数理统计课件-方差分析
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数理统计课件-方差分析(zijiyong)
计算各水平样本均值： ①假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本， 第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除 以观察值的个数 ni ②计算公式为
x
xi
j 1
ij
ni
(i 1,2,, k )
式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
通过对数据 误差来源的 分析来判断 不同总体的 均值是否相 等
四、方差分析的基本思想和原理
（一）两类误差 1. 组内误差 组内误差：在因素的同一水平(同一个总体)下，样本的各
2.
观察值之间的差异 比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的 不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响，或者 说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差 组间误差 组间误差：在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之 间的差异 比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不同的 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由 于颜色本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素 造成的，称为系统误差
然后加以比较进行统 计判断，得出结论。
ANOVA 由英国统 计学家R.A.Fisher首 创，为纪念Fisher， 以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F test）。
注：方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称 “变异数分析”或“F检验”.
学习目标：
本章的主要学习目标是要求学生在理解方差分 析基本思想的基础上，掌握单因素和双因素方差分 析的应用原理；重点是要学会方差分析的操作与应 用。
SST=SSE+SSA
实例
超市 (j)
1 2 3 4 5 合计
数理统计14(方差分析)
组间变异 组内变异
总变异
统计量
其中
称为组间均方 (mean square between groups) 或因素均方 (mean square factor),
MSE
SSE nk
称为组内均方 (mean square within groups)
或误差均方 (mean square error),
第一节 单因素方差分析
一、方差分析的原理和方法
效应 (effect): 在试验中的试验结果。 因素 (factor): 影响试验结果的条件。 水平 (lever): 因素所处的不同状态或内部分类。 方差分析的目的：是探讨不同因素、不同水平
之间效应的差异，从而考察各因素对试 验结果是否有显著影响。
试验中只有一个因素取不同的水平进行试 验，而其他因素保持不变，这样的试验称为 单因素试验 (one factor trial), 相应的方差分 析就是单因素方差分析。
表8-5 例8-1的方差分析表
方差 离差
来源 平方和
Source 组间
(因素)
组内 (误差)
总和 (总变差)
SS 442.7
160.5 603.2
自由 度 df 4
15
19
均方
MS 110.68
10.7
F值 MSA MSE
10.34
P值 P<0.05
临界值 F
F0.05(4,15) =3.06
第二节 多重比较
温度(℃) 60 65 70 75 80 合计 86 80 83 76 96
xi j
89 83 90 81 93
91 88 94 84 95
90 84 85 82 94
总变异
统计量
其中
称为组间均方 (mean square between groups) 或因素均方 (mean square factor),
MSE
SSE nk
称为组内均方 (mean square within groups)
或误差均方 (mean square error),
第一节 单因素方差分析
一、方差分析的原理和方法
效应 (effect): 在试验中的试验结果。 因素 (factor): 影响试验结果的条件。 水平 (lever): 因素所处的不同状态或内部分类。 方差分析的目的：是探讨不同因素、不同水平
之间效应的差异，从而考察各因素对试 验结果是否有显著影响。
试验中只有一个因素取不同的水平进行试 验，而其他因素保持不变，这样的试验称为 单因素试验 (one factor trial), 相应的方差分 析就是单因素方差分析。
表8-5 例8-1的方差分析表
方差 离差
来源 平方和
Source 组间
(因素)
组内 (误差)
总和 (总变差)
SS 442.7
160.5 603.2
自由 度 df 4
15
19
均方
MS 110.68
10.7
F值 MSA MSE
10.34
