2-2 平面力对点之矩·平面力偶
合集下载
力对点的矩与平面力偶系—平面力偶系的合成与平衡(建筑力学)
平面力偶系
例3-4 如图示的梁AB，受一力偶的作用，已知力偶， M=20kNm，梁长l=4m,梁自重不计，求A、B支座处反力。
解 取梁AB为研究对象。
梁在力偶和A、B两处支座反力作用下平衡。
M 0
FByl M 0
FBy
M l
20 kN 5kN 4FAyLeabharlann FBy 5kN平面力偶系
第三节 平面力偶系的合成与平衡
作用在物体上的两个或两个以上的力偶，称为力偶系。 作用在同一平面内的力偶系称为平面力偶系。 一、平面力偶系的合成
平面力偶系可以合成为一个合力偶，其合力偶矩等于各个 力偶矩的代数和。即
M R M1 M 2 M n M
式中MR表示合力偶矩, M 、M … … Mn表示原力偶系中各 力偶的力偶矩。
合力偶矩大小为
M M1 M 2 M 3 (64 60 24)N m 28N m （ ）
平面力偶系
二、平面力偶系的平衡条件 平面力偶系合成的结果为一个合力偶，力偶系的平衡就
要求合力偶矩等于零。 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各
力偶矩的代数和等于零。
M 0
上式又称为平面力偶系的平衡方程。利用其可以求解一 个未知量。
平面力偶系
例3-3 如图示有三个力偶同时作用在物体某平面内。已知 F1=80N，d1=0.8m，F2=100N ，d2=0.6m，M3=24N.m ，求其合 成的结果。
解 三个共面力偶合成的结果是一个合力偶。各力偶矩为
M1 F1d1 80 0.8 64N m M 3 24N m
M 2 F2d2 100 0.6 60N m
力对点之矩、力偶
解：取联轴器为研究对象。作用于联轴器 上的力有M和四个螺栓的反力，方向如图。 现假设四个螺栓受力均匀， 即F1=F2=F3=F4＝Ｆ，则它们组成两个力 偶（F1,F3）和（F2,F4）并与M平衡。
ΣMi＝０,M - F×AC - F×BD=0 得 F=M/2AC=2.5/0.3=8.33kN
课外作业 P25 习题5
五、力偶系及其合成
平面力偶系合成的结果 :
仍然是一个力偶，其力偶矩等于原力偶系中所 有力偶矩之代数和。即
n
M= M
i=1
i
六、力偶系的平衡
平面力偶系的平衡条件为
n
Mi 0
i 1
例2 图示电动机Σ轴通过联轴器与工作轴相联接，联轴器上四个 螺栓A、B、C、D的孔心均匀分布在一直径为0.15m的圆周上，电 动机传给联轴器的力偶矩M为2.5kN m,试求每个螺栓所受的力的大 小？
二 合力矩定理
１、合力矩定理:平面汇交力系的合力对平 面内任一点之矩,等于力系中各力对该点矩的 代数和.即
O d1
Mo (F)= Mo(F1) + Mo(F2)
在力矩计算中，有时力臂不易 确定，力矩很难直接求出。但 如果将力进行适当分解，各分 力力矩的计算就非常容易，所 应用合力矩定理可以简化力矩 的计算。
由合力矩定理得：
Mo(Fn) Mo(Ft )Mo(Fr) Ft r0
Fn rc os
力偶与力偶系
.三、力偶的定义
在工程实践中常见物体受两个大小相等、 方向相反、作用线相互平行的力的作用， 使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、 转动方向盘等。
力偶实例
力偶实例
F1 F2
力偶
定义：
两个大小相等，方向相反，且不共 线的平行力组成的力系称为力偶。
ΣMi＝０,M - F×AC - F×BD=0 得 F=M/2AC=2.5/0.3=8.33kN
课外作业 P25 习题5
五、力偶系及其合成
平面力偶系合成的结果 :
仍然是一个力偶，其力偶矩等于原力偶系中所 有力偶矩之代数和。即
n
M= M
i=1
i
六、力偶系的平衡
平面力偶系的平衡条件为
n
Mi 0
i 1
例2 图示电动机Σ轴通过联轴器与工作轴相联接，联轴器上四个 螺栓A、B、C、D的孔心均匀分布在一直径为0.15m的圆周上，电 动机传给联轴器的力偶矩M为2.5kN m,试求每个螺栓所受的力的大 小？
二 合力矩定理
１、合力矩定理:平面汇交力系的合力对平 面内任一点之矩,等于力系中各力对该点矩的 代数和.即
O d1
Mo (F)= Mo(F1) + Mo(F2)
在力矩计算中，有时力臂不易 确定，力矩很难直接求出。但 如果将力进行适当分解，各分 力力矩的计算就非常容易，所 应用合力矩定理可以简化力矩 的计算。
由合力矩定理得：
Mo(Fn) Mo(Ft )Mo(Fr) Ft r0
Fn rc os
力偶与力偶系
.三、力偶的定义
在工程实践中常见物体受两个大小相等、 方向相反、作用线相互平行的力的作用， 使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、 转动方向盘等。
力偶实例
力偶实例
F1 F2
力偶
定义：
