导数的几种计算导数的几种计算1
知识讲解-导数的计算-基础(1)
导数的计算【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。
2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。
3. 能熟练运用四则运算的求导法则，4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．【要点梳理】知识点一：基本初等函数的导数公式（1）()f x C =（C 为常数），'()0f x = （2）()nf x x =（n 为有理数），1'()n f x n x -=⋅（3）()sin f x x =，'()cos f x x = （4）()cos f x x =，'()sin f x x =- （5）()xf x e =，'()xf x e =（6）()xf x a =，'()ln xf x a a =⋅（7）()ln f x x =，1'()f x x = （8）()log a f x x =，1'()log a f x e x =。
要点诠释：1．常数函数的导数为0，即C ＇=0（C 为常数）．其几何意义是曲线()f x C =（C 为常数）在任意点处的切线平行于x 轴．2．有理数幂函数的导数等于幂指数n 与自变量的（n －1）次幂的乘积，即1()'nn x nx-=（n ∈Q ）．特别地211'x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，=。
3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x ）＇=cos x ．4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x ）＇=－sin x ．5．指数函数的导数：()'ln xxa a a =，()'xxe e =． 6．对数函数的导数：1(log )'log a a x e x =，1(ln )'x x=． 有时也把1(log )'log a a x e x = 记作：1(log )'ln a x x a=以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．知识点二：函数的和、差、积、商的导数运算法则：（1）和差的导数：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=± （2）积的导数：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+（3）商的导数：2()'()()()'()[]'()[()]f x f xg x f x g x g x g x ⋅-⋅=（()0g x ≠） 要点诠释：1. 上述法则也可以简记为：（ⅰ）和（或差）的导数：()'''u v u v ±=±， 推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±．（ⅱ）积的导数：()'''u v u v uv ⋅=+， 特别地：()''cu cu =（c 为常数）．（ⅲ）商的导数：2'''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠⎪⎝⎭， 两函数商的求导法则的特例 2()'()()()'()'(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦， 当()1f x =时，2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦． 这是一个函数倒数的求导法则．2．两函数积与商求导公式的说明（1）类比：()'''uv u v uv =+，2'''u u v uv v v -⎛⎫=⎪⎝⎭（v ≠0），注意差异，加以区分． （2）注意：'''u u v v ⎛⎫≠⎪⎝⎭且2'''u u v uv v v +⎛⎫≠ ⎪⎝⎭（v ≠0）． 3．求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．知识点三：复合函数的求导法则 1．复合函数的概念对于函数[()]y f x ϕ=，令()u x ϕ=，则()y f u =是中间变量u 的函数，()u x ϕ=是自变量x 的函数，则函数[()]y f x ϕ=是自变量x 的复合函数．要点诠释： 常把()u x ϕ=称为“内层”， ()y f u =称为“外层” 。
导数的计算方法
导数的计算方法导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在实际问题中，导数的计算方法对于求解各种问题具有重要的意义。
本文将介绍导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的几何意义以及常见函数的导数计算方法。
首先，我们来看一下基本的导数公式。
对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)，即函数f(x)的导数。
常见的基本导数公式包括：1.常数函数的导数，如果f(x)是一个常数函数，那么它的导数为0，即f'(x)=0。
2.幂函数的导数，对于幂函数f(x)=x^n，它的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3.指数函数的导数，指数函数f(x)=a^x（a>0且a≠1）的导数为f'(x)=a^x ln(a)。
4.对数函数的导数，对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f'(x)=1/(xln(a))。
5.三角函数的导数，常见三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)的导数分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)。
这些基本的导数公式是我们计算导数时的基础，掌握这些公式能够帮助我们更快更准确地计算各种函数的导数。
其次，我们来谈谈导数的几何意义。
在几何学中，导数可以理解为函数图像在某一点处的切线斜率。
具体地说，如果函数y=f(x)在点x处可导，那么它在该点的导数f'(x)就是函数图像在该点处切线的斜率。
这意味着导数可以帮助我们理解函数图像在不同点处的变化情况，从而更好地理解函数的性质和特点。
最后，我们来讨论一些常见函数的导数计算方法。
对于常见的函数，我们可以利用基本导数公式和导数的性质来计算它们的导数。
例如，对于多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等，我们可以根据它们的导数公式来计算它们的导数。
此外，我们还可以利用导数的性质，如导数的和、差、积、商规则，来简化导数的计算过程，从而更快更准确地求得函数的导数。
总之，导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
高等数学导数的四则运算法则
(e x ) e x .
