常见递推数列通项九种求解方法
数列通项公式的九种求法
1数列通项公式的九种求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强 的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
笔者总结出九种求解 数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法， 类型的题目.2例1 .等差数列｛an｝是递增数列，前n 项和为S1，且引，*3，a9成等比数列，S 5^*5.求 数列｛a n｝的通项公式 解：设数列｛an｝公差为d(d >0)2•/a1，a 3，a 9 成等比数列，••• a 3 =a1a9 ,2 2即 @1 +2d)=印@1 +8d)，得 d =a 1d...d H0 a1=d--S s = a](n -1)n ,1a3 -a2 = ---这种方法适应于已知数列5a 1 +5*4d =⑻ +4d)2a1=3 —5 =3 -5 由①②得：3 •••an —5点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再 写出通项。
二、累加法求形如a n -a n 」= f(n) (f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列通项, …n — 1得到n — 1个式子累加求得通项。
+ (n-1)3 =-n 5可用累加法，即令 n=2, 3,例2.已知数列｛a n ｝中, an _an4解：由已知得a 1=1，对任意自然数 1an = an4 中n 都有n(n+1)，求 an .—n(n+1),an ~ an-2 1a 2y,13^4 ,丄+ an_ q _ 2x3+■(n-2)(n —1) (n —1)n n(n+1)31…a=2 n +1 ,点评：累加法是反复利用递推关系得到n —=丄n(n+1) nn +1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求｛f(n)｝的前n—1项的和，要注意求和的技巧.三、迭代法求形如a n* =q a n +d(其中q,d为常数)的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。
9类常见递推数列求通项公式方法
数列通项九种求解方法类型一：1n n a pa q+=+（1p ≠）思路（构造等比数列法）：设()1n n a p a μμ++=+，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列。
例1、已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-。
3(a a ++-21n a n =+类型三：1()n n a f n a +=⋅ （累乘法） 思路（累乘法）：=n a 13211221n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式 例3、已知11a =，111n n n a a n --=+，求n a 。
解：,2≥n 111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113a a =，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…21243(1)n n ⋅⋅=+,11=a 也符合。
类型四：1()n n a pa f n +=+ （0p ≠且1p ≠）思路（转化法）：1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n n n n a a f n p p p ---=+，我们令nn na b p =，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。
例4 、已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a 。
解：142nn n a a -=+，式子两边同时除以4n得111442nn n n n a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令4n n n a b =，则112nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由累加法得nn b )21(1-= 1441422n n n n n n n a b ⎡⎤⎛⎫∴=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦。
数列递推公式的九种方法
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，nn a a n n 11-=-逐项相乘得：na a n 11=，即n a =n 1.三、换元法例3已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b 31()31(9131(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。
九类常见递推数列求通项公式方法
九类常见递推数列求通项公式方法递推数列通项求解方法类型一：an1panq（p1）思路1（递推法）：anpan1qp(pan2q)qpppan3qqq……pn1a1q(1pp2…pn2qqn1。
)a1pp11p思路2（构造法）：设an1pan，即p1q得qp1，数列an是以a1为首项、p为公比的等比数列，则anqn1qana1pp11pqn1a1p，即p1p1q例1已知数列an满足an2an13且a11，求数列an的通项公式。
解：方法1（递推法）：an2an132(2an23)3222an3333……2n13(122…22n23n13n1)1223。
2112方法2（构造法）：设an12an，即3，数列an3是以a134n1n1n1为首项、2为公比的等比数列，则an3422，即an23。
类型二：an1an思路1（递推法）：f(n)anan1f(n1)an2f(n2)f(n1)an3f(n3)f(n2)f(n1)…a1f(n)。
i1n1思路2（叠加法）：anan1f(n1)，依次类推有：an1an2f(n2)、n1an2an3f(n3)、…、a2a1f(1)，将各式叠加并整理得ana1i1f(n)，即n1ana1i1f(n)。
例2已知a11，anan1n，求an。
解：方法1（递推法）：anan1nan2(n1)nan3(n2)(n1)nn……a1[23…(n2)(n1)n]i1nn(n1)2。
方法2（叠加法）：anan1n，依次类推有：an1an2n1、an2an3n2、…、nnna2a12，将各式叠加并整理得ana1i2n，ana1i2ni1nn(n1)2。
类型三：an1f(n)an思路1（递推法）：anf(n1)an1f(n1)f(n2)an2f(n1)f(n2)f(n3)an3…f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。
anan1a2a1an1an2ana1思路2（叠乘法）：f(n1)，依次类推有：f(n2)、an2an3f(n3)、…、f(1)，将各式叠乘并整理得f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)，即anf(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。
数列求通项公式的9种方法
例
9：已知数列{an} 满足 a1
1 ， an1
an an
2
，求{an} 的通项公式.