两个大小相等，方向相反，且不共 线的平行力组成的力系称为力偶。
第2章 平面力系-平面力对点之矩及平面力偶
即
MO(F) F d
O点为力矩的中心，称为矩心； d 为O点到力F 作用线的垂直
距离，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动时为正，反
之为负。
应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋 转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。
力矩的单位： 国际制 N·m，kN·m 工程制 公斤力米（kgf·m）
偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
例题
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3
=F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。
F 1 180mm
解：由式
F2
M = M1 + M2
F4
则
M =-F1 ·0.18 –F3 ·0.08
FBA
B
A
FAB
M1
FO
O
M2 D
FD
M1 - FABrcosq 0 - M 2 2FBArcosq 0
因为 FAB FBA
所以求得 M 2 2M1
思考题1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 ，F2′)作用在
Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否 等效，为什么？
F1
d1
F2 d2
F1′
=
F2′
M1 F1 d1 , M 2 -F2 d2
F22 d F11
F11′
=
F22′
d
FR
FR′
M1 F11 d , M 2 -F22 d
FR F11 - F22 , FR F11 - F22
静力学-平面力对点之矩 平面力偶
M
0 Fi
即: 合力之矩等于各分力之矩的代数和. 适用于任何有合
力存在的力系
力系使物体绕O1点. 计转算动力矩 M 0 Fi
等效
M
0 FR
M
0
Fi
2. 确定一些复杂载荷的合力
合力使物体绕O点转动 M 0 FR
例： A
P
Pcosα α
B
Psinα
a
b
求: M A P , M B P ?
M
M
M M
F
F´
M
M
2-2 平面力对点之矩 平面力偶
●力偶的性质
1.力偶不能合成为一个力，即力偶不能与一个力等效替换。
2.力偶不能与一个力平衡。
力偶(couple)
3.力偶自身不能平衡。
4.力偶只能与力偶平衡。 5.力偶对物体只有转动效应。
无合力和合力为零是不同的概念
例： 力偶 (couple)
性质以及相关计算。
② 合力矩定理及其应用
③ 平面力偶系的平衡问题计算。
作业
2-10
2-11
2-13
求: 两个平行力的合力 FR
① 同向
B
A Cα
② 反向
FB
C
A α
B
FA
FR
FB
大小: F R F A F B
FR
(FA FB ) FA
大小: F R F A F B
FR
方向: 同FA、FB
FR
作用线位置 : AC FB (内分线段)
方向: 同 FA 作用线位置 : AC FB (外分线段)
第二章 平面力系
Planar Force System
第二章平面力22系
FB
C
5a
5a
4）联立求解：
A 5a D x
FA
5 F, 2
FD
F 2
FA
FD
FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向
相反，FD为正值，说明图中所假设的指向与其实
际指向相同。
第三节 平面力偶系的合成与平衡
一、 力偶和力偶矩
1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。
力矩的概念
例题
力矩的性质
例题：图中，如作用于扳手上的力F = 200 N，l = 0.40 m，α= 60°，试计算力F→ 对点O之矩。
解：
MO(F ) = - F ·d = - F ·l sinα= - 200×0.40×sin 60° N·m= - 69.3 N·m
y
Fy 0, FB cos 600 FC cos 300 - Q 0
5）联立求解： FB =15kN , FC 26kN
A x
Q
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图所示，刚
架的自重忽略不计。试求A、D两处的约束力。
B
F
C
a
A
D
2a
练习2
水平力F 作用在门式刚架的B点，如图2.12a所示，
用扳手拧一螺母，使扳手连同螺母绕点O（实为绕通过点O 而垂直于图面的轴）转动。