例5 求函数 y loga x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
由导数的几何意义, 得切线斜率h为0
h
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
h 作变速直线运动的质点在某一时刻t的瞬时速度问题
log (1 ) 导数的实质: 增量比的极限;
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y
lim [
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数
f
( x)在点
x
连续
0
.
注意: 该定理的逆定理不成立 (连续函数未必可导).
举例
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
y
y x2
yx
在 x 0处不可导,
C C
lim
h0 h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
lim
h0
cos( x
h) 2
sin h 2
h
cos
x.
2
即 (sin x) cos x.
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
lim f (0 h) f (0) lim h 1.
h0
h
导数的几种解法
导数的几种解法摘要：导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
通过熟练掌握这些方法，我们可以计算各种函数的导数，并应用导数来分析函数的性质和解决实际问题。
求导在数学和科学的各个领域都有广泛应用，为我们理解变化规律、优化问题和建模提供了强大的工具。
持续学习和探索微积分的知识，将帮助我们更好地理解和应用求导技术。
为了求解导数，我们可以采用多种不同的方法和技巧，本文将介绍导数的几种常见解法。
关键词：高中数学；导数；常见解法引言：高中数学中，导数是一个重要的概念和计算方法。
对于函数的导数，有多种解法可以应用。
每种解法都有其独特的适用场景和计算方式，能够帮助我们更好地理解和运用导数的概念。
通过熟练掌握和灵活运用这些解法，我们可以更精确地求解函数的导数，进而应用到各种实际问题中，提高数学问题的解决能力。
一、基本求导方法导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
在数学上，导数可以通过极限的概念来定义，表示函数在某一点附近的斜率。
几何上，导数可以解释为函数图像在某一点处的切线斜率。
物理上，导数可以表示物体在某一时刻的速度或加速度。
导数的计算可以采用多种方法，以下是几种基本的求导方法。
一种常见的方法是使用定义法求导。
根据导数的定义，导数可以通过极限的方式来计算。
具体来说，对于一个函数f(x)，它在某个点x=a处的导数可以通过计算极限lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h 来求得。
这种方法需要对极限的概念和计算方法有一定的了解，并且在具体计算时需要进行一系列的代数运算。
例如，对于函数f(x) = x^2，在x=2处的导数可以通过计算lim(h→0) [(2+h)^2 -2^2] / h来得到。
另一种常用的方法是利用常见的导数规则来求导。
导数规则是一些已知的函数导数的性质和规律，可以帮助我们快速计算复杂函数的导数。
常见的导数规则包括幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。
导数与微分的计算
导数与微分的计算计算导数和微分是微积分学中的重要概念和技巧。
导数和微分的计算涉及多种方法和公式，本文将介绍其中的几种常见方法，并通过例子来说明具体计算的步骤和技巧。
一、导数的计算方法导数是用来描述函数在某一点的变化率的概念，计算导数的方法有几种：1. 用极限定义计算导数根据导数的定义，对于函数f(x)，其在点x=a处的导数f'(a)可以通过以下极限计算得到：f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗其中，h是一个无限趋近于0的实数。
2. 使用导数的性质进行计算导数具有一些性质，如导数的加减乘除法则和链式法则等，利用这些性质可以简化导数的计算过程。
例如，如果已知函数f(x)和g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，那么可以利用加减法则计算复合函数的导数： (f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)同样，利用乘法法则可以计算两个函数相乘的导数：(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)二、微分的计算方法微分是函数在某一点的线性近似，计算微分的方法有以下两种：1. 使用导数进行微分计算根据微分的定义，函数f(x)在点x=a处的微分df可以表示为： df = f'(a)·dx其中，dx是自变量的增量。
2. 利用微分的性质进行计算微分具有一些性质，如微分的线性性和链式法则等，利用这些性质可以简化微分的计算过程。
例如，如果已知函数f(x)和g(x)的微分分别为df和dg，那么可以利用线性性计算复合函数的微分： d(f(x)±g(x)) = df±dg同样，利用链式法则可以计算复合函数的微分：d(f(g(x))) = f'(g(x))·dg三、导数与微分的计算举例下面通过几个例子来具体说明导数与微分的计算过程和技巧：例1：计算函数f(x) = x²在点x=2处的导数和微分。
导数的四则运算法则
这个法则可以推广到任意有限个函数， 即
( f 1 f 2 f n ) ' f 1 ' f 2 ' f n '
例 1.(1)求函 f(x) 数 x2sixn 的导 .
