均匀随机数的产生
均匀随机数的产生算法
均匀随机数的产生算法在计算机科学领域，均匀随机数的生成是一个重要的问题，因为许多应用程序和算法都需要使用随机数。
在下面的文章中，我们将讨论一些常见的均匀随机数生成算法。
1. 线性同余算法（Linear Congruential Algorithm，LCA）：线性同余算法是最常见和简单的随机数生成算法之一、它的基本思想是通过对当前随机数进行线性变换和模运算，得到下一个随机数。
具体的公式为：Xn+1 = (a * Xn + b) mod m其中，Xn是当前随机数，Xn+1是下一个随机数，a、b和m是参数，mod是取余运算符。
这种算法主要依靠选择适当的参数来产生随机数序列。
2. 排列算法（Permuting Algorithm，PA）：排列算法是一种将给定数字进行随机排列的算法。
它的基本思想是通过交换数字的位置来生成随机排列。
具体的步骤如下：1)首先，将数字按照正常顺序排列。
2)然后，开始从第一个数字开始，随机选择一个位置，并将该数字与选定位置的数字交换。
3)重复第2步，直到所有数字都被交换过。
4)最后得到的序列即为随机排列。
3. 梅森旋转算法（Mersenne Twister Algorithm，MTA）：梅森旋转算法是一种广泛使用的随机数生成算法，它具有较长的周期和良好的统计特性。
该算法的基本思想是使用一个巨大的状态空间，并通过一系列复杂的运算来生成随机数。
梅森旋转算法是一种伪随机数生成算法，它使用有限的状态空间来产生伪随机序列。
4. 线性同余器方法（Linear Congruential Generator Method，LCG）：线性同余器方法是一种简单但有效的随机数生成算法。
它基于线性同余算法，但加入了更多的操作，以改进随机数的质量和周期。
具体的步骤如下：1)首先，选择合适的参数a、c和m。
2)赋予一个初始值X0。
3) 计算下一个随机数Xn+1 = (a * Xn + c) mod m。
4)重复第3步，即可得到一个均匀分布的随机数序列。
3.3.2均匀随机数的产生
典 型 例 题 精 析
知 能 巩 固 提 升
目 录 典 课 程 目 标 设 置 主 题 探 究 导 学 型 例 题 精 析
知 能 巩 固 提 升
目 录 课 程 目 标 设 置 主 题 探 究 导 学
1.如何产生a b之间的均匀随机数？ 1.如何产生a~b之间的均匀随机数？ 如何产生
典
提示：（1 利用计算器或计算机产生0 1 提示：（1）利用计算器或计算机产生0~1之间的均匀随机数 ：（ x1=RAND. (2)利用伸缩和平移变换： (b-a)+a,得到 b 得到a (2)利用伸缩和平移变换：x=x1 (b-a)+a,得到a~b之间的均匀 利用伸缩和平移变换 随机数. 随机数. 2.怎样用随机模拟估计几何概型? 2.怎样用随机模拟估计几何概型? 怎样用随机模拟估计几何概型 提示： 提示：用随机模拟的方法估计几何概型是把实际问题中的事件 及基本事件总体对应的区域“长度”转化为几何概型， 及基本事件总体对应的区域“长度”转化为几何概型，同时确 定随机数的范围. 定随机数的范围.
µA µΩ
知 能 巩 固
求出的值是事
提 升
目 录 课 程 目 标 设 置 主 题 探 究 导 学
（C）根据古典概型试验，用计算机或计算器产生的随机整数 根据古典概型试验， 统计试验次数N和事件A发生的次数N1，得到的值 N1 是P（A） 统计试验次数N和事件A发生的次数N N 的近似值 （D）根据几何概型试验，用计算机或计算器产生的均匀随机 根据几何概型试验， 数统计试验次数N和事件A发生的次数N 数统计试验次数N和事件A发生的次数N1，得到的值 N1 是 N P（A）的精确值
典 型 例 题 精 析
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目 录 课 程 目 标 设 置 主 题 探 究 导 学
matlab均匀分布随机数的生成函数
matlab均匀分布随机数的生成函数在Matlab中，可以使用`rand`函数来生成均匀分布的随机数。
`rand`函数可以生成在区间[0,1)上的随机数。
我们可以使用以下方法将其转换为指定范围内的均匀分布随机数。
1.生成在范围内的均匀分布随机数```matlaba=1;%下界b=10;%上界n=1000;%随机数数量uniform_rand = a + (b-a) * rand(n,1);```以上代码将生成1000个在1到10之间均匀分布的随机数。
