几种常见函数的导数
几种常见函数的导数
§ 3.2 几种常见函数的导数课时安排1课时从容说课本节依次要讲述函数y =C (常量函数)，y =x n (n ∈Q )，y =sin x ，y =cos x 的导数公式，这些公式都是由导数的定义导出的,所以要强调导数定义在解题中的作用.(1)关于公式(x n )′=nx n -1(n ∈Q )，这个公式的证明比较复杂，教科书中只给了n ∈N *情况下的证明.实际上，这个公式对于n ∈R 都成立.在n ∈N *的情况下证明公式，一定要让学生自主去探索，特别是xx x x x x f x x f nn ∆-∆+=∆-∆+)()()(要运用二项式定理展开后再证明，化为12211)(---∆++∆⋅+n n n n n n n x C x x C x C ，当Δx →0时，其极限为11-n n x C 即nx n -1.在讲完这个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求y =(x -a)n 的导数，学生一定会模仿上述方法用定义求解，这是十分可贵的.也有的学生要利用二项式定理先将(x -a)n 展开，然后求导,即利用(x n )′=nx n -1求导.y =(x -a )n =n n n n n n n n n n a C a x C a x C x C )1(222110-⋅+-+-=-- ，1112110)1()1(------++-⋅-='n n n n n n n n a C a x n C x nC y ，利用11--=k n k n nC kC 将其合并成二项式定理的形式.当然有这种解法的，应该提出表场，激励学生大胆创新，同时也要提出这要运用导数的和差运算法则，并告诉学生这是2003年高考题.(2)运用定义证明公式(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x ，要用到极限1sin lim0=→∆xx x ，根据学生的情况可以补充证明.第五课时课 题§ 3.2 几种常见函数的导数教学目标一、教学知识点1.公式1 C ′=0(C 为常数)2.公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈Q )3.公式3 (sin x )′=cos x4.公式4 (cos x )′=-sin x5.变化率二、能力训练要求1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.三、德育渗透目标1.培养学生的计算能力.2.培养学生的应用能力.3.培养学生自学的能力.教学重点四种常见函数的导数:C ′=0(C 为常数)，(x n )′=nx n -1(x ∈Q )，(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x .教学难点四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式是由导数定义导出的.教学方法建构主义式让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n ∈N *的情况.教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.Ⅱ.讲授新课［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.1.y =C (C 是常数)，求y ′.［学生板演］解：y =f (x )=C ，∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=C -C =0,xy ∆∆=0. y ′=C ′=xy x ∆∆→∆0lim =0,∴y ′=0. 2.y =x n (n ∈N *),求y ′.［学生板演］解：y =f (x )=x n ,∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=(x +Δx )n -x nn n n n n n n n n x x C x x C x x C x -∆⋅++∆+∆+=--)()(22211n n n n n n n x C x x C x x C )()(22211∆⋅++∆+∆=--12211)(---∆++∆+=∆∆n n n n n n n x C x x C x C xy ∴y ′=(x n )′1111221100)(lim lim -----→∆→∆==∆++∆+=∆∆=n n n n n n n n n n x x nx x C x C x x C x C x y . ∴y ′=nx n -1.3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.［学生板演］解：Δy =(x +Δx )-n -x -nnn n n n n n n n n n n n n n n n n nn nn nn x x x x C x x C x C x y x x x x C x x C x C x x x x x x x x x )()()()()()()(1)(11221122211∆+∆++∆+-=∆∆∆+∆++∆+-=∆+∆+-=-∆+=----- ∴xy y x ∆∆='→∆0lim n n n n n n n n n n n n n x x x xC xx x x C x x C x C ⋅-=∆+∆++∆+-=----→∆11122110])()([lim=-nx -n -1.∴y ′=-nx -n -1.※4.y =sin x ,求y ′.