解： f(x)(x2sinx)
(x2)(sixn)2xcoxs
(2)求函 g(x)数 x33x26x2的导 . 2
4 x (3 x 2 ) (2 x 2 3 )3 1x828x9
法二： y(6x34x29x6)
1x828x9
3. y x2 的导数 sinx
解y： ' (x2)'sisxn i2n xx2(sx i)n '
2xsinxx2coxs sin2 x
例5:求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切 线的方程.（备选）
yax(a0,a1),yloagx(a0,a1), ysinx,ycoxs,ytanx,ycoxt.
3.导数应用的注意事项：
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数 的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在 求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构 特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导 数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的 要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形 式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时 速度等问题.
解： f (x) (x3 3x 8) 3x2 3， k f (2) 3 22 3 15， 又 切 线 过 点(2,6)， 切线方程为: y 6 15(x 2)， 即：15x y 24 0．
1.导数的四则运算法则是什么? 2.几个常用的函数的导数是什么?
yc(c是常),y数 x(为实),数
函数的导数与导函数的计算方法
函数的导数与导函数的计算方法函数的导数是微积分中非常重要的概念之一，它描述了函数在各个点上的变化率。
导数的计算方法有多种，本文将介绍常见的几种方法，并且讨论如何计算导函数。
一、导数的定义及基本性质导数描述了函数在某一点上的变化率，它的定义如下：对于函数y=f(x)，在点x=a处的导数可以表示为f'(a)，其定义为：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a))/h导数具有以下几个基本性质：1. 常数函数的导数为0：如果f(x) = c，其中c为常数，那么f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为自然数，f'(x) = nx^(n-1)。
3. 求和的导数：对于两个函数f(x)和g(x)，有(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
二、导数的计算方法在实际计算导数时，我们可以利用一些常见的导数计算方法。
1. 函数求导法则：导数的计算可以利用函数的求导法则，包括常数乘法法则、和差法则、乘积法则和商法则。
2. 链式法则：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则计算，即dy/dx = dy/du * du/dx3. 隐函数求导：对于隐含在方程中的函数，可以通过隐函数求导法则来计算导数。
4. 参数方程求导：对于参数方程x=f(t)和y=g(t)，可以通过参数方程求导法则来计算导数。
三、导函数的计算方法导函数是指原函数的导数，为了计算导函数，是要通过导数的计算方法来求得。
导函数的计算方法如下：1. 对于常数函数，导函数为0。
2. 对于多项式函数，可以使用幂函数的导数计算方法来求导。
3. 对于指数函数和对数函数，可以使用指数导数法则和对数导数法则来求导。
4. 对于三角函数和反三角函数，可以使用三角函数的导数法则和反三角函数的导数法则来求导。
5. 对于复合函数，可以使用链式法则来计算导函数。
导数的计算方法
导数的计算方法导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在实际问题中，导数的计算方法可以帮助我们分析函数的特性，解决各种问题。
下面我们将介绍几种常见的导数计算方法。
一、基本导数公式。
1.1 导数的定义。
在介绍导数的计算方法之前，我们先来回顾一下导数的定义。
对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以定义为：f'(x) = lim (Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)] / Δx。
其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
这个定义可以帮助我们理解导数的几何意义，即切线的斜率。
1.2 基本导数公式。
在实际计算中，我们经常会用到一些基本的导数公式。
这些公式可以帮助我们快速计算各种函数的导数，其中一些常见的导数公式包括：（1）常数函数的导数公式，若y=c，其中c为常数，则y'=0。
（2）幂函数的导数公式，若y=x^n，其中n为常数，则y'=nx^(n-1)。
（3）指数函数的导数公式，若y=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，则y'=a^x ln(a)。
（4）对数函数的导数公式，若y=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，则y' = 1 / (x ln(a))。
