高数第三章第四次函数单调性凹凸性
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第三节公式第四节函数的单调性与凹凸性优秀课件
f
(x0 ),,an
1 n!
pn(n) (x0 )
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn (x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x
x0 )
1 2!
f
(x0 )(x
x0 )2
1 n!
f (n) (x0 )(x x0 )n
2. 余项估计
令 Rn (x) f (x) pn (x)(称为余项) , 则有
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
1.求 n 次多项式 pn (x), 近似等于 f (x) 要求:
pn (x0 ) f (x0 ), pn (x0 ) f (x0 ), , pn(n) (x0 ) f (n) (x0 )
令 pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 f (x)的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
注意到 Rn (x) o[(x x0 )n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
Rn (x0 ) Rn (x0 ) Rn(n) (x0 ) 0 Rn (x)
(x x0 )n1
Rn (x) Rn (x0 ) (x x0 )n1 0
(n
Rn (1) 1)(1
x0 )n
(1 在 x0 与x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
高等数学3.4函数的单调性与曲线的凹凸性
ln(1 x ).
三、曲线的凹凸性 问题: 如何研究曲线的弯曲方向?
y
y
C
B
A
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段 位于所张弦的下方
图形上任意弧段 位于所张弦的上方
三、曲线的凹凸性
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2
x
o
解方程f ( x ) 0 得，x1 1, x2 2.
x 1 时 f ( x ) 0, 在( ,1]上 单调增加 1 x 2 时 f ( x ) 0, 在[1, 2]上 单调减少
2 x 时 f ( x ) 0, 在[2, )上 单调增加
设函数 y f ( x )在[a, b]上连续，在(a, b)内可导. （1） 如果在(a, b)内f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b] 上单调增加； (2) 如果在(a, b)内 f ( x ) 0，那末函数 y f ( x ) 在[a, b] 上单调减少.
四、曲线凹凸的判定
y
y f (x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
y 0 f ( x ) 递增 y 0 f ( x ) 递减 定理1 在( a , b ) 内 有一阶和二阶导数， 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上 连续；
若在 ( a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则函数 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形 是凹的 (2) f ( x ) 0,则函数 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形 是凸的
高等数学§3.4 函数的单调性与凹凸性判别
9
y=2x3−9x2+12x−3
函数的单调性与曲线的凹凸性
例
这个函数的定义域为(−∞, +∞). 解 这个函数的定义域为 −∞, +∞ .
y′ =
33 2 的单调区间. 确定函数 y = x − x 的单调区间. 2
1 − 1, 3 x
驻点 x=1, 不可导点 x=0 , x y′ ′ y (−∞, 0) −∞, － ↘ (0, 1) , ＋ ↗ (1, +∞ , +∞) － ↘
4
定理1(函数单调性的判定法 定理 函数单调性的判定法) 函数单调性的判定法 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导. 上连续, 内可导. 设函数 在 , 上连续 内可导 (1)如果在 , b)内f ′(x)>0, 则f(x)在[a, b]上单调增加; 如果在(a, 内 上单调增加; 如果在 , 在 , 上单调增加 (2)如果在 , b)内f ′(x)<0, 则f(x)在[a, b]上单调减少. 如果在(a, 内 上单调减少. 如果在 , 在 , 上单调减少 的单调性. 例 讨论函数 y=ex −x−1的单调性. = − 的单调性 的定义域为(−∞, . 解 函数y=ex−x−1的定义域为 −∞, ∞). 函数 = − 的定义域为 y′= x−1. ′=e . ′= 因为在(−∞, 内 ′ , 因为在 −∞, 0)内y′<0, 所以函数 y=ex−x−1在(−∞, 0] = − 在 −∞, 上单调减少; 上单调减少; 因为在(0, +∞)内 ′ , 因为在 , +∞ 内y′>0, 所以函数 y=ex−x−1在[0, +∞ = − 在 , +∞) 上单调增加. 上单调增加.
