数列的函数特性ppt课件
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数列ppt课件
判断一个数列是否为混合数列；
详细描述 利用混合数列的性质进行计算； 求混合数列的前n项和。
05
数列的发展历史与未来展望
数列的发展历史
中世纪数列
随着欧洲中世纪的数学发展，数 列研究逐渐丰富，如斐机技术的发展，数列的 应用领域不断扩大，如组合数学 、概率论和统计学等。
递推公式的求解方法
可以通过迭代法、特征根法、归纳法等方法求解递推公式。
03
数列的应用
数列在数学分析中的应用
数学分析基础
数列是数学分析中的基本概念， 是研究连续函数的基础。通过数 列，可以理解函数的极限、连续 性和可微性等基本性质。
级数理论
数列在级数理论中有着重要的应 用。通过数列的收敛性，可以研 究无穷级数的和，以及其在数学 分析中的各种应用。
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判断一个数列是否为等差数列。
等比数列习题与解析
总结词：等比数列是数列中的重要类 型，其习题主要考察等比数列的定义
、通项公式和性质等知识点。
详细描述
求等比数列的通项公式；
求等比数列的前n项和； 利用等比数列的性质进行计算；
判断一个数列是否为等比数列。
混合数列习题与解析
总结词：混合数列是由等差数列和等比数列混合而成的 数列，其习题主要考察混合数列的定义、通项公式和性 质等知识点。 求混合数列的通项公式；
数列的习题与解析
等差数列习题与解析
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总结词：等差数列是数列中的基础类型，其习题主要考察 等差数列的定义、通项公式和性质等知识点。
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求等差数列的通项公式；
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求等差数列的项数；
详细描述 利用混合数列的性质进行计算； 求混合数列的前n项和。
05
数列的发展历史与未来展望
数列的发展历史
中世纪数列
随着欧洲中世纪的数学发展，数 列研究逐渐丰富，如斐机技术的发展，数列的 应用领域不断扩大，如组合数学 、概率论和统计学等。
递推公式的求解方法
可以通过迭代法、特征根法、归纳法等方法求解递推公式。
03
数列的应用
数列在数学分析中的应用
数学分析基础
数列是数学分析中的基本概念， 是研究连续函数的基础。通过数 列，可以理解函数的极限、连续 性和可微性等基本性质。
级数理论
数列在级数理论中有着重要的应 用。通过数列的收敛性，可以研 究无穷级数的和，以及其在数学 分析中的各种应用。
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判断一个数列是否为等差数列。
等比数列习题与解析
总结词：等比数列是数列中的重要类 型，其习题主要考察等比数列的定义
、通项公式和性质等知识点。
详细描述
求等比数列的通项公式；
求等比数列的前n项和； 利用等比数列的性质进行计算；
判断一个数列是否为等比数列。
混合数列习题与解析
总结词：混合数列是由等差数列和等比数列混合而成的 数列，其习题主要考察混合数列的定义、通项公式和性 质等知识点。 求混合数列的通项公式；
数列的习题与解析
等差数列习题与解析
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总结词：等差数列是数列中的基础类型，其习题主要考察 等差数列的定义、通项公式和性质等知识点。
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求等差数列的通项公式；
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求等差数列的项数；
数列ppt课件
等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
数列(共84张PPT)
Leabharlann 3.2等差数列及其通项公式
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
高中数学第一章数列1.1数列1.1.2数列的函数特性课件北师大版必修5
∴an+1>an, ������ ∴数列 3������+1 是递增数列.
3������ +4������
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二 画数列的图像 【例2】 已知数列{an},an=n2-8n. (1)画出数列{an}的图像; (2)根据图像写出数列{an}的增减性. 分析:(1)当n∈N+时,分别在平面直角坐标系中描出点(n,an)即 可.(2)图像的上升或下降显示数列的增减性. 解:(1)列表:
9 2 ������4 105 + . 8
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
判断数列的单调性
2 3 4 【例1】 写出数列1 , , , , … 的通项公式, 并判断它的增减性. 3 5 7 分析:观察得到数列的通项公式,用作差法判断an与an+1之间的大 小关系.
