力矩力偶与平面力偶系
工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
力对点的矩与平面力偶系—平面力偶系的合成与平衡(建筑力学)
平面力偶系
例3-4 如图示的梁AB，受一力偶的作用，已知力偶， M=20kNm，梁长l=4m,梁自重不计，求A、B支座处反力。
解 取梁AB为研究对象。
梁在力偶和A、B两处支座反力作用下平衡。
M 0
FByl M 0
FBy
M l
20 kN 5kN 4FAyLeabharlann FBy 5kN平面力偶系
第三节 平面力偶系的合成与平衡
作用在物体上的两个或两个以上的力偶，称为力偶系。 作用在同一平面内的力偶系称为平面力偶系。 一、平面力偶系的合成
平面力偶系可以合成为一个合力偶，其合力偶矩等于各个 力偶矩的代数和。即
M R M1 M 2 M n M
式中MR表示合力偶矩, M 、M … … Mn表示原力偶系中各 力偶的力偶矩。
合力偶矩大小为
M M1 M 2 M 3 (64 60 24)N m 28N m （ ）
平面力偶系
二、平面力偶系的平衡条件 平面力偶系合成的结果为一个合力偶，力偶系的平衡就
要求合力偶矩等于零。 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各
力偶矩的代数和等于零。
M 0
上式又称为平面力偶系的平衡方程。利用其可以求解一 个未知量。
平面力偶系
例3-3 如图示有三个力偶同时作用在物体某平面内。已知 F1=80N，d1=0.8m，F2=100N ，d2=0.6m，M3=24N.m ，求其合 成的结果。
解 三个共面力偶合成的结果是一个合力偶。各力偶矩为
M1 F1d1 80 0.8 64N m M 3 24N m
M 2 F2d2 100 0.6 60N m
第三章 力偶与平面力偶理论)
M 0 F F h
力对点之矩（力矩）是一个代数量，它的绝 对值等于力的大小与力臂的乘积；
它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。 常用单位为 N· m 或 kN· m。 注意：力矩在下列几种情况下等于零 （1）力的大小等于零；
（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零；
（3） 互成平衡的二力对同一点之矩为零。
78.93N m
按合力矩定理 M O F M O Ft M O Fr
F cos θ r 78.93N m
例3-2 已知：q,l； 求： 合力及合力作用线位置. 解： 取微元如图
x q q l l x 1 P q dx ql 0 l 2
M Mi Mi
i 1 n
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi
0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力 偶矩的代数和等于零。
例3-1
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
求: M O F .
解:直接按定义
MO
F F h F r cos θ
M1 F1 d M2 F2 d
M1 F1d
M 2 F2d
Mn Fn d
M n Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn
F1 F2 Fn FR
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M 2 M n
定理：同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶 彼此等效。 推论： 任一力偶可在它的作用面内任意转移，而不改变它对刚体 的作用。因此力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无 关。 只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与 力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
第三章-力矩和平面力偶系-第四章-平面任意力系
例3－1 试计算力对A点之矩。
解 本题有两种解法。 方法一： 按力矩的定义计算 由图中几何关系有：
d=ADsinα =(AB-DB)sinα =(AB- BCctgα)sinα =(a- bctgα)sinα =asinα-bcosα
所以
mA(F)=F•d =F(asinα-bcosα)
方法二：
解：
图（a）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN · m
MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
▪ 一、力偶 力偶矩
▪
在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，
但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
2．力偶矩：
▪ 作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，