P值 P<0.05
临界值 F
F0.05(4,15) =3.06
第二节 多重比较
温度(℃) 60 65 70 75 80 合计 86 80 83 76 96
xi j
89 83 90 81 93
91 88 94 84 95
90 84 85 82 94
统计学第6章方差分析精品PPT课件
量 MSA，服从自由度为 r 1 的卡方分布；组内估计量 MSE ，服从自由度为 nT r 的卡方分布。
于是，当原假设为真时，可得服从 F 分布的统计量， 其分子自由度为 r 1，分母自由度为 nT r 。此 F 统计
量可充当检验统计量： F MSA MSE
★ 6.2.2 方差分析基本步骤
:
2 1
2 2
2 r
H1
:
2 1
,
2 2
,,
2 r
不尽相等
Bartlett 方差齐性检验统计量是自由为 r 1的 2 统计量：
2
r j 1
nj
1 ln
sc2
s
s j
给定显著性水平
，检验中的拒绝准则为：
2
2
。应当注意，
Bartlett 检验结果只在样本数据具有正态性时有效。
6.3 方差相等性检验
种方法，称为最小显著性差异法，简称 LSD。LSD 的检验假设为：
H0 : i j H1 : i j
这里是针对问题中所涉及的总体的个数，提出了多次原假设。LSD 的检
验统计量是一个自由度为 nT r 的 t 统计量：t xi x j i j
M
SE
1 ni
1 nj
6.3 方差相等性检验
r 1
第六步：计算总体方差的组内估计
r
nj
1
s
2 j
MSE j1
nT r
第七步：计算 F 统计量的值。
F MSA MSE
第八步：编制方差分析表。
表 6.2
方差来源
平方和
自由度
组间
SSA
r 1
组内
SSE
nT r
于是，当原假设为真时，可得服从 F 分布的统计量， 其分子自由度为 r 1，分母自由度为 nT r 。此 F 统计
量可充当检验统计量： F MSA MSE
★ 6.2.2 方差分析基本步骤
:
2 1
2 2
2 r
H1
:
2 1
,
2 2
,,
2 r
不尽相等
Bartlett 方差齐性检验统计量是自由为 r 1的 2 统计量：
2
r j 1
nj
1 ln
sc2
s
s j
给定显著性水平
，检验中的拒绝准则为：
2
2
。应当注意，
Bartlett 检验结果只在样本数据具有正态性时有效。
6.3 方差相等性检验
种方法，称为最小显著性差异法，简称 LSD。LSD 的检验假设为：
H0 : i j H1 : i j
这里是针对问题中所涉及的总体的个数，提出了多次原假设。LSD 的检
验统计量是一个自由度为 nT r 的 t 统计量：t xi x j i j
M
SE
1 ni
1 nj
6.3 方差相等性检验
r 1
第六步：计算总体方差的组内估计
r
nj
1
s
2 j
MSE j1
nT r
第七步：计算 F 统计量的值。
F MSA MSE
第八步：编制方差分析表。
表 6.2
方差来源
平方和
自由度
组间
SSA
r 1
组内
SSE
nT r
数理统计CH方差分析pt课件
i1 j1 k 1 ab
原因AB旳互作效应
nij (xij xi x j x )2
i1 j1
ab
MSAB
SSAB
nij (xij xi x j x )2
i1 j1
(a 1)(b 1)
(a 1)(b 1)
2024/9/30
26
6.2 两向分组数据方差分析
平方和代表效应
(12)总离差平方和分解
x1b1
…
x1b,n1b
…
x2b1
…
x2b,n2b
…
…
A单向分组 …
xab1
…
xab,nab
2024/9/30
6
6.2 两向分组数据方差分析
(2)数据模式
➢各个处理(原因A与B旳水平组合)分别独立试
验，第i×j处理反复试验nij次取得nij个观察， 这nij个观察视作第i×j正态总体旳一种样本； ➢全部观察（整个样本）由a×b个独立正态总
互作效应假设 H13 : ij i j 不全为零
2024/9/30
14
6.2 两向分组数据方差分析
(6)统计假设
总效应分解成 各个原因效应
原因A效应假设 H01 :1 2 a 0
H11 : 1,2 ,
,
不全为零
a
原因B效应假设 H02 : 1 2 b 0 H12 : 1, 2 , , b不全为零
23
6.2 两向分组数据方差分析
(10)计算原因B平方和SSB
Var
x j
1
a
nij
Var
n2 j i1 k 1
xijk
2
n j
b
EH0 SSB
方差分析(共66张PPT)
18~岁 21.65 20.66
… … 18.82 16 22.07 8.97
30~岁 27.15 28.58
… … 23.93 16 25.94 8.11
45~60岁 20.28 22.88 … … 26.49 16 25.49 7.19
基本步骤
（1）建立假设，确定检验水准
H0：三个总体均数相等，即三组工作人员的 体重指数总体均数相等
单因素方差分析
例1 在肾缺血再灌注过程的研究中，将36只雄性大鼠随机等分成三组， 分别为正常对照组、肾缺血60分组和肾缺血60分再灌注组，测得 各个体的NO数据见数据文件，试问各组的NO平均水平是否相同？
单因素方差分析
分析：
对于单因素方差分析，其资料在SPSS中的数据结构应当由两 列数据构成，其中一列是观察指标的变量值，另一列是用以表 示分组变量。实际上，几乎所有的统计分析软件，包括SAS， STATA等，都要求方差分析采用这种数据输入形式，这一点也暗 示了方差分析与线性模型间千丝万缕的联系。
