1.2.1几个常用函数的导数
1.2.1几个常见函数的导数(2)
常见函数导数的应用1.设 f (x ) =xInx ，若 f '( X 。
)=2，贝U X 0= D. In22.函数f （x ） =2+Inx 在x=1处的导数为（ A. 2 B. 2n — x3.已知函数y=x en - 1 一 xA. nx e'C. 1 D. 0 ，则其导数 y'=( ) B. n -xC. 2x e D.n - 1 -xn - x ) x e4.已知函数f (x ) 2 2 A. eB. 2eC.=xe ，则 f ' 3e 2 D.（2）等于（ 5. F 列求导数运算正确的是（ A. (x+ )' =1 +-： x * JB. C. (3X )' =3x log 3XD. 2ln2(log 2X )' =1 xln2 (x 2cosx )' =- 2xsinx 6.已知 f (x ) =f (1) +xlnx ，则 f (e )=( A. 1+e B . C. 2+e D . 3 sin/ 7.若函数f (x ) =・1 ,则f '(0)等于( A. 1 B. C.- 1 D .- 2 8.已知函数x (x )=匸，则 f '( x ) e x -1 A . — x e x +1 B . — x e C . -x -1 1 -x xe9. A. x+ )' =1 +匚 B. K K log 2X )=ln2 C. (3x )' =3x log 3e D. (x 2cosx ) '=—2xs inx 10. 下列求导正确的是（ ).A. (3x 2 -2)' =3xB. (log 2x)F 列求导运算正确的是 1 x ln 2C. (cosx) =sinx1ln x=xinx y=—11.函数 ■■的导数为（1 - Iny1+lnxInx -1x-FlnxA. ■-B. .C.:.-D 尸2XK12.已知函数 f(x)= sinx ，贝U f ( n)=( )A ..二B .-r~ r~亠 7 Tt\ ''C. D. 、、2 二2兀2 二13.下列函数中，导函数是奇函数的是( )A . y=cosx xB . y=eC . y=lnxD . xy=a 14.设f (x ) =xe 的导函数为f '( x ),则f '( 1)的值为( )A. eB. e+1 C . 2e D. e+2215.已知函数 f (x ) = (2+x ) - 3x ,则 f'( 1)为( )A. 6B. 0C. 3D. 716.下列函数求导运算正确的有( )①(3x ) ' =3og 3e ； ®(log 2x )3( e x ) ' =e④ (」)’=xlllK ⑤ (x?e *) =e x (1+x )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个17. 若 y= 一 :’，则 y '=( )18.已知函数 y = xsinx ，贝U y =()sin x -xcosxcosx19.函数■-的导数是( )_ sinxA.B.— sinxC. FD. -(A) cosx (B)— cosx(C) sinx xcosx(D)A.B.C.sin x7^2sm x-2xsinx+(l - X 2)D.sinx-2xsinx - (1 - x 2)sinx3220.已知函数f (x ) =x +2x - 3的导函数为f '( x )，则f '(- 2)等于( )A. 4B. 6C. 10D. 20H25. 曲线y = lnx + x 在点M( 1, 1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是()113 4A. 4 B . 2 C . 4 D . 51 326. 设f (x)是f(x) x -x 的导函数，贝U f (T)等于34A. -2B. 0C. 2D31 3 527. 曲线y = §x 3— 2在点(1 ,-耳处切线的斜率为( )A ..3 B . 1 C . -1 D . -.328.过点(—1 , 0)作抛物线y =x 2 X * 1的切线，贝U 其中一条切线为()A. 2x y 2=0B. 3x-y 3=0C. x y1=0D. x-y1=021. 已知函数 f (x ) =x+cosx ，贝U f '(的) A. B.C. 1 -」D.—2 2 2 222.若 f(x)二sin ： -cosx ,则 f (_：J 等于(A. sin :D. 2sin :B .cos ：C23.函数y = 2x 2—的导数是x 1. ” 4x(x 2 +1)—4x 2A y22(x +1)B y2 3 c ” 4x(x +1)—4x Cy22(x +1)D. y1(A ) 41(B ) 2=( )).sin .‘；「：： cos ：( )_ 4x(x 2 1) - 4x 3 =(x 2 1)224x(x 1) 一 4x— 2 2 (x 1)(C ) 1 ( D )无法确定29. f (x^ax 3 3x 2 2,若 f (-1) =4，则 a 的值等于()芋B 兰C 兰D 凹33 3 3A . —3B. -6C. -9D. -12(x 2 cosx) = -2xsin x■xcosx 一 sinx 二 2 x32.函数y x 4x的图像在x =1处的切线过点( )A.(0,-2 ) B.( 0，2)C .(0, -14 )D.( 0, 14)33.若点 P 是函数 2f （x ）二 X -Inx 上任意一-点，则点 P 到直线X - y - 2 =的最小距离为（）.21A. 2B.2C.2D .34.（本小题满分10分，每题5 分）2x（1）求曲线y 二二 在点（1，1）处的切线方程;x +1f (X o h) _ f (X o _3h)h31. F 列求导数运算正确的是（A.C.D. (2sin 2x) =2cos2x（2 ）运动曲线方程为22t ，求t=3时的速度。
1.2.1几个常用函数的导数及基本初等函数导数公式(教学设计)
1.2导数的计算（教学设计）（1）1．2．1几个常用函数的导数；1.2.2基本初等函数的导数公式教学目标：知识与技能目标：（1）能够用定义求五个常用函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤。