解 :题中数列的通项公式为 an=
∵an+1-an= 2������+1 − 2������-1 = ∴an+1<an, ∴数列{an}是递减数列.
【做一做1】 已知数列{an},an=n+1,则数列{an}是( ). A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 解析:∵an+1-an=[(n+1)+1]-(n+1)=1>0, ∴{an}为递增数列. 答案:A 【做一做2】 数列{-2n2+9n+3}中的最大项为 . 解析:由题意知an 因为n为正整数,所以当n取2时,an取到最大值,为13. 故数列{-2n2+9n+3}的最大项为a2=13. 答案:13 =-2n2+9n+3= -2
函数和数列-课件
练习
1 函数和数列的练习题
现在是检验你对函数和数列知识掌握的时候了！来挑战一些练习题吧。
2
等比数列
等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
3
斐波那契数列
斐波那契数列是数列中的每一项都是前两项的和。
函数与数列的关系
斜率与通项公式
函数的斜率能够影响数列的通 项公式的变化趋势。
面积与前缀和
函数的面积可以通过数列的前 缀和来表示。
极限与无穷数列
函数的极限可以对应数列的无 穷项，反之亦成立。
函数具有定义域、值域、奇 偶性等性质，这些性质有助 于研究函数的特点。
函数的基本类型
线性函数Βιβλιοθήκη 线性函数是一个一次多项式，其图像是一条直线。
二次函数
二次函数是一个二次多项式，其图像是一个开口向 上或向下的抛物线。
幂函数
指数函数
幂函数是一个以底数为自变量、指数为常数的函数。
指数函数是一个以常数为底数、自变量为指数的函 数。
数列的基本概念
数列的定义
数列是一系列按照一定规律排列的数字，每个 数字称为数列的项。
数列的递推公式
递推公式是用前一项计算下一项的公式，常用 于定义数列。
数列的通项公式
通项公式是表示数列的第n项与n之间的关系的 公式。
数列的性质
数列可以有限或无限，可以是等差或等比等各 种特性。
常用数列
1
等差数列
等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
函数和数列-PPT课件
欢迎参加本次函数和数列的PPT课件。我们将介绍函数的概念、基本类型，以 及数列的定义、性质等重要内容。
函数的概念
函数的定义
函数是一种特殊的关系，它 将一个集合中的每个元素都 与另一个集合中的唯一元素 相关联。
《数列的函数特征》课件
有界性是指数列的项在一定范围内变化，不会无限增大或减小；周期性是指数列的项按照一定的周期重复出现； 对称性是指数列的项在正序和倒序时相同或呈现一定的对称关系。
02
等差数列
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列类型，其特点是任意两个相邻项 的差相等。
详细描述
等差数列是一种有序的数字序列，其中任意两个相邻项的差 是一个常数，这个常数被称为公差。在等差数列中，第一个 项和第二个项之间的差等于第二个项和第三个项之间的差， 以此类推。
$y=kx+b$，其中$k$和$b$为常数， $k neq 0$。
数列与一次函数的关联
实例
等差数列${ a_{n}}$，其中 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$，可以转化为 一次函数形式$y=dn+a_{1}-d$。
一次函数在数列中可以表示等差数列 ，其中$k$表示公差，$b$表示首项。
数列与二次函数的关系
一个数列，从第二项起，每一项与它 的前一项的比都等于同一个常数，这 个数列就叫做等比数列。
等比数列的表示方法
用符号“a_n”表示第n项的值，用符 号“q”表示公比，则等比数列的一般 形式可以表示为“a_n=a_1*q^(n1)”。
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式是“a_n=a_1*q^(n1)”，其中“a_1”是首项，“q”是公比， “n”是项数。
《数列的函数特征》ppt课件
目录
• 数列的定义与性质 • 等差数列 • 等比数列 • 数列的函数特征 • 数列与函数的关系
01
数列的定义与性质
数列的基本概念
总结词
数列是按照一定次序排列的一列数。
详细描述
02
等差数列
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列类型，其特点是任意两个相邻项 的差相等。
详细描述
等差数列是一种有序的数字序列，其中任意两个相邻项的差 是一个常数，这个常数被称为公差。在等差数列中，第一个 项和第二个项之间的差等于第二个项和第三个项之间的差， 以此类推。
