268.九年级新人教版数学上册21.2解一元二次方程(第1课时)-教案
21.2 解一元二次方程(第1课时)
情感与态度目标：通过本节课，继续体会由未知向已知转化的思想方法，渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法
四、教学重点
理解配方法及用配方法解一元二次方程．
五、教学难点
1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解．
课题
21.2解一元二次方程（第1课时）
课时
1
主备人:张红亮
一、教材内容分析
二、学情分析
三、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）
知识与技能目标：1．正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0方程变形为（x＋m）2＝n（n≥0）类型．2．会用配方法解形如ax2＋bx＋c=0（a≠0）中的数字系数的一元二次方程．3．了解新、旧知识的内在联系及彼此的作用．
达标测评
练习：解下列方程：
（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；
（2）解方程x2－4x－2＝0．
解方程：2x2＋3＝5x．
小组评价与总结
这节课你有什么收获？
九、作业：1．教科书第6页 练习；第9页 练习．
2．思考：利用本节课的知识，试解关于x的方程x 2 + px + q = 0．
十、课后反思
问题3解方程：（x + 3）= 5．
问题4怎样解方程x 2 + 6x + 4 = 0
九年级数学上册-解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法教案新版新人教版
21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题．提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题．问题1:填空(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.解:根据完全平方公式可得:(1)16 4；(2)4 2；(3)(p2)2p2.问题2:目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2＝9,根据平方根的意义,直接开平方得x＝±3,如果x换元为2t＋1,即(2t＋1)2＝9,能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t＋1变为上面的x,那么2t＋1＝±3即2t＋1＝3,2t＋1＝－3方程的两根为t1＝1,t2＝－2例1 解方程:(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2分析:(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.(2)由已知,得:(x＋3)2＝2直接开平方,得:x＋3＝± 2即x＋3＝2,x＋3＝－ 2所以,方程的两根x1＝－3＋2,x2＝－3－ 2解:略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面积增长率．分析:设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解:设每年人均住房面积增长率为x,则:10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方,得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2,1＋x＝－1.2所以,方程的两根是x1＝0.2＝20%,x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2＝－2.2应舍去．所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么？共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程,那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程,那么mx＋n＝±p,达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.。
人教版九年级数学上册21.2.1解一元二次方程(第1课时)一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册
21.2.1解一元二次方程（第1课时）教学设计
一、教材分析
1、地位作用：本节为一元二次方程解法的起始课。
一元二次方程的求解是初中代数学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视。
首先“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；其次，求解二次函数与x轴交点等问题中都必须应用一元二次方程的解法；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元、转化、类比”等重要的数学思想方法。
因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。
2、教学目标：①了解形如x2=a (a≥0)和（mx+n）2=p(p≥0)的一元二次方程的解法——直接开平方法；
②会用直接开平方法解一元二次方程；
③了解转化、降次思想在解方程中的运用。
3、教学重、难点
教学重点：①解形如x2=a和（mx+n）2=p(p≥0)的方程；
②通过本节课的学习体会换元和转化思想。
教学难点：①解形如（mx+n）2=p(p≥0)的方程。
突破重难点的方法：直接开平方法适用一元二次方程类型的探究，通过根据平方根的意义解形如x2=a (a≥0)，知识迁移到根据平方根的意义解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程，做好合适的铺垫，引导学生发现运用直接开平方法解一元二次方程的求解途径，引导学生运用换元、转化思想探求一元二次方程如何用直接开平方法来解，提高探究能力。
二、教学准备：多媒体课件、导学案、
三、教学过程。
九年级数学上册 第21章 一元二次方程教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上册数学教案
这样容易完成学习内容。
三、教学目标
（结合课标）
1.理解一元二次方程的定义关键注意三点：整式、一个未知数、最高次数为2。
对一元二次方程理解时，一定注意“a≠0”这一条件。
把一个方程化为一般形式时应用了解一元一次方程的变形方法：去分母---去括号---移项---合并同类项。
注意:①当a是负值时，一般转化为正数； ②多给出b=0或c=0或b、c同时为0的例子。如： 。
解一元二次方程时，要根据方程实际，灵活选择适当的方法。
对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时，可用公式法，一定要注意b2-4ac的取值问题。
配方法要先配方再降次；“配方法”不仅应用在一元二次方程中，注意配方在其他方面的应用。
因式分解法要先使方程的一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式为0。配方法和公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法应用时要观察方程的特点，灵活选择方法。
数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固。
二、学情分析
学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基础上本章将从实际问题入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式.