2.生成均匀分布的整数随机数```matlaba=1;%下界b=10;%上界n=1000;%随机数数量uniform_int_rand = randi([a b], n, 1);```以上代码将生成1000个在1到10之间的整数均匀分布的随机数。
3.生成多维的均匀分布随机数```matlaba=1;%下界b=10;%上界n=1000;%随机数数量m=2;%维度uniform_multi_dim_rand = repmat(a, n, m) + (repmat(b-a, n, m) .* rand(n,m));```以上代码将生成1000个在[a,b]范围内的2维均匀分布的随机数。
需要注意的是，`rand`函数生成的随机数是伪随机数，并且每次Matlab启动时生成的随机数序列都是相同的。
如果需要不同的随机数序列，可以使用`rng`函数设置随机数生成器的种子。
以上就是在Matlab中生成均匀分布随机数的几种常见方法。
根据需要的维度、范围及数量，可以选择合适的方法来生成所需的随机数。
第3章 随机数的产生与模拟
b
,
为了化一般区间上的积分为[0,1]区间上的积分,且被积函数值 在[0,1]之间,令 x = (b − a)u + a ,则有：
∫
b
a
f ( x)dx = S0 ∫ ϕ (u )du + c(b − a )
0
1
其中 ϕ (u ) =
[ f (a + (b − a )u ) − c] , S 0 = (b − a)(d − c) . d −c
本章目录
7
随机数的产生与模拟
Carlo方法在解确定性问题中的应用 3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
1 2 3 4
蒙特卡罗（ Carlo） 方法（ 即随机模拟方法） 蒙特卡罗 （ Monte Carlo ） 方法 （ 即随机模拟方法 ） 求解实际问题的基本步骤包括： 求解实际问题的基本步骤包括： 建模： 建模 ： 对所求的问题构造一个简单而又便于实现的概 率统计模型， 率统计模型 ， 使所求的解恰好是所建模型的参数或有 关的特征量。 关的特征量。 改进模型： 改进模型 ： 根据概率统计模型的特点和计算实践的需 尽量改进模型，以便减少误差和降低成本， 要 ， 尽量改进模型 ， 以便减少误差和降低成本 ， 提高 计算效率。 计算效率。 模拟试验 求解：对模拟结果进行统计处理， 求解 ： 对模拟结果进行统计处理 ， 给出所求问题的近 似解。 似解。
1
随机数的产生与模拟
Carlo方法在解确定性问题中的应用 3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
应用实例
例4：用上述四种方法计算 I = ∫0 e x dx (3)重要抽样法
data E3; do k=1 to 1000;s=0; Do i=1 to 1000; r=ranuni(32789);x=(3*r+1)**(1/2)-1; s=s+exp(x)/(1+x); end; I3=3/(2*1000)*s;output; E3=abs(I3-(exp(1)-1)); End; run; proc means data=e3 Mean Var; var I3; run;
随机数产生原理
第一节 均匀随机数的产生及其应用§1.1 随机数的产生§1.1.1 均匀随机数的产生随机变量X 的抽样序列 ,,,,21n X X X 称为随机数列。
若随机变量X 是均匀分布的，则X 的抽样序列 ,,,,21n X X X 称为均匀随机数列；如果X 是正态分布的随机变量，则称其抽样序列为正态随机数列。
用数学方法产生随机数，就是利用计算机能直接进行算术运算或逻辑运算的特点，产生具有均匀总体、简单子样统计性质的随机数。
计算机利用数学方法产生随机数速度快，占用内存少，对模拟的问题可以进行复算检查，通常还具有较好的统计性质。
另外，计算机上用数学方法产生随机数，是根据确定的算法推算出来的，因此严格说来，用数学方法在计算机上产生的“随机数”不能说是真正的随机数，故一般称之为“伪随机数”。
不过对这些伪随机数，只要通过统计检验符合一些统计要求，如均匀性、随机性、独立性等，就可以作为真正的随机数来使用。
以后，我们统称这样产生的伪随机数为随机数。
首先给出产生均匀随机数的方法，这是产生具有其它分布随机数的基础，而后给出产生其它分布随机数的方法。
§1.1.1 均匀随机数的产生方法线性同余法简称为LCG 法（Linear Congruence Generator ），它是Lehmer 于1951年提出来的。
线性同余法利用数论中的同余运算原理产生随机数。
分为乘同余法、混合同余法等，线性同余法是目前发展迅速且使用普遍的方法之一。
