几个常用函数的导数ppt课件
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3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
1.2几个常用函数的导数(高中数学人教A版选修2-2)
变式训练
1.求下列函数的导数 : (1)y＝ sinx－2x2; (2)y＝ cosx· lnx; ex (3)y＝ . sinx
解 :(1)y′＝ (sinx－2x2)′ ＝ (sinx)′－ (2x2)′ ＝ cosx－ 4x. (2)y′＝ (cosx· lnx)′ ＝ (cosx)′·lnx＋ cosx· (lnx)′ cosx ＝－ sinx· lnx＋ . x
(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x [ 点评 ] 法则可简单叙述成：复合函数对自变量的导数，
等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变
量的导数．
2．复合函数求导
对于复合函数的求导法则，需注意以下几点： (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当 选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要 特别注意的是中间变量的系数．如 (sin 2x)′≠cos 2x. 2x)′ ＝ 2cos 2x ，而 (sin
语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘上第二个函数，加上第一个函 数乘上第二个函数的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数
乘上分母减去分子乘上分母的导数，再 除以分母的平方
2.复合函数的求导法则
复合函数
的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通 过变量u，y可以表示成 x的函数 ，那么称这个函 数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)).
x 2
x
（5） y ln(4 x)
[例 1] 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成的． ①y＝a
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 课件
k1＝y |xx0 cos x0 , k2＝y |xx0 sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的， 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相 垂直.
【互动探究】若把题1中的函数改为y＝sin x,请求出在点
【解题探究】1.如何求函数 y 的x导数?已知直线的方程如 何求直线与x轴交点的坐标？ 2.如何确定三角形面积最大？题目中隐含的P点所满足的条件 是什么？
探究提示： 1.(1)由(xα)′=αxα-1求导数. (2)令直线方程中的y=0,求得的x就是交点的横坐标. 2.(1)|AB|是定值，若使三角形ABP面积最大，只需P到AB的 距离最大. (2)点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
【解析】1.依题意，y
|x x1
2
1 x1
，
因为n与m垂直，所以n的斜率为2 x1，
所以直线n的方程为：y y1 2 x1 (x x1)，
令y=0，则 x1 2 x1 (xQ x1)，
所以
xQ
1 2
容x易1，知道：xR=x1，
于是，|RQ|=|xQ-xR|=1 .
2
答案：1
2
2.因为|AB|为定值，
所以三角形面积最大，只需P到AB的距离最大，
所以点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
设点P(x0,y0)，由题意知点P在x轴上方的图象上，
即P在 y 上x ，所以 y 1 .
2x
又因为
k AB
所1 以,
2
1得x0=11, .
2 x0 2
由 y0 得x0y, 0=1,所以P(1,1).
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的， 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相 垂直.
【互动探究】若把题1中的函数改为y＝sin x,请求出在点
【解题探究】1.如何求函数 y 的x导数?已知直线的方程如 何求直线与x轴交点的坐标？ 2.如何确定三角形面积最大？题目中隐含的P点所满足的条件 是什么？
探究提示： 1.(1)由(xα)′=αxα-1求导数. (2)令直线方程中的y=0,求得的x就是交点的横坐标. 2.(1)|AB|是定值，若使三角形ABP面积最大，只需P到AB的 距离最大. (2)点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
【解析】1.依题意，y
|x x1
2
1 x1
，
因为n与m垂直，所以n的斜率为2 x1，
所以直线n的方程为：y y1 2 x1 (x x1)，
令y=0，则 x1 2 x1 (xQ x1)，
所以
xQ
1 2
容x易1，知道：xR=x1，
于是，|RQ|=|xQ-xR|=1 .
2
答案：1
2
2.因为|AB|为定值，
所以三角形面积最大，只需P到AB的距离最大，
所以点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
设点P(x0,y0)，由题意知点P在x轴上方的图象上，
即P在 y 上x ，所以 y 1 .
2x
又因为
k AB
所1 以,
2
1得x0=11, .
2 x0 2
由 y0 得x0y, 0=1,所以P(1,1).
几种常见函数的导数
(3) y 1 x1 y' 1 x11 x2
(4)
x1
y x x2
y
(
x
1 2
)
1
x
1 2
1
1
2 2x
2.已知y x3,求y x2
解： y (x3 ) 3x31 3x2 y x2 3(2)2 12
同理可证,公式4: (cos x) sin x.