人教版九年级数学上册《解一元二次方程》教案
21．2解一元二次方程21．2.1配方法第1课时直接开平方法1．理解解一元二次方程的“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程．3．理解形如x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法．阅读教材第5至6页“练习”的部分，完成以下问题．问题1一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？我们知道x2＝25，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±5.问题2解下列方程：(1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0；(3)x2＋4x＋4＝9.知识探究一般地，对于方程x2＝p：(1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根：x1＝－p，x2＝p；(2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0；(3)当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根．自学反馈解下列方程：(1)x2＝8；(2)(2x－1)2＝5；(3)x2＋6x＋9＝2; (4)4m2－9＝0；(5)x2＋4x＋4＝1; (6)3(x－1)2－9＝108.解一元二次方程的实质：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．活动1小组讨论例 用平方根的意义解下列方程：(1)(3x ＋1)2＝7； (2)y 2＋2y ＋1＝24；(3)9n 2－24n ＋16＝11.解：(1)－1±73.(2)－1±2 6. (3)4±113. 运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．活动2 跟踪训练用直接开平方法解下列方程：(1)3(x －1)2－6＝0； (2)x 2－4x ＋4＝5；(3)9x 2＋6x ＋1＝4; (4)36x 2－1＝0； (5)4x 2＝81; (6)(x ＋5)2＝25；(7)x 2＋2x ＋1＝4.活动3 课堂小结应用直接开平方法解形如x 2＋2ax ＋a 2＝b(b ≥0)，可得x ＋a ＝±b 达到降次转化的目的．【预习导学】问题1 略． 问题2 (1)x ＝±2.(2)x 1＝－12，x 2＝52. (3)x 1＝1，x 2＝－5. 自学反馈(1)x ＝±2 2.(2)x 1＝5＋12，x 2＝－5＋12.(3)x 1＝2－3，x 2＝－2－3.(4)x ＝±32.(5)x 1＝－1，x 2＝－3.(6)x 1＝1＋39，x 2＝1－39.【合作探究】活动2 跟踪训练(1) x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(2)x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.(3)x 1＝－1，x 2＝13.(4)x 1＝16，x 2＝－16.(5)x 1＝92，x 2＝－92.(6)x 1＝0，x 2＝－10.(7)x 1＝1，x 2＝－3.第2课时 配方法通过可直接化成x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．阅读教材第6至9页的部分，完成以下问题．问题1 填空：(1)x 2＋6x ＋____＝(x ＋____)2；(2)x 2－x ＋____＝(x －____)2；(3)4x 2＋4x ＋____＝(2x ＋____)2.问题2 解方程：x 2＋6x ＋4＝0.知识探究1．如果方程能化成a(x ＋b)2＝c 的形式，那么可得x ＝________.2．以上解法中，为什么在方程x 2＋6x ＋4＝0两边加5？加其他数行吗？________.3．什么叫配方法？________________________________________________________________________.4．配方法的目的是什么？________.5．配方法的关键是什么？________.自学反馈用配方法解下列关于x 的方程：(1)x 2－4x ＋2＝0； (2)x 2－12x －1＝0； (3)2x 2－4x －8＝0; (4)2x 2＋2x ＝5.活动1 小组讨论例 用配方法解下列关于x 的方程：(1)x 2－8x ＋1＝0； (2)2x 2＋1＝3x.解：(1)x 1＝4＋15，x 2＝4－15.(2)x 1＝1，x 2＝12. (1)用配方法解一元二次方程时，方程左边分别为二次项和一次项，常数项放右边，二次项系数不为1的，可以将方程各项除以二次项系数；(2)配方时所加常数为一次项系数一半的平方；(3)注意：配方时一定要在方程两边同加．活动2 跟踪训练1．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q)2，则p 、q 的值分别是( )A ．p ＝4，q ＝2B ．p ＝4，q ＝－2C ．p ＝－4，q ＝2D ．p ＝－4，q ＝－22．填空：(1)x 2＋10x ＋____＝(x ＋____)2；(2)x 2－12x ＋____＝(x －____)2；(3)x 2＋5x ＋____＝(x ＋____)2；(4)x 2－23x ＋____＝(x －____)2. 3．用配方法解下列关于x 的方程：(1)x 2－36x ＋70＝0； (2)x 2＋2x －35＝0； (3)2x 2－4x －1＝0; (4)x 2－8x ＋7＝0；(5)x 2＋4x ＋1＝0; (6)x 2＋6x ＋5＝0；(7)2x 2＋6x －2＝0; (8)9y 2－18y －4＝0；(9)x 2＋3＝23x.4．如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy)z 的值．类似第4题的，通常将等式一边变形为几个非负数的和，而另一边为零的形式．活动3 课堂小结1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．【预习导学】问题1 (1)9 3 (2)14 12(3)1 1 问题2 x 1＝－3＋5，x 2＝－3－ 5.知识探究1．－b±c a2.不行3.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法4.降次5.配平 自学反馈 (1)x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2.(2)x 1＝14＋174，x 2＝14－174.(3)x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.(4)x 1＝11－12，x 2＝－11－12. 【合作探究】活动2 跟踪训练1．B 2.(1)25 5 (2)36 6 (3)254 52 (4)19 133.(1)x 1＝18＋254，x 2＝18－254.(2)x 1＝5，x 2＝－7.(3)x 1＝1＋62，x 2＝1－62.(4)x 1＝1，x 2＝7.(5)x 1＝－2＋3，x 2＝－2－ 3.(6)x 1＝－1，x 2＝－5.(7)x 1＝－32＋132，x 2＝－32－132.(8)y 1＝1＋133，y 2＝1－133.(9)x 1＝x 2＝ 3. 4．由已知方程，得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0.∴x ＝2，y＝－3，z ＝－2.∴(xy)z ＝[2×(－3)]－2＝136.21.2.2 公式法1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2．会熟练应用公式法解一元二次方程．阅读教材第9至12页的部分，完成以下问题．1．用配方法解下列方程：(1)6x 2－7x ＋1＝0； (2)4x 2－3x ＝52.2．如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题 已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a. 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．知识探究一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac 2a就得到方程的根，当b 2－4ac ＜0，方程没有实数根； (2)x ＝－b±b 2－4ac 2a叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式； (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；(4)由求根公式可知，一元二次方程可能有两个不等的实数根，也可能有两个相等的实数根或没有实数根；(5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字“Δ”表示，即Δ＝b 2－4ac.自学反馈用公式法解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0； (2)5x ＋2＝3x 2；(3)(x －2)(3x －5)＝0; (4)4x 2－3x ＋1＝0.活动1 小组讨论例1 在什么情况下，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？解：Δ＝b 2－4ac ，Δ>0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等实数根；Δ<0时，没有实数根．例2 写出一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)的求根公式：x ＝－b±b 2－4ac 2a． 