（5）三角函数的导数公式，若y=sin(x)，则y'=cos(x)；若y=cos(x)，则y'=-sin(x)；若y=tan(x)，则y'=sec^2(x)。
以上是一些基本的导数公式，掌握这些公式可以帮助我们快速计算各种函数的导数。
二、导数的计算方法。
2.1 使用导数的定义。
在一些特殊情况下，我们可以使用导数的定义来计算函数的导数。
例如，对于一些复杂的函数或者无法直接套用基本导数公式的函数，我们可以利用导数的定义进行计算。
这种方法可能会比较繁琐，但在某些情况下是非常有效的。
2.2 利用导数的性质。
导数具有一些特性和性质，我们可以利用这些性质来简化导数的计算。
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一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践. 2.求函数的导数的方法是:
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b ( 4 ) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
四、小结与作业
1.要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) c 0 (c为常 数;(2)( x ) x 1 ( R);(3) (sin x ) cos x;(4) (cos x ) sin x. 2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为 可以直接应用公式的基本函数的模式. 3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综 合性问题. 4.作业:p.233~234课后强化训练.
0
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
)处的切线的倾斜角为
2 arctan 2 ___________.
1 例4:已知曲线 y 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且 x
距离等于 10 ,求直线m的方程.
1 1 解：y 3 , y ( 3 ) ( x 3 ) 3 x 4 ; x x
曲线在P (1,1)处的切线的斜率为 y | x 1 3, k 从而切线方程为 1 3( x 1), 即3 x y 4 0. y
解： y cos x , y sin x , y |
3 故曲线在点 ( , )处的切线斜率为 P ， 3 2 2 2 从而过P点且与切线垂直的直线 的斜率为 ； 3 1 2 所求的直线方程为 y ( x ), 2 3 3
三、例题选讲
1
3 . sin x x 2 3
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 公式1: C 0 (C为常数) .
nx n1 (n Q) . 公式2: ( x )
n
公式3: (sin x ) cos x . 公式4:
(cos x ) sin x
1 例1:求过曲线y=cosx上点P( 3 , 2 )且与过这点的切线垂 直的直线方程.
由y (cos x ) sin x , 得y | x x0 sin x0 ;
由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0) =-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2. 这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.
2 练习1:曲线y=sinx在点P( , 4 2
2 3 即2 x 3 y 0. 3 2
注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.
例2:如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速 运动,角速度1rad/s,设A刻t时,因为角速度1rad/s, M P 所以 POA 1 t t rad .
(1)求函数的增量 y f ( x x ) f ( x ); ( 2)求函数的增量与自变量 的增量的比值: y f ( x x ) f ( x ) ; x x y ( 3)求极限，得导函数 f ( x ) lim y . x 0 x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数. 3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x )在x= x0处的函数值,即 f ( x0 ) f ( x ) | x x .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
MPO POA t rad;
OM OP sinMPO 10sint;
故点M的运动方程为:y=10sint.
O
A x
v y (10sint ) 10cos t .
故时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s.
例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由. 解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件. 由y (sin x ) cos x , 得y | x x0 cos x0 ;