多自由度系统振动分析典型教案
汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
结构动力学之多自由度体系的振动问题
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
第三部分 多自由度系统的振动
q t uη(t) u r t
r
r 1
n
u11 u12 u1n u u u 21 22 2n 1 (t ) 2 (t ) n (t ) un1 un 2 unn
(r )
1
r
u
(r )
r u
( r )T
Mu( r )
正则振型
主振型 正则化因子
组成正则振型矩阵
u u
(1)
u
(2)
u
(n )
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的基本步骤： (4)用正则振型矩阵进行坐标变换（方程组解耦）
q t uη t 令 代入无阻尼自由振动系统，并用uT左乘方程
2 r t 2 rrr t r r t Nr (t )
r 1,2,, n
(5)按单自由度相关方法求各正则坐标下的响应 各正则坐标下单自由度自由振动系统，对初始条件的 响应 1）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初始条件
η0 u q0 T η0 u Mq0 ,
u( s )T Ku(r ) 0
(r s )
u( r )T Ku(r ) r2
M r u Mu
T
K r uT Ku 12 2 2 Λ 2 n
1 1 I 1
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的类型： 无阻尼振动系统对初始条件的响应 无阻尼振动系统对任意激励的响应 有阻尼振动系统对各种激励的响应 （简谐激励、周期激励、任意激励）
振动力学(两自由度系统和多自由度系统)
2
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难 度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的 加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组 成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
用拉格朗日方程 建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学 方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和 能量的方法。拉格郎日方程为：
第三章 多自由度系统的振动课件
定义 奇次方程组（1）的一组解1,2,L ,t 称为（1）的一个基
础解系，如果
1.(1)的任一个解都能表示成 1,2,L ,t 的线性组合； 2. 1,2,L ,t 线性无关。
定理 在奇次方程组有非零解的情况下，方程组的基础解系所含解的
个数等于 nr。
r:
是系数矩阵的秩。
系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽 然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动 形态已经确定。
【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独
立的? 结论:
(Kr2M)r 0
当<<振 动r 力不学是特>>征刘延方柱程第的7重4根页时).,上述方程只有N-1个方程是独立的(见
② 以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数； ③ 对于非保守主动力，将其虚功写成如下形式
n
W Qi qi i 1
从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力；
⑤ 将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.
上次课内容回顾
3. 用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点
理解固有振型
如何理解固有振型 从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；
从物理上看：第i阶固有振型向量 i 中的一列元素，就是系统做 第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值， i 描述了
系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽
然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动
(K2M)0
有非零
1
1 1
2
1
1
第2章 多自由度系统振动
（2-6） 特征方程
振幅列阵
u
A1 A 2
即为振型
求解二自由度系统的固有频率与主振型
二自由度系统特征矩阵方程的展开式为
2 2 (k11 m11 n ) A1 (k12 m12 n ) A2 0 2 2 (k 21 m21 n ) A1 (k 22 m22 n ) A2 0
ml 2 k l 2 k l 2 T sint c J ml3 x c 3 c 14 c 2 5 c
写出矩阵
m m l 3
c k1 k 2 m l3 x 2 J m l3 c 0
可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即
K 1 , K 1
三自由度铅垂方向振动微分方程为
1
[ ] X 0 M X
讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？ （2）上述方程为什么不用刚度影响系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？ （3）什么时候用柔度影响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（P28） 结论：（1）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易 （2）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易 （3）对于杆件机构，应用拉格朗日方程方法较容易
（2-7）
该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零
2 k11 m11 n 2 k11 m11 n
k 21 m21
也可表示为 易解出
2 n
k 22 m22
2 n
0
（2-8）
K n2 M 0
b b 2 4ac n1,2 2a a m11m22 b (m11k22 m22 k11 )
12.6 多自由度体系的自由振动
将D展开，整理后，得 展开，整理后， 展开
k11 k22 2 k11k22 − k12k21 (ω ) − + =0 m m ω + m1m2 2 1 的两个根， 由此可以解出ω2的两个根，即
2 2
ω12， = ( 2
2
1
k 22
F S1
1
1
k 11
1
k 12
结构所受的力 FS1 、 S 2 与结构的位移 y1 、 y2 之间 F 应满足刚度方程
FS1 = −(k11 y1 + k12 y 2 ) FS 2 = −(k 21 y1 + k 22 y 2 ) 是结构的刚度系数 kij 是结构的刚度系数
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代入振型方程 得
( k11 − ω 2 m1 )Y12 + k12Y22 = 0 2 k21Y12 + ( k 22 − ω 2 m2 )Y22 = 0
2
同样， 同样，也可求得
Y12 − k12 ρ2 = = 2 Y22 k11 − ω2 m1
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1
2
ω …， n 。 ，
i
n
[Y 2) 确定振型（振动形式），即[Y ( ) ]， ( ) ] ，[Y ( ) ] … [Y ( ) ]，或振型常数 确定振型（振动形式）， ），即 仅适用于两个自由度体系）。并讨论振型的特性—— ）。并讨论振型的特性 ρ1，ρ2（仅适用于两个自由度体系）。并讨论振型的特性 主振型的正交性。 主振型的正交性。
多自由度系统振动分析典型教案
第2章多自由度系统的振动基本要点：①建立系统微分方程的几种方法；②固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性；③多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。
引言多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。
§2.1多自由度系统的振动方程●方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力§2.2建立系统微分方程的方法●影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数●刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法§2.3无阻尼系统的自由振动●二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。
●二自由度系统的自由振动●二自由度系统的运动耦合与解耦➢弹性耦合，惯性耦合；➢振动系统的耦合取决于坐标系的选择；●多自由度系统的固有振动➢固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度；➢固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性；➢刚体模态；●运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。
●多自由度系统的自由振动§2.4无阻尼系统的受迫振动●频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反共振问题。
●时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速度法。
§2.5比例阻尼系统的振动●多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。
●自由振动●受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。
§2.6一般粘性阻尼系统的振动●自由振动：物理空间描述，状态空间描述。
●受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。
思考题：①刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解释？②为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？③证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。
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第2章多自由度系统的振动
基本要点：
①建立系统微分方程的几种方法；
②固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性；
③多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。
引言
多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。
§2.1多自由度系统的振动方程
●方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力
§2.2建立系统微分方程的方法
●影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数
●刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法
§2.3无阻尼系统的自由振动
●二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。
●二自由度系统的自由振动
●二自由度系统的运动耦合与解耦
弹性耦合，惯性耦合；
振动系统的耦合取决于坐标系的选择；
●多自由度系统的固有振动
固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度；
固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性；
刚体模态；
●运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。
●多自由度系统的自由振动
§2.4无阻尼系统的受迫振动
●频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反
共振问题。
●时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速
度法。
§2.5比例阻尼系统的振动
●多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。
●自由振动
●受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。
§2.6一般粘性阻尼系统的振动
●自由振动：物理空间描述，状态空间描述。
●受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。
思考题：
①刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解
释？
②为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？
③证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。
④在实际的多自由度系统振动分析中，为什么要进行模态截断？
参考书目
1.胡海岩，机械振动与冲击，航空工业出版社，2002
2.故海岩，机械振动基础，北京航空航天大学出版社，2005
3.季文美，机械振动，科学出版社，1985。
（图书馆索引号：TH113.1/1010）
4.郑兆昌主编, 机械振动上册,机械工业出版社，1980。
（图书馆索引号：
TH113.1/1003-A）
5.Singiresu S R, Mechanical vibrations，Longman Prentice Hall, 2004(图书馆索引
号：TH113.1/WR32)。