y=2x3−9x2+12x−3
函数的单调性与曲线的凹凸性
例
这个函数的定义域为(−∞, +∞). 解 这个函数的定义域为 −∞, +∞ .
y′ =
33 2 的单调区间. 确定函数 y = x − x 的单调区间. 2
1 − 1, 3 x
驻点 x=1, 不可导点 x=0 , x y′ ′ y (−∞, 0) −∞, － ↘ (0, 1) , ＋ ↗ (1, +∞ , +∞) － ↘
4
定理1(函数单调性的判定法 定理 函数单调性的判定法) 函数单调性的判定法 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导. 上连续, 内可导. 设函数 在 , 上连续 内可导 (1)如果在 , b)内f ′(x)>0, 则f(x)在[a, b]上单调增加; 如果在(a, 内 上单调增加; 如果在 , 在 , 上单调增加 (2)如果在 , b)内f ′(x)<0, 则f(x)在[a, b]上单调减少. 如果在(a, 内 上单调减少. 如果在 , 在 , 上单调减少 的单调性. 例 讨论函数 y=ex −x−1的单调性. = − 的单调性 的定义域为(−∞, . 解 函数y=ex−x−1的定义域为 −∞, ∞). 函数 = − 的定义域为 y′= x−1. ′=e . ′= 因为在(−∞, 内 ′ , 因为在 −∞, 0)内y′<0, 所以函数 y=ex−x−1在(−∞, 0] = − 在 −∞, 上单调减少; 上单调减少; 因为在(0, +∞)内 ′ , 因为在 , +∞ 内y′>0, 所以函数 y=ex−x−1在[0, +∞ = − 在 , +∞) 上单调增加. 上单调增加.
3-4函数单调性与凹凸性(09)
二、函数单调性的应用
——证明不等式和判断方程根的个数. ——证明不等式和判断方程根的个数. 证明不等式和判断方程根的个数 1. 证明不等式 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数, 并讨论 构造辅助函数 它在指定区间内的单调性. 它在指定区间内的单调性. 例4 证明不等式 e x ≥ x + 1 证
令 f 2 ( x ) = ln(1 + x ) − x
因 为 f2 (0) = 0, 而 f2′( x) =
−x < 0 ( x > 0) 1+ x
则 f ( x )单减 即 f 2 ( x ) < f 2 (0)( x > 0) 故 单减.
ln(1 + x ) < x
证
x3 令 f ( x ) = tan x − x − 3
f ′(x) ≤ 0 A y = f (x)
B
o
a
b
x
o a
b x
各点处切线的斜率为正
各点处切线的斜率为负
在区间(a, 上单调递增 若 y = f (x)在区间 b)上单调递增 在区间 在区间(a, 上单调递减 若y = f (x)在区间 b)上单调递减 在区间
f ′( x) ≥ 0
f ′( x) ≤ 0
研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 注1 研究函数的单调性 就是判断它在哪些区间内递增 哪些 区间内递减. 对可导函数的单调性, 区间内递减 由定理 1 对可导函数的单调性 可根据导数的正 负情况予以确定. 负情况予以确定 注2 包括无穷区间) 定理 1 的结论对其他各种区间 (包括无穷区间 也成立 包括无穷区间 也成立.
3-4单调性与凹凸性
例2. 确定函数 解:
3(4 x ) 令 f ( x) 0 , 得 x 0;
2
f ( x)
4 x
1 3
的单调区间.
