计以及相关领域的数学曲线．它最早来源于Bernstein 多项式．引入多项式()C (1)niin ii n B x x x -=-(0,1,2,,)i n =L ，若()f x 是定义在[]0,1上的函数，称()0;()()nnn ii iB f x f Bx n ==∑，[0,1]x ∈为函数()f x 的n 次Bernstein 多项式．（1）求()202B x 在()0,1上取得最大值时x 的值；（2）当()f x x =时，先化简();n B f x，再求2n B f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值；（3）设()00f =，()f x x 在()0,1内单调递增，求证：();n B f x x在()0,1内也单调递增．【答案】（1）110（2）();n B f x x =，22;n B f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，进而可求出函数的单调区间，即可得解；（2）根据Bernstein 多项式及函数()f x 的n 次Bernstein 多项式的定义化简即可求出();n B f x ，再令2x =即可得解；（3）根据()00f =及函数()f x 的n 次Bernstein 多项式的定义求导并化简，再根据()f x x在()0,1内单调递增，可得11i i f f n n i i n n+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>+，即可得出结论.【小问1详解】由题意()()182022220C 1B x x x =-，()0,1x ∈，则()()()()()()1817172022222020C 21181C 21110B x x x x x x x x '⎡⎤=---=⋅--⎣⎦令()()2020B x '=，得110x =，当1010x <<时，()()2020B x '>，当1110x <<时，()()2020B x '<，所以()202B x 在10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,110⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当110x =时，()202B x 在()0,1上取得最大值；【小问2详解】()()()0;;nn n i i n i B x x B B f x n x =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑()()0!1!1!nn ii i i n x x n i n -==⋅--∑()()()()01!11!1!n n ii i n x x i n -=-=---∑()()()111!1!1!n n i i i n x x x i n i ---=-=---∑()()11101n n n i i x B x x x x x ---===+-=∑，所以2233;n B f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭；【小问3详解】()()()200;1nn n nni i i i B f x i i x fB x f B x x x n n =='⎡⎤'⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑()()11120011C 1C 1n nn i n i i ii i n n i i i i i x n f f x x f x x xn n n -----==⎡⎤⎛+⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑由()00f =，上式()()11120111C 1C 1n nn i n i i ii in n i i i i i x n f f x x f x x x n n n -----==⎡⎤⎛+⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑()()1111111200111C 1C 1n n n i n i i ii i n n i i i i i x n f f x x f x x xn n n ------++-==⎡⎤⎛+⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑()()()()()11101!1!11!1!1!1!n n i i i n i i n i x x n f f f i n i n n i n i n ----=⎡⎤-⎛+⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑()()1110!1111!1!1n n i i i n i i i x x f f f i n i n n i n ----=⎡++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑()()1110!11,0,1,,1!1!1n n i i i n ii i x x f f i n i n i i n n ----=⎡+⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥--+⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ ，而()f x x 在()0,1内单调递增，所以11i i f f n n i i n n+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>+，所以11i i i f f i n n +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，故();0n B f x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以();n B f x x在()0,1内也单调递增．【点睛】关键点点睛：理解Bernstein 多项式及函数()f x 的n 次Bernstein 多项式的定义是解决本题的关键.。