例１ 求下列函数的导数：
(1) y x4 (2) y x3
(4) y x (5) y sin 450
(3) y 1 x
(6)u cos v
解：
(1) y (x4 ) 4x41 4x3
(2) y (x3) 3x31 3x4
2cos(x x )sin x ,
2
2
y x
2cos(x x )sin x
2
2
x
cos(x
x 2
)
s
in x 2
x
,
f
( x)
(sin
x)
lim
y
lim
cos(x
x
)
2
lim
sin
x 2
x x0
x0
2 x0 x
2
cos x 1 cos x.
C1n
x n 1x
C
2 n
xn2
(x)2
...
C
n n
(x)n
y x
C1n x n1
7几个常用函数的导数共23页文档
x
y
3.函数f(x)在点x0处的导数 f(x0) 就是导函数 f(x) 在x=x0处的函数值,即 f(x 0)f(x)|x x 0.这也是求函 数在点x0 处的导数的方法之一。
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是 曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得 到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，
(2)已y知 x12,求 f(3).
解 y ( x 2 ： ) 2 x 2 1 2 x 3
f(3 ) 2 (3 ) 3 2 1 2 2 72 7
小结：利用导数公式求函数在某点处的导数，大大减 小了运算量，而且对于原来用定义无法解决的函数求 导也找到了一个新的思路。
课堂练习
几何意义：表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1
在同一平面直角坐标系中，
探 究
画出y=2x,y=3x,y=4x的
？ 图象，并根据导数定义，
求它们的导数。
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？
(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一 个增加得最慢？
(3)函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有关？
小结：对于简单函数的求导关键是学会合理转化关系 式，即求导过程中，可以根据函数的特征，将式子结 构适当调整，如根式，分式可转化为指数式，进而选 择合适的求导公式，以便可以直接利用公式求解.
例2: (1 )已 y 知 x3 ,求 f(2 ).
解 y ( x ： 3 ) 3 x 3 1 3 x 2 f(2)3(2)212
公 式 四 ： （ 1） '1
y
3.函数f(x)在点x0处的导数 f(x0) 就是导函数 f(x) 在x=x0处的函数值,即 f(x 0)f(x)|x x 0.这也是求函 数在点x0 处的导数的方法之一。
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是 曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得 到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，
(2)已y知 x12,求 f(3).
解 y ( x 2 ： ) 2 x 2 1 2 x 3
f(3 ) 2 (3 ) 3 2 1 2 2 72 7
小结：利用导数公式求函数在某点处的导数，大大减 小了运算量，而且对于原来用定义无法解决的函数求 导也找到了一个新的思路。
课堂练习
几何意义：表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1
在同一平面直角坐标系中，
探 究
画出y=2x,y=3x,y=4x的
？ 图象，并根据导数定义，
求它们的导数。
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？
(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一 个增加得最慢？
(3)函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有关？
小结：对于简单函数的求导关键是学会合理转化关系 式，即求导过程中，可以根据函数的特征，将式子结 构适当调整，如根式，分式可转化为指数式，进而选 择合适的求导公式，以便可以直接利用公式求解.
例2: (1 )已 y 知 x3 ,求 f(2 ).
解 y ( x ： 3 ) 3 x 3 1 3 x 2 f(2)3(2)212
公 式 四 ： （ 1） '1
1.2.1几个常用函数的导数
1 （8）(ln x ) x
1 x ln a
例2 根据基本函数的导数公式和导数运算法则， 求函数y=x3 2 x 3的导数。
解：y ' =（x 2 x 3） '
3
（x ）（ ' 2 x）（ ' 3） '
3
3x 2。
2
练习：求下列函数的导数：
(1) y 2e
1、熟记以下导数公式：
（1） （C)‘=0
（2）( x
( 3)
) x 1 (sin x) cos x
x
x
1、 [ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x);
2、 [ f ( x) g ( x)]' f '( x) g ( x) f ( x) g '( x);
y c(
c 是常数)的导数。
y 0 常数的导数等于零 x 0 x 2 、求函数 y x 的导数。 y y lim lim 1 1. x 0 x x 0 y lim
y lim (2 x x) 2 x. x x0 1 y 1 1 4 函数 y f ( x) , 的导数 f ( x) lim lim 2. x 0 x x 0 x( x x) x x lim 3 函数 y f ( x) x , 的导数 f ( x) x 0
从图知:当x<0时，函数减少得快； 当x>0时，函数减少得慢。
练习1 求下列函数的导数：
(1) y x
解：
4
(2) y x
3
1 (3) y 2 x
(4) y x
几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
【微思考】 (1)y=sinx在x=x0处的导数是多少?其几何意义是什么? 提示：y′=cosx，x=x0，f′(x0)=cosx0，几何意义是曲线 y=sinx在点(x0，y0)处的切线的斜率. (2)y=x3在(0，0)点存在切线吗?若存在，切线方程是什么? 提示：存在，y′=3x2，y′|x=0=3×02=0，所以过(0，0)点的 切线为y=0.