由经验得知，力的数值愈大，螺母拧得愈紧；力的作用线 离螺母中心愈远，拧紧螺母愈省力。用钉锤拔钉子也有类 似的情况。许多这样的事例，使我们获得如下概念：力F→ 使物体绕点O转动的效应，不仅与力的大小有关，而且还与 点O到力的作用线的垂直距离d有关。故要用乘积Fd来度量 力的转动效应。
14平面力系--平面力对点之矩 力偶系
FA
FB
FA FB
M 0
FB
60 300N FA FB 300 N 0.2
FB 0.2 m1 m2 m3 m4 0
例2-6 图示机构不计自重。圆轮上的销子在摇杆BC的光滑导 槽内可自由滑动；圆轮上作用一力偶，其力偶矩 M 1 2kN m, 30 )，系统平衡。 OA r 0.5m 。在图示位置( OA⊥OB， 求作用在摇杆BC上力偶的矩M2 及铰链O、B处的约束力。
合力矩的解析表达式：
y
O
Fx
x
x
MO (FR ) MO (Fi )
( xi Fiy yi Fix )
例2 4图示直杆长为l，力F与x轴夹角为。求力F对插入端O之矩。
y
O o 方法一：利用定义
h
l
Fy
F
Fx
x
M O ( F ) F h F l sin
合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有 各分力对于该点之矩的代数和．
三、力矩与合力矩的解析表达式 力矩的解析表达式：
y
MO (F ) M O ( Fx ) M O ( Fy )
F
Fy
A
x Fy y Fx
x F sin y F cos
F
' F
2、力偶矩
力偶作用面: 力偶臂:
— 代数量 力偶中两力所在的平面
d1 O O
1
力偶中两力作用线间的垂直距离 ' ' M O1 ( F , F ) M O1 ( F ) M O1 ( F ) 力偶可以看作 ' F ( d d ) F d1 1 不能合成的两 Fd 个力
静力学第二章平面汇交力系与力偶系
请思考：力矩和力偶矩的异同？
力偶矩:度量力偶对物体转动效应 的量。记作：M（F, F′）或M
A
F C d F′
M Fd
力偶矩正负号规定:
逆时针转动为正，反之为负
B
力偶矩正负号意义：表示力偶转向
请思考：平面（内）力偶等效的条件？
力偶矩大小相等、转动方向相同
平面力偶的性质
性质1 : 力偶无合力,即FR=0
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
本章重点：
1、平面汇交力系(几何法、解析法）
2、力偶的概念
3、平面力偶系
§2-1 平面汇交力系
汇交力系：所有力的作用线
汇交于一点的力系。
共点力系：所有力的作用点为同一点的力系。
平面汇交力系合成—几何法
力多边形
平面汇交力系平衡—几何法
平衡几何条件：汇交力系的力多边形自行封闭。
平面力偶系的简化结果： Mo
平面力偶系的平衡条件：Mo = 0
平衡方程：
M
0
例5 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
求:C 处的约束力。
解：取 BDC 为研究对象
作出受力图 由力偶理论，知 FB = FC M 0
2 2 FB r FB 2r M 0 2 2 注意：计算(FB，FC )的力偶矩
性质2 : 力偶作用效应只与力偶矩有关 性质3 : 力偶只能与力偶矩相等的另一力偶等效 性质4 : 力偶对其作用面上任一点的矩等于力偶矩
F
F´
F
F´
F
F´ F/2
（d）
F´/ 2
只要保持力偶矩不变，力偶必等效
F
F´
M
M
M
02-4.3 平面力对点的矩和平面力偶(课件)
面称为力矩作用面
• O到力的作用线的垂直距 离 h称为力臂
•力F 使物体绕O点的转动效果，完全 由两个要素决定： a. 大小：力F与力臂h的乘积 F·h b. 转向：使物体绕O点转动方向
用数学式子来表示：
MO (F ) F h
F
O
h
平面力对点之矩是一个代数量， 它的绝对值等于力的大小与力臂 的乘积，它的正负：力使物体绕 矩心逆时针转向时为正，反之为 负.常用单位N.m或kN.m
3平面力对点的矩和平面力偶平面汇交力系和平面力偶系3力偶由两个大小相等等值方向相反反向不共线的平行力组成的力系称为力偶记作力偶和力一样是力学中的一个基本要素
3、平面力对点的矩和平面力偶
平面汇交力系和平面力偶系
（1）平面力对点的矩
3、平面力对点的矩和平面力偶
• O称为矩心 • O与力矢量的首尾确定的平
力偶矩是平面力偶作用的唯一度量
3、平面力对点的矩和平面力偶
平面汇交力系和平面力偶系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平面汇交力系和平面力偶系
（2）合力矩定理与力矩的解析表达式
MO(FR ) MO (Fi )
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各分力对该点 的矩的代数和。
该结论适用于任何存在合力的力系!