在x=±2处不可导.
x ( , 2) 2 (2 , 0) f (x)
f (x)
故
0
(0, 2)
2 (2, )
0
4
2 3
0
0
的单调增区间为:… 的单调减区间为:…
(反证设) x0 (a, b) 使得, f ( x0 ) min f (a), f (b) f (a).
f (1 ) 0. 1 (a, x0 ) 0≥ f ( x0 ) f (a) f (1 )( x0 a) + 0≤ f (b) f ( x0 ) f ( 2 )(b x0 ) f ( 2 ) 0. 2 ( x0 , b) + (1 , 2 ) 0 ≤ f ( 2 ) f (1 ) f ( )( 2 1 ) + f ( ) 0 矛盾. 所以…
作业 P152
3 (7) ; 5 (3), (4) ; 9 (6) 12 ; 13
第三章
§3.4 函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点
一、 函数单调性的判定法
1.定义(略) 2.判定定理
定理 1. 设函数
在区间 I 上连续在区间 I 内可导,若 在 I 上严格单调递增 (递减)
( f ( x) 0) , 则
证: 不妨设 任取
由拉格朗日中值定理得
例1. 确定函数
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
高数第三章第四次函数单调性凹凸性
第四讲
函数的单调性 与曲线的凹凸性
cos x e 计算 lim 2 x 0 x [ x ln( 1 x )]
x2 2
解：应用泰勒公式
x2 2 ( ) x2 x4 x2 2 ( x 4 )] [1 ( x 4 )] [1 ( ) 2! 4! 2 2! 原 式 lim x 0 ( x )2 2 x { x [( x ) ( x 2 )]} 2
tan x x f ( x ) f (0) 0,
0 x 时 ， (tan x x ) sec x 1 0, 2
得证！
二、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线
的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位于所 张弦的下方
一、单调性的判别法
注 1. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的
重要应用.
2. 定理中的区间换成其它有限或无限区间
结论仍然成立.
3. 应用：利用函数的单调性可以确定某些
方程实根的个数和证明不等式.
一、单调性的判别法
例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
解： y e x 1. 又 D : ( ,).
故曲线的拐点为
(
4
,0) (
4
,0)
四、曲线的拐点及其求法
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
函数的单调性 与曲线的凹凸性
cos x e 计算 lim 2 x 0 x [ x ln( 1 x )]
x2 2
解：应用泰勒公式
x2 2 ( ) x2 x4 x2 2 ( x 4 )] [1 ( x 4 )] [1 ( ) 2! 4! 2 2! 原 式 lim x 0 ( x )2 2 x { x [( x ) ( x 2 )]} 2
tan x x f ( x ) f (0) 0,
0 x 时 ， (tan x x ) sec x 1 0, 2
得证！
二、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线
的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位于所 张弦的下方
一、单调性的判别法
注 1. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的
重要应用.
2. 定理中的区间换成其它有限或无限区间
结论仍然成立.
3. 应用：利用函数的单调性可以确定某些
方程实根的个数和证明不等式.
一、单调性的判别法
例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
解： y e x 1. 又 D : ( ,).
故曲线的拐点为
(
4
,0) (
4
,0)
四、曲线的拐点及其求法
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
3-4 函数的单调性与曲线的凹凸性
cox s1x2x4o(x5) 2! 4!
e x 2 2 cx o 3 s (1 2 1 )x 4 o (x 4 ) 2 ! 4 !
原式 lx i0m 172x4x4o(x4)172 10
3. 利用泰勒公式证明不等式
例4. 证明
x x2 1x1 (x0).
3 !
5 !
1ab0 a4b0 a16b0 a 4 b 1
3
3
14
泰勒公式的应用
(1) 利用多项式逼近函数 ,
f(x ) f( 0 ) f( 0 ) x f( 0 )x 2 f(n )( 0 )x n
2 !
n !
(2) 近似计算
Rn(x)
M (n1)!
例 如 ， yx2在 x0处 f(0)0,它 在 ( ,0)上 单 调 减 少 ， (0, )上 单 调 增 加 ，
20
观察下面的图形, 你能得出什么结论？
y
y
O
x0
x
O
x0
x
结 论 使 得 函 数 的 导 数 f (x ) 不 存 在 的 点 也 可 作 为
函 数 单 调 性 的 分 界 点 .
