几个常用函数的导数(教案)

3.2.1几个常用函数导数

教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；

2、能利用导数公式求简单函数的导数。

教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用 教学过程：

【合作探究】

探究任务一：函数()y f x c ==的导数.

问题：如何求函数()y f x c ==的导数？

新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态.

试试：求函数()y f x x ==的导数

反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .

若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数

定义，求它们的导数.

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？

（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？

【典型例题】

1．函数()y f x c ==的导数

根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x

∆+∆--===∆∆∆ 所以00

lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 函数 导数

y c = 0y '=

0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．

若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数()y f x x ==的导数

因为()()1y f x x f x x x x x x x

∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00

lim lim11x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 函数 导数

y x = 1y '=

1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．

若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数2

()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x

∆+∆-+∆-==∆∆∆ 222

2()2x x x x x x x x

+∆+∆-==+∆∆ 所以00

lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 函数 导数

2y x = 2y x '=

2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x

=增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速

运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．

4．函数1()y f x x

==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x

-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x

-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y x x x x x

∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆ 函数 导数

1y x =

21y x '=- 5．函数y x =

6．推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=

【反思总结】

1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .

2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.

【当堂检测】

1.()0f x =的导数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．不存在

D ．不确定

2.已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）

A ．0

B ．2x

C ．6

D ．9

3. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为

4

π的点为（ ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)24

4. 过曲线1y x

=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是 5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 .

【板书设计】 1．函数()y f x c ==的导数 3．函数2()y f x x ==的导数 5．函数y x =

2．函数()y f x x ==的导数 4．函数1()y f x x

==的导数 6．推广：

【课后作业】P82 探讨