3-2-1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式

基础巩固强化

一、选择题

1．设y ＝e 3，则y ′等于( ) A ．3e 2 B ．e 2

C ．0

D ．以上都不是

[答案] C

[解析] ∵y ＝e 3是一个常数，∴y ′＝0.

2．(2012～2013学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)函数y ＝sin x 的导数是( )

A ．y ＝sin x

B ．y ＝－cos x

C ．y ＝cos x

D ．y ＝－sin x [答案] C

[解析] ∵(sin x )′＝cos x ， ∴选C.

3．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 [答案] B

[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．

4．若y ＝cos 2π

3，则y ′＝( ) A ．－3

2

B ．－12

C ．0 D.12

[答案] C

[解析] 常数函数的导数为0.

5．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D.12

[答案] D

[解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝1

2，故图象在x ＝2处的切线斜率为12.

6．y ＝x α在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 [答案] B

[解析] y ′＝(x α)′＝αx α－1， 由条件知，y ′|x ＝1＝α＝－4. 二、填空题

7．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是__________． [答案] y ＝x －1

[解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0) y ′|x ＝1＝1，∴切线的斜率为1， ∴所求切线方程为：y ＝x －1.

8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5

t ，则质点在t ＝32时的速度等于____________．

[答案] 1

80

[解析] ∵s ′＝(5

t )′＝(t 15

)′＝15t －

45

，

∴质点在t ＝32时的速度为1

5×32－

4

5

＝1

5×(25)

－ 45

＝180.

9．在曲线y ＝4

x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．

[答案] (2,1)

[解析] 设P (x 0，y 0)，

∵y ′＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，tan135°＝－1，

∴－8x －3

0＝－1.

∴x 0＝2，y 0＝1. 三、解答题

10．求证双曲线y ＝1

x 上任意一点P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．

[解析] 设双曲线上任意一点P (x 0，y 0)， ∵y ′＝－1

x 2，

∴点P 处的切线方程y －y 0＝－1

x 20(x －x 0)．

令x ＝0，得y ＝y 0＋1x 0

＝2

x 0

；

令y ＝0，得x ＝x 0＋x 20y 0＝2x 0.

∴S△＝1

2|x|·|y|＝2.

∴三角形面积为定值2.