（2）使学生应用由定义求导数的三个步骤推导五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =的导数公式；并能运用这四个公式正确求函数的导数． 过程与方法目标：通过本节的学习，掌握利用导数的定义求导数的方法。
情感、态度与价值观目标：（1）通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识。
（2）通过本节的学习，培养学生对问题的分析能力与认识能力，进一步明白数学在研究整个自然科学中的重要位置。
教学重点： 五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =、y =的导数公式及应用教学难点： 五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =的导数公式教学过程： 一、复习回顾：1．求f(x)在x 0年的导数的步骤为： 1）求增量：∆y=f(x+∆x)-f(x)2)算比值：()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆ 3）求极限：y ’=0lim x yx∆→∆∆2．导数的几何意义。
二．创设情景，新课引入我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 三．师生互动，新课讲解： 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y 0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00limlim 11x x yy x ∆→∆→∆'===∆以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x +∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 2y x '=表示函数y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim ()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆5．函数()y f x =因为()()y f x x f xx x ∆+∆-==∆∆==所以0lim lim x x y y x ∆→∆→∆'===∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'= 小结：基本初等函数的导数公式：例1（课本P14例1）假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．变式训练1：（课本P15思考）如果上式（例1）中某种商品的P 0=5，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？例2 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2.解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝1434x -＝344x；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3；(6)y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x .反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导． 变式训练2：(1)下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ln 2；③1(ln x )′＝x ；④若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.A ．1B ．2C ．3D ．4(2) ①已知f (x )＝5x ，则f ′(2)＝________. ②已知f (x )＝ln x ，且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________.答案 (1)C (2)①25ln 5 ②1解析 (1)①中(3x )′＝3x ln 3，②③④均正确． (2)①f ′(x )＝5x ln 5，f ′(2)＝25ln 5. ②f ′(x )＝1x ，∴f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，解得x 0＝1.例3：求过曲线y=cosx 上点P 132π（，）且与在这点的切线垂直的直线方程。
1.2.1_几何常用函数的导数
'
n '
n 1
y` 1表示函数 y x图象1.2 2上每一点处的 切线的斜率都为1.若y x表示路程关于时间的 函数, 则 y` 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1的匀速运动. y
yx
O
x
图1.2 2
3. 函数 y f x x 的导数 y` 2 x 表示函数 y x 2 图象1.2 3 上点 x, y 处
（1）
（2） (3)
yx
yx
4
y 4x
'
'
3
99
100
y 100 x
yx
3
y' 3x
4
课堂小结：
1、两个公式 (c ) 0 ( x ) nx 2、利用定义求导的步骤 3、导数的几何意义及物理意义，利用导数求直线 的斜率 4、在学习中体会极限思想，转化思想，数形结合 等思想
2
切线的斜率为2 x, 说明随着x的变化, 切线的斜率 也在变化.另一方面, 从导数作为函数在一点的瞬 ' 时变化率来看, y 2 x 表明 : 当x 0时, 随着x 的增
加, y x 减少得越来越慢;当x 0时,
2
y
随着x的增加, y x 增加得越来越快.