$y=kx+b$，其中$k$和$b$为常数， $k neq 0$。
数列与一次函数的关联
实例
等差数列${ a_{n}}$，其中 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$，可以转化为 一次函数形式$y=dn+a_{1}-d$。
一次函数在数列中可以表示等差数列 ，其中$k$表示公差，$b$表示首项。
数列与二次函数的关系
一个数列，从第二项起，每一项与它 的前一项的比都等于同一个常数，这 个数列就叫做等比数列。
等比数列的表示方法
用符号“a_n”表示第n项的值，用符 号“q”表示公比，则等比数列的一般 形式可以表示为“a_n=a_1*q^(n1)”。
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式是“a_n=a_1*q^(n1)”，其中“a_1”是首项，“q”是公比， “n”是项数。
《数列的函数特征》ppt课件
目录
• 数列的定义与性质 • 等差数列 • 等比数列 • 数列的函数特征 • 数列与函数的关系
01
数列的定义与性质
数列的基本概念
总结词
数列是按照一定次序排列的一列数。
详细描述
高中数学第一章数列2数列的函数特性课件必修5高一必修5数学课件
类型二 判断数列的单调性
【例 2】 设函数 f(x)＝a3x－－6，axx>－73，，x≤7， 数列{an}满足 an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数 a 的取值范围 是__(_2_,3_)___．
【思路探究】 分段数列递增先是确保各段递增，再使得两 段相邻处满足一定的条件即可．
第五页，共六十五页。
12/9/2021
第六页，共六十五页。
知识点一 数列的单调性
[填一填] (1)数列按照项与项之间的大小关系可分为 递增 数列， 递减 数列， 摆动 数列和 常 数列；
(2)一般地，一个数列{an}，如果从第 2 项起，每一项都大于 它前面的一项，即 an＋1>an ，那么这个数列叫作 递增 数列；
12/9/2021
第二十页，共六十五页。
3．分段数列单调与相应的分段函数单调不同，除了确保各 段单调，还要使得两段之间满足一定的条件，如本例中数列{an} 递增要满足 a7<a8，而若函数 f(x)递增则要满足 f(7)≤a7－6，要注 意两类问题的区别．
12/9/2021
第二十一页，共六十五页。
已知函数 f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足 f(log2an)＝－2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论．
12/9/2021
第三十页，共六十五页。
解：(1)∵f(x)＝2x－2－x， f(log2an)＝－2n， ∴2log2an－2－log2an＝－2n， 即 an－a1n＝－2n. ∴a2n＋2nan－1＝0， 解得 an＝－n± n2＋1. ∵an>0，∴an＝ n2＋1－n.
12/9/2021
第三十四页，共六十五页。
数列的函数特性PPT
§1.2 数列的函数特性
1．了解递增数列、递减数列、常数列概念． 2．掌握判断数列单调性的方法.
观察下列数列：
1）3，4，5，6，7，8，9
2）1, 1 , 1 , 1 , 357
3）100，100，100，…，100
名称
定义
表达式
递增数列 递减数列
常数列
从第2项起每一项都大于它前面的一项 an+1>an
1.下列叙述中正确的个数为( )
①数列{2}是常Biblioteka 列；√②数列{(-1)n·1 }是摆动数列；√
③数列{
n
n
}是递增数列；√
2n+1
④若数列{an}是递增数列，则数列{an·an+1}也是
递增数列.×
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【例3】已知函数
f (x)
x2 x2 1
，设
f (n) an (n N )
站号
1 2 345678
邮件剩余数 7 12 15 16 15 12 7 0
【例5】已知数列｛an｝的通项公式为an=3n2-28n。
（1）写出数列的第4项； 是，第7项
（2）-49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？ 68是否是？ 不是
（3）该数列中是否存在最小的项，若有，求出最小
项。
存在，第5项
1.课本第10页5，6题；
从第2项起每一项都小于它前面的一项 an+1<an
各项都相等
an+1=an
【例1】判断下列无穷数列的增减性。
（1）2，1，0，-1，…，3-n， …
(2) 1 , 2 , 3 ,, n , 2 3 4 n1
1．了解递增数列、递减数列、常数列概念． 2．掌握判断数列单调性的方法.