则 称 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 是 单 调 增 加 的 ;
恒 有 (2 )f(x 1)f(x 2),
则 称 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 是 单 调 减 少 的 ;
y
y f (x)
y
y f (x)
f (x2 )
f ( x1 )
o
x
I
f ( x1)
f (x2 )
两边同乘 n !
n!e = 整数 + e (01)
e x 2 2 cx o 3 s (1 2 1 )x 4 o (x 4 ) 2 ! 4 !
原式 lx i0m 172x4x4o(x4)172 10
3. 利用泰勒公式证明不等式
例4. 证明
x x2 1x1 (x0).
3 !
5 !
1ab0 a4b0 a16b0 a 4 b 1
3
3
14
泰勒公式的应用
(1) 利用多项式逼近函数 ,
f(x ) f( 0 ) f( 0 ) x f( 0 )x 2 f(n )( 0 )x n
2 !
n !
(2) 近似计算
Rn(x)
M (n1)!
例 如 ， yx2在 x0处 f(0)0,它 在 ( ,0)上 单 调 减 少 ， (0, )上 单 调 增 加 ，
20
观察下面的图形, 你能得出什么结论？
y
y
O
x0
x
O
x0
x
结 论 使 得 函 数 的 导 数 f (x ) 不 存 在 的 点 也 可 作 为
函 数 单 调 性 的 分 界 点 .
则 称 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 是 单 调 增 加 的 ;
恒 有 (2 )f(x 1)f(x 2),
则 称 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 是 单 调 减 少 的 ;
y
y f (x)
y
y f (x)
f (x2 )
f ( x1 )
o
x
I
f ( x1)
f (x2 )
两边同乘 n !
n!e = 整数 + e (01)
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性共36页
x2
x
=
3
是极值点
y 2 7 6ab0
x 3
( 3)
联立(1)-(3),得 a = －6, b = 9, c = 2.
例15. 利用函数的凹凸性证明不等式:
ex
ey
xy
e 2 (xy).
2
证明: 令f(x)ex,
f(x)ex0, (x (, ) )
f(x)在( , )上是凹的
同理可证明(2).
例1．讨 论 函 f(x) 数 exx1的 单.调 性
解： 定 义 D:( 域 , ) . f(x)ex 1.
x
f (x) f (x)
(, 0)
0 (0, )
0
f(x)在( ,0]单调减 ;在少 [0,)上单调增. 加
说明:导数等于零的点(即驻点)划分函数的定义 区间为两个具有单调性的区间.
令f(x)0, x10,x2 2 ;x3 1是不可导.
(3) 列表判断:
x (,2) 2 (2,1) 1 (1, 0) 0 (0,)
f (x) 0 不存在 0
f (x)
单调增加区间: ( ,2][0, ) 单调减少区间: [2, 0].
1x 因f为 (x)在 [0,) 上连 , 续 且 (0 , 在 )内 ,可 f(x ) 0 导 ,
所以 f(x)在 [0, )上单调 ;由 增 f(0) 加 0, 知x当 0时 , f(x)f(0), 即 xln 1(x).
3. 曲线
y1ex2 的凹区间是 ( 1 , 2
( D )f ( 1 ) f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 0 )
提示: 利用 f (x)单调增加 , 及
f( 1 ) f( 0 ) f()( 0 1 )
x
=
3
是极值点
y 2 7 6ab0
x 3
( 3)
联立(1)-(3),得 a = －6, b = 9, c = 2.
例15. 利用函数的凹凸性证明不等式:
ex
ey
xy
e 2 (xy).
2
证明: 令f(x)ex,
f(x)ex0, (x (, ) )
f(x)在( , )上是凹的
同理可证明(2).
例1．讨 论 函 f(x) 数 exx1的 单.调 性
解： 定 义 D:( 域 , ) . f(x)ex 1.
x
f (x) f (x)
(, 0)
0 (0, )
0
f(x)在( ,0]单调减 ;在少 [0,)上单调增. 加
说明:导数等于零的点(即驻点)划分函数的定义 区间为两个具有单调性的区间.
令f(x)0, x10,x2 2 ;x3 1是不可导.