H1：三个总体均数不等或不全相等
（2）计算检验统计量F值
变异来源
SS 自由度（df）
MS
F
组间 组内 总变异
143.406 363.86 507.36
2
71.703
8.87
45
8.09
47
（3）确定p值，作出统计推断
，本次F值处于F界值之外，说明组间均方组内 均方比值属于小概率事件，因此拒绝H0，接受 H1，三个总体均数不等或不全相等
分凝血活酶时间有无不同？
方差分析步骤 ：
（1）提出检验假设，确定检验水准
H0:μ1=μ2=μ3 H1:μ1，μ2，μ3不全相同 a=
方差分析 (共72张PPT)
2.总体变异的构成
总体变异 组间变异： 组内变异：组内变异理论上要求齐性，实际计算取其 均值
3.方差的基本公式
一般总体方差称方差，样本方差称均方 能使变量发生变异的原因很多，这些原因我们都将其称为变异
因素或变异来源。
方差分析就是发现各类变异因素相对重要性的一种方法
方差分析的思路就是：把整个试验（设有 k 个总体）的样本资料作 为一个整体来考虑。
原理是变异的可加性。
即每一个数据与数据的总体平均数差的平方和，可以分解为每一组数 据各自的离差平方和与由各组数据的平均数组成的一组数据的
离差平方和两部分。前者表达的是组内差异，即每组数据中 各个数据之间的差异，也就是个体差异，表达的是抽样误差或 随机误差程度；后者表达的是组间差异，即各组平均数之间的差 异，表达的是实验操纵的差异程度，实验操纵即指自变量的操 纵，这两部分差异之间相互独立。
3、这种两两比较会随着样本组数的增加而加大犯Ⅰ型错的差异显著性检验，若两两比较推 断正确的概率为95%,则所有比较都正确的概率为6=0.74,则降低
了推断的可靠性。
• 几个常用术语:
1、试验指标(experimental index) 为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低 ，在试验中具体测
(1).计算平方和：
组间平方和
SB SX n2X n2 71 .5 6 65 8 .1 7 8 20 8 .47
¨ 组内平方和
SW SX 2X n2 7 6 7 41 4 .5 6 4 45 7 .5 7 8
¨ 总平方和
SS T X 2X n2
764414252 876.396
23
(2)．计算自由度
因此，方差分析可以帮助我们抓住试验的主要矛盾和技术关键，发 现主要的变异来源，从而抓住主要的、实质性的东西。
数理统计第四章 方差分析ppt课件
i X i )
j 1
ni
0
•
•
1 r ni X X ij , 其中 n n i 1 j 1 1 r 因此 X ni X i n i 1
据（1），（2）可得
r n i i j i
下面利用离差分解法处理 i 1n 记X （组内平均）（1） X 1 ,2 , ,r i i j, i n 1 i j
4
下面对更一般问题建立数学模型
母体 子样 子样均值
X1
X 11 X 21
X 12
X1n1 X 2n2
X1 X2
X2
X 22
Xr
X r1
Xr2
X rnr
Xr
2 2 假定 X N ( ), 则 X N ( 0 , ) . i i, i j i
那么 X i j可写作
X 1 , ,r . i j i i j, i 2 N ( 0 , ) i j
i 1
由抽样分布定理得 又据 X i j相互独立 则
Q E
( X X ) ( n 1 ) ，
2 2 2 i 1 i j j j
n j
2 ( ( n 1 ) ) ( nr ) . i i 1 2 2
r
2 则E ( Q ) ( n r ) . E
(X n )2 ij X i) i (X i X
2 i 1 j 1 i 1
•
• • Q
Q
T
Q Q E A
Q Q Q T E A
T
Q E 组内离方差； Q A 组间离方差。 为总离方差 ；
: 描述全部数据离散成都；
•Q
•Q
方差分析ppt课件
推断控制变量是否给观测变量带来了显 著影响。
在观测变量总离差平方和中，如果组
间离差平方和所占比例较大，则说明观 测变量的变动主要是由控制变量引起的， 可以由控制变量来解释，控制变量给观 测变量带来了显著影响；反之，如果组 间离差平方和所占比例小，则说明观测 变量的变动不是主要由控制变量引起的， 不可以主要由控制变量来解释，控制变 量的不同水平没有给观测变量带来显著 影响，观测变量值的变动是由随机变量 因素引起的。
不同饲料对牲畜体重增长的效果等， 都可以使用方差分析方法去解决。
方差或叫均方，是标准差的平方，是
表示变异的量。在一个多处理试验中， 可以得到一系列不同的观测值。造成观 测值不同的原因是多方面的，有的是处 理不同引起的，叫处理效应或条件变异， 有的是试验过程中偶然性因素的干扰和 测量误差所致，称为实验误差。
dfT nk 1 20 1 19
dft k 1 5 1 4
dfe 5(4 1) 15
st 2
SSt dft
103.94 3
34.65
se2
SSe dfe
109.36 12
9.11
进行F检验：
F st2 34.65 50.15 se2 9.11
F0.05(4,15) 3.06, F0.01(4,15) 4.89, F
x1 x2
ts x1 x2
x1 x2
LSD0.05 t s 0.05 x1x2
LSD0.01
t0.01
s x1 x2
若
x1
x 2 ＞t0.05
s x1
x2
或
x1