线性同余法递推公式为)(m o d 1M c ax x n n +≡-,,2,1, ==n M x r n n其中0x 为初值，a 为乘子，c 为增量，M 为模，且c a x ,,0和M 皆为非负整数。
当0=c 时，上式称为乘同余法公式；当0>c 时，上式称为混合同余法公式。
如下例用乘同余法产生伪随机数：例1：1117(mod11)n n x x x +=⎧⎨≡⎩ 1234567891011121;7;5;2;3;10;4;6;9;8;1;7;......x x x x x x x x x x x x ============上述方法虽产生了随机数，但只产生1-10之间的数。
一维均匀分布随机数序列的产生方法
一维均匀分布随机数序列的产生方法引言：随机数序列主要应用于序列密码（流密码）。
序列密码的强度完全依赖于序列的随机性与不可预测性。
随机数在密码学中也是非常重要的，主要应用于数字签名（如美国数字签名标准中的数字签名算法）、消息认证码（如初始向量）、加密算法（如密钥）、零知识证明、身份认证（如一次性nonce）和众多的密码学协议。
关键词：随机数、随机数序列、均匀分布一、随机数及随机数序列的简介在统计学的不同技术中需要使用随机数，比如在从统计总体中抽取有代表性的样本的时候，或者在将实验动物分配到不同的试验组的过程中，或者在进行蒙特卡罗模拟法计算的时候等等。
产生随机数有多种不同的方法。
这些方法被称为随机数发生器。
随机数最重要的特性是：它所产生的后面的那个数与前面的那个数毫无关系。
随机数序列分为真随机数序列与伪随机数序列，随机数分为真随机数和伪随机数。
真随机数序列从真实世界的自然随机性源产生，办法是找出似乎是随机的事件然后从中提取随机性，如自然界中的抛币。
在计算机中噪音可以选取真实世界的自然随机性，如从计算机时钟寄存器中取得本机的当前系统时间到秒（或微秒）级的数值，测量两次击键的时间间隔，相邻两次鼠标移动的时间间隔以及由计算机硬件报告的鼠标实际位置等。
伪随机数序列用确定的算法产生，不是真正的随机数序列。
伪随机数序列发生器指使用短的真随机数序列（称为种子）x扩展成较长的伪随机数序列y。
在密码学中伪随机数序列的使用大大减少了真随机数序列的使用，但不能完全取代真随机数序列的使用（如种子）。
通常，我们需要的随机数序列应具有非退化性、周期长、相关系数小等优点。
二、一维均匀分布的简介设连续型随机变量X 的分布函数为 F(x)=(x-a)/(b-a)，a ≤x≤b，则称随机变量X 服从[a,b]上的均匀分布，记为X ～U[a ，b]。
若[x1,x2]是[a,b]的任一子区间,则 P{x1≤x≤x2}=(x2-x1)/(b-a)，这表明X 落在[a,b]的子区间内的概率只与子区间长度有关，而与子区间位置无关，因此X 落在[a,b]的长度相等的子区间内的可能性是相等的，所谓的均匀指的就是这种等可能性。
3.3.2均匀随机数的产生
设送报人到达你家的时间为x，父亲离开家 的时间为y，若事件A发生，则x、y应满足什么关 系？
6Байду номын сангаас5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x.
你能画出上述不等式组表示的平面区域吗？
y
8 7
O
6.5 7.5
x
根据几何概型的概率计算公式，事件A发生 的概率为多少？
例题剖析2
例2 假设你家订了一份报纸,送报人可能在 早 上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸 ( 称为事件 A) y 8 的概率是多少? 7 1 0.5 0.5 7 2 P( A) I 11 8 O x 6.5 7.5
思考1：一个人到单位的时间可能是8：00～9： 00之间的任何一个时刻，若设定他到单位的时间 为8点过X分钟，则X可以是0～60之间的任何一刻， 并且是等可能的.我们称X服从[0，60]上的均匀 分布，X为[0，60]上的均匀随机数.一般地，X为 [a，b]上的均匀随机数的含义如何？X的取值是 离散的，还是连续的？
由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以
π 落在圆中的豆子数 4, 这样就得到了π近似值. 落在正方形中的豆子数
y
例4： 利用随机模拟方法计算由
y=1和y=x2 所围成的图形的面积. -1
1
O
解： （1）利用计算器或计算机产生两组0到1区 间的均匀随机数， a1=RAND； b=RAND; （2）进行平移和伸缩变换a=(a1 -0.5)*2； （3）数出落在阴影内的样本点数N1,用几何 概型公式计算阴影部分面积.