观察下列数列：
1）3，4，5，6，7，8，9
2）1, 1 , 1 , 1 , 357
3）100，100，100，…，100
名称
定义
表达式
递增数列 递减数列
常数列
从第2项起每一项都大于它前面的一项 an+1>an
1.下列叙述中正确的个数为( )
①数列{2}是常Biblioteka 列；√②数列{(-1)n·1 }是摆动数列；√
③数列{
n
n
}是递增数列；√
2n+1
④若数列{an}是递增数列，则数列{an·an+1}也是
递增数列.×
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【例3】已知函数
f (x)
x2 x2 1
，设
f (n) an (n N )
站号
1 2 345678
邮件剩余数 7 12 15 16 15 12 7 0
【例5】已知数列｛an｝的通项公式为an=3n2-28n。
（1）写出数列的第4项； 是，第7项
（2）-49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？ 68是否是？ 不是
（3）该数列中是否存在最小的项，若有，求出最小
项。
存在，第5项
1.课本第10页5，6题；
从第2项起每一项都小于它前面的一项 an+1<an
各项都相等
an+1=an
【例1】判断下列无穷数列的增减性。
（1）2，1，0，-1，…，3-n， …
(2) 1 , 2 , 3 ,, n , 2 3 4 n1
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数列的表示方法有哪些？
4
实例分析
我国1952—1994年间部分年份进出口贸易总额数据排成一列数： 19.4,31.0,42.5,45.9,147.5,381.4,696.0,1154.4,42367.3 此数列也可用图直观表示如下:
5
(亿美元)
2600.0 2400.0 2200.0 2000.0 1800.0 1600.0 1400.0 1200.0 1000.0
数列的函数特性
1
回顾：
数列定义 数列通项公式 数列与通项公式关系
2
（1）找出3，5，7，9，…的通项公式
（2）数列的通项公式是 an n2 n 50 ，则-8是
该数列的（ ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
3
数列也可以看作定义域为正整数集N＋(或它的 有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量从 小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值 就构成一个数列．
an ≥ an+1 或 an ≤ an+1
是分别找出数列最大项和最
小项的常用方法。
45678
n
它在{1,2,3,4}上是递增的,{5,6,7,8}上是递减的.
17
求数列的最大（小）项
已知数列{an}的通项公式为 an＝(n＋1)1110n(n∈N＋)，试 问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明 理由．
13
数列{an}的通项公式如下，请写出数列前4项，判断数列 {an}的增减性
an n2 10n 8
数列的单调性
①递增数列：对任意的n，都有an+1＞ an； ②递减数列：对任意的n，都有an+1＜ an； ③常数数列：对任意的n，都有an+1= an；
14
例3：判断下列无穷数列的增减性.
(1)2,1, 0, 1,...,3 n,... (2) 1 , 2 , 3 ,..., n ,...
800.0 600.0 400.0 200.0
0.0
2367.3
1154.4 696.0 381.4 19.431.042.545.9147.5
1952 1957 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1994 (年)
中国进出口贸易总额的变化
6
实例分析
数列（1）3,4,5,6,7,8,9的图像 an
12
例1.下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ 哪些是递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪 些是常数列？
（1）1, 0.84, 0.842, 0.843，… ； （2）2, 4, 6, 8, 10，…； （3）7， 7， 7, 7, 7，…； （4）1/3，1/9，1/27，1/81，…； （5）0,10,20,30，…，1000； （6）0，-1,2，-3,4，-5，…； （7）0，0, 0，0, 0；
18
[策略点睛]
19
[规范作答] 方法一：因为 an＋1－an ＝(n＋2)1110n＋1－(n＋1)1110n ＝1110n·9－11n， 当 n＜9 时，an＋1－an＞0，即 an＋1＞an； 当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n＞9 时，an＋1－an＜0，即 an＋1＜an； 所以 a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…， 所以数列中有最大项，最大项为第 9、10 项， 即 a9＝a10＝1101190.
a9 n
8
an
7
6
5
4
1
3
2
1
1
3
0
0 12 3 4 56 7
n
0
1
2
3
4
an
1100
n n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
数列（1）的函数图像上升 数列(5) 的函数图像下降
是不是所有的数 列都有增减性？
数列（6）的函数图像值不变化
10
例4：作出数列的 减性.