例3 方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是(B )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根活动2 跟踪训练1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x 2－3x －32＝0； (2)16x 2－24x ＋9＝0； (3)x 2－42x ＋9＝0; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x.2．用公式法解下列方程：(1)x 2＋x －12＝0； (2)x 2－2x －14＝0； (3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11; (4)x(x －4)＝2－8x ；(5)x 2＋2x ＝0; (6)x 2＋25x ＋10＝0.用公式法解一元二次方程时，一定要先写对a ，b ，c 的值，再判断Δ的正负．活动3 课堂小结1．求根公式的概念及其推导过程．2．公式法的概念．3．应用公式法解一元二次方程．4．一元二次方程根的情况．【预习导学】自学反馈(1)x 1＝1＋62，x 2＝1－62.(2)x 1＝2，x 2＝－13.(3)x 1＝2，x 2＝53.(4)无解．【合作探究】活动2跟踪训练1．(1)有两个不相等的实数根．(2)有两个相等的实数根．(3)无实数根．(4)有两个不相等的实数根． 2.(1)x1＝3，x2＝－4.(2)x1＝2＋32，x2＝2－32.(3)x1＝1，x2＝－3.(4)x1＝－2＋6，x2＝－2－ 6.(5)x1＝0，x2＝－2.(6)无解．21．2.3因式分解法1．会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程．2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．阅读教材第12至14页，完成预习内容．1．将下列各题因式分解：am＋bm＋cm＝________；a2－b2＝________；a2±2ab＋b2＝________.2．解下列方程：(1)2x2＋x＝0(用配方法)；(2)3x2＋6x＝0(用公式法)．知识探究仔细观察上面两个方程特征，除配方法或公式法，你能找到其他的解法吗？1．对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做________．2．如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或________，即x＝－1或________．自学反馈1．说出下列方程的根：(1)x(x－8)＝0；(2)(3x＋1)(2x－5)＝0.2．用因式分解法解下列方程：(1)x2－4x＝0；(2)4x2－49＝0；(3)5x 2－20x ＋20＝0.活动1 小组讨论例1 用因式分解法解下列方程：(1)5x 2－4x ＝0；(2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；(3)(x ＋5)2＝3x ＋15.解：(1)x 1＝0，x 2＝45. (2)x 1＝23，x 2＝－12. (3)x 1＝－5，x 2＝－2.解这里的(2)(3)题时，注意整体的思想．例2 用因式分解法解下列方程：(1)4x 2－144＝0；(2)(2x －1)2＝(3－x)2；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34； (4)3x 2－12x ＝－12.解：(1)x 1＝6，x 2＝－6.(2)x 1＝43，x 2＝－2. (3)x 1＝12，x 2＝－12. (4)x 1＝x 2＝2.注意本例中的方程可以使用多种方法求解．活动2 跟踪训练1．用适当的方法解下列方程：(1)x 2＋x ＝0； (2)x 2＋x －12＝0；(3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0；(5)4x 2－x －9＝0.2．把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．活动3 课堂小结1．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为0； (2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积； (3)令每个因式分别为0，得两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．归纳解一元二次方程不同方法的优缺点．【预习导学】(a ＋b ＋c)m (a ＋b)(a －b) (a±b)2知识探究1．因式分解法 2.x －1＝0 x ＝1自学反馈1．(1)x 1＝0，x 2＝8.(2)x 1＝－13，x 2＝52. 2．(1)x 1＝0，x 2＝4.(2)x 1＝72，x 2＝－72.(3)x 1＝x 2＝2. 【合作探究】活动2 跟踪训练1．(1)x 1＝0，x 2＝－1.(2)x 1＝－4，x 2＝3.(3)x 1＝x 2＝1.(4)x 1＝112，x 2＝－112.(5)x 1＝1＋1458，x 2＝1－1458. 2.设小圆形场地的半径为x m ．则可列方程2πx 2＝π(x ＋5)2.解得x 1＝5＋52，x 2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52)m .*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．理解并掌握根与系数关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 2．会用根的判别式及根与系数的关系解题．阅读教材第15至16页，完成预习内容．知识探究1．完成下列表格：方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1x 2 x 2－5x ＋6＝0 2 3 5 6 x 2＋3x －10＝02－5－3－10问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律；(两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项) ②x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1，x 2，用式子表示你发现的规律． (x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q) 2．完成下列表格：方程 x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1x 2 2x 2－3x －2＝0 2 －12 32 －1 3x 2－4x ＋1＝01314313问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立) 请完善规律：①用语言叙述发现的规律；(两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比) ②ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，用式子表示你发现的规律． (x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca)3．利用求根公式推导根与系数的关系：ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1＝________________，x 2＝________________． 则x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________. 自学反馈根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积： (1)x 2－3x －1＝0； (2)2x 2＋3x －5＝0； (3)13x 2－2x ＝0.活动1 小组讨论例1 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积： (1)x 2－6x －15＝0； (2)3x 2＋7x －9＝0； (3)5x －1＝4x 2.解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15. (2)x 1＋x 2＝－73，x 1x 2＝－3.(3)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14.先将方程化为一般形式，找对a 、b 、c 的值．例2 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值． 解：另一根为32，k ＝3.本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x ＝－3代入方程先求k ，再求另一个根；另一种是利用根与系数关系解答．例3 已知α，β是方程x 2－3x －5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值． (1)1α＋1β；(2)α2＋β2；(3)α－β. 解：(1)－35.(2)19.(3)29或－29.活动2 跟踪训练1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积： (1)x 2－3x ＝15； (2)5x 2－1＝4x 2； (3)x 2－3x ＋2＝10； (4)4x 2－144＝0； (5)3x(x －1)＝2(x －1); (6)(2x －1)2＝(3－x)2. 2．两根均为负数的一元二次方程是( ) A ．7x 2－12x ＋5＝0 B ．6x 2－13x －5＝0 C ．4x 2＋21x ＋5＝0 D ．