(3) 列表判断:
x (,2) 2 (2,1) 1 (1, 0) 0 (0,)
f (x) 0 不存在 0
f (x)
单调增加区间: ( ,2][0, ) 单调减少区间: [2, 0].
1x 因f为 (x)在 [0,) 上连 , 续 且 (0 , 在 )内 ,可 f(x ) 0 导 ,
所以 f(x)在 [0, )上单调 ;由 增 f(0) 加 0, 知x当 0时 , f(x)f(0), 即 xln 1(x).
3. 曲线
y1ex2 的凹区间是 ( 1 , 2
( D )f ( 1 ) f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 0 )
提示: 利用 f (x)单调增加 , 及
f( 1 ) f( 0 ) f()( 0 1 )
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b
o a
x
o a
f ( x ) 0
b x
定理 设y f ( x )在 [a , b] 上连续，在(a , b)内可导.
（1） 若在(a , b)内f ( x ) 0， f ( x ) 在 [a , b] 上单调增加； ( 2)若在 (a , b)内 f ( x ) 0， f ( x ) 在 [a , b] 上单调减少 .
三、曲线凹凸的判定
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理2 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
一阶和二阶导数, 若在 (a , b) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的.
1 (x ) x4 x4 4 (x ) 4! 8 12 x4 1 lim lim x 0 x 0 x4 1 ( x2 ) 6 2 2 x (x ) 2 2 x2
4
一、单调性的判别法
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
）
f ( x ) 0
三、曲线凹凸的判定
例5 判断曲线 y x 3 的凹凸性. 解： y 3 x 2 , y 6x , 当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 . 点
则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加 .
若在(a , b)内， ( x ) 0, 则 f ( ) 0, f
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少 .
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内, y 0,
函数单调增加 .
注意:4.函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点 处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
一、单调性的判别法
例2 讨论函数 y
3
x 的单调性.
2
解： D : (,). 2 y 3 , ( x 0) 3 x
四、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.( x0 , f ( x0 )) 2.拐点的求法
定理 如果 在 内存在二阶导 . 数,则点 是拐点的必要条件是
证： f ( x ) 二阶可导, f ( x ) 存在且连续,
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,
则 f ( x ) [ f ( x )]在x0两边变号,
一、单调性的判别法
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 定义:使导数为零的点叫做函 f ( x ) 的驻点. 数
注 5. 函数的单调区间是由导数等于零的点或
导数不存在的点分割成的.
6.求函数的单调区间的方法:
用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点来划分 函数 f ( x )的定义区间, 然后判断区间内导数的 符号.
故曲线的拐点为
(
4
,0) (
4
,0)
四、曲线的拐点及其求法
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x ) 的拐点.
四、曲线的拐点及其求法
例8
f ( x )在x0取得极值, 由可导函数取得极值的 条件,
f ( x ) 0.
四、曲线的拐点及其求法
拐点判别方法:
设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导且f ( x0 ) 0, ,
(1) x0两近旁f ( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点; ( 2) x0两近旁f ( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
x y f ( x) f ( y) 从 而x , y ( , ), f ( ) 2 2
即e
x y 2
e e 2
x
y
( x y)
五、小节 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结 论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式.
曲线的弯曲方向——凹凸性; 凹凸性的判定.
图形上任意弧段位于 所张弦的上方
二、曲线凹凸的定义
定义
设f ( x )在区间 I 上连续, 如果对 I 上任意两
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 点 x1 , x2 , 恒有 f ( ) , 那末称 2 2 f ( x ) 在 I 上的图形是 )凹的(或凹弧） (向上 ;
x 0时,
3
y 3 x2
x2 3 0 1 li m y li m 3 不 存 在 x 0处不可导. . x0 x0 x0 x
在( ,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加 .