1 , 1 , 1 , 1 ,..., ( 1)n的,..图. 像，并分析数列的增
n n 1
1 (n 1)(n 2)
0
所以,bn1 bn ,因此这个数列是递增数列.
16
某数列为 7,12,15,16,15,12,7,0 用表格来表示
n
12 3
4
5
6
78
an
作图
an
1615ຫໍສະໝຸດ 141312
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
7 12
123
15 16 15 12
70
an-1≤an
an-1≥an
21
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A．1，12，13，14，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－12，－14，－18，…
2 3 4 n1 解:(1) 设an=3-n,那么
an1 3 (n 1) 2 n an1 an (2 n) (3 n) 1 所以,an1 an ,因此这个数列是递减数列.
15
（2）设 b n ,那么 n 1 n 1 n 1
bn1 (n 1) 1 n 2
bn1
bn
n 1 n2
2 4 8 16
2
1
2 1
4
1
3
5
2
4
1
4
1
2
解:观察知,数列各项的值正负相间,表示数列的各点相对于横轴
上下摆动,所以它既不是递增的，也不是递减的，称摆动数列
11
抽象概括
递增数列：如果一个数列从第2项起，每一项都大于它的前一 项，那么这个数列就叫做递增数列. 递减数列：如果一个数列从第2项起，每一项都小于它的前一 项，那么这个数列就叫做递减数列. 常数列：如果一个数列各项相等，那么这个数列就叫做常数列. 摆动数列：如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项 小于它的前一项，这样的数列叫摆动数列．
20
方法二：假设数列{an}中有最大项，并设第 k 项为最大项，
则
ak≥ak－1 ak≥ak＋1
对任意的 k∈N＋且 k≥2 都成立．
即k＋11110k≥k1110k－1
，
k＋11110k≥k＋21110k＋1
∴k11＋10k1＋≥11110≥kk＋2
，解得 9≤k≤10.
又 k∈N＋，∴数列{an }中存在的最大项是第 9 项和第 10 项． 且 a9＝a10＝1101190.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 12 3 4 56 7
n
7
实例分析
数列（5）1, 1 , 1 , 1 ,... 的图像 357
an
1
1 3
0
1
2
3
4
n
8
实例分析
数列(6) 1100,1100,1100,…,1100的图像 an
1100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n
9
实例分析中数列（1），(5)，（6）的函数图像各有什么特点？
4
实例分析
我国1952—1994年间部分年份进出口贸易总额数据排成一列数： 19.4,31.0,42.5,45.9,147.5,381.4,696.0,1154.4,42367.3 此数列也可用图直观表示如下:
5
(亿美元)
2600.0 2400.0 2200.0 2000.0 1800.0 1600.0 1400.0 1200.0 1000.0
数列的函数特性
1
回顾：
数列定义 数列通项公式 数列与通项公式关系
2
（1）找出3，5，7，9，…的通项公式
（2）数列的通项公式是 an n2 n 50 ，则-8是
该数列的（ ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
3
数列也可以看作定义域为正整数集N＋(或它的 有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量从 小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值 就构成一个数列．
an ≥ an+1 或 an ≤ an+1
是分别找出数列最大项和最
小项的常用方法。
45678
n
它在{1,2,3,4}上是递增的,{5,6,7,8}上是递减的.