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
＞
t0.01
s x1 x2
在观测变量总离差平方和中，如果组
间离差平方和所占比例较大，则说明观 测变量的变动主要是由控制变量引起的， 可以由控制变量来解释，控制变量给观 测变量带来了显著影响；反之，如果组 间离差平方和所占比例小，则说明观测 变量的变动不是主要由控制变量引起的， 不可以主要由控制变量来解释，控制变 量的不同水平没有给观测变量带来显著 影响，观测变量值的变动是由随机变量 因素引起的。
不同饲料对牲畜体重增长的效果等， 都可以使用方差分析方法去解决。
方差或叫均方，是标准差的平方，是
表示变异的量。在一个多处理试验中， 可以得到一系列不同的观测值。造成观 测值不同的原因是多方面的，有的是处 理不同引起的，叫处理效应或条件变异， 有的是试验过程中偶然性因素的干扰和 测量误差所致，称为实验误差。
dfT nk 1 20 1 19
dft k 1 5 1 4
dfe 5(4 1) 15
st 2
SSt dft
103.94 3
34.65
se2
SSe dfe
109.36 12
9.11
进行F检验：
F st2 34.65 50.15 se2 9.11
F0.05(4,15) 3.06, F0.01(4,15) 4.89, F
x1 x2
ts x1 x2
x1 x2
LSD0.05 t s 0.05 x1x2
LSD0.01
t0.01
s x1 x2
若
x1
x 2 ＞t0.05
s x1
x2
或
x1
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
＞
t0.01
s x1 x2
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于颜色本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素
造成的，称为系统误差
三、方差分析的原理
（二）两类方差 1. 组内方差
▪ 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 ▪ 比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差 ▪ 组内方差只包含随机误差
2. 组间方差
▪ 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 ▪ 比 方差如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之间的 ▪ 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
二、单因素方差分析的步骤
③全部观察值的总和除以观察值的总个数 ④计算公式为
k ni
k
xij
ni xi
x i1 j1
i1
n
n
式中：n n1 n2 nk
二、单因素方差分析的步骤
实例
超市 (j)
四种颜色饮料的销售量及均值
水平A ( i ) 无色(A1) 粉色(A2) 橘黄色(A3) 绿色(A4)
i 1 j 1
k ni
k ni
k ni
(Xij Xi )2
(Xi X )2 2
(Xij Xi )( Xi X )
i1 j1
i1Hale Waihona Puke j1i1 j1k ni
由于
( X ij X i )( X i X )
i1 j 1
k
方差分析就是把总的 试验数据的波动分成
1、反映因素水平改变引起的波动。 然后加以比较进行统
2、反映随机因素所引起的波动。
计判断，得出结论。
第一节 方差分析的基本问题
一、方差分析的内容 二、方差分析的基本思想 三、方差分析的原理
一、方差分析的内容
（一）例题
某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种，分别为橘黄 色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可 能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级 市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见表。试分析饮料的颜色是否对销 售量产生影响。
三、方差分析的原理
3、如果原假设成立，即H0: m1 = m2 = m3 = m4
• 四种颜色饮料销售的均值都相等 • 没有系统误差
这意味着每个样本都来自均值为m、差为2的 同一正态总体
f(X)
X
m1 m2 m3 m4
三、方差分析的原理
4、如果备择假设成立，即H1: mi (i=1，2，3，4)不全相等 • 至少有一个总体的均值是不同的 • 有系统误差
n2=5
n3=5
n4=5
573.9
总均值
x =28.695
二、单因素方差分析的步骤
全部观察值 xij与总平均值 x 的离差平方和 反映全部观察值的离散状况
其计算公式为
k ni
2
SST
xij x
i1 j1
▪ 前例的计算结果：
SST = (26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2 =115.9295
（一）两类误差
1. 随机误差
▪ 在因素的同一水平(同一个总体)下，样本的各观察值之间
的差异