x 2＋15x －8＝0两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．活动3 课堂小结1．一元二次方程的根与系数的关系．2．一元二次方程的根与系数的关系成立的前提条件．【预习导学】 知识探究3.－b ＋b 2－4ac 2a －b －b 2－4ac 2a －b a c a自学反馈(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－1.(2)x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－52.(3)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝0.【合作探究】 活动2 跟踪训练1．(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－15.(2)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－1.(3)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8.(4)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－36.(5)x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝23.(6)x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－83. 2.C。
(完整版)数学人教版九年级上册一元二次方程第一课时教案
21． 1 一元二次方程教课内容一元二次方程观点及一元二次方程一般式及相关观点． 教课目的认识一元二次方程的观点；一般式 ax 2+bx+c=0 （ a ≠ 0）及其派生的观点； ?应用一元二次方程观点解决一些简单 题目．1．经过设置问 题，成立数学模型， ?模拟一元一次方程观点给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其相关观点． 3．解决一些观点性的 题目． 4．态度、感情、价值观5．经过生活学习数学，并用数学解决生活中的问 题来激发学生的学习热忱．重难点要点1．?要点：一元二次方程的观点及其一般形式和一元二次方程的相关观点并用这些观点解决问 题．2．难点打破：经过提出问 题，成立一元二次方程的数学模型， ?再由一元一次方程的观点迁徙到一元二次方程的观点．教课过程 一、复习引入问题 1：（ 1）什么是一元一次方程？（ 2）一元一次方程的一般形式是什么？问题 2：学生议论沟通达成前言： 要设计一座 2 m 高的人体塑像， 使塑像的上部 （腰以上） 与下部（腰以下）的高度比，等于下部与所有的高度比，塑像的下部应设计为多高？设塑像下部高 x m ，于是得方程。
问题 3：如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm ，宽 50 cm ，在它的四角各切一个相同的正方形， 而后将周围突出部分折起， 就能制作一个无盖方盒， 假如要制作的无盖方盒的底面积为 3 600cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？设切去的正方形的边长为 x cm ，则盒底的长为（ 100－ 2x ）cm ，宽为（ 50－ 2x ）cm ，依据方盒的底面积为3 600 cm 2，得。
问题 4：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要竞赛一场，依据场所和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每日安排 4 场竞赛，竞赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其余（ x － 1）个队各赛 1 场，因为甲队对乙队的竞赛和乙队对甲队的竞赛是同一场竞赛，所以所有竞赛共1x x 1场．可列方程为。
人教版初中数学九年级第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程学案(1)
一元二次方程应用利用一元二次方程可以：一、一元二次方程主要是解决实际问题：主要解决：1、传播、分支问题；握手、写信，循环比赛问题；2、平均变化率问题；3、数字问题；4、利润问题；5、图形的面积问题；5、利润问题；6、方案设计问题等。
二、解分式方程（成平方关系、成倒数关系）三、对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)进行因式分解：一、相互问题（传播、循环）例：（传染问题）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？练习：1.有两人患了红眼病，经过两轮传染后共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
列得方程：解得：x=2.某人患了流感,经过两轮传染后共64人患了流感.（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人?（2）如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?3.某电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传播后就会有144台电脑被感染，设每轮传染中平均一台电脑传染x台电脑，则依题意可列方程为______________-4.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是( ) A．1331 B．1210 C．1100 D．1000问题2：（分蘖问题）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？练习：为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定利用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n=______．解：类型二：“握手”、“比赛”、“赠礼物”1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。
新人教版九年级上《21.2解一元二次方程》教案
人教版义务教育教材◎数学九年级上册21.2 解一元二次方程教学目标1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程．2. 了解一元二次方程求根公式的推导过程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．3. 了解一元二次方程的根与系数的关系．4. 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．教学重点1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程，明确各种解法的来源和特点．2. 一元二次方程求根公式的推导过程．教学难点1. 在具体问题时，如何根据方程的特点恰当选择解方程的基本方法．2. 一元二次方程求根公式的推导过程．课时安排7课时．1教师备课系统──多媒体教案2教案A第1课时教学内容21.2.1 配方法（1）．教学目标1．能运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．通过实例，合作探讨，建立数学模型，掌握直接开平方法的的基本步骤．3．在经历用直接开平方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．教学重点运用开平方法解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程，领会降次—转化的数学思想．教学难点通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，然后知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程．教学过程一、导入新课问题：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？通过问题，导入新课的教学．二、新课教学1．解决问题．学生思考、讨论，教师引导，汇报解题过程和步骤．设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程10×6x2＝1 500．整理，得x2＝25．根据平方根的意义，得x＝±5，即人教版义务教育教材◎数学九年级上册x1＝5，x2＝―5可以验证，5和―5是方程10×6x2＝1 500的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm．强调：用方程解决实际问题时，要考虑所得的结果是否符合实际意义．根据解题过程，类似地，解下列方程：x2＝5，x2＝0，x2＝―5．2．归纳总结．教师引导学生总结上述方程的共同点，归纳出一般形式x2＝p，并根据p的取值范围得到方程的解的三种情况．一般地，对于方程x2＝p，（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程x2＝p有两个不等的实数根x1＝―p，x2＝p；（2）当p＝0时，方程x2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝0；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程x2＝p无实数根．3．巩固拓展．思考：如果把上面的方程稍作变形，如(x＋3)2＝5你还会解吗？学生独立思考，并给出解法．引导学生先把(x＋3)看看成一个数，对方程两边开平方，得x＋3＝±5，把它转化成两个一元一次方程x＋3＝5和x＋3＝―5．