几个常用函数的导数课件

3.2导数的计算(27张PPT)

;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像，描述它的变化情况。并求出曲线在点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
高二数学选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2

1.2几个常用函数的导数(高中数学人教A版选修2-2)

变式训练
1.求下列函数的导数 : (1)y＝ sinx－2x2; (2)y＝ cosx· lnx; ex (3)y＝ . sinx
解 :(1)y′＝ (sinx－2x2)′ ＝ (sinx)′－ (2x2)′ ＝ cosx－ 4x. (2)y′＝ (cosx· lnx)′ ＝ (cosx)′·lnx＋ cosx· (lnx)′ cosx ＝－ sinx· lnx＋ . x
(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x [ 点评 ] 法则可简单叙述成：复合函数对自变量的导数，
等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变
量的导数．
2．复合函数求导
对于复合函数的求导法则，需注意以下几点： (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如 (sin 2x)′≠cos 2x. 2x)′ ＝ 2cos 2x ，而 (sin
语言叙述两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数
乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方
2.复合函数的求导法则
复合函数
的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)).
x 2
x
（5） y ln(4 x)
[例 1] 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成的． ①y＝a

几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课件

k1＝y |xx0 cos x0 , k2＝y |xx0 sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
【互动探究】若把题1中的函数改为y＝sin x,请求出在点
【解题探究】1.如何求函数 y 的x导数?已知直线的方程如何求直线与x轴交点的坐标？ 2.如何确定三角形面积最大？题目中隐含的P点所满足的条件是什么？
探究提示： 1.(1)由(xα)′=αxα-1求导数. (2)令直线方程中的y=0,求得的x就是交点的横坐标. 2.(1)|AB|是定值，若使三角形ABP面积最大，只需P到AB的距离最大. (2)点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
【解析】1.依题意，y
|x x1
2
1 x1
，
因为n与m垂直，所以n的斜率为2 x1，
所以直线n的方程为：y y1 2 x1 (x x1)，
令y=0，则 x1 2 x1 (xQ x1)，
所以
xQ
1 2
容x易1，知道：xR=x1，
于是，|RQ|=|xQ-xR|=1 .
2
答案：1
2
2.因为|AB|为定值，
所以三角形面积最大，只需P到AB的距离最大，
所以点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
设点P(x0,y0)，由题意知点P在x轴上方的图象上，
即P在 y 上x ，所以 y 1 .
2x
又因为
k AB
所1 以,
2
1得x0=11, .
2 x0 2
由 y0 得x0y, 0=1,所以P(1,1).

1.2.1几个常用函数的导数

1 （8）(ln x ) x
1 x ln a
例2 根据基本函数的导数公式和导数运算法则，求函数y=x3 2 x 3的导数。
解：y ' =（x 2 x 3） '
3
（x ）（ ' 2 x）（ ' 3） '
3
3x 2。
2
练习：求下列函数的导数：
(1) y 2e
1、熟记以下导数公式：
（1）（C)‘=0
（2）( x
( 3)
) x 1 (sin x) cos x

x
x
1、 [ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x);
2、 [ f ( x) g ( x)]' f '( x) g ( x) f ( x) g '( x);
y c(
c 是常数)的导数。
y 0 常数的导数等于零 x 0 x 2 、求函数 y x 的导数。 y y lim lim 1 1. x 0 x x 0 y lim
y lim (2 x x) 2 x. x x0 1 y 1 1 4 函数 y f ( x) , 的导数 f ( x) lim lim 2. x 0 x x 0 x( x x) x x lim 3 函数 y f ( x) x , 的导数 f ( x) x 0
从图知:当x<0时，函数减少得快；当x>0时，函数减少得慢。
练习1 求下列函数的导数：
(1) y x
解：
4
(2) y x
3
1 (3) y 2 x
(4) y x

几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件

【微思考】 (1)y=sinx在x=x0处的导数是多少?其几何意义是什么? 提示：y′=cosx，x=x0，f′(x0)=cosx0，几何意义是曲线 y=sinx在点(x0，y0)处的切线的斜率. (2)y=x3在(0，0)点存在切线吗?若存在，切线方程是什么? 提示：存在，y′=3x2，y′|x=0=3×02=0，所以过(0，0)点的切线为y=0.
【解题探究】1.题(1)中抛物线x2=2y上两点P，Q的切线的斜率等于多少? 2.题(2)中两条直线互相垂直的条件是什么? 【探究提示】1.kP=y′|x=4=4，kQ=y′|x=-2=-2. 2.两直线互相垂直的条件是斜率的乘积等于-1.
【自主解答】(1)由于P，Q为抛物线x2=2y(即y1= x2)上的点，
x3
数的导数公式？ 2.在题(2)中能否直接对②应用导数公式求导，如果不能，应该如何处理？【探究提示】1.应用幂函数的导数公式求导，可先将原函数变形为幂函数，再求导数. 2.不能直接用公式求导，应对函数进行变形，可变形为cos x.
【自主解答】(1)选D.因为f′(x)=(x-3)′=-3x-4，
类型二导数的几何意义的应用【典例2】(1)(辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P， Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__________. (2)已知两条曲线y=sinx，y=cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.
【微思考】
(1)若函数f(x)=x3，那么f′(m)的含义是什么?
提示：f′(m)的含义是函数f(x)=x3在x=m时所对应的导数值. (2)没有公式能直接求函数f(x)= 1 的导数，是不是其导数就