用m或m( F ,F′)表示。在平面问题中，将力偶中
的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，如图：
即m(F)＝F•d=±2ΔABC
通常规定：力偶使物体逆时针方 向转动时，力偶矩为正，反之为 负。
在国际单位制中，力矩的单位 是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米 （kN•m）。
▪
在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的
力偶矩的代数值相等，则这两个力偶相等。这
就是平面力偶的等效条件。
▪ 根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：
▪ 推论1 力偶可在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对物体的效应。
▪ 推论2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力 偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它 对物体的作用效应。
主矩： Mo=m1+m2+···+mn
工程力学第三章力矩与平面力偶系
位置无关，因此力偶对刚体的效
应用力偶 矩度量。
F
A B
d
F'
x
O
mO ( F ) mO ( F ') F ( x d ) F 'x F d
4.力偶的表示方法
用力和力偶臂表示，或用带箭头的弧线表示，箭头表示 力偶的转向，M表示力偶的大小。
第三章力矩与平面力偶系
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y
Fx
x
则
r cos x, r sin y
mo ( F ) xFy yFx
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( )
a
第三章力矩与平面力偶系
§3-1力矩的概念和计算
mo (F ) xFy yFx
若作用在
( )
a
y
Fy
F
F2 、 A 点上的是一个汇交力系（ F1 、 则可将每个力对 o 点之矩相加，有 Fn ）， o
r
d
，
x
A
y
Fx
m (F ) x F
o
y
y Fx
(b)
x
由式（ a ），该汇交力系的合力 R 它对矩心的矩
F
m0 (R) xRy yRx x Fy y Fx ( c )
比较（ b ）、（ c ）两式有
mo (R) M o (F )
第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院
l
A
o
第三章力矩与平面力偶系 湖南工业大学土木工程学院
d
F
力矩计算
简支刚架如图所示，荷载F=15kN，α=45 ,尺寸如图。试分别计 算F对A、B两点之矩。
力对点的矩和平面力偶系
第三章 力对点的矩和平面力偶系一、内容提要本章研究了力矩和力偶。
1．力矩及计算（1）力矩 力矩表示力使物体绕矩心的转动效应。
力矩等于力的大小与力臂的乘积。
在平面问题中它是一个代数量。
一般规定：力使物体绕矩心产生逆时针方向转动为正，反之为负。
用公式表达为()Fd F M O ±=（2）合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各力对同一点的力矩的代数和。
用公式表达为()()F M F M O O ∑=R2．力偶的基本理论（1）力偶 由两个大小相等、方向相反、不共线的平行力组成的力系，称为力偶。
力偶与力是组成力系的两个基本元素。
（2）力偶矩 力与力偶臂的乘积称为力偶矩。
为代数量，规定：逆时针方向转动为正，反之为负。
用公式表达为：Fd M ±=（3）力偶的性质力偶不能合成为一个合力，不能用一个力代替，力偶只能与力偶平衡。
力偶在任一轴上的投影恒为零。
力偶对其平面内任一点矩都等于力偶矩，与矩心位置无关。
在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则这两个力偶等效。
力偶对物体的转动效应完全取决于力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向和力偶所在的作用面。
（4）平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成结果为一个合力偶，合力偶矩等于平面力偶系中各个力偶矩的代数和。
用公式表达为：M R =ΣM平面力偶系的平衡条件是合力偶矩等于零。
用公式表达为：ΣM = 0二、思考题提示或解答3-1 试比较力矩与力偶矩的异同点。
答：平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。
这就是平面力系的合力矩定理。
应用合力矩定理在于简化力矩的计算。
当力臂不易确定时，可将力分解为易找到力臂的两个互相垂直的分力，在求出两分力的力矩后，再代数相加即可。
3-3 二力平衡中的两个力，作用与反作用公理中的两个力，构成力偶的两个力各有什么不同?答：二力平衡中的两个力等值、反向、共线，共同作用在一个物体上；作用与反作用公理中的两个力等值、反向、共线，分别作用在两个物体上； 构成力偶的两个力等值、反向、互相平行，也作用在一个物体上。