于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为x1＝―3＋5和x2＝―3―5．这种解法实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个我们会解的一元一次方程．三、巩固练习1．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2．解：设每年人均住房面积增长率为x，则10(1＋x)2＝14.4，化简得(1＋x)2＝1.44．直接开平方，得1＋x＝±1.2，即1＋x＝1.2，1＋x＝―1.2．所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝―2.2．3教师备课系统──多媒体教案4 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝―2.2应舍去．答：每年人均住房面积增长率应为20%．2．教材第6页“练习”．学生独立完成，小组内订正．四、课堂小结今天你学习了什么？有哪些收获？五、布置作业习题21.2第1题（1）（2）（3）．第2课时教学内容21.2.1 配方法（2）．教学目标1．了解配方法的概念，掌握配方法的基本步骤，会用配方法解一元二次方程．2．在经历用配方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．教学重点用配方法解题的基本步骤．教学难点二次项次数为1时，配方要把方程两边同时加上一次项次数一半的平方；二次项次数不为1时，先把二次项次数化为1．教学过程一、导入新课让学生复述将次解一元二次方程的步骤，导入新课的教学．二、新课教学1．用配方法解方程．探究：怎样解方程x2＋6x＋4＝0？我们已经会解方程(x＋3)2＝5．因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数．所以可以直接降次解方程．那么，能否将方程x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解呢？教师先让学生观察、尝试，引导学生运用学过的知识解方程．学生在教师的引导下解方程x2＋6x＋4＝0．解题过程和步骤如下：x2＋6x＋4＝0→x2＋6x＝－4→x2＋6x＋9＝－4＋9→(x＋3)2＝5，通过降次可得x＋3人教版义务教育教材◎数学九年级上册5 ＝±5，即x ＋3＝5，或x ＋3＝－5．解一次方程得x 1＝－3＋5，x 2＝－3－5．通过验证，可知－3±5是方程x 2＋6x ＋4＝0的两个根．教师引导学生总结解方程的基本步骤，让学生了解关键是把方程的左边配成完全平方式的形式，然后解方程．归纳：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．2．实例详解例 解下列方程：（1）x 2－8x ＋1＝0； （2）2x 2＋1＝3x ； （3）3x 2－6x ＋4＝0．分析：（1）方程的的二次项系数为1，直接运用配方法．（2）先把方程化成2x 2－3x ＋1＝0，它的二次项系数为2，为了便于配方需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2．（3）与（2）类似，方程的两边都除以3后再配方．解：略．3．总结解一元二次方程x 2＋p x ＋q ＝0的基本思路和具体步骤．结合这几个方程的求解，让学生总结解一元二次方程x 2＋p x ＋q ＝0的基本思路和具体步骤．要注意什么问题？学生独立思考、讨论、总结．最后师生共同归纳．基本思路是将含有未知数的项配成完全平方式．具体步骤：（1）将q 移到方程右边；（2）在方程两边加上一次项系数p 的一半的平方；（3）根据22⎪⎭⎫ ⎝⎛p －q 的取值讨论解的情况．在此过程中要注意保证变形的过程是恒等变形．4．总结一元二次方程通过配方转化成(x ＋n )2＝p 时，方程的实数根情况．教师引导学生总结p ＞0，p ＝0，p ＜0时，方程根的情况．（1）当p ＞0时，方程(x ＋n )2＝p 有两个不等的实数根．x 1＝－n －p ，x 2＝－n ＋p ；（2）当p ＝0时，方程(x ＋n )2＝p 有两个相等的实数根．x 1＝x 2＝－n ；（3）当p ＜0时，因为对任意实数x 都有(x ＋n )2≥0，所以方程(x ＋n )2＝p 无实数根．教师备课系统──多媒体教案6 三、巩固练习教材第9页“练习”第1、2题．学生独立完成，小组内订正．四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题第21.2第3题．第3课时教学内容21.2.2 公式法（1）．教学目标1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．2．了解公式法的概念．教学重点一元二次方程求根公式的推导．教学难点一元二次方程求根公式的推导．教学过程一、导入新课总结用配方法解一元二次方程的步骤：1．移项；2．化二次项系数为1；3．方程两边都加上一次项系数的一半的平方；4．原方程变形为(x＋n)2＝p的形式；5．如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、新课教学如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），能否也用配方法的步骤求出方程的解呢？教师引导学生分析、讨论，然后师生共同推导一元二次方程的求根公式．人教版义务教育教材◎数学九年级上册7 已知ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），移项，得ax 2＋bx ＝－c ．二次项系数化为1，得x 2＋a b x ＝－ac ． 配方，得 x 2＋a b x ＋22⎪⎭⎫ ⎝⎛a b ＝－a c ＋22⎪⎭⎫ ⎝⎛a b ， 即22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x ＝2244a ac b -． 因为a ≠0，所以4a 2＞0，式子b 2－4ac 的值有以下三种情况：（1）b 2－4ac ＞0 这时2244a ac b -＞0，由22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x ＝2244a ac b -得 x 2＋a b 2＝±a ac b 242-． 方程有两个不等的实数根x 1＝a ac b b 242-+-，x 2＝aac b b 242---． （2）b 2－4ac ＝0 这时2244a ac b -＝0，由22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x ＝2244a ac b -可知，方程有两个不等的实数根 x 1＝x 2＝ab 2-． （3）b 2－4ac ＜0 这时2244a ac b -＜0，由22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x ＝2244a ac b -可知22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x ＜0，而x 取任何实数都不能使22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x ＜0，因此方程无实数根． 一般地，式子b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，通常用希腊教师备课系统──多媒体教案8字母“Δ”表示它，即Δ＝b 2－4ac ．归纳：由上可知，当Δ＞0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个不等的实数根；当Δ＝0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）无实数根．当Δ≥0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的实数根可写为x ＝aac b b 242-±- 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．三、巩固练习教材第12页练习1第（1）（2）题．四、课堂小结这节课你学习了什么？有什么收获？还有哪些问题？五、布置作业习题第21.2第4题．第4课时教学内容21.2.2 公式法（2）．教学目标1．进一步认识一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法．2．能熟练运用公式法解一元二次方程．教学重点用公式法解一元二次方程．教学难点用公式法解一元二次方程．教学过程一、导入新课复习一元二次方程求根公式的推导过程，导入新课的教学．人教版义务教育教材◎数学九年级上册9二、新课教学1．用公式法解决实际问题．教师引导学生阅读教材本章引言中的问题，用公式法解一元二次方程．设雕像下部高x m ，得方程x 2＋2x ―4＝0．用公式法解这个方程得x ＝12)4(14222⨯-⨯⨯-±-＝2202±-＝－1±5． 即x 1＝―1＋5，x 2＝―1―5．如果结果保留小数点后两位，那么，x 1≈1.24，x 2≈―3.24．这两个根中，只有x 1≈1.24符合问题的实际意义，因此雕像下部的高度应设计为约1.24 m ．2．用公式法解下列方程．（1）x 2－4x ―7＝0； （2）2x 2－22x ＋1＝0；（3）5x 2－3x ＝x ＋1； （4）x 2＋17＝8x ．解：（1）根据一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0可知，在方程x 2－4x ―7＝0中a ＝1，b ＝－4，c ＝－7．Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0．方程有两个不等的实数根x ＝aac b b 242-±-＝1244)4(⨯±--＝2±11， 即x 1＝2＋11，x 2＝2―11．（2）（3）解题步骤见教材第11、12页．（4）方程化为x 2－8x ＋17＝0．a ＝1，b ＝－8，c ＝17．