( ,0]， , ). 单调区间为： [0
第四讲
函数的单调性 与曲线的凹凸性
cos x e 计算 lim 2 x 0 x [ x ln( 1 x )]
x2 2
解：应用泰勒公式
x2 2 ( ) x2 x4 x2 2 ( x 4 )] [1 ( x 4 )] [1 ( ) 2! 4! 2 2! 原 式 lim x 0 ( x )2 2 x { x [( x ) ( x 2 )]} 2
改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法.
思考题
设 f ( x ) 在(a , b) 内二阶可导，且 f ( x0 ) 0 ，其中
x0 (a, b) ，则( x0 , f ( x0 ))是否一定为曲线 f ( x ) 的拐点？
举例说明.
思考题解答
因为 f ( x0 ) 0只是( x0 , f ( x0 ))为拐点 的必要条件，故( x0 , f ( x0 )) 不一定是拐点.
解
y cos x sin x ,
令 y 0,
y sin x cos x 2 sin(x ) , 4 3 7
4 无二阶导数不存在的点 得 x1 , x2 4 .
3 7 在（0， ）与（ ，）内， ( x) 0 f 4 4 3 7 在（ , ）内， ( x ) 0 f 4 4 3 7
四、曲线的拐点及其求法
例6
求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及 凹、凸的区间.
解： D : ( , )
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
3 2
x
f ( x )
求曲线 y 3 x 的拐点.
2 3 5 3
1 4 当 解： x 0时, y x , y x , 3 9 x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在( ,0)内, y 0, 曲线在( ,0]上是凹的 ; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
一、单调性的判别法
例3 确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2
12 x 3的单调区间. 解： D : ( ,).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
tan x x f ( x ) f (0) 0,
0 x 时 ， (tan x x ) sec x 1 0, 2
得证！
二、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线
的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位于所 张弦的下方
例 f ( x) x4
x ( , )
f (0) 0
但( 0,0) 并不是曲线 f ( x ) 的拐点.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为(,1]， [1,2]， [2, ).
一、单调性的判别法
注 1. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的
重要应用.
2. 定理中的区间换成其它有限或无限区间
结论仍然成立.
3. 应用：利用函数的单调性可以确定某些
方程实根的个数和证明不等式.
一、单调性的判别法
例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
解： y e x 1. 又 D : ( ,).
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
四、曲线的拐点及其求法
例9 利用曲线的凹凸性证明不等式：
x y ex ey e 2 2
( x y)
o a
x
o a
f ( x ) 0
b x
定理 设y f ( x )在 [a , b] 上连续，在(a , b)内可导.
（1） 若在(a , b)内f ( x ) 0， f ( x ) 在 [a , b] 上单调增加； ( 2)若在 (a , b)内 f ( x ) 0， f ( x ) 在 [a , b] 上单调减少 .
三、曲线凹凸的判定
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理2 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
一阶和二阶导数, 若在 (a , b) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的.
1 (x ) x4 x4 4 (x ) 4! 8 12 x4 1 lim lim x 0 x 0 x4 1 ( x2 ) 6 2 2 x (x ) 2 2 x2
4
一、单调性的判别法
y
y f ( x)
A
B
y
A y f ( x)
B
）
f ( x ) 0
三、曲线凹凸的判定
例5 判断曲线 y x 3 的凹凸性. 解： y 3 x 2 , y 6x , 当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 . 点
则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加 .
若在(a , b)内， ( x ) 0, 则 f ( ) 0, f
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少 .
在( ,0)内, y 0,
函数单调减少；
在(0,)内, y 0,
函数单调增加 .
注意:4.函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点 处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
一、单调性的判别法
例2 讨论函数 y
3
x 的单调性.
2
解： D : (,). 2 y 3 , ( x 0) 3 x
四、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.( x0 , f ( x0 )) 2.拐点的求法
定理 如果 在 内存在二阶导 . 数,则点 是拐点的必要条件是
证： f ( x ) 二阶可导, f ( x ) 存在且连续,
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,
则 f ( x ) [ f ( x )]在x0两边变号,
一、单调性的判别法
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 定义:使导数为零的点叫做函 f ( x ) 的驻点. 数
注 5. 函数的单调区间是由导数等于零的点或
导数不存在的点分割成的.