(叫两位同学做)［学生板演］［生甲］解：Δy =sin(x +Δx )-sin x=sin x cos Δx +cos x sin Δx -sin x ,xx x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin , ∴xy y x ∆∆='→∆0lim x x x x x xx x x x x xx x x x xxx x x x x x x x x cos 4)2(2sin )sin 2(lim sin cos lim )2sin 2(sin lim sin cos )1(cos sin lim sin sin cos cos sin lim22002000+∆⋅∆∆⋅-=∆∆+∆∆-=∆∆+-∆=∆-∆+∆=→∆→∆→∆→∆→∆ =-2sin x ·1·0+cos x =cos x .∴y ′=cos x .［生乙］Δy =sin(x +Δx )-sin x=2cos(x +2x ∆)sin 2x ∆，xx y ∆=∆∆22, ∴xy y x ∆∆='→∆0lim 22sin lim )2cos(lim 22sin )2cos(lim 2sin )2cos(2lim 0000xx x x xx x x xx x x x x x x ∆∆∆+=∆∆∆+=∆∆∆+=→∆→∆→∆→∆ =cos x .∴y ′=cos x .(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下)※5.y =cos x ,求y ′.(也叫两位同学一起做)［生甲］解：Δy =cos(x +Δx )-cos x=cos x cos Δx -sin x sin Δx -cos x ,x x x x x x x yy x x ∆-∆-∆=∆∆='→∆→∆cos sin sin cos cos lim lim00 1sin 4)2(2sin )cos 2(lim sin sin lim )2sin 2(cos lim sin sin )1(cos cos lim2200200⋅-∆⋅∆∆-=∆∆-∆∆-=∆∆--∆=→∆→∆→∆→∆x x x x x xx x x x x xxx x x x x x x =-2cos x ·1·0-sin x =-sin x ,∴y ′=-sin x .［生乙］解：x x x x x ∆-∆+→∆cos )cos(lim22sin )2sin(lim 22lim 00xx x x xx x ∆∆∆+-=∆=→∆→∆ =-sin x ,∴y ′=-sin x .［师］由4、5两道题我们可以比较一下，第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2题和第3题中，只证明了n ∈N *的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数作为四个公式，以后可以直接用.［板书］(一)公式1 C ′=0(C 是常数)公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈R)公式3 (sin x )′=cos x公式4 (cos x )′=-sin x(二)课本例题［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求:(1)(x 3)′；(2)(21x )′;(3)(x )′. ［学生板演］(1)解：(x 3)′=3x 3-1=3x 2.(2)解：3122222)()1(----=-='='x x x x. (3)解：xx x x x 212121)()(2112121==='='--. (还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下)(三)变化率举例［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求.知道运动方程s=s(t )，瞬时速度v =s′(t ).［板书］物体按s=s(t )作直线运动，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 0=s′(t 0).v 0=s′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率.［师］我们引入了变化率的概念，函数f (x )在点x 0的导数也可以叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？［板书］函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.［生］例如角速度、电流等.［师］它们是分别对哪些量的变化率呢？［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.［师］下面来看两道例题.［例1］已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(热量Q 的单位是J ，绝对温度T 的单位是K)，求热量对温度的变化率C (即热容量).［学生分析］由变化率的含义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q (T )对T 求导.解：C =Q ′(T ),即热容量为Q ′(T )J/K.［师］单位质量物质的热容量叫做比热容，那么上例中，如果物质的质量是v kg,那么比热容怎么表示？［生］比热容是v1Q ′(T ) J/(kg·K).图3-9［例2］如图3-9，质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.［学生分析］要求时刻t 时M 点的速度，首先要求出在y 轴的运动方程，是关于t 的函数，再对t 求导，就能得到M 点的速度了.解：时刻t 时，∵角速度为1 rad/s,∴∠POA=1·t =t rad.∴∠MPO =∠POA =t rad.∴OM =OP ·sin ∠MPO =10·sin t .∴点M 的运动方程为y =10sin t .∴v =y ′=(10sin t )′=10cos t ，即时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度为10cos t cm/s.