1.2导数的计算(4课时)

作业： P18习题1.2A组：1.
1.2
导数的计算
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则第一课时
问题提出 1.如何求函数f(x)的导数？
y= 2.函数y＝c，y=x，y=x2，
，
f (x + Vx ) - f (x ) f¢ (x ) = lim Vx ® 0 Vx 1
x 的导数分别是什么？.
思考3：若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0的物理意义如何解释？
物体的瞬时速度始终为0，即物体处于静止状态.
探究（二）：函数y＝f(x)＝x的导数思考1：函数f(x)＝x的图象是什么？相对于x的函数值增量△y等于什么？ y y ＝x
v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m / s ) 0.5 - 0
f¢ (x ) = k
思考5：函数f(x)＝kx(k≠0)的图象是什么？其导数表示什么？ y＝kx的图象是过原点的一条直线
f¢ (x ) = k 表示直线y＝kx的斜率.
思考6：函数f(x)＝kx(k≠0)增(减)的快慢与k的取值有什么关系？ k＞0时，k越大，f(x)增加得越快； k＜0时，k越大，f(x)减少得越慢.
= ln x 的
导数是什么？
1 (loga x )¢= x ln a
1 (ln x )¢= x
探究（二）：导数的四则运算法则
[f (x ) + g(x )]¢ (x ) + g (x ) 相等吗？思考1：与 fⅱ 为什么？
[f (x ) + g(x )]ⅱ = f (x ) + g (x )
(x ), g (x ) 有什么关 [f (x ) - g(x )]¢与 f ⅱ 思考2：系？ [f (x ) - g(x )]ⅱ = f (x ) - g (x )

数学(新人教A版必修1-1)：3.2.1几种常见函数的导数课件

练习：求下列函数的导数
3 1 (1)y＝ 2 (2)y＝ x x
(1)y′＝－2x
x
－3
(3)y＝2
x
(4)y＝log2x
1 2 (2)y′＝ x－ 3 3 1 (4)y′＝ xln2
(3)y′＝2 ln2
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例2.已知y
x，1)求y ;
2.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2 上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。
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四、小结
1 1.会求常用函数 y c, y x, y x , y , x
2
的导数.其中: 公式1: C 0 (C为常数) .
• [点评] (1)用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度． • (2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．
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说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数. 3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x )在x= x0处的函数值,即 f ( x0 ) f ( x ) | x x .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
2)求曲线在点（， 11 ）处的切线方程. x 解：1）y x x x x x x y 1 1 y lim lim . x 0 x x 0 x x x 2 x

《几个常用函数的导数》ppt课件

THANKS
详细描述
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等重要性质。连续性指函数在某点的导数等于该点切线的斜率；可加性指两个函数的和或差的导数等于两个函数导数的和或差；可乘性指常数与函数的乘积的导数等于该常数与函数导数的乘积；链式法则指复合函数的导数等于复合函数内部函数的导数乘以外部函数的导数。这些性质是导数计算的基础，有助于理解和掌握导数的应用。
详细描述
函数的极值点是导数为零的点。在极值点处，函数的行为会发生显著变化。通过求导并找出导数为零的点，我们可以确定函数的极值。此外，我们还可以使用二阶导数测试来确定极值是极大值还是极小值。
04
导数的计算方法
定义法求导
总结词
通过极限定义来推导导数的计算方法。
详细描述
定义法求导是导数的基本计算方法，它基于极限的定义，通过求极限来得到函数的导数。对于可导的函数，其导数可以通过定义法直接计算。
02
常见函数的导数
一次函数的导数
1 2
3
一次函数形式
$y = ax + b$
导数公式
$f'(x) = a$
举例
$y = 2x + 3$，导数为$f'(x) = 2$
指数函数的导数
指数函数形式导数公式举例
$y = a^x$ $f'(x) = a^x ln a$ $y = e^x$，导数为$f'(x) = e^x$
03
导数的应用
利用导数求切线斜率
总结词
切线斜率是函数在某一点的导数值，它描述了函数在该点的变化率。
详细描述
在数学和物理中，切线斜率是函数图像在某一点的切线的斜率，它等于该点的导数值。通过求导，我们可以找到切线的斜率，从而更好地理解函数在该点的行为。