6.求函数的单调区间的方法:
用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点来划分 函数 f ( x )的定义区间, 然后判断区间内导数的 符号.
故曲线的拐点为
(
4
,0) (
4
,0)
四、曲线的拐点及其求法
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x ) 的拐点.
四、曲线的拐点及其求法
例8
f ( x )在x0取得极值, 由可导函数取得极值的 条件,
f ( x ) 0.
四、曲线的拐点及其求法
拐点判别方法:
设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导且f ( x0 ) 0, ,
(1) x0两近旁f ( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点; ( 2) x0两近旁f ( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
x y f ( x) f ( y) 从 而x , y ( , ), f ( ) 2 2
即e
x y 2
e e 2
x
y
( x y)
五、小节 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结 论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式.
曲线的弯曲方向——凹凸性; 凹凸性的判定.
图形上任意弧段位于 所张弦的上方
二、曲线凹凸的定义
定义
设f ( x )在区间 I 上连续, 如果对 I 上任意两
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 点 x1 , x2 , 恒有 f ( ) , 那末称 2 2 f ( x ) 在 I 上的图形是 )凹的(或凹弧） (向上 ;
x 0时,
3
y 3 x2
x2 3 0 1 li m y li m 3 不 存 在 x 0处不可导. . x0 x0 x0 x
在( ,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加 .
( ,0]， , ). 单调区间为： [0
第四讲
函数的单调性 与曲线的凹凸性
cos x e 计算 lim 2 x 0 x [ x ln( 1 x )]
x2 2
解：应用泰勒公式
x2 2 ( ) x2 x4 x2 2 ( x 4 )] [1 ( x 4 )] [1 ( ) 2! 4! 2 2! 原 式 lim x 0 ( x )2 2 x { x [( x ) ( x 2 )]} 2
改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法.
思考题
设 f ( x ) 在(a , b) 内二阶可导，且 f ( x0 ) 0 ，其中
x0 (a, b) ，则( x0 , f ( x0 ))是否一定为曲线 f ( x ) 的拐点？
举例说明.
思考题解答
因为 f ( x0 ) 0只是( x0 , f ( x0 ))为拐点 的必要条件，故( x0 , f ( x0 )) 不一定是拐点.
解
y cos x sin x ,
令 y 0,
y sin x cos x 2 sin(x ) , 4 3 7
4 无二阶导数不存在的点 得 x1 , x2 4 .
3 7 在（0， ）与（ ，）内， ( x) 0 f 4 4 3 7 在（ , ）内， ( x ) 0 f 4 4 3 7
四、曲线的拐点及其求法
例6
求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及 凹、凸的区间.
解： D : ( , )
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
3 2
x
f ( x )
求曲线 y 3 x 的拐点.
2 3 5 3
1 4 当 解： x 0时, y x , y x , 3 9 x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在( ,0)内, y 0, 曲线在( ,0]上是凹的 ; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
一、单调性的判别法
例3 确定函数 f ( x ) 2 x 3 9 x 2
12 x 3的单调区间. 解： D : ( ,).
f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
tan x x f ( x ) f (0) 0,
0 x 时 ， (tan x x ) sec x 1 0, 2
得证！
二、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线
的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位于所 张弦的下方
例 f ( x) x4
x ( , )
f (0) 0
但( 0,0) 并不是曲线 f ( x ) 的拐点.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为(,1]， [1,2]， [2, ).
一、单调性的判别法
注 1. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的
重要应用.
2. 定理中的区间换成其它有限或无限区间
结论仍然成立.
3. 应用：利用函数的单调性可以确定某些
方程实根的个数和证明不等式.
一、单调性的判别法
例1 讨论函数y e x x 1的单调性.
解： y e x 1. 又 D : ( ,).
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
四、曲线的拐点及其求法
例9 利用曲线的凹凸性证明不等式：
x y ex ey e 2 2
( x y)