力矩和平面力偶系
第五节力矩和平面力偶系一、力矩1．力矩概念力对刚体的移动效应取决于力的大小、方向和作用线；而力对刚体的转动效应则用力矩来度量。
实践告诉我们，用扳手拧（转动）螺母时，见图7-18a，其转动效应取决于力F的大小、方向（扳手的旋向〕以及力F到转动中心O的距离h。
a) b)图7-18 力矩概念一般情况下，刚体在图示平面内受力F作用，见图7-18b，并绕某一点O转动，则点O称为矩心，矩心O到力F作用线的距离h称为力臂，乘积F·h并加上适当的正负号称为力对O点之矩，简称力矩，用符号M O（F）或M O表示。
即M O＝M O（F）＝±Fh （7-9）力矩的正、负号规定如下：力使刚体绕矩心作逆时针方向转动时为正，反之为负。
因此，力矩是一个与矩心位置有关的代数量。
力矩的单位为N·m。
2．合力矩定理设刚体受到一合力为F的平面力系F1，F2，…，F n的作用，在平面内任取一点O为矩心，由于合力与整个力系等效，所以合力对O点的矩一定等于各个分力对O点之矩的代数和（证明从略），这一结论称为合力矩定理。
记为M O（F）＝M O（F1）＋M O（F2）＋…＋M O（F n）＝ΣM O（F i）（7-10）或M O＝M O l＋M O2＋…＋M O n＝ΣM Oi=ΣM O例7-4图7-19所示为一渐开线（在平面上，一条动直线（发生线）沿着一个固定的圆（基圆）作纯滚动时，此动直线上一点的轨迹）直齿圆柱齿轮，其齿廓在分度圆上的P点处受到一法向力F n的作用，且已知F n＝1000N，分度圆直径d＝200mm，分度圆压力角(P点处的压力角)α＝20°，试求力F n对轮心O点之矩。
图 7-19 力炬计算举例解：1．根据力矩的定义求解m N 94m N 20cos 22.01000cos 2)(⋅-=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛︒⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=αd F h F F M n n n O 2．用合力矩定理求解。
力矩平面力偶
30◦
B RB
∑ mi = 0
R A ⋅ L sin 30o = M 2M 方向如图所示 R A = RB = L
15
16
NB =
60 = 300N 0.2
N A = N B = 300 N
14
平衡时, 处和 处的反力 处和B处的反力? [例2] 已知M 和 L，图示梁AB平衡时,A处和 处的反力? 解: BC 杆为二力杆
C M A L M RA
RB 沿BC 杆方向
由力偶只能与力偶平衡的性质， 由力偶只能与力偶平衡的性质， 与力R 组成一力偶。 力RA与力 B组成一力偶。 根据平面力偶系平衡方程有: 根据平面力偶系平衡方程有:
1
第三章 平面汇交力系 §3–1 力对点之矩 §3–2 力偶与力偶矩 §3–3 力偶的等效 §3–4 平面力偶系的合成与平衡
2
§3-1 力对点之矩
一、平面上力对点之矩 力对物体可以 产生运动效应 移动效应——取决于力的大小、方向 取决于力的大小、 移动效应 取决于力的大小
转动效应——取决于力矩的大小、转向 取决于力矩的大小、 转动效应 取决于力矩的大小 r 点的矩， 力F 对O 点的矩，简称力矩 M O F = ± F ⋅ d + O 点称为力矩中心（简称矩心） 点称为力矩中心（简称矩心）
(
)
现沿力偶臂AB方向 现沿力偶臂 方向 r r 加一对平衡力 Q， Q′ r r r r r r 将Q， F合成R， 将Q′， F ′合成R′， r r 得到新力偶 R， R′ r r r r r r 将R和R′移到 A′, B′点， 则 R , R′ 取代了原力偶 F , F ′ ，
(
)
(
( )
( )
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A O —— 矩心 d —— 力臂
d
M O (F ) 2AO A B
“＋ ”—— 使物体逆时针转时力矩为正； MO（F）——代数量 “－” —— 使物体顺时针转时力矩为负。
力矩的单位为 N （m 牛顿·米）。
3
2、力矩的性质 （1）力沿作用线移动时，对某点的矩不变; （2）力作用过线矩心时，此力对矩心之矩等于零; （３）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。
平面力偶系—— 作用在物体同一平面内的若干个 力偶所组成的力系。
一、平面力偶系的合成
F1 d1
F2
d2 F 2 F1
F3
F 4
Ad B
F4
F 3
F
A dB F
F3dF1d1M1 F4dF2d2M 2
F F4 F3 F F4 F3
M F d (F 4 F 3 )d M 2 M 1
16
平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于 各分力偶矩的代数和，即
力矩力偶与平面力 偶系
第三章 力矩、力偶与平面力偶系
本章内容: 1 力对点的矩 2 合力矩定理 3 力偶与力偶矩 的概念 4 力偶的性质 5 平面力偶系的合成 6 平面力偶系的平衡
2
第一节 力对点的矩
一、平面力对点的矩（力矩）
力矩是度量力对物体的转动效应的物理量。
BF