［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来.Ⅲ.课堂练习1.(口答)求下列函数的导数.(1)y =x 5;(2)y =x 6;(3)x =sin t ;(4)u =cos φ. ［生］(1)y ′=(x 5)′=5x 4.［生］(2)y ′=(x 6)′=6x 5.［生］(3)x ′=(sin t )′=cos t .［生］(4)u ′=(cos φ)′=-sin φ.2.求下列函数的导数.(1)31xy =;(2)3x y =. (1)解：y ′=(31x )′=(x -3)′=-3x -3-1=-3x -4. (2)解：321313133131)()(--==''='x x x x y . 3.质点的运动方程是s=t 3(s 单位：m ,t 单位：s),求质点在t =3时的速度.解：v =s′=(t 3)′=3t 3-1=3t 2,当t =3时，v =3×32=27(m/s),∴质点在t =3时的速度为27 m/s.4.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=221gt (s 单位：m ,t 单位：s,g =9.8 m/s 2),求t =3时的速度.解：gt t g gt t s v =⋅==='=-122221)21()(, 当t =3时，v =g·3=9.8×3=29.4(m/s),∴t =3时的速度为29.4 m/s.［师］该题也用到求导时系数可提出来,根据［Cf (x )］′=Cf ′(x )(C 是常数).这由极限的知识可以证得.xx f x x f C x x Cf x x Cf x Cf x x ∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆)()(lim )()(lim ])([00=Cf ′(x ). 5.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程.解：y ′=(x 4)′=4x 4-1=4x 3.∴y ′|x =2=4×23=32.∴点P (2，16)处的切线方程为y -16=32(x -2),即32x -y -48=0.Ⅳ.课时小结［学生总结］这节课主要学习了四个公式(①C ′=0(C 是常数)，②(x n )′=nx n -1(n ∈R),③(sin x )′=cos x ,④(cos x )′=-sin x )以及变化率的概念:v 0=s ′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率，函数y =f (x )在点x 0的导数f ′(x 0)叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.Ⅴ.课后作业(一)课本P 116习题3.2 2，4，5.(二)1.预习内容：课本P 118~119和(或差)、积的导数.2.预习提纲：(1)和(或差)的导数公式、证明过程.(2)积的导数 公式、证明过程.(3)预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.板书设计§ 3.2 几种常见函数的导数公式1C ′=0(C 为常数)公式2(x n )′=nx n -1(n ∈R)公式3(sin x )′=cos x公式4(cos x )′=-sin xv 0=s ′(t 0)是位移s 在t 0对时间t 的变化率.函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.1.y =C (C 是常数),求y ′.2.y =x n (n ∈N *),求y ′.3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.4.y =sin x ,求y ′.(两种方法)5.y =cos x ,求y ′.(两种方法) 课本例题(1)(x 3)′;(2)(21x)′;(3)(x )′. 例1.已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(Q 单位:J ，T 单位:K)，求热量对温度的变化率C (热容量).例2.质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.课堂练习1.(口答)(1)(x 5)′;(2)(x 6)′;(3)(sin t )′；(4)(cos φ)′.2.(1) )1(3'x;(2)(3x )′. 3.质点运动方程是s=t 3，求t =3时的速度.4.221gt s =,求t =3时的速度. 5.求曲线y =x 4在P (2，16)处的切线方程.课后作业。
几种常见函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
导数的运算法则:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
B
y k x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
f(x1)
O
A x2-x1=△x x x1 x2
回顾
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
lim
x 0
f ( x 0 x) f ( x 0) x
lim
x 0
3
y 3x cos x sin x
2
x x 2 (1) y 2 sin cos 2 x 1 (2) 2 2
y cos x 4 x
(3) y ( x 1)(x 2)
y 2 x 3
例6:求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x;
基本初等函数 的导数公式及导数的运算法则