Δ＝b 2－4ac ＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0．方程无实数根．三、巩固练习教材第12页练习1第（3）～（6）题．教师备课系统──多媒体教案10 四、课堂小结这节课你学习了什么？有什么收获？还有哪些问题？五、布置作业习题第21.2第5题．第5课时教学内容21.2.3 因式分解法．教学目标1．掌握用因式分解法解一元二次方程．2．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．教学重点用因式分解法解一元二次方程．教学难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．教学过程一、导入新课分别用配方法和公式法解下列方程．（1）2x2＋x＝0；（2）3x2＋6x＝0教师引导学生分别用配方法和公式法进行解方程，复习用配方法和公式法解方程的基本步骤，导入新课的教学．二、新课教学1．提出问题根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x－4.9x2．根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？2．分析解答教师引导学生审题，找出已知条件或所求问题，根据等量关系列出方程求解．设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，即10x－4.9x2＝0．在列出方程后，教师引导学生思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解这个方程？学生思考、讨论，寻找其他方法．人教版义务教育教材◎数学九年级上册11教师在学生充分思考的基础上用因式分解的方式解这个方程．方程10x －4.9x 2＝0的右边是0，左边可以因式分解，得x (10－4.9x )＝0．这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0．我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0．所以x ＝0或10－4.9x ＝0．所以，方程x (10－4.9x )＝0的两个根是x 1＝0，x 2＝49100≈2.04． 这两个根中，x 2≈2.04表示物体约在2.04 s 时落回地面，而x 1＝0表示物体被抛离开地面的时刻，即在0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0m ．3．概括总结．思考：解方程x (10－4.9x )＝0时，二次方程是如何降为一次的？可以发现，上述解法中，由x (10－4.9x )＝0到x ＝0或10－4.9x ＝0的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解．使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．三、巩固练习1．用因式分解法解下列方程．（1）x (x －2)＋x －2＝0； （2）5x 2－2x －41＝x 2－2x ＋43． 教师引导学生掌握用因式分解法解方程的关键，要先将方程化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．学生掌握这个方法后，再解这两个方程就比较简单了．2．教材第14页练习．学生独立完成，小组内订正．四、课堂小结归纳：配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．五、布置作业习题21.2第6题．第6课时教师备课系统──多媒体教案12 教学内容21.2.4 一元二次方程根与系数的关系．教学目标1．了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单应用．2．掌握不解方程，应用根与系数关系解题的方法．3．了解根与系数系关系的推导过程，在元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律．教学重点应用根与系数关系解决问题．教学难点根系关系的推导过程．教学过程一、导入新课师：一元二次方程的一般形式是什么？生：方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．师：你知道它的求根公式吗？生：求根公式是x＝a acb b24 2-±-．过渡：方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式x＝a acb b24 2-±-，不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，那么一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生明确求根公式是方程的根与系数之间的一种关系，从而导入新课的教学．二、新课教学1．思考1．从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0（x1，x2为已知数）的两根为x1和x2，将方程化为x2＋p x＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？教师引导学生进行思考、讨论，明晰解题思路和过程．把方程(x－x1)(x－x2)＝0的左边展开，化成一般形式，得方程x2－(x1＋x2) x＋x1x2＝0．这个方程的二次项系数为1，一次项系数p＝－(x1＋x2)，常数项q＝x1x2．于是，上述方程的两个根的和、积与系数分别有如下关系：(x1＋x2)＝－p，x1x2＝q．2．思考2．一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？根据求根公式可知，人教版义务教育教材◎数学九年级上册13x 1＝a ac b b 242-+-，x 2＝aac b b 242---． 由此可得x 1＋x 2＝a ac b b 242-+-＋aac b b 242---＝a b 22-＝－a b ， x 1x 2＝a ac b b 242-+-·aac b b 242---＝2224)4()(a ac b b ---＝a c ． 因此，方程的两个根x 1，x 2和系数a 、b 、c 有如下关系：x 1＋x 2＝－a b ，x 1x 2＝ac ． 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．三、巩固练习根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x 1，x 2的和与积：（1）x 2－6x －15＝0； （2）3x 2＋7x －9＝0；（3）5x －1＝4x 2．教师让学生独立计算．教师在学生计算时要让学生注意以下问题：一是可能会出现先求出一元二次方程的根，再求两根之和、两根之积的情况；二是要把方程化为一元二次方程的一般形式再求两根和与积．三是不要把两根之和与积的关系搞混．四、课堂小结今天你学习了什么，有什么收获？五、布置作业习题21.2 第7题．第7课时教学内容解一元二次方程复习课．教学目标1. 能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点．2. 会根据不同的方程特点选用恰当的方法，使解题过程简单合理，通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想方法．教师备课系统──多媒体教案14教学重点会根据不同的方程特点选用恰当的方法，使解题过程简单合理．教学难点通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想．教学过程一、导入新课师：同学们好，我们学习了第21章第2节解一元二次方程，今天就对这一及的内容进行梳理与复习．二、新课教学师：一元二次方程有哪些解法？生：有配方法、公式法和因式分解法．师：这些解法分别在什么情况下适用？生：方程左边可以写成完全平方式的情况下适用配方法；公式法适用方程的一般式；方程的左边能化为两个乘积等于0的情况可用因式分解法解方程．师：什么是“降次”？生：在解方程的过程中，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程的方法就叫做“降次”．师：在什么情况下一元二次方程有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？生：当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根．师：一元二次方程的判别式和求根公式分别是什么？生1：式子b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，通常用希腊字母“△”表示它，即△＝b 2－4ac ．生2：当△≥0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的实数根可写为x ＝aac b b 242-±- 的形式，这个式子叫做叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式．师：一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？生：方程的两个根x 1，x 2和系数a 、b 、c 有如下关系：x 1＋x 2＝－a b ，x 1 x 2＝ac ． 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．三、课堂小结通过对这一节的整理和复习，你有什么收获？还有什么问题吗？人教版义务教育教材◎数学九年级上册四、布置作业习题21.2 第8、9、12题．教案B第1课时教学内容21.2.1 配方法（1）．教学目标1．能运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．通过实例，合作探讨，建立数学模型，掌握直接开平方法的的基本步骤．3．