y
力矩的解析表达式：
MO(F) MO(Fy ) MO(Fx ) x F sin θ y F cos θ xFy yFx
M F d 2 AABC
两个要素 a. 大小：力与力偶臂乘积
b. 转向：作用面内的转动方向
3、平面力对点的矩和平面力偶
平面汇交力系和平面力偶系
（5）同平面内力偶的等效定理
定理：在同一平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此相等。 推论(1)：力偶可在其作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。力偶对 刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。 推论(2)：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力 的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。
• O到力的作用线的垂直距 离 h称为力臂
•力F 使物体绕O点的转动效果，完全 由两个要素决定： a. 大小：力F与力臂h的乘积 F·h b. 转向：使物体绕O点转动方向
用数学式子来表示：
MO (F ) F h
F
O
h
平面力对点之矩是一个代数量， 它的绝对值等于力的大小与力臂 的乘积，它的正负：力使物体绕 矩心逆时针转向时为正，反之为 负.常用单位N.m或kN.m
3平面力对点的矩和平面力偶平面汇交力系和平面力偶系3力偶由两个大小相等等值方向相反反向不共线的平行力组成的力系称为力偶记作力偶和力一样是力学中的一个基本要素
3、平面力对点的矩和平面力偶
平面汇交力系和平面力偶系
（1）平面力对点的矩
3、平面力对点的矩和平面力偶
• O称为矩心 • O与力矢量的首尾确定的平
力偶矩是平面力偶作用的唯一度量
3、平面力对点的矩和平面力偶
平面汇交力系和平面力偶系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平面汇交力系和平面力偶系
（2）合力矩定理与力矩的解析表达式
MO(FR ) MO (Fi )
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各分力对该点 的矩的代数和。
该结论适用于任何存在合力的力系!
y
力矩的解析表达式：
MO(F) MO(Fy ) MO(Fx ) x F sin θ y F cos θ xFy yFx
M F d 2 AABC
两个要素 a. 大小：力与力偶臂乘积
b. 转向：作用面内的转动方向
3、平面力对点的矩和平面力偶
平面汇交力系和平面力偶系
（5）同平面内力偶的等效定理
定理：在同一平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此相等。 推论(1)：力偶可在其作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。力偶对 刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。 推论(2)：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力 的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。
理论力学哈工大第八版答案
哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版习题答案《理论力学（1 第8版）/“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材》第1版至第7版受到广大教师和学生的欢迎。
第8版仍保持前7版理论严谨、逻辑清晰、由浅入深、宜于教学的风格体系，对部分内容进行了修改和修正，适当增加了综合性例题，并增删了一定数量的习题。
本书内容包括静力学（含静力学公理和物体的受力分析、平面力系、空间力系、摩擦），运动学（含点的运动学、刚体的简单运动、点的合成运动、刚体的平面运动），动力学（含质点动力学的基本方程、动量定理、动量矩定理、动能定理、达朗贝尔原理、虚位移原理）。
本书可作为高等学校工科机械、土建、水利、航空、航天等专业理论力学课程的教材，也可作为高职高理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案专、成人高校相应专业的自学和函授教材，亦可供有关工程技术人员参考。
本书配套的有《理论力学学习辅导》、《理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案理论力学思考题集》、《理论力学解题指导及习题集》（第3版）、《理论力学电子教案》、《理论力学网络课程》、《理论力学习题解答》、《理论力学网上作业与查询系统》等。
理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室课后答案前辅文静力学关注网页底部或者侧栏二维码回复理论力学（I）第8版答案免费获取答案引言第一章静力学公理哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版课后答案理论力学思考题集》、《理论力学解题指导及习题集》（第3版）、《理论力学电子教案》、《理论力学网络课程》、《理论力学习题解答》、《理论力学网上作业与查询系统》等。
理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室课后答案前辅文静力学引言第一章静力学公理和物体的受力分析第二章平面力系第三章空间力系第四章摩擦理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案§4-4 滚动摩阻的概念运动学引言第五章点的运动学*§5-5 点的速度和加速度在球坐标中的投影思考题习题第六章刚体的简单运动§6-1 刚体的平行移动§6-2 刚体绕定轴的转动§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度§6-4 轮系的传动比§6-5 以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度思考题习题第七章点的合成运动第八章刚体的平面运动动力学引言第九章质点动力学的基本方程第十章动量定理第十一章动量矩定理第十二章动能定理第十三章达朗贝尔原理第十四章虚位移原理参考文献习题答案索引Synopsis哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版课后答案第十四章虚位移原理。
理论力学(哈工大版本)第二章平面力系
解：注意到CB为二力构件，画受力图
M AC F Cd F C 2 12 F C 2
224 18 2F (NCcm) 0.255F 2
Mi 0 MAC M 0
F C 3137N
理论力学
.