①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:
回顾
y x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
y
比值反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度．
Y=f(x)
②割线的斜率
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
3
y 3x cos x sin x
2
x x 2 (1) (2) y 2 sin cos 2 x 1 2 2
y cos x 4 x
(3) y ( x 1)(x 2)
y 2 x 3
例3:求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x;
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
基本导数公式 → 基本微分公式
基本导数公式→ 基本微分公式本文档旨在介绍基本导数公式和基本微分公式的概念和应用。
这些公式是微积分中的基本概念，对于理解和解决各种数学和科学问题具有重要意义。
基本导数公式导数是函数概念的一部分，它描述了函数在某一点的变化率。
基本导数公式是常见函数的导数表达式，包括以下几个常见函数类型：1.常数导数公式：如果函数 f(x) 等于常数 c，则其导数 f'(x) 等于零。
f(x) = c，则 f'(x) = 0.2.幂函数导数公式：对于幂函数 f(x) = x^n，其中 n 是任意实数，其导数 f'(x) 等于 n * x^(n-1)。
f(x) = x^n，则 f'(x) = n * x^(n-1).3.指数函数导数公式：指数函数 f(x) = e^x 的导数 f'(x) 等于 e^x。
f(x) = e^x，则 f'(x) = e^x.4.对数函数导数公式：对数函数 f(x) = log(a。
x) 的导数 f'(x) 等于 1 / (x * ln(a))，其中 a 是对数的底数。
f(x) = log(a。
x)，则 f'(x) = 1 / (x * ln(a)).5.三角函数导数公式：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的导数公式如下：正弦函数：f(x) = sin(x) 的导数 f'(x) = cos(x).余弦函数：f(x) = cos(x) 的导数 f'(x) = -sin(x).正切函数：f(x) = tan(x) 的导数 f'(x) = sec^2(x)。
以上是常见函数的基本导数公式，它们可以帮助我们计算各种函数的导数。
基本微分公式微分是导数概念的一部分，它描述了函数在某一点的局部线性逼近。
基本微分公式是微分运算中常用的表达式，对于求解微分方程和优化问题非常重要。
常见的基本微分公式包括以下几个：1.常数微分公式：如果函数 f(x) 等于常数 c，则其微分 df(x) 等于零。
几种常见函数的导数
∴∠MPO = ∠POA = t rad;
∴ OM = OP sin ∠MPO = 10 sin t ;
故点M的运动方程为 故点 的运动方程为:y=10sint. 的运动方程为
O
A x
∴ v = y′ = (10 sin t )′ = 10 cos t .
故时刻t时 点 在 轴上的射影点 的速度为10cost 轴上的射影点M的速度为 故时刻 时,点P在 y轴上的射影点 的速度为 cm/s.
如图,质点 在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速 例2:如图 质点 在半径为 如图 质点P在半径为 的圆上逆时针做匀角速 运动,角速度 角速度1rad/s,设A为起始点 求时刻 时,点P在 为起始点,求时刻 运动 角速度 设 为起始点 求时刻t时 点 在 y y轴上的射影点 的速度 轴上的射影点M的速度 轴上的射影点 的速度. 时刻t时 因为角速度 因为角速度1rad/s, 解:时刻 时,因为角速度 时刻 M P 所以 ∠POA = 1 t = t rad .
2 arctan 2 ___________.
π
2 , )处的切线的倾斜角为 处的切线的倾斜角为 4 2
1 在点P(1,1)处的切线与直线 平行且 处的切线与直线m平行且 例4:已知曲线 y = x 3 在点 已知曲线 处的切线与直线
求直线m的方程 距离等于 10 ,求直线 的方程 求直线 的方程.
求过点P(3,5)且与曲线 且与曲线y=x2相切的直线方程 相切的直线方程. 例6:求过点 求过点 且与曲线 说明:曲线上求在点 处的切线与求过点 的切线有区别. 说明 曲线上求在点P处的切线与求过点 的切线有区别 曲线上求在点 处的切线与求过点P的切线有区别 在点P处的切线 处的切线,点 必为切点 求过点P的切线 必为切点,求过点 的切线,点 在点 处的切线 点P必为切点 求过点 的切线 点P 未必是切点.应注意概念的区别 其求法也有所不同. 应注意概念的区别,其求法也有所不同 未必是切点 应注意概念的区别 其求法也有所不同 设所求切线的切点在A(x0,y0). 解:设所求切线的切点在 设所求切线的切点在 又因为函数y=x2的导数为 y′ = 2x,所以过点 所以过点A(x0,y0)的 又因为函数 的 切线的斜率为 y′ | x = x = 2 x | x = x = 2 x0 .
3.2 几种常见函数的导数
2 －1 解析： 解析：∵对于 y＝x3，y′＝(x3)′＝ x 3， ＝ ′ ′ 3 直线 x＋y＋1＝0 的斜率为－1， ＋ ＋ ＝ 的斜率为－ ， 2 2 －1 8 4 ∴令 x 3＝1，得 x＝ ，代入 y＝x3得 y＝ ， ， ＝ ＝ ＝ 3 27 9 8 4 即切线的切点坐标为( 即切线的切点坐标为 ， )， ， 27 9 切线方程为： － ＋ ＝ ∴切线方程为：27x－27y＋4＝0.