1、力矩的定义
MO(F)Fd
y
Fy
x
AyOF来自Fx xMO(F)MO(Fy)MO(Fx)
xFsinyFcosxFyyFx
M O (F R )(x iF y i y iF x i)
5
例 3-1 如图所示，F1 50kN，F2 100kN，AB6m。
试分别求F1 、F2 对 A 点的矩。
F1
B
30
A
解：力F1使杆 AB 绕 A 点逆时针转动
8
补充例题，水平梁AB 受三角形分布的载荷作用，如图所示。 已知：q，l；试求合力及合力作用线的位置。
A l
qx
A
l
解：在距A端为x的微段dx的
q
B x 梁上，作用力的大小为qx， 由相似三角形关系可知
qx
xq l
q 因此分布载荷的合力大小
Bx
F R
0lqxdx
1ql
2
9
设合力F 的作用线距A端的距离为h，
力偶作用面——力偶中两力所在平面。 力偶臂——力偶中两力作用线之间的垂直距离。
11
二、力偶矩 力偶矩—— 力偶对其作用面内任一点之矩，
以 M(F，F)表示，一般简记为M。 M Fd2 ABC
正负：逆时针转向为正，反之则为负。
力偶矩的两个要素 （1）大小：力与力偶臂的乘积 （2）方向：转动方向
力偶矩的单位为 N （m 牛顿·米）。
r ，在小圆轮最右侧 B 点处受一力F 的作用。试计算力F
对大圆轮与地面接触 A点的矩。
解：由于 F 对点 A的力臂不易确定，
Fy
F
故先将力F 分解为两个正交分力Fx 与Fy ，然后利用合力矩定理来求出 F 对点 A 的矩
O
B
Fx
A
M A(F )M A(F x)M A(F y)
F yrF xRF (rsinRcos)
MA(F1)F1AB
F2
506kNm300kNm
C
力F2 将使AB杆绕 A 点顺时针转动
MA(F2)F2AC 1003kNm300kNm
6
例 3-2 简支刚架如图所示，已知 F 、a 、b 和 。
试计算 F 对 A点的矩。
解：（1）根据定义求MA(F)
Fy
F
dAEsin(ADED)sin
(abcot)sin
根据合力矩定理，有
l
FRh 0qxxdx
FR
qx
A
x
dx
将qx 和 FR的值代入上式，得
h
l
h 2l 3
合力大小等于三角形分布荷载的面积; 合力作用线通过三角形的几何中心。
q Bx
10
第二节 力偶和力偶矩
一、力偶
力偶 —— 由两个等值、反向、不共线的平行力
组成的力系，记作 F,F
dd F
F
3、力矩的两个要素 （1）大小：力与力臂的乘积 （2）方向：转动方向
4
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系合力对于平面内任一点之矩 等于其各分力对于该点之矩的代数和。
M O ( F R ) M O ( F 1 ) M O ( F 2 ) M O ( F n ) M O ( F i )
力矩与合力矩的解析表达式
A
E
C Fx b
BD
asinbcos
d
a
M A ( F ) F d F a s in F b c o s
（2）利用合力矩定理求 MA(F)
M A (F )M A (F x)M A (F y)
F xbF yaF asinF bcos
7
例 3-3 如图所示，已知大圆轮半径为 R ，小圆轮半径为
12
三、力偶的性质
1、力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。
力偶对刚体只产生转动效应，而不产生移动效应; 力偶的两个力在任一坐标轴上投影的代数和均为零； 力与力偶是静力学的二基本要素。
2、力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代 数和恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。
MOFMOF
F
F(xd)FxFdM
M M 1 M 2 M n M i
二、平面力偶系的平衡
力偶系平衡的充要条件是：
合力偶矩等于零, 即力偶系各力偶矩的代数和等于零
M i0
平面力偶系的平衡方程
17
例 3-4 已知梁长 l 5 m，M100kN m ；若不计梁的自
重，试求支座 A 、B 的约束力。
M
A
B
M
A
B
l
FA
l
FB
解：（1）选梁 AB为研究对象
（2）画受力图 （3）列平衡方程
M i 0 , F A l M 0
解得：
M100
F BF Al
kN20kN 5
FA 、FB 为正值，说明图中的假设方向是正确的。
18
例 3-5 如图所示的工件上作用有三个力偶，已知三个力
由于矩心O是任取的，因此， O x
d
力偶矩与矩心的位置无关。
F
13
3、平面力偶等效定理:作用于刚体同一平面内两 个力偶等效的充分且必要条件为其力偶矩相等。
推论 (1) 力偶可以在其作用面内任意移转， 而不改变它对刚体的作用效应。 推论 (2) 只要保持力偶矩大小和转向不变， 可以任意同时变化力偶中力的大小和力偶臂 的长短，而不改变它对刚体的作用效应。
M
14
力偶与力矩的区别和联系 1、力偶是自由量,可以在作用面内任意移动和转 动的，与矩心的位置无关；力矩是定位量，定位于 矩心，与矩心的位置有关。
2、力偶矩不标矩心，而力矩一定要标明矩心。
3、力偶是一个基本的力学量，力矩只是力使 物体绕某点转动效应的度量。
4、力偶矩与力矩量纲相同。
15
第三节 平面力偶系的合成与平衡