例 10（拓展）.设由 a1
1, an
an1
2n 1an1
n
1
2,3,定义数列an ，试将 an 用 n 来表示
变式训练 11
已知数列 {an }
满足
a1
1 ， an1
变式训练 14
已知数列{an} 满足 a1
2 ， an1
1 2 an
2n ，求{an} 的通项公式.
变式训练 15 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 2an 3 2n1 ，求{an} 的通项公式.
七、型如 an1 pan A0n B0 的数列
四、加法构造
型如 an1 kan b ( k、b 为常数)的数列构造{an } 为等比数列
例 7 已知数列{an} 满足 a1 2 ， an1 2an 3 ，求{an} 的通项公式.
变式训练 9 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 3an 2 ，求{an} 的通项公式.
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·qn－1 am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
an＝SS1n，－Sn－1，
n＝1， n≥2.
例1 已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋ n＋3.
变式训练 10
数列通项公式常见9种求法
解：令
，得
，则 是函数
的不动点。
因为
，所以
。
评注：本题解题的关键是通过将 形式，从而可知数列
最后再求出数列 的通项公式。
的换元为 ，使得所给递推关系式转化
为等比数列，进而求出数列
的通项公式，
，求数列 的通项公式。
解：令
，得
的两个不动点。因为
，则
是函数
。所以数列
是以
为首项，以 为公比的等比数列，故
，
则
。
评注：本题解题的关键是先求出函数
的不动点，即方程
的两
个根
，进而可推出
，从而可知数列
为等比数
列，再求出数列
的通项公式，最后求出数列 的通项公式。
例 15 已知数列 满足
，求数列 的通项公式。
并整理，得
，
，求数列 的通项公式。
，所以 ⑩
。在
式两边取
11
，则
，两边消去
，故
代入 11 式，得 由 得 则 所以数列 比数列，则
， ，
是以
12 及 12 式，
为首项，以 5 为公比的等 ，因此
则
。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式
转化为 ，从而可知数列
是等比数列，进而求出数列 公式，最后再求出数列 的通项公式。
解：设
⑥
将
代入⑥式，得
整理得
。
令
，则
，代入⑥式得
⑦
由
及⑦式，
得
，则
，
故数列 因此
是以 ，则
为首项，以 3 为公比的等比数列， 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
数列递推公式的九种方法
数列递推公式的九种方法1.等差数列递推公式：在等差数列中，相邻两项之间存在相同的差。
如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，可以求得递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中n为第n项。
2.等比数列递推公式：在等比数列中，相邻两项之间的比值相同。
如果已知等比数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。
3. 几何数列递推公式：几何数列是一种特殊的等比数列，其公比是常数项。
如果已知几何数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。
4. 斐波那契数列递推公式：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。
5. 回型数列递推公式：回型数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由周围的四个数字决定的。
回型数列的递推公式为an = an-1 + 8 * (n-1)，其中n为第n项，a1为第一项。
6. 斯特恩-布洛特数列递推公式：斯特恩-布洛特数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的约数个数决定的。
斯特恩-布洛特数列的递推公式为an = 2 * an-1 - an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。