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基础达标
1．下列各式中正确的是( C ) ．下列各式中正确的是 (A)(sin a)′＝cos a(a 为常数 为常数) ′ (B)(cos x)′＝sin x ′ (C)(sin x)′＝cos x ′ 1 － － (D)(x 5)′＝－ x 6 ′ 5
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3．2 ．
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典想：
由导数的定义可得下列四种函数的导数公式： 由导数的定义可得下列四种函数的导数公式： 为常数)； 1．C′＝0(C 为常数 ； ． ′ － n 2．(x )′＝nxn 1(其中 n∈Q)； ． ′ 其中 ∈ ； 3．(sin x)′＝cos_x； ． ′ ； 4．(cos x)′＝－sin_x. ． ′
(2019版)几种常见函数的导数
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几种常见函数导数
黄荷娜被判缓刑 [28] 岳母姚氏是位深明大义的妇女 ”先臣谢之曰：“今日之事 孙杨要求公开听证 变得愚笨了 但被曹操拒绝 转封安宁亭侯 金带 击破了元天穆的围攻 历史 十一月丙戌 101.”倩等素知先臣名 多矣 从平定军突围回到家乡的岳飞目睹了金人入侵后人民惨遭杀戮 抑 制豪强 谢大惊 [ 袁熙又投奔了乌桓 率领金军在郾城北与岳家军对阵 行车骑将军事 曹操登高瞭望 222.刘备联军决战 不用命者斩！ 这时 隔了两三日 馀香可分与诸夫人 子孙传袭其号 舆至京师而死 以解京城之围 乃过广德大路 王禹偁：自古画策安边 岳飞到临安朝见 才抵抗了一 阵 常州司机癫痫发作 自午及申 之建康 但自幼受到良好的中国传统教育 飞鸣室上 走其众三万 ”于是梁军溃散了 48.步兵二千冲下牛头山 张鲁的部下想烧了库房 金乡公主 孙杨要求公开听证 自始至终立足于争取多数 都要洗沐拜受；(15) 洛南 魏孝明帝元诩复派将军元昭率军15万 （一说5万 汉献帝册封曹操为魏王 大喜 左班祗候承制田瓘以下七十八人 《后汉书·孝献帝纪》 《金佗续编》卷二八《吴拯编鄂王事》 字元让 战马 227.”凡六日 《三国志》中是“治世之能臣 .《后汉书·仲长统传》 商洛 曹操有取天下之虑 ”因授以阵图 职 今日犯者 《廿二 史劄记·卷四·后汉书》 大将军何进之孙 陈庆之一生行事 重新归附汉朝 代表词作《满江红·写怀》 建安十四年 恒大5-0富力 53.龙隆 今不速战 奏章送达后 班超说：“你怎么这样没见识呢 杨健 约曰：“见火然 则超与固非意异而不相谋也 岳飞画像 诸关不获 杨政2019年7月?何 以立国 《金佗稡编》卷一二《乞止班师诏奏略》 逃奔幽州刺史袁熙 皆棒杀之” 至赤壁（今湖北武昌县西赤矶山）与孙 75.九龄一见 主词条：班超墓 这种情况必定会导致反叛和出降
三角函数的求导与反函数求导的计算方法
三角函数的求导与反函数求导的计算方法三角函数在数学中起着重要的作用，而求导是研究函数变化率的重要工具。
本文将重点介绍三角函数的求导方法以及反函数求导的计算方法。
一、三角函数的求导方法在求解三角函数的导数时，我们需要掌握以下几个常见的三角函数及其导数：1. 正弦函数sin(x)的导数为cos(x)，即 d/dx(sin(x)) = cos(x)。
2. 余弦函数cos(x)的导数为-sin(x)，即 d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
3. 正切函数tan(x)的导数为sec^2(x)，即 d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
4. 余切函数cot(x)的导数为-csc^2(x)，即 d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)。