思考4：利用计算机产生100个[2，6]上的均匀随机数， 具体如何操作？
高一数学必修3课件：3-3-2均匀随机数的产生
第三章 3.3
3.3.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
规律总结：用随机模拟方法估计几何概型的步骤：① 确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面 积型需要两组；②由基本事件空间对应的区域确定产生随机 数的范围；③由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系 式；④统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概 率．
第三章 3.3 3.3.2
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利用随机模拟方法计算图中阴影部分(y＝x3和x＝2以及x 轴所围成的部分)的面积．
第三章 3.3
3.3.2
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[分析]
解答本题可先计算与之相应的规则图形的面
积，然后利用随机模拟的方法求出几何概率，并对阴影部分 的面积进行估算．
第三章 3.3
3.3.2
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自主预习 阅读教材P137－140，回答下列问题： 1．均匀随机数 (1)定义 如果试验的结果是区间[a，b]上的任何一个实数，而且 出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机 数．
第三章 3.3
3.3.2
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求出阴影部分与正方形的面积之比，从而求得阴影部分面积 的近似值．
第三章 3.3
3.3.2
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[解析]
步骤：(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随
机数，a1＝RAND，b1＝RAND. (2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2b1，得到 一组[－1,1]内的均匀随机数和一组[0,2]内的均匀随机数． (3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1[满足条件b<2a 的点(a，b)的个数]．
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方法三： 计算机模拟试验 计算机模拟试验) 方法三：(计算机模拟试验 我们也可以用计算机产生随机数来模拟该试验. 我们也可以用计算机产生随机数来模拟该试验 (进入 进入EXCEL) 进入
【用模拟的方法估计圆周率的值】 用模拟的方法估计圆周率的值】
在一正方形中随机撒一把豆子， 例2 在一正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估 计圆周率的值。 计圆周率的值。
y 1 0 x
解题步骤： 生两组［0,1］上的均匀随机数， 利用计算机产生两组［ ］上的均匀随机数， 利用计算机产生两组 a1=RAND( ), b1=RAND( ) ； (2)进行伸缩变换：a=a12-1； 进行伸缩变换： 进行伸缩变换 ；
模拟试验
(3)统计试验总数 和落在阴影内的样本点数 1，用几何 统计试验总数N和落在阴影内的样本点数 统计试验总数 和落在阴影内的样本点数N 概型的概率公式计算阴影部分的面积. 概型的概率公式计算阴影部分的面积
1 1 2 1 ( ) 2 2 =7 P(A)= 12 8
2
本方法是用几何概型的概率计 本方法是用几何概型的概率计 算公式来计算该事件的概率 来计算该事件的概率. 算公式来计算该事件的概率
探究：你能设计一个随机模拟的方法来求它的概率吗？ 探究：你能设计一个随机模拟的方法来求它的概率吗？
方法二： 随机模拟的方法 可以做两个带有指针(分针 随机模拟的方法) 分针) 方法二：(随机模拟的方法 可以做两个带有指针 分针 的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘， 的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在 离开家前能得到报纸的次数， 离开家前能得到报纸的次数，则 父亲在离家前能得到报纸的次数 P(A)=——————————————— 试验的总次数
3.3.2 均匀随机数的产生
均匀随机数
对于区间[a,b],实验结果 是该区间内的任何一 实验结果X是该区间内的任何一 对于区间 实验结果 个实数，且是等可能出现。 个实数，且是等可能出现。则X为[a,b]上的均 为 上的均 匀随机数。 匀随机数。 1.计算器实现 计算器实现 2.电脑中实现 在Excel中产生［0,1］区间 电脑中实现:在 中产生［ ］ 电脑中实现 中产生 上均匀随机数. 上均匀随机数 rand() 产生［ 若(1) 产生［0,100］区间上均匀随机数呢？ ］区间上均匀随机数呢？ (2) 产生［100,150］区间上均匀随机数呢？ 产生［ ］区间上均匀随机数呢？ (3) 产生［a,b］区间上均匀随机数呢？ 产生［ ］区间上均匀随机数呢？
计算机随机模拟法是研究随机事件概率的重要方法. 计算机随机模拟法是研究随机事件概率的重要方法 此试验可从以下几方面考虑： 此试验可从以下几方面考虑： (1)根据影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随 根据影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随 机数的组数， 长度、角度型只用一组即可 只用一组即可； 面积型需 机数的组数，如长度、角度型只用一组即可；而面积型需 要两组随机数, 体积型需要三组随机数 需要三组随机数； 要两组随机数 体积型需要三组随机数； (2)根据试验对应的区域确定产生随机数的范围； 根据试验对应的区域确定产生随机数的范围； 根据试验对应的区域确定产生随机数的范围 (3)根据事件 发生的条件确定随机数所应满足的关系式 根据事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式 根据事件 的是用模拟的方法得到的计算结果是近似的 计算结果是近似的， 需要注意的是用模拟的方法得到的计算结果是近似的， 是估计值. 是估计值
落在圆内的豆子数 的公式： 求π的公式： π= ——————————×4 ×
落在正方形内的豆子数
模拟试验
【用模拟的方法近似计算不规则图形的面积】 用模拟的方法近似计算不规则图形的面积】
利用随机模拟方法计算曲线y=x2及y=1所围成的图 例3 利用随机模拟方法计算曲线 所围成的图 形的面积. 形的面积
假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30 6:30— 例1 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30— 7:30之间把报纸送到你家 之间把报纸送到你家, 7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在 早上7:00 8:00之间 问你父亲在离开家前能得到报纸( 7:00— 之间, 早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称 为事件A)的概率是多少? A)的概率是多少 为事件A)的概率是多少?