2
y x2
O
x
图1.2 3
1. 函数 y f x c的导数
y` 0表示函数 y c图象1.2 1 上每一点处的 切线的斜率都为0.若y c表示路程关于时间的 函数, 则 y` 0 可以解释为某物体的瞬时速度始 终为0, 即一直处于静止状态. yycOx图1.2 1
2. 函数 y f x x的导数
§1.2.1几个常用函数导数
§1.2.1几个常用函数导数 校对人：聂格娇 审核人：刘励钧1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.1214复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y ∆=（2）求平均变化率y x∆=∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim =二、新课导学※ 学习探究探究任务一：函数()y f x c ==的导数.问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态.试试： 求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k=≠增（减）的快慢与什么有关？※典型例题例1 求函数1()y f xx==的导数变式：求函数2()y f x x==的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.例2 画出函数1yx=的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.※动手试试练1. 求曲线2=-的斜率等于4的切线方程.21y x练2. 求函数()=y f x三、总结提升※学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：，，.2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.※知识拓展微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（ ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)244. 过曲线1y x=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是 5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 .1. 已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '.2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为()5000.834t A t =⨯.(1)氡气的散发速度是多少？(2)7)('A 的值是什么（精确到0. 1）?它表示什么意义？。
大学数学微积分基本公式
大学数学微积分基本公式微积分是数学的一门基础学科，是研究变化率和积分的学科。
微积分理论的基础是一些基本公式，这些公式在微积分的各个领域中都有重要的应用。
本文将介绍一些大学数学微积分中常用的基本公式。
1. 导数公式导数是函数变化率的度量，表示函数在某一点上的斜率。
以下是几个常用的导数公式：1.1 常数函数的导数：对于常数c，其导数为0，即d(cx)/dx = 0。
1.2 幂函数的导数：对于函数f(x) = x^n，其中n是实数，其导数为d(x^n)/dx = nx^(n-1)。
1.3 指数函数的导数：对于函数f(x) = e^x，其中e是自然对数的底数，其导数为d(e^x)/dx = e^x。
1.4 对数函数的导数：对于函数f(x) = ln(x)，其中ln表示自然对数，其导数为d(ln(x))/dx = 1/x。
1.5 三角函数的导数：对于函数f(x) = sin(x)，其导数为d(sin(x))/dx= cos(x)。
类似地，d(cos(x))/dx = -sin(x)，d(tan(x))/dx = sec^2(x)等。
2. 积分公式积分是导数的逆运算，表示函数的累积变化量。
以下是几个常用的积分公式：2.1 幂函数的积分：对于函数f(x) = x^n，其中n不等于-1，其积分为∫(x^n)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C是常数。
2.2 指数函数的积分：对于函数f(x) = e^x，其积分为∫(e^x)dx = e^x+ C。
2.3 对数函数的积分：对于函数f(x) = 1/x，其积分为∫(1/x)dx = ln|x|+ C。
2.4 三角函数的积分：对于函数f(x) = sin(x)，其积分为∫sin(x)dx = -cos(x) + C。
类似地，∫cos(x)dx = sin(x) + C，∫sec^2(x)dx = tan(x) + C等。
3. 极限公式极限是微积分中一个重要概念，用于描述函数在某点趋近于某个值的行为。
新人教A版选修2-2《1.2.1几个常用的函数的导数》同步练习及答案
选修2-2 1.2 第1课时 几个常用的函数的导数一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝0，则y ′＝0 B ．若y ＝5x ，则y ′＝5 C ．若y ＝x －1，则y ′＝－x －2[答案] D2．若函数f (x )＝x ，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．－12C ．2D.12[答案] D[解析] f ′(x )＝(x )′＝12x ，所以f ′(1)＝12×1＝12，故应选D.3．抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程是( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0[答案] A[解析] ∵f (x )＝14x 2，∴f ′(2)＝li m Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14Δx ＝1.∴切线方程为y －1＝x －2.即x －y －1＝0. 4．已知f (x )＝x 3，则f ′(2)＝( ) A ．0 B ．3x 2C ．8D ．12[答案] D[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3－23Δx＝lim Δx →0 6Δx 2＋12Δx Δx ＝lim Δx →0 (6Δx ＋12)＝12，故选D. 5．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3[答案] A[解析] 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A. 6．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[答案] D[解析] ∵y ＝x 3＋x 2－x －1∴Δy Δx ＝(1＋Δx )3＋(1＋Δx )2－(1＋Δx )－1Δx ＝4＋4Δx ＋(Δx )2，∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0[4＋4·Δx ＋(Δx )2]＝4. 故应选D.7．曲线y ＝x 2在点P 处切线斜率为k ，当k ＝2时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1) C ．(1,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18[答案] C[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x .∴k ＝＝2x 0＝2，∴x 0＝1，∴y 0＝x 20＝1，即P (1,1)，故应选C. 8．