▪ 比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的 ▪ 不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响，或者
说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差
2. 系统误差 ▪ 在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异 ▪ 比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不同的 ▪ 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由
:
:
xn1
因素(A) i
水平A2
…
x12
…
x22
…
:
:
:
:
xn2
…
水平
x1k x2k : : xnk
二、单因素方差分析的步骤
（一）提出假设 （二）构造检验统计量 （三）统计决策
二、单因素方差分析的步骤
（一）提出假设 1、一般提法
▪ H0: m1 = m2 =…= mk (因素有k个水平） ▪ H1: m1 ，m2 ，… ，mk不全相等
k ni
k
( X ij X i )2 ni ( X i X )2 SSE SSA
i1 j 1
i 1
在假设H0成立的条件下，可以证明：
SST
2
2 (n 1)
SSE
2
2 (n k))
SSA
2
2
(k
1)
相互独立
理论证明
定理：在单因素方差分析中，SSA与SSE相互独立，
三、方差分析的原理
（三）方差的比较
▪ 如果不同颜色(水平)对销售量(结果)没有影响，那么在组
间方差中只包含有随机误差，而没有系统误差。这时，组 间方差与组内方差就应该很接近，两个方差的比值就会接 近1。
▪ 如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除了包含随
机误差外，还会包含有系统误差，这时组间方差就会大于 组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1。
▪ 前例的计算结果：SSA = 76.8455
二、单因素方差分析的步骤
三个平方和的关系
总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、 水平项离差平方和 (SSA) 之间的关系
k ni
2
k ni
2k
2
xij x
xij xi ni xi x
超市
1 2 3 4 5
该饮料在五家超市的销售情况
无色
粉色 橘黄色
绿色
26.5
31.2
27.9
30.8
28.7
28.3
25.1
29.6
25.1
30.8
28.5
32.4
29.1
27.9
24.2
31.7
27.2
29.6
26.5
32.8
一、方差分析的内容
（二）几个基本概念 1. 因素或因子
▪ 所要检验的对象称为因子 ▪ 要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色是要检验的因素或
ni
k
( X i X ) ( X ij X i ) ( X i X )(ni X i ni X i ) 0
i1
j 1
i1
故：
k ni
k ni
SST
( X ij X i )2
(Xi X )2
i1 j 1
i 1 j 1
例如：某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（g/k）进 行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影 响。
冲击强力 序号
1
浓度
2 3 4 56
A1
16.2 15.1 15.8 14.8 17.1 15.0
A2
16.8 17.5 17.1 15.9 18.4 17.7
A3
19.0 20.1 18.9 18.2 20.5 19.7
且
SSE
2
~
2(n
k
).当H
成立时，SSA
0
2
~
2(k
1), 从而
F SSA (k 1) ~ F (k 1, n k). SSE (n k)
证明：对每个总体X i (i
1,2,
,
k
)的样本均值
X
与样本方差
i
ni
(Xij Xi )2
Si2 j1 ni 1
6. 样本数据
▪ 上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样
本数据
二、方差分析的基本思想
（一）比较两类误差，以检验均值是否相等 （二）比较的基础是方差比 （三）如果系统(处理)误差显著地不同于随机
误差，则均值就是不相等的；反之，均值就 是相等的 （四）误差是由各部分的误差占总误差的比 例来测度的
三、方差分析的原理
这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体
f(X)
X
m3 m1 m2 m4
第二节 单因素方差分析
一、数据结构 二、单因素方差分析的步骤 三、单因素方差分析中的其它问题
f(X)
X
m1 m2 m3 m4
一、数据结构
观察值 ( j )
1 2 : : n
水平A1 Ak
x11 x21
2、对前面的例子
▪ H0: m1 = m2 = m3 = m4
颜色对销售量没有影响
▪ H0: m1 ，m2 ，m3， m4不全相等
颜色对销售量有影响