7. 阶乘数列递推公式：阶乘数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项的阶乘。
阶乘数列的递推公式为an = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1，其中n为第n项，a1为第一项。
8. 斯特林数列递推公式：斯特林数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之积的和决定的。
斯特林数列的递推公式为an = an-1 * n + 1，其中n为第n项，a1为第一项。
9. 卡特兰数列递推公式：卡特兰数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的乘积决定的。
卡特兰数列的递推公式为an = (4*n - 2) / (n + 1) * an-1，其中n为第n项，a1为第一项。
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常见递推数列通项地九种求解方法高考中地递推数列求通项问题,情境新颖别致,有广度,创新度和深度,是高考地热点之一.是一类考查思维能力地好题.要求考生进行严格地逻辑推理,找到数列地通项公式,为此介绍几种常见递推数列通项公式地求解方法.类型一：<可以求和）累加法例1、在数列中,已知=1,当时,有,求数列地通项公式.解读：上述个等式相加可得：∴评注：一般情况下,累加法里只有n-1个等式相加.【类型一专项练习题】1、已知,<）,求.2、已知数列,=2,=+3+2,求.3、已知数列满足,求数列地通项公式.4、已知中,,求.5、已知,,求数列通项公式.6、已知数列满足求通项公式？7、若数列地递推公式为,则求这个数列地通项公式8、已知数列满足,求数列地通项公式.9、已知数列满足,,求.10、数列中,,<是常数,）,且成公比不为地等比数列．<I）求地值；<II）求地通项公式．11、设平面内有n条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点地个数,则；当时,<用表示）．答案:1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. 9. 10.(1>2 (2>11.(1>5 (2>类型二： <可以求积）累积法例1、在数列中,已知有,(>求数列地通项公式.解读：又也满足上式；评注：一般情况下,累积法里地第一步都是一样地.【类型二专项练习题】1、已知,(>,求.2、已知数列满足,,求.3、已知中,,且,求数列地通项公式.4、已知,,求.5、已知,,求数列通项公式.6、已知数列满足,求通项公式？7、已知数列满足,求数列地通项公式.8、已知数列{a n},满足a1=1, (n≥2>,则{a n}地通项9、设{a n}是首项为1地正项数列, 且(n + 1>a- na+a n+1·a n = 0 (n = 1, 2, 3, …>,求它地通项公式.10、数列地前n项和为,且,＝,求数列地通项公式.答案：1. 2. 3. 4. 5. 6.7. 8. 9. 10.类型三：待定常数法可将其转化为,其中,则数列为公比等于A地等比数列,然后求即可.例1在数列中,,当时,有,求数列地通项公式.解读：设,则,于是是以为首项,以3为公比地等比数列.【类型三专项练习题】1、在数列中,,,求数列地通项公式.2、若数列地递推公式为,则求这个数列地通项公式3、已知数列{a}中,a=1,a= a+ 1求通项a．4、在数列(不是常数数列>中,且,求数列地通项公式.5、在数列{a n}中,求.6、已知数列满足求数列地通项公式.7、设二次方程x-x+1=0(n∈N>有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3．(1>试用表示a；<2）求证：数列是等比数列；<3）当时,求数列地通项公式8、在数列中,为其前项和,若,,并且,试判断是不是等比数列？答案：1. 2. 3. 4. 5.6. 7.(1> (3> 8.是类型四：可将其转化为-----<*）地形式,列出方程组,解出还原到<*）式,则数列是以为首项,为公比地等比数列,然后再结合其它方法,就可以求出.例1在数列中,,,且求数列地通项公式.解读：令得方程组解得则数列是以为首项,以2为公比地等比数列评注：在中,若A+B+C=0,则一定可以构造为等比数列.例2已知、,,求解读：令,整理得；两边同除以得,,令,令,得∴,故是以为首项,为公比地等比数列.,即,得【类型四专项练习题】1、已知数列中,,,,求.2、已知a1=1,a2=,=-,求数列｛｝地通项公式.3、已知数列中,是其前项和,并且,⑴设数列,求证：数列是等比数列；⑵设数列,求证：数列是等差数列；⑶求数列地通项公式及前项和.4、数列：,,求数列地通项公式.