已知f (x )＝f ′(1)x 2，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] A[解析] ∵f (x )＝f ′(1)x 2，∴f ′(x )＝2f ′(1)x ，∴f ′(0)＝2f ′(1)×0＝0.故应选A.9．曲线y＝3x上的点P(0,0)的切线方程为( )A．y＝－x B．x＝0 C．y＝0 D．不存在[答案] B[解析] ∵y＝3 x∴Δy＝3x＋Δx－3x＝x＋Δx－x(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2＝Δx(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2∴ΔyΔx＝1(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2∴曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x＝0.10．质点作直线运动的方程是s＝4t，则质点在t＝3时的速度是( )A.14433B.14334C.12334D.13443[答案] A[解析] Δs＝4t＋Δt－4t＝t＋Δt－t4t＋Δt＋4t＝t＋Δt－t(4t＋Δt＋4t)(t＋Δt＋t)＝Δt(4t＋Δt＋4t)(t＋Δt＋t)∴li m Δt →0 Δs Δt＝124t ·2t ＝144t 3， ∴s ′(3)＝14433 .故应选A.二、填空题11．若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为________． [答案] 某物体做瞬时速度为1的匀速运动[解析] 由导数的物理意义可知：y ′＝1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 12．若曲线y ＝x 2的某一切线与直线y ＝4x ＋6平行，则切点坐标是________． [答案] (2,4)[解析] 设切点坐标为(x 0，x 20)，因为y ′＝2x ，所以切线的斜率k ＝2x 0，又切线与y ＝4x ＋6平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，故切点为(2,4)．13．过抛物线y ＝15x 2上点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45的切线的斜率为______________． [答案] 45[解析] ∵y ＝15x 2，∴y ′＝25x∴k ＝25×2＝45.14．(2010·江苏，8)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．[答案] 21[解析] ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题15．过点P (－2,0)作曲线y ＝x 的切线，求切线方程． [解析] 因为点P 不在曲线y ＝x 上， 故设切点为Q (x 0，x 0)，∵y ′＝12x ，∴过点Q 的切线斜率为：12x 0＝x 0x 0＋2，∴x 0＝2，∴切线方程为：y －2＝122(x －2)，即：x －22y ＋2＝0.16．质点的运动方程为s ＝1t 2，求质点在第几秒的速度为－264.[解析] ∵s ＝1t2，∴Δs ＝1(t ＋Δt )2－1t2＝t 2－(t ＋Δt )2t (t ＋Δt )＝－2t Δt －(Δt )2t (t ＋Δt )∴li m Δt →0 Δs Δt ＝－2t t 2·t 2＝－2t 3.∴－2t 3＝－264，∴t ＝4. 即质点在第4秒的速度为－264.17．已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程； (3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．[解析] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)显然P (1,1)是曲线上的点．所以P 为切点，所求切线斜率为函数y ＝1x在P (1,1)点导数．即k ＝f ′(1)＝－1.所以曲线在P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即为y ＝－x ＋2.(2)显然Q (1,0)不在曲线y ＝1x上．则可设过该点的切线的切点为A ⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a ，那么该切线斜率为k ＝f ′(a )＝－1a2.则切线方程为y －1a ＝－1a2(x －a )．①将Q (1,0)坐标代入方程：0－1a ＝－1a2(1－a )．解得a ＝12，代回方程①整理可得：切线方程为y ＝－4x ＋4.(3)设切点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ，则切线斜率为k ＝－1a 2＝－13，解得a ＝±3，那么A ⎝⎛⎭⎪⎫3，33，A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，3－3.代入点斜式方程得y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)．整理得切线方程为y ＝－13x ＋233或y ＝－13x －233.18．求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．[解析] 两曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.∴y ′＝－1x2，∴k 1＝－1，k 2＝2x |x ＝1＝2，∴两切线方程为x ＋y －2＝0,2x －y －1＝0，所围成的图形如上图所示． ∴S ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝34.。
1.2.1几个常用函数的导数
e (3) f ( x) e x ,则f ' ( x)等于 ____x__;
f ' (1)等于 ___e___
1
(4) (1ogax )' __x_l_n_a___
三.典例分析 题型：求曲线的切线方程
例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点， (1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。 (2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。 (3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。
公式6.若f (x) ex , 则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 x ln a
(a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
练习:
1、求下列函数的导数
(1) y sin t (4)u cos v (7) y 2
x
lim C C x0 x
lim 0 0 x0 x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：f '(x) C 0 (C为常数)
归纳总结：
常函数y=f（x）=c的导数等于 0 它表示函数y=c图象上各点切线的 斜率都是0；
事实上，各点切线就是 原来的直线。
二、几种常见函数的导数
切线的斜率k y ' |xx0 2x0 1,
x0
1 2
,
切点M (1 , 1)
24
与PQ平行的切线方程:y 1 x 1 ,即：4x 4 y 1 0。 42
1
1
练习解1：：∵求y双′曲＝线－yx1＝2，x在∴点y′(2|，x＝22)＝处－的14切. 线方程．