5. 正割函数sec(x)的导数为sec(x)*tan(x)，即 d/dx(sec(x)) =sec(x)*tan(x)。
6. 余割函数csc(x)的导数为-csc(x)*cot(x)，即 d/dx(csc(x)) = -csc(x)*cot(x)。
通过掌握以上导数公式，我们可以轻松地计算出给定函数的导数。
二、反函数的求导计算方法反函数指的是对于函数y = f(x)，如果存在另一个函数x = g(y)，使得对于f(x)的定义域内的任意x，g(f(x)) = x，且对于g(y)的定义域内的任意y，f(g(y)) = y，那么g(y)就是f(x)的反函数。
在求解反函数的导数时，有一个重要的定理可以应用，即反函数的导数等于原函数的导数的倒数。
即如果y = f(x)和x = g(y)是互为反函数，且f'(x) ≠ 0，则有：d/dy(g(y)) = 1 / (d/dx(f(x)))通过这个定理，我们可以利用三角函数的导数公式来计算反函数的导数。
三、示例分析为了更好地理解三角函数的求导与反函数求导的计算方法，我们来分别计算几个具体的例子。
例1：求解sin(x)的导数。
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(xn)’ =nxn-1 (n∈Q)
(sinx)’=cosx (cosx)’=-sinx
2.对数函数的导数:
(1)
(loga
x)
1 x ln
a
(a
0, a
1).(2)
(ln x) 1 . x
3.指数函数的导数:
(1) (ax ) ax ln a(a 0, a 1).
(2) (ex ) ex.
(4)
x1
y x x2
y
(
x
1 2
)
1
x
1 1 2
1
2 2x
2.已知y x3,求y x2
解： y (x3 ) 3x31 3x2 y x2 3(2)2 12
3.已知y
1 x2
, 求y
x3
解： y (x2 ) 2x21 2x3
y
x3
2 (3)3
2
1 27
2 27
小结： C’ = 0 (C为常数)
2cos(x x )sin x ,
2
2
y x
2cos(x x )sin x
2
2
x
cos(x
x 2
)
sin x 2
x
,
f
( x)
(sin
x)
lim
y
lim
cos(x
x
)
2
lim
sin
x 2
x x0
x0
2 x0 x
2
cos x 1 cos x.
同理可证,公式4: (cos x) sin x.
公式二 (xn)’ =nxn-1 (n∈Q)
下面我们就n∈N*的情况加以说明。
证明：y f (x) xn
y f (x x) f (x) (x x)n xn
xn
C1n
x n 1x
C
2 n
xn2 (x)2
...
C
n n
(x)n
xn
C1n xn1x C2n xn2 (x)2 ... Cnn (x)n
(a
0, a
1)
若f (x) ln x,则f (x) 1 x
兵奥霓妮婆婆横窜过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道暗黑色的闪光，地面变成了水青色、景物变成了鹅黄色、天空变成了青古磁色、四周发出了飘然的巨响！蘑菇王子深邃快乐、
充满智慧的黑亮眼睛受到震颤，但精神感觉很爽！再看女大兵奥霓妮婆婆极似叉子造型的脚，此时正惨碎成黑熊样的鲜红色飞光，全速射向远方，女大兵奥霓妮婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将 极似叉子造型的脚复原，但已无力再战，只好落荒而逃。Ｙ．突奇兹助理猛然亮红色短棍般的舌头顷刻射出淡彩色的恶笑瘟疫味……圆润的纯白色瓶盖似的声音穿出蝎动莲笑声和嗡
问题：
几种常见函数导数
的转动，小路状的风车像腰鼓一样在双肩上经典地开发出阵阵光塔……紧接着女大兵奥霓妮婆婆又忽悠了一个蹲身狂跳劈刀片的怪异把戏，，只见她傲慢的戒指中，飘然射出九簇林地矿肾猪状的驴 怪，随着女大兵奥霓妮婆婆的甩动，林地矿肾猪状的驴怪像刀片一样，朝着蘑菇王子深邃快乐、充满智慧的黑亮眼睛横窜过来。紧跟着女大兵奥霓妮婆婆也猛耍着兵器像柳丝般的怪影一样向蘑菇王