C(Nm)
37
[例]图示杆系，已知M，l，求A、B处约束力。
l
l
FA 解：1、 AD为二力杆。
D
B
A
2、研究对象： 整体
解：取滑轮B为研究对象， 忽略滑轮的大小，画受力图。 FBA
y
FBC D
60
B
列平衡方程
B
F2 60
x
Fx 0， FBA F c1os 60 F2 cos 30 0
30
Fy 0，FBC F co1 s 30 F2 cos 60 0
F1
30
当由平衡方程求得
G
解方程得杆AB和BC所受的力: 某一未知力的值为
FR F1F2 Fn F
i
3、平面汇交力系平衡的几何法
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 该力系的合力等于零。
FR F1F2 Fn F 0 i
上述方程的几何表达为：该力系的力多边形自行封闭。
用几何方法求平面汇交力系平衡时，要做出自行封 闭的力多边形，一般只适合三个力的平衡问题。
理论力学
作出相应的力多边形。
F
FD
F
A
OE EA24 cm
FB
tan DE 6
OE 24
arctan 1 140
4
由力三角形图可得
O
B E FB
sin180
FB
F 750N FD
D
sin
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Байду номын сангаасFn
M 1 F1d M 2 F2 d
M n Fn d
=
=
FR F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
=
=
=
M FR d
n i 1
F1d F2 d Fn d
M 1 M 2 M n
M Mi Mi
FAl M 1 M 2 M 3 0
解得 F F M 1 M 2 M 3 200N A B
l
例2-6 ：
已知
M 1 2kN m, OA r 0.5m, θ 30 ;
求：平衡时的 M 2及铰链O，B处的约束力。 解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图。
r FR r F1 r F2 r Fn
即
M O FR M O Fi
平面汇交力系
M 0 FR M 0 Fi
该结论适用于任何合力存在的力系
M O F M O Fy M O Fx x F sin y F cos x Fy y Fx
b.方向：转动方向
力偶矩
M F d 2 1 2 F d 2ABC
四. 同平面内力偶的等效定理 P36
定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两 力偶彼此等效。
1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。
2.任一力偶可以在它的平面内任意移转，而不改变它对刚体
的作用，因此：力偶对刚体的作用与在其作用面内的位置无 关。
M O FR M O Fi
M O FR xi Fiy yi Fix
例2-4
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm 求: M O F . 解: 直接按定义
M O F F h F r cos θ 78.93N m
按合力矩定理
M O F M O Ft M O Fr F cos θ r 78.93N m
三、 力偶与力偶矩 P35
1.何谓力偶? 由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为力偶，记作 F , F
力偶臂：力偶的两力之间的距离d，称为~
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面。 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂。 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积
§2-2 平面力对点之矩· 平面力偶
一、平面力对点之矩（力矩） 力矩作用面
两个要素：
1.大小：力F与力臂的乘积 2.方向：转动方向
M 0 F F h
M 0 F r F
二、力矩与合力矩的解析表达式
合力矩定理：P33
FR Fi F1 F2 Fn FR F1 F2 Fn
=
=
=
3.只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可 以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对 刚体的作用效果不变。
=
=
=
=
4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
五.平面力偶系的合成和平衡条件 已知： M , M , M ;
1 2 n
任选一段距离d
M1 d M2 d
Mn d
F 1 F2
平面力偶系平衡的充要条件 M=0 即
Mi 0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力 偶矩的代数和等于零.