17
求数列的最大（小）项
已知数列{an}的通项公式为 an＝(n＋1)1110n(n∈N＋)，试 问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明 理由．
13
数列{an}的通项公式如下，请写出数列前4项，判断数列 {an}的增减性
an n2 10n 8
数列的单调性
①递增数列：对任意的n，都有an+1＞ an； ②递减数列：对任意的n，都有an+1＜ an； ③常数数列：对任意的n，都有an+1= an；
14
例3：判断下列无穷数列的增减性.
(1)2,1, 0, 1,...,3 n,... (2) 1 , 2 , 3 ,..., n ,...
800.0 600.0 400.0 200.0
0.0
2367.3
1154.4 696.0 381.4 19.431.042.545.9147.5
1952 1957 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1994 (年)
中国进出口贸易总额的变化
6
实例分析
数列（1）3,4,5,6,7,8,9的图像 an
12
例1.下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ 哪些是递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪 些是常数列？
（1）1, 0.84, 0.842, 0.843，… ； （2）2, 4, 6, 8, 10，…； （3）7， 7， 7, 7, 7，…； （4）1/3，1/9，1/27，1/81，…； （5）0,10,20,30，…，1000； （6）0，-1,2，-3,4，-5，…； （7）0，0, 0，0, 0；
18
[策略点睛]
19
[规范作答] 方法一：因为 an＋1－an ＝(n＋2)1110n＋1－(n＋1)1110n ＝1110n·9－11n， 当 n＜9 时，an＋1－an＞0，即 an＋1＞an； 当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n＞9 时，an＋1－an＜0，即 an＋1＜an； 所以 a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…， 所以数列中有最大项，最大项为第 9、10 项， 即 a9＝a10＝1101190.
a9 n
8
an
7
6
5
4
1
3
2
1
1
3
0
0 12 3 4 56 7
n
0
1
2
3
4
an
1100
n n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
数列（1）的函数图像上升 数列(5) 的函数图像下降
是不是所有的数 列都有增减性？
数列（6）的函数图像值不变化
10
例4：作出数列的 减性.
1 , 1 , 1 , 1 ,..., ( 1)n的,..图. 像，并分析数列的增
n n 1
1 (n 1)(n 2)
0
所以,bn1 bn ,因此这个数列是递增数列.
16
某数列为 7,12,15,16,15,12,7,0 用表格来表示
n
12 3
4
5
6
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an
作图
an
1615ຫໍສະໝຸດ 141312
11
10
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7
6
5
4
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0
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7 12
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15 16 15 12
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an-1≤an
an-1≥an
21
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A．1，12，13，14，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－12，－14，－18，…
2 3 4 n1 解:(1) 设an=3-n,那么
an1 3 (n 1) 2 n an1 an (2 n) (3 n) 1 所以,an1 an ,因此这个数列是递减数列.
15
（2）设 b n ,那么 n 1 n 1 n 1
bn1 (n 1) 1 n 2
bn1
bn
n 1 n2
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2 1
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解:观察知,数列各项的值正负相间,表示数列的各点相对于横轴
上下摆动,所以它既不是递增的，也不是递减的，称摆动数列
11
抽象概括
递增数列：如果一个数列从第2项起，每一项都大于它的前一 项，那么这个数列就叫做递增数列. 递减数列：如果一个数列从第2项起，每一项都小于它的前一 项，那么这个数列就叫做递减数列. 常数列：如果一个数列各项相等，那么这个数列就叫做常数列. 摆动数列：如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项 小于它的前一项，这样的数列叫摆动数列．
20
方法二：假设数列{an}中有最大项，并设第 k 项为最大项，
则
ak≥ak－1 ak≥ak＋1
对任意的 k∈N＋且 k≥2 都成立．
即k＋11110k≥k1110k－1
，
k＋11110k≥k＋21110k＋1
∴k11＋10k1＋≥11110≥kk＋2
，解得 9≤k≤10.
又 k∈N＋，∴数列{an }中存在的最大项是第 9 项和第 10 项． 且 a9＝a10＝1101190.
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实例分析
数列（5）1, 1 , 1 , 1 ,... 的图像 357
an
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实例分析
数列(6) 1100,1100,1100,…,1100的图像 an
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n
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实例分析中数列（1），(5)，（6）的函数图像各有什么特点？