二、单因素方差分析的步骤
（二）构造检验统计量 1、为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 2、构造统计量需要计算
▪ 水平的均值 ▪ 全部观察值的总均值 ▪ 离差平方和 ▪ 均方(MS)
方差分析就是解决这 些问题的 一种有效方法。
ANOVA 由英国统 计学家R.A.Fisher首 创，为纪念Fisher，
以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F
test）。用于推断多 个总体均数有无差异
因素（因子）—— 可以控制的试验条件
因素的水平 —— 因素所处的状态或等级
单（双）因素方差分析——讨论一个（两个） 因素对试验结果有没有显著影响。
因子
2. 水平
▪ 因素的具体表现称为水平 ▪ A1、A2、A3、 A4四种颜色就是因素的水平
3. 观察值
▪ 在每个因素水平下得到的样本值 ▪ 每种颜色饮料的销售量就是观察值
一、方差分析的内容
造成的，称为系统误差
三、方差分析的原理
（二）两类方差 1. 组内方差
▪ 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 ▪ 比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差 ▪ 组内方差只包含随机误差
2. 组间方差
▪ 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 ▪ 比 方差如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之间的 ▪ 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
二、单因素方差分析的步骤
③全部观察值的总和除以观察值的总个数 ④计算公式为
k ni
k
xij
ni xi
x i1 j1
i1
n
n
式中：n n1 n2 nk
二、单因素方差分析的步骤
实例
超市 (j)
四种颜色饮料的销售量及均值
水平A ( i ) 无色(A1) 粉色(A2) 橘黄色(A3) 绿色(A4)
i 1 j 1
k ni
k ni
k ni
(Xij Xi )2
(Xi X )2 2
(Xij Xi )( Xi X )
i1 j1
i1Hale Waihona Puke j1i1 j1k ni
由于
( X ij X i )( X i X )
i1 j 1
k
方差分析就是把总的 试验数据的波动分成
1、反映因素水平改变引起的波动。 然后加以比较进行统
2、反映随机因素所引起的波动。
计判断，得出结论。
第一节 方差分析的基本问题
一、方差分析的内容 二、方差分析的基本思想 三、方差分析的原理
一、方差分析的内容
（一）例题
某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种，分别为橘黄 色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可 能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级 市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见表。试分析饮料的颜色是否对销 售量产生影响。
三、方差分析的原理
3、如果原假设成立，即H0: m1 = m2 = m3 = m4
• 四种颜色饮料销售的均值都相等 • 没有系统误差
这意味着每个样本都来自均值为m、差为2的 同一正态总体
f(X)
X
m1 m2 m3 m4
三、方差分析的原理
4、如果备择假设成立，即H1: mi (i=1，2，3，4)不全相等 • 至少有一个总体的均值是不同的 • 有系统误差
n2=5
n3=5
n4=5
573.9
总均值
x =28.695
二、单因素方差分析的步骤
全部观察值 xij与总平均值 x 的离差平方和 反映全部观察值的离散状况
其计算公式为
k ni
2
SST
xij x
i1 j1
▪ 前例的计算结果：
SST = (26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2 =115.9295
（一）两类误差
1. 随机误差
▪ 在因素的同一水平(同一个总体)下，样本的各观察值之间
的差异
▪ 比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量是不同的 ▪ 不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影响，或者
说是由于抽样的随机性所造成的，称为随机误差
2. 系统误差 ▪ 在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异 ▪ 比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不同的 ▪ 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由
:
:
xn1
因素(A) i
水平A2
…
x12
…
x22
…
:
:
:
:
xn2
…
水平
x1k x2k : : xnk
二、单因素方差分析的步骤