16-17版：1.2.1 几个常用函数的导数~1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算 法则(
1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标] 1.能根据定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一 几个常用函数的导数思考 (1)函数f (x )＝c ，f (x )＝x ，f (x )＝x 2的导数的几何意义和物理意义分别是什么？ (2)函数f (x )＝1x 导数的几何意义是什么？知识点二基本初等函数的导数公式思考由函数y＝x，y＝x2的导数，你能得到y＝xα(α∈Q*)的导数吗？如何记忆该公式？题型一运用求导公式求常见的基本初等函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y＝1x5；(2)y＝12log x；(3)y＝cos π4；(4)y＝22x.反思与感悟 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (3)y ＝x x ；(4)y ＝12log x .题型二 利用导数公式求曲线的切线方程例2 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．反思与感悟 导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，两条直线互相垂直时，其斜率之积为－1(在其斜率都存在的情形下)． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．在利用求导公式时，因没有进行等价变形出错例3 求函数y ＝3x 2的导数． 错解 ∵y ＝3x 2，∴y ＝x 32，故y ′＝3212x .错因分析 出错的地方是根式化为指数幂，没有进行等价变形，从而导致得到错误的结果． 正解 ∵y ＝3x 2＝23x ，∴y ′＝2313x -.防范措施 准确把握根式与指数幂的互化：nx m ＝m nx ，1n x m＝m nx-.1．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B ．0 C.12xD.323．给出下列结论：①⎝⎛⎭⎫cos π6′＝－sin π6＝－12； ②若y ＝1x 2，则y ′＝－2x －3；③若f (x )＝3x ，则[f ′(1)]′＝3； ④若y ＝5x ，则y ′＝155x .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．5．求下列函数的导数：(1)y＝1x3；(2)y＝3 x.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．提醒：完成作业 1.2.1～1.2.2(一)答案精析知识梳理 知识点一0 1 2x －1x 2 12x思考 (1)常数函数f (x )＝c ：导数为0，几何意义为函数在任意点处的切线垂直于y 轴，斜率为0；当y ＝c 表示路程关于时间的函数时，y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．一次函数f (x )＝x ：导数为1，几何意义为函数在任意点处的切线斜率为1，当y ＝x 表示路程与时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动；一般地，一次函数y ＝kx ：导数y ′＝k 的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为k ，|k |越大，函数变化得越快．二次函数f (x )＝x 2：导数y ′＝2x ，几何意义为函数y ＝x 2的图象上点(x ，y )处的切线斜率为2x ，当y ＝x 2表示路程关于时间的函数时，y ′＝2x 表示在时刻x 的瞬时速度为2x . (2)反比例函数f (x )＝1x ：导数y ′＝－1x 2，几何意义为函数y ＝1x 的图象上某点处切线的斜率为－1x 2. 知识点二0 αx α－1 cos x －sin x a x ln a e x1x ln a 1x思考 因y ＝x ，得y ′＝1；y ＝x 2，得y ′＝2x ，故y ＝x α的导数y ′＝αx α－1，结合该规律，可记忆为“求导幂减1，原幂作系数”． 题型探究例1 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 5′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6； (2)y ′＝1x ln 12＝－1x ln2；(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos π4′＝0； (4)y ′＝(22x )′＝(4x )′＝4x ·ln 4. 跟踪训练1 解 (1)y ′＝8x 7； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12；(4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.例2 解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线斜率是： y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝⎛⎭⎫x －π6， 即2x ＋3y －32－π3＝0. 跟踪训练2 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1. 又∵f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)．∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)．又∵切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)． 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1.当x 0＝2时，f ′(x 0)＝1，此时所求切线方程为x －y －4＝0； 当x 0＝1时，f ′(x 0)＝0，此时所求切线方程为y ＋2＝0. 故经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为 x －y －4＝0或y ＋2＝0. 当堂检测1．D [令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义，可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.]2．A [∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.]3．A [cos π6＝32为常数，则⎝⎛⎭⎫cos π6′＝0，所以①错误；y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以②正确；因为f (x )＝3x ，所以f ′(x )＝3，所以[f ′(1)]′＝0，所以③错误；y ′＝(5x )′＝⎝⎛⎭⎫x 15′＝15x －45，所以④错误．] 4.12e 2 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.5．解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －3－1＝－3x －4. (2)y ′＝(3x )′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x －23.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y' 1 x2
y' 1 2x
通过以上我们能得到什么结论?