在经历用直接开平方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．教学重点运用开平方法解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程，领会降次—转化的数学思想．教学难点通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，然后知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程．教学过程一、导入新课师：同学们好，我们上节学习了一元二次方程，你能说出什么是一元二次方程吗？生：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．师：很好．一元二次方程的一般形式是什么？生：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．师：我们今天就学习解一元二次方程．二、新课教学问题：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？教师引导学生审题，然后找出等量关系，列方程求解．学生思考、讨论．最后师生合作，共同完成解方程．设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程15教师备课系统──多媒体教案1610×6x2＝1 500．整理，得x2＝25．讲到这里后，教师引导学生：什么数的平方等于25？学生回答：5或者－5的平方都等于25．所以x＝±5，即x1＝5，x2＝―5．方程解后应该怎么办？教师引导学生解方程后要进行检验．用方程解决实际问题时，要考虑所得的结果是否符合实际意义．最后验证，5和―5是方程10×6x2＝1500的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm．解决这个问题后，教师让学生解方程x2＝0和x2＝―25．学生很容易得出方程x2＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝0；方程x2＝―25无解．通过这三个方程，教师引导学生对它们进行过归纳总结．一般地，对于方程x2＝p，（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程x2＝p有两个不等的实数根x1＝―p，x2＝p；（2）当p＝0时，方程x2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝0；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程x2＝p无实数根．探究：解方程(x＋3)2＝5．由方程x2＝25得x＝±5可知，方程(x＋3)2＝5可以化为x＋3＝±5，即x＋3＝5，或x＋3＝―5．于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为x1＝―3＋5，x2＝―3―5．上面的解法中，由方程(x＋3)2＝5得到x＋3＝5，或x＋3＝―5，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程(x＋3)2＝5转化为我们会解的方程了．三、巩固练习教材第6页练习．学生独立完成，小组内订正．人教版义务教育教材◎数学九年级上册四、课堂小结今天你学习了什么？有哪些收获？五、布置作业习题21.2第1题（1）（2）（3）．第2课时教学内容21.2.1 配方法（2）．教学目标1．了解配方法的概念，掌握配方法的基本步骤，会用配方法解一元二次方程．2．在经历用配方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想．教学重点用配方法解题的基本步骤．教学难点二次项次数为1时，配方要把方程两边同时加上一次项次数一半的平方；二次项次数不为1时，先把二次项次数化为1．教学过程一、导入新课解下列方程：（1）3x2－1＝5 （2）4(x＋1)2－16＝0点评：上面的方程都能化成x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)的的形式，那么可得x＝±p或x＋n＝p(p≥0)．你能解方程x2＋6x＋4＝0吗？二、新课教学1．配方法．教师引导学生思考、讨论，明确解题思路与过程．由方程(x＋3)2＝5可直接降次解方程想到把x2＋6x＋4＝0转化为可以直接降次的形式再求解．17教师备课系统──多媒体教案18x 2＋2bx ＋b 2的形式↓降次↓↓解一次方程得可以验证，－3±5是方程x 2＋6x ＋4＝0的两个根．归纳：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．2．解下列方程：（1）x 2－8x ＋1＝0； （2）2x 2＋1＝3x ； （3）3x 2－6x ＋4＝0．分析：（1）方程的的二次项系数为1，直接运用配方法．（2）先把方程化成2x 2－3x ＋1＝0，它的二次项系数为2，为了便于配方需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2．（3）与（2）类似，方程的两边都除以3后再配方．解：（1）移项，得x 2－8x ＝－1．配方，得x 2－8x ＋42＝－1＋42． (x －4)2＝15．由此可得x －4＝±15，x 1＝4＋15，x 2＝4－15．（2）略．（3）移项，得3x 2－6x ＝－4．二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－34． 配方，得人教版义务教育教材◎数学九年级上册19x 2－2x ＋12＝－34＋12， (x －1)2＝－31． 因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，(x －1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．3．总结．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x ＋n )2＝p 的形式，那么就有：（1）当p ＞0时，方程(x ＋n )2＝p 有两个不等的实数根x 1＝－n －p ，x 2＝－n ＋p ；（2）当p ＝0时，方程(x ＋n )2＝p 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－n ；（3）当p ＜0时，因为对任意实数x 都有(x ＋n )2≥0，所以方程(x ＋n )2＝p 无实数根．三、巩固练习1．解方程x 2＋2x －35＝0分析：显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式．解：移项，得x 2－2x ＝35．配方，得x 2－2x ＋12＝35＋1．(x －1)2＝36．由此可得x －1＝±6x 1＝7，x 2＝－5可以验证x 1＝7，x 2＝－5都是x 2＋2x －35＝0的根．2．教材第9页“练习”第1、2题．学生独立完成，小组内订正．四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题第21.2第3题．教师备课系统──多媒体教案20第3课时教学内容21.2.2 公式法（1）．教学目标1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．2．了解公式法的概念．教学重点一元二次方程求根公式的推导．教学难点一元二次方程求根公式的推导．教学过程一、导入新课教师引导学生复习上节内容，导入新课的教学．二、新课教学探究任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．能否也用配方法的出这个方程的解呢？教师引导学生思考、讨论，然后共同探究解题过程．我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题． 移项，得ax 2＋bx ＝－c ．二次项系数化为1，得x 2＋a b x ＝－ac ． 配方，得 x 2＋a b x ＋22⎪⎭⎫ ⎝⎛a b ＝－a c ＋22⎪⎭⎫ ⎝⎛a b ， 即22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x ＝2244a ac b -． 因为a ≠0，所以4a 2＞0，式子b 2－4ac 的值有以下三种情况：（1）b 2－4ac ＞0人教版义务教育教材◎数学九年级上册21这时2244a ac b -＞0，由22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b x ＝2244a ac b -得 x 2＋a b 2＝±aacb 242-．方程有两个不等的实数根x 1＝a ac b b 242-+-，x 2＝aacb b 242---．（2）b 2－4ac ＝0时，方程有两个不等的实数根x 1＝x 2＝ab2-． （3）b 2－4ac ＜0时，方程无实数根．一般地，式子b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b 2－4ac ．归纳：由上可知，当Δ＞0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个不等的实数根；当Δ＝0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）无实数根．当Δ≥0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的实数根可写为x ＝aac b b 242-±-是形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．三、巩固练习1．用公式法解下列方程．（1）2x 2－4x －1＝0 （2）5x ＋2＝3x 2分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a ＝2，b ＝－4，c ＝－1b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×(－1)＝24＞0x＝(4)22--±==⨯∴x 1x 2（2）将方程化为一般形式3x 2－5x －2＝0。