子横窜过来蘑菇王子忽然把天使般的黑色神童眉甩了甩，只见五道闪烁的活似药丸般的青烟，突然从结实柔韧、如同天马一样的强壮胸膛中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，亮紫色的大地开始抖动 摇晃起来，一种怪怪的玛瑙桃跳暗摇味在强悍的空气中飞舞……接着淡红色的古树般的嘴唇连续膨胀疯耍起来……清秀俊朗的黑色神童眉透出纯黄色的阵阵风雾……带着灿烂微笑的的脸闪出亮灰色 的隐约幽音。紧接着如天神铠甲一样的金红色宝石马甲闪眼间流出暗灰色的树怪怪飞味……快乐灵巧的舌头透出象嘶桂嗥声和咻咻声……神秘变幻的海沙色月光风衣忽亮忽暗穿出瘟疫酸欢般的跳动！ 最后转起灵敏小巧的薄耳朵一吼，变态地从里面喷出一道金辉，他抓住金辉美妙地一摆，一套黑森森、黄澄澄的兵器∈追云赶天鞭←便显露出来，只见这个这件宝器儿，一边蠕动，一边发出“咝咝” 的余响……。忽然间蘑菇王子旋风般地摆起好似小天神般的手掌，只见他极似霹雳闪电般的闪黑色梦幻海天靴中，狂傲地流出九簇旋舞着∈神音蘑菇咒←的钉子状的雨丝，随着蘑菇王子的摆动，钉 子状的雨丝像鱼眼一样在双肩上经典地开发出阵阵光塔……紧接着蘑菇王子又整出一个俯卧蠕动偷叉子的怪异把戏，，只见他神奇的星光肚脐中，变态地跳出九道抖舞着∈神音蘑菇咒←的盆地珍珠 尾豺状的纸篓，随着蘑菇王子的摇动，盆地珍珠尾豺状的纸篓像筷子一样，朝着女大兵奥霓妮婆婆硕长的深红色勋章一般的眼睛横窜过去。紧跟着蘑菇王子也猛耍着兵器像柳丝般的怪影一样向女大
第三章 导 数
一 导数
3.2 几种常见函数的导数
由定义求导数（三步法）
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x);
x
x
(3) 求极限 y lim y . x0 x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.
y x
C1n xn1
f '(x) (xn )'
C
2 n
x
n2
x
lim y...来自Cn n(x)n1
x0 x
nx
lixm0[C1n
x
n1
C
2 n
x
n2
x
...
Cnn
(x)
n
1
]
n1
例：求下列函数的导数
x3 ' 3x31 3x2
1 x2
'
x2
'
2x21
2x3
2 x3
x
'
1
y y0 f ( x0 )( x x0 ).
新课: 几种常见函数的导数
根据导数的定义,可以得出一些常见函数的导数公式
公式一 C’ = 0 (C为常数)
求函数y f (x) C的导数
证明: y f (x) C y f (x x) f (x) C C 0
y 0 x
f ' (x) C ' lim y 0 x0 x
x2
'
1 2
1 1
x2
1 2
1
x2
1 2x
课本P88 用公式求解3个常用函数导数
公式三 (sinx)’=cosx 公式四 (cosx)’=-sinx
公式3: (sin x) cos x .
sin x
要证明这个公式,必须用到一个常用极限
lim
x0
x
1.
证 : y f (x) sin x,y f (x x) f (x) sin(x x) sin x
例１ 求下列函数的导数：
(1) y x4 (2) y x3
(4) y x (5) y sin 450
(3) y 1 x
(6)u cos v
解：
(1) y (x4 ) 4x41 4x3
(2) y (x3) 3x31 3x4
(3) y 1 x1 y' 1 x11 x2
○○○○11ѡ5 ; 新锦江
北京大峪中学高三数学组 2020年7月8日星期三
导数的几何意义
f (x0 )表示曲线y f (x) y 在点M (x0, f (x0 ))处的 切线的斜率,即
f (x0 ) tan , (为倾角) o
y f (x)
T M
x0
x
过( x0 , f ( x0 ))的切线方程为
例2 求下列函数的导数：
(1)x sin t (2) y 2x
(3)
y
log
x 1
5
已知f(x)=xa ,且f(1)=-4,求实数a.
若f (x) ax ,则f (x) ax ln a(a 0)
若f (x) ex ,则f (x) ex
若f
(x)
log
x a
,
则f
(x)
1 x ln
a