例2-0 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的 压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
M 0
解得
M1 FA r sin 0
FO FA 8kN
取杆BC，画受力图。
M 0 FA
'
r sin
M2 0
解得 M 2 8kN m
FB FA 8kN
解： 1.取碾子，画受力图。
用几何法，按比例画封闭力四边形
θ arccos
Rh R
30
按比例量得 FA 11.4 kN， B 10 kN F
或由图中 FB sin θ F
FA FB cos θ F
解得 FB =10kN, 用几何法
FA=11.34kN
A
2.碾子拉过障碍物，应有 F 0
解得 F P tan θ 11.55kN
3. 解得 Fmin P sin θ 10kN
例2-5
已知： M1 M 2 10N m, M 3 20N m, l 200mm ;
求： 光滑螺柱AB所受水平力。
解：由力偶只能由力偶平衡的 性质，其受力图为
M 0
M 1 F1d M 2 F2 d
M n Fn d
=
=
FR F1 F2 Fn
FR F1 F2 Fn
=
=
=
M FR d
n i 1
F1d F2 d Fn d
M 1 M 2 M n
M Mi Mi
FAl M 1 M 2 M 3 0
解得 F F M 1 M 2 M 3 200N A B
l
例2-6 ：
已知
M 1 2kN m, OA r 0.5m, θ 30 ;
求：平衡时的 M 2及铰链O，B处的约束力。 解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图。
r FR r F1 r F2 r Fn
即
M O FR M O Fi
平面汇交力系
M 0 FR M 0 Fi
该结论适用于任何合力存在的力系
M O F M O Fy M O Fx x F sin y F cos x Fy y Fx
b.方向：转动方向
力偶矩
M F d 2 1 2 F d 2ABC
四. 同平面内力偶的等效定理 P36
定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两 力偶彼此等效。
1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。
2.任一力偶可以在它的平面内任意移转，而不改变它对刚体
的作用，因此：力偶对刚体的作用与在其作用面内的位置无 关。
M O FR M O Fi
M O FR xi Fiy yi Fix
例2-4
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm 求: M O F . 解: 直接按定义
M O F F h F r cos θ 78.93N m
按合力矩定理
M O F M O Ft M O Fr F cos θ r 78.93N m
三、 力偶与力偶矩 P35
1.何谓力偶? 由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为力偶，记作 F , F
力偶臂：力偶的两力之间的距离d，称为~
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面。 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂。 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积
§2-2 平面力对点之矩· 平面力偶
一、平面力对点之矩（力矩） 力矩作用面
两个要素：
1.大小：力F与力臂的乘积 2.方向：转动方向
M 0 F F h
M 0 F r F
二、力矩与合力矩的解析表达式
合力矩定理：P33
FR Fi F1 F2 Fn FR F1 F2 Fn
=
=
=
3.只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可 以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对 刚体的作用效果不变。
=
=
=
=
4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
五.平面力偶系的合成和平衡条件 已知： M , M , M ;
1 2 n
任选一段距离d
M1 d M2 d
Mn d
F 1 F2
平面力偶系平衡的充要条件 M=0 即
Mi 0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力 偶矩的代数和等于零.
例2-0 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的 压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
M 0
解得
M1 FA r sin 0
FO FA 8kN
取杆BC，画受力图。
M 0 FA
'
r sin
M2 0
解得 M 2 8kN m
FB FA 8kN
解： 1.取碾子，画受力图。
用几何法，按比例画封闭力四边形
θ arccos
Rh R
30
按比例量得 FA 11.4 kN， B 10 kN F
或由图中 FB sin θ F
FA FB cos θ F
解得 FB =10kN, 用几何法
FA=11.34kN
A
2.碾子拉过障碍物，应有 F 0
解得 F P tan θ 11.55kN
3. 解得 Fmin P sin θ 10kN
例2-5
已知： M1 M 2 10N m, M 3 20N m, l 200mm ;
求： 光滑螺柱AB所受水平力。
解：由力偶只能由力偶平衡的 性质，其受力图为
M 0