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21.2解一元二次方程
第1课时
教学内容
运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．
教学目标
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．
重难点关键
1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．
教学过程
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题
问题1．填空
（1）x 2-8x+______=（x -______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．
问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？
老师点评： 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（
）2 ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2
则PB=x ，BQ=2x
依题意，得：x ·2x=8 B
C
A
Q
P 2p 2p 12
x 2=8
根据平方根的意义，得x=±
即x 1，
x 2=-
可以验证，
和-都是方程x ·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．
所以
秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．
二、探索新知
上面我们已经讲了
x 2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±
，如果x 换元为2t+1，即（2t+1）2
=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论）
老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±
即，2t+1=-
方程的两根为t 1-，t 2=- 例1：解方程：x 2+4x+4=1
分析：很清楚，x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1
直接开平方，得：x+2=±1
即x+2=1，x+2=-1
所以，方程的两根x 1=-1，x 2=-3
例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x ．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2
解：设每年人均住房面积增长率为x ，
则：10（1+x ）2=14.4
（1+x ）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
三、巩固练习
12
1212
教材练习．
四、应用拓展
例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2．
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．
那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31
把（1+x ）当成一个数，配方得：
（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56 x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6 方程的根为x 1=10%，x 2=-3.1
因为增长率为正数，
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．
五、归纳小结
本节课应掌握：
由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=
转化为应用直接开平方法解形如（mx+n ）
2=p （p ≥0），那么mx+n= 六、布置作业
1．教材复习巩固1、2．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．若x 2-4x+p=
（x+q ）2，那么p 、q 的值分别是（ ）．
A ．p=4，q=2
B ．p=4，q=-2
C ．p=-4，q=2
D ．p=-4，q=-2
2．方程3x 2+9=0的根为（ ）．
A ．3
B ．-3
C ．±3
D ．无实数根
3．用配方法解方程x 2-x+1=0正确的解法是（ ）． A ．（x -）2=，x=± B ．（x -）2=-，原方程无解 C ．（x -
）2=，x 1=+，x 2= 1232
323232
23
138913
31389
235923323
D ．（x -）2=1，x 1=，x 2=- 二、填空题
1．若8x 2-16=0，则x 的值是_________．
2．如果方程2（x -3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．如果a 、b
+b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______
．
三、综合提高题
1．解关于x 的方程（x+m ）
2=n ．
2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），另三边用木栏围成，木栏长40m ．
（1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 吗？
（2）鸡场的面积能达到210m 2吗？
3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？
答案:
一、1．B 2．D 3．B
二、1 2．9或-3 3．-8
三、1．当n ≥0时，x+m=，x 1-m ，x 2=-m ．当n<0时，无解
2．（1）都能达到．设宽为x ，则长为40-2x ，
依题意，得：x （40-2x ）=180
整理，得：x 2-20x+90=0，x 1，x 2=10
同理x （40-2x ）=200，x 1=x 2=10，长为40-20=20．
（2）不能达到．同理x （40-2x ）=210，x 2-20x+105=0，
b 2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．
3．因要制矩形方框，面积尽可能大，
所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．
235313
初中数学公式大全
1过两点有且只有一条直线
2两点之间线段最短
3同角或等角的补角相等
4同角或等角的余角相等
5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行
10内错角相等，两直线平行
11同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13两直线平行，内错角相等
14两直线平行，同旁内角互补
15定理三角形两边的和大于第三边
16推论三角形两边的差小于第三边
17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °
18推论1直角三角形的两个锐角互余
19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形
21平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形
22平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形
23平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形
24矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
25矩形性质定理2矩形的对角线相等
26矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形
27矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形
28菱形性质定理1菱形的四条边都相等
29菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
30菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷2
31菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形
32菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
33正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等
34正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
35定理1关于中心对称的两个图形是全等的
36定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
37逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
38等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。