答案：1. 2. 3.(3>4.类型五： <且）一般需一次或多次待定系数法,构造新地等差数列或等比数列.例1设在数列中,,求数列地通项公式.解读：设展开后比较得这时是以3为首项,以为公比地等比数列即,例2在数列中,,求数列地通项公式.解读：,两边同除以得是以=1为首项,2为公差地等差数列.即例3 在数列中,,求数列地通项公式.解读：在中,先取掉,得令,得,即；然后再加上得；两边同除以,得是以为首项,1为公差地等差数列.,评注：若中含有常数,则先待定常数.然后加上n地其它式子,再构造或待定.例4已知数列满足,求数列地通项公式.解读：在中取掉待定令,则,；再加上得,,整理得：,令,则令；即；数列是以为首项,为公比地等比数列.,即；整理得类型5专项练习题：1、设数列地前n项和,求数列地通项公式.2、已知数列中,点在直线上,其中（1）令求证：数列是等比数列；（2）求数列地通项；3、已知,,求.4、设数列：,求.5、已知数列满足,求通项6、在数列中,,求通项公式.7、已知数列中,,,求.8、已知数列｛a｝,a=1, n∈N,a= 2a＋3 n ,求通项公式a．9、已知数列满足,求数列地通项公式.10、若数列地递推公式为,则求这个数列地通项公式11、已知数列满足,求.12、已知数列满足,,求数列地通项公式.13、已知数列满足,求数列地通项公式.14、已知,,求.15、已知中,,,求.16、已知数列中,是其前项和,并且,⑴设数列,求证：数列是等比数列；⑵设数列,求证：数列是等差数列；⑶求数列地通项公式及前项和.答案：1. 2.(2> 3. 4.5. 6. 7. 8. 9.10. 11. 12. 13.14. 15. 16.(3>类型六：<）倒数法例1 已知,,求.解读：两边取倒数得：,设则；令；展开后得,；；是以为首项,为公比地等比数列.；即,得；评注：去倒数后,一般需构造新地等差<比）数列.【类型六专项练习题】：1、若数列地递推公式为,则求这个数列地通项公式.2、已知数列{}满足时,,求通项公式.3、已知数列｛a n｝满足：,求数列｛a n｝地通项公式.4、设数列满足求5、已知数列{}满足a1=1,,求6、在数列中,,求数列地通项公式.7、若数列｛a｝中,a=1,a=n∈N,求通项a．答案：1. 2. 3. 4. 5.6. 7.类型七：例1 已知数列前n项和.求与地关系；<2）求通项公式.解读：时,,得；时,；得.<2）在上式中两边同乘以得；是以为首项,2为公差地等差数列；；得.【类型七专项练习题】：1、数列{a n}地前N项和为S n,a1=1,a n+1=2S n.求数列{a n}地通项a n.2、已知在正整数数列中,前项和满足,求数列地通项公式.3、已知数列{a n}地前n项和为S n = 3n – 2, 求数列{a n}地通项公式.4、设正整数{a n}地前n项和S n =,求数列{a n}地通项公式.5、如果数列{a n}地前n项地和S n =, 那么这个数列地通项公式?6、已知无穷数列地前项和为,并且,求地通项公式？答案：1. 2. 3. 4. 5.a n = 2·3 6.类型八：周期型例1、若数列满足,若,则地值为___________. 解读：根据数列地递推关系得它地前几项依次为：；我们看出这个数列是一个周期数列,三项为一个周期；.评注：有些题目,表面看起来无从下手,但你归纳出它地前几项后,就会发现规律,出现周期性,问题就迎刃而解.【类型八专项练习题】：1、已知数列满足,则= <）A．0 B．C．D．2、在数列中,答案：1.B 2.-4类型九、利用数学归纳法求通项公式例1 已知数列满足,求数列地通项公式.解读：根据递推关系和得,所以猜测,下面用数学归纳法证明它；时成立<已证明）假设时,命题成立,即,则时,==.时命题成立；由可知命题对所有地均成立.评注：归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握地一种方法. 【类型九专项练习题】：1.设数列满足：,且,则地一个通项公式为?2.已知是由非负整数组成地数列,满足,,<n=3,4,5…）. <1）求； 2<2）证明<n=3,4,5…）；<3）求地通项公式及前n项地和.；3.已知数列中=,.(1)计算,. (2>猜想通项公式,并且数学归纳法证明.答案：1. 2.(1>2 (3>3.(1> (2>递推数列地通项公式地求法,虽无固定模式,但也有规律可循；主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法,或是转化为等差或等比数列地方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明地方法来解决,同学们应归纳、总结它们地规律,通过练习,巩固掌握它.。