3.幂函数: (x )' x 1(为常数）
幂函数: (x )' x 1(为常数）
例：求下列函数的导数
4、三角函数：
(sin x) cos x ; (cos x) sin x
几个常用 函数的导数
教学目标
1、让学生体验求导数的极限方法； 2、熟记并掌握五个常见函数的求导公式，并理解公式的证明过程； 3、能够灵活应用这八个导数公式解答相关的问题；
重点：导数公式的推导和灵活运用； 难点：对导数公式的理解和把握；
一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0; 公式2.若f (x) xn , 则f '(x) nxn1; 公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x; 公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x; 公式5.若f (x) ax ,则f '(x) ax ln a(a 0);
y 1 ,
x (x x)x
f
(x)
(1)' x
lim
x0
y x
lim
x0
(x
1 x)x
1 x2
.
公式三：（1）' 1
x
x2
1、y f (x) x, y ' 1
2、y f (x) x2 , y ' 2x
3、y f (x) 1 , x
5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f (x0 ) ，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f (x0) f (x0)(x x0).
函数f(x)在x=x0处求导数反映了函数在点(x0,y0 )附近 的变化规律;
若y=x2表示路程关于时间的函数，
则y′=2x 可理解为：
物体作变速运动，它在时刻 x 的瞬时速度为2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解 :Q y f (x) 1 ,
x y f (x x) f (x)
1
1
x
x x x (x x)x
2.求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f (x x) f (x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : 说明:上面的方
y f (x x) f (x) ;
x
x
法中把x换成 x0即为求函数 在点x0处的 导
(3)求极限，得导函数y
f (x)
lim
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
归纳总结：
常函数y=f（x）=c的导数等于0 它表示函数y=c图象上各点切线的 斜率都是0； 若y=c表示路程关于时间的函数， 则y′=可0 理解为： 物体的瞬时速度始终为0 即物体始终处于静止状态
1) |F’(x)|越大,则f(x)在(x0 ,y0 )附近就越“陡” 2) |F’(x)|越小,则f(x)在(x0 ,y0 )附近就越“平缓”
二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数. 解 :Q y f (x) C,
y f (x x) f (x) C C 0,
公式二：x ' 1
归纳总结： 函数y=f（x）=x的导数等于 1
它表示函数y=x图象上各点切线的 斜率都是1；
若y=x表示路程关体始终处于匀速直线运动状态
思考探究： 课本P13《探究》
一次函数y=f(x)=kx（k≠0）的导数.
kx' k
二、几种常见函数的导数
3) 函数y=f(x)=x2的导数.
解 :Q y f (x) x2,
y f (x x) f (x) (x x)2 x2 2x x x2,
y 2x x x2 2x x,
x
x
f (x) (x2 ) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
y
数.
.
x0 x
3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ( x)在x= x0处的函数值,即f ( x0 ) f ( x) |xx0 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
5、指数函数：(ax ) ax ln a(a 0且a 1)
特别：(ex ) ex
6、对数函数：(loga
x)
x
1 ln
a
(a
0且a
1)
特别： (ln x) 1 x
注意:关于a x和xa 是两个不同
的函数,例如:
(1)(3x ) 3x ln 3
(2)(x3 ) 3x2
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
归纳总结： 函数y=f（x）=x2的导数等于 2x 它表示函数y=x2图象上点P（x，y）
处的切线的斜率为 2x 当x变化时，切线的斜率也在变化
若x＜0，随着x的增加y=x2减小得 越来越慢
若x＞0，随着x的增加 y=x2增加得 越来越快
事实上，各点切线就是原来的直线。
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解 :Q y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
y 1, x
f (x) x ' lim y 1. x0 x