【解题探究】1.题(1)中抛物线x2=2y上两点P，Q的切线的斜率 等于多少? 2.题(2)中两条直线互相垂直的条件是什么? 【探究提示】1.kP=y′|x=4=4，kQ=y′|x=-2=-2. 2.两直线互相垂直的条件是斜率的乘积等于-1.
【自主解答】(1)由于P，Q为抛物线x2=2y(即y1= x2)上的点，
x3
数的导数公式？ 2.在题(2)中能否直接对②应用导数公式求导，如果不能，应 该如何处理？ 【探究提示】1.应用幂函数的导数公式求导，可先将原函数变 形为幂函数，再求导数. 2.不能直接用公式求导，应对函数进行变形，可变形为cos x.
【自主解答】(1)选D.因为f′(x)=(x-3)′=-3x-4，
类型二 导数的几何意义的应用 【典例2】(1)(辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P， Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线 交于点A，则点A的纵坐标为__________. (2)已知两条曲线y=sinx，y=cosx，是否存在这两条曲线的一 个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直?并说明 理由.
【微思考】
(1)若函数f(x)=x3，那么f′(m)的含义是什么?
提示：f′(m)的含义是函数f(x)=x3在x=m时所对应的导数值. (2)没有公式能直接求函数f(x)= 1 的导数，是不是其导数就
人教版数学高二《几个常用的函数的导数》 同步PPT
•( )
• A．7米/秒
B．6米/秒
• C．5米/秒
D．8米/秒
• [答案] C • [解析] v(t)＝s′(t)＝－1＋2t， • ∴v(3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.
22
3．函数 y＝x＋1x在 x＝0 处的导数是 ( )
A．2
5 B.2
C．0
• [答案] D
D．不存在
[解析] f′(0)＝liΔmx→0 ΔΔyx＝liΔmx→0 f(0＋ΔΔxx)－f(0)， ∵f(0)不存在，∴f′(0)不存在．
• 1．2 导数的计算 • 1．2.1 几个常用函数的导数
1
2
能用导数定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝1x，y＝ x的导数，能利用所给基本初等函数的导数公 式，求简单函数的导数．
3
4
• 本节重点：几个常见函数的导数． • 本节难点：函数导数的求法及常见函数导
数的应用．
5
15
• [分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即
可．
[解析] 设 P(x0，y0)，则 kl1＝
＝1 2 x0
.
∵直线 l1 与 l2 垂直，则 kl2＝－2 x0，
∴直线 l2 的方程为 y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点 P(x0，y0)在曲线 y＝ x上，
∴y0＝ x0.
在直线 l2 的方程中令 y＝0，
19
20
• 一、选择题
• 1．函数f(x)＝3x2在x＝1处的导数为
ห้องสมุดไป่ตู้
()
• A．2
B．3
• C．6
D．12
• [答案] C
• [解析] ∵f′(x)＝6x，∴f′(1)＝6×1＝6.