（一）提出假设 （二）构造检验统计量 （三）统计决策
二、单因素方差分析的步骤
（一）提出假设 1、一般提法
▪ H0: m1 = m2 =…= mk (因素有k个水平） ▪ H1: m1 ，m2 ，… ，mk不全相等
k ni
k
( X ij X i )2 ni ( X i X )2 SSE SSA
i1 j 1
i 1
在假设H0成立的条件下，可以证明：
SST
2
2 (n 1)
SSE
2
2 (n k))
SSA
2
2
(k
1)
相互独立
理论证明
定理：在单因素方差分析中，SSA与SSE相互独立，
三、方差分析的原理
（三）方差的比较
▪ 如果不同颜色(水平)对销售量(结果)没有影响，那么在组
间方差中只包含有随机误差，而没有系统误差。这时，组 间方差与组内方差就应该很接近，两个方差的比值就会接 近1。
▪ 如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除了包含随
机误差外，还会包含有系统误差，这时组间方差就会大于 组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1。
▪ 前例的计算结果：SSA = 76.8455
二、单因素方差分析的步骤
三个平方和的关系
总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、 水平项离差平方和 (SSA) 之间的关系
k ni
2
k ni
2k
2
xij x
xij xi ni xi x
超市
1 2 3 4 5
该饮料在五家超市的销售情况
无色
粉色 橘黄色
绿色
26.5
31.2
27.9
30.8
28.7
28.3
25.1
29.6
25.1
30.8
28.5
32.4
29.1
27.9
24.2
31.7
27.2
29.6
26.5
32.8
一、方差分析的内容
（二）几个基本概念 1. 因素或因子
▪ 所要检验的对象称为因子 ▪ 要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色是要检验的因素或
ni
k
( X i X ) ( X ij X i ) ( X i X )(ni X i ni X i ) 0
i1
j 1
i1
故：
k ni
k ni
SST
( X ij X i )2
(Xi X )2
i1 j 1
i 1 j 1
例如：某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（g/k）进 行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影 响。
冲击强力 序号
1
浓度
2 3 4 56
A1
16.2 15.1 15.8 14.8 17.1 15.0
A2
16.8 17.5 17.1 15.9 18.4 17.7
A3
19.0 20.1 18.9 18.2 20.5 19.7
且
SSE
2
~
2(n
k
).当H
成立时，SSA
0
2
~
2(k
1), 从而
F SSA (k 1) ~ F (k 1, n k). SSE (n k)
证明：对每个总体X i (i
1,2,
,
k
)的样本均值
X
与样本方差
i
ni
(Xij Xi )2
Si2 j1 ni 1
6. 样本数据
▪ 上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样
本数据
二、方差分析的基本思想
（一）比较两类误差，以检验均值是否相等 （二）比较的基础是方差比 （三）如果系统(处理)误差显著地不同于随机
误差，则均值就是不相等的；反之，均值就 是相等的 （四）误差是由各部分的误差占总误差的比 例来测度的
三、方差分析的原理
这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体
f(X)
X
m3 m1 m2 m4
第二节 单因素方差分析
一、数据结构 二、单因素方差分析的步骤 三、单因素方差分析中的其它问题
f(X)
X
m1 m2 m3 m4
一、数据结构
观察值 ( j )
1 2 : : n
水平A1 Ak
x11 x21
2、对前面的例子
▪ H0: m1 = m2 = m3 = m4
颜色对销售量没有影响
▪ H0: m1 ，m2 ，m3， m4不全相等
颜色对销售量有影响
二、单因素方差分析的步骤
（二）构造检验统计量 1、为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 2、构造统计量需要计算
▪ 水平的均值 ▪ 全部观察值的总均值 ▪ 离差平方和 ▪ 均方(MS)
方差分析就是解决这 些问题的 一种有效方法。
ANOVA 由英国统 计学家R.A.Fisher首 创，为纪念Fisher，
以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F
test）。用于推断多 个总体均数有无差异
因素（因子）—— 可以控制的试验条件
因素的水平 —— 因素所处的状态或等级
单（双）因素方差分析——讨论一个（两个） 因素对试验结果有没有显著影响。
因子
2. 水平
▪ 因素的具体表现称为水平 ▪ A1、A2、A3、 A4四种颜色就是因素的水平
3. 观察值
▪ 在每个因素水平下得到的样本值 ▪ 每种颜色饮料的销售量就是观察值
一、方差分析的内容