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公式6.若f (x) ex , 则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
loga
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) lห้องสมุดไป่ตู้ x, 则f '(x) 1 ; x
注意：几个其他的公式只须知道结论，推导过程超标不做要求，
大学里有学。有了公式我们求函数导数时不必每次都根据定义
1，2x，3x2 你猜测 y = x n 导数是什么? y' =nxn-1
其实就算不用归纳法，直接求y=xn 的导数也是可以求的，我们 不做要求，历史上是牛顿的功劳。
11
练习4、求函数y = f(x) =-1x 的导数
因为
y
f (x x)
f (x)
1 xx
1x
x
x
x
x (x x) 1 x(x x)x x2 xx
y=x3 的单调性,要复习高一的证法，再讲解导数的证法，高一证法同
学早已忘光。通过比较知道导数的巨大魅力，导数是项伟大的发明，
如爱因斯坦的狭义、广义相对论。证明y=x3 的单调性是某年的高考
题，得分很低。
有的同学可能觉得求导数每次按定义求运算量很大，其实同学
们学到以后会发现这些有共同的公式去套，有人专门解出具有普遍
y
1 x 的图象。根
据图象，描述它的变化情
？ 况，并求出曲线在点（1，
1）处的切线方程。
求切线方程的步骤：
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0，) 得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f (x0 ) f (x0 )( x x0 ).
x0 x x0
同学们看，从几何角度结论明显不明显？ 答：从几何角度是非常显然的事实。
7
练习2、求函数y=f(x)=x的导数
因为 y f (x x) f (x) x x x 1
x
x
x
所以 y lim y lim 1 1
x0 x x0
同学们看，从几何角度结论明显不明显？
答：从几何角度是非常显然的事实。
当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线 是上升的，即函数在这点附近是单调递增；
当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线 是下降的，即函数在这点附近是单调递减；
当某点处导数等于零时，说明是函数的最值点。
这是导数又一个非常重要的应用，用导数判断函数的单调性结
论是简单明了通俗易懂，这就是导数的伟大魅力。比如判断y=x2 、
因为 y f (x x) f (x) (x x)2 x2
x
x
x
x2 2x x (x)2 x2
x 2x x
所以 y lim y lim (2x x) 2x
x0 x x0
10
你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。 y' =3x2
由函数y=x ，y=x2 ，y=x3的导数为
发明新方 3 法，那就
P
3 x0
x
是导数 2
lim { 1 [3x2 3xx (x)2 ]} x2. 3 x0
y |x2 22 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
1
-2 -1 O -1 -2
x 12
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
3
结论：根据导数的几何意义，
来求，根据定义运算量大，我们只须根据公式套一下就可求出 14
8
探 在同一平面直角坐标系中， 究 画出y=2x,y=3x,y=4x的 ？ 图象，并根据导数定义，
求它们的导数。
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪 一个增加得最慢？ （3）函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有 关？
9
练习3、求函数y=f(x)=x2的导数
几种常见的函数的导数求法
1
导数的几何意义的应用
例1: 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解：y
|x1
lim
x0
[(1
x)2
1] x
(12
1)
2x x2
lim
2
x0 x
切线方程：y 2 2(x 1) 即：2x y 0
注：旧方法也可以求，且新方法与旧方法相比还不显示出导数 的优越性。但以下一题就可以显示出导数的优越性，这一题旧方法 已经是力不从心无可救药了，必须要发明新方法即导数的方法。
13
基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c, 则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn , 则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x, 则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) a x , 则f '(x) a x ln a(a 0);
意义的函数的导数，让人们只是套一下解题。
4
5
我国著名数学家 华罗庚曾说过： “数缺形时少直观， 形少数时难入微； 数形结合百般好， 隔离分家万事休。”
6
练习1、求函数y=f(x)=c的导数。
因为 y f (x x) f (x) c c 0
x
x
x
所以 y lim y lim 0 0
所以
y
lim
x0
y x
lim (
x0
x2
1) x x
1 x2
1、从图像上看，求出导数我们就可以求出图像的切线，但不用导 数法用旧方法可以求出切线吗？
2、我们知道(xn )’ =nxn-1 ，问这种情况还可以归入吗？即n可以是负 数吗？
答：n可以是负数，有理数，无理数，即全体实数。
12
探 究
画出函数
2
练习:如图,已知曲线
y
1 3
x3上一点P(2,
8) 3
,
求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
解：(1) y 1 x3, 3
y lim y
lim
1(x 3
x)3
1 3
x3
x x0
x0
x
这是导数 非常非常 小的应用。 原来方法 没有效果
y y 1 x3
了，必须 4
3
lim { 1 3x2x 3x(x)2 (x)3 }