运筹学优化软件汇总.doc
优化软件LINDO在运筹学中的应用
案例分析
案例分析
以下是一个应用案例，通过使用软件，学生对某物流公司的运输网络进行了 优化。
1、问题描述：该物流公司拥有多个仓库和配送中心，货物的运输和配送由多 个车辆完成。由于公司业务量的增长，原有的运输网络已经不能满足需求，因此 需要优化车辆路径以提高运输效率。
案例分析
2、软件应用：学生使用MATLAB和Simulation Builder来建立并求解该优化 问题。首先，使用MATLAB建立一个车辆路径优化模型；然后，使用Simulation Builder对该模型进行模拟和测试；最后，通过MATLAB进行结果分析和可视化。
软件应用
软件应用
1、建模：在物流运筹学教学中，软件可以帮助学生轻松建立各种数学模型， 如线性规划模型、整数规划模型等。这些模型可以准确地描述物流系统的实际情 况，为进一步的分析和优化奠定基础。
软件应用
2、分析：软件集成了大量的数据分析工具和算法，可以帮助学生深入分析物 流系统中的各种数据，如成本数据、时间数据等。通过这些分析，学生可以更好 地理解物流系统的性能瓶颈和优化潜力。
应用实践
1、需求分析
1、需求分析
在物流工程运筹学中，需求分析是解决问题的第一步。教师可引导学生使用 LINGO软件进行问题定义和场景模拟，以便更好地理解问题背景和需求。例如， 在解决车辆路径问题（VRP）时，可以通过LINGO软件对客户需求、车辆容量等进 行分析，为后续建模优化做好准备。
案例分析
3、结果分析：经过优化，车辆路径长度减少了20%，运输时间减少了15%，从 而大幅提高了运输效率。但是，由于仓库和配送中心的布局以及货物的特性限制， 部分优化目标的改善幅度较小。
案例分析
4、不足与挑战：在这个案例中，虽然软件的应用取得了显著的效果，但仍存 在一些不足之处。例如，模型假设较为简化，忽略了一些现实中的影响因素，如 交通状况、天气等。此外，优化过程中只考虑了运输成本和时间，而未考虑到其 他潜在的成本和利益相关者需求。未来，学生需要对模型进行进一步的改进和完 善，以更好地应对现实中的复杂问题。
(参考资料)运筹学软件的使用
常用数学软件－统计类
• S语言是由AT&T贝尔实验室开发的一种用来进行数据探索、
统计分析、作图的解释型语言。目S-PLUS基于S语言，并由MathSoft公司的统计科学部进一
步完善。作为统计学家及一般研究人员的通用方法工具箱，
S-PLUS强调演示图形、探索性数据分析、统计方法、开发
常用的数学软件简介
周荣喜 北京化工大学
2010.3
1
常用的数学软件简介
计算类
Matlab、Mathematica、Maple、Scilab等
统计类
SPSS、 SAS 、Stata、 Minitab、 Statistica、EViews等
运筹学（优化类）
Lindo、 Lingo、 WinQSB、 ORS等
• 目前,已经在国内逐渐流行起来。它使用Windows的窗口 方式展示各种管理和分析数据方法的功能，使用对话框展 示出各种功能选择项，只要掌握一定的Windows操作技 能，粗通统计分析原理，就可以使用该软件为特定的科研 工作服务。
4
常用数学软件－统计类
• SPSS for Windows由于其操作简单，已经 在我国的社会科学、自然科学的各个领域 发挥了巨大作用。该软件还可以应用于经 济学、生物学、心理学、医疗卫生、体育、 农业、林业、商业、金融等各个领域。
10
常用的统计计量数学软件
• EViews是美国GMS公司1981年发行第1版的Micro TSP的 Windows版本，通常称为计量经济学软件包。EViews是 Econometrics Views的缩写，它的本意是对社会经济关系与经 济活动的数量规律，采用计量经济学方法与技术进行“观察”。 计量经济学研究的核心是设计模型、收集资料、估计模型、 检验模型、运用模型进行预测、求解模型和运用模型。
运筹学___的LINGO软件
当你在 windows 下开始运行 LINGO 系统时，会得到一个窗口： 外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主 窗口之下。在主窗口内的标题为 LINGO Model – LINGO1 的窗口是 LINGO 的默认模型窗 口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。下面举两个例子。 例 2.1 如何在 LINGO 中求解如下的 LP 问题：
§3 LINGO 中的集
对实际问题建模的时候，总会遇到一群或多群相联系的对象，比如工厂、消费者群 体、交通工具和雇工等等。LINGO 允许把这些相联系的对象聚合成集（sets）。一旦把 对象聚合成集，就可以利用集来最大限度的发挥 LINGO 建模语言的优势。
-316-
3.1 什么是集 集是一群相联系的对象，这些对象也称为集的成员。一个集可能是一系列产品、卡 车或雇员。每个集成员可能有一个或多个与之有关联的特征，我们把这些特征称为属性。 属性值可以预先给定，也可以是未知的，有待于 LINGO 求解。例如，产品集中的每个产 品可以有一个价格属性；卡车集中的每辆卡车可以有一个牵引力属性；雇员集中的每位 雇员可以有一个薪水属性，也可以有一个生日属性等等。 LINGO 有两种类型的集：原始集(primitive set)和派生集(derived set)。 一个原始集是由一些最基本的对象组成的。 一个派生集是用一个或多个其它集来定义的，也就是说，它的成员来自于其它已存 在的集。
（iii）LINGO 可以用来求解线性，非线性和整数规划问题。 （iv）LINGO NL (LINGO2) 可以用来求解线性，非线性和整数规划问题。 与 LINDO 和 GINO 不同的是，LINGO 和 LINGO NL (LINGO2) 包含了內置的建模 语言，允许以简练，直观的方式描述较大规模的优化问题，模型中所需的数据可以以一 定格式保存在独立的文件中。 （v）“what’s best！” 组件主要用于数据文件是由电子表格软件（如 LUTOS1-2-3 和 MS OFFICE 等）生成的情形。 LINDO 软件包有多种版本，但其软件內核和使用方法基本上是类似的。下面介绍 LINGO 组件的基本使用方法。
《运筹学教学资料》第二章winqsb教程
结果分析
根据输出结果进行分析，判断问 题是否得到解决，并进一步分析 决策变量的取值和最优解的意义 等。
04
WinQSB案例分析
线性规划案例分析
线性规划案例
某公司需要安排生产计划，目标是最大化利润，约束条件包括原材料、人工和 机器的限制。通过WinQSB软件，可以建立线性规划模型，并使用单纯形法求 解，得出最优解。
总结
线性规划是一种常见的优化方法，用于解决资源分配和生产计划等问题。 WinQSB软件提供了方便的界面和强大的求解功能，使得线性规划问题能够快 速得到解决。
整数规划案例分析
整数规划案例
某零售商需要确定在哪些城市开设分店，目标是最大化总利润。约束条件包括预 算和分店数量限制，同时要求分店位置为整数（即城市数量）。通过WinQSB软 件，可以建立整数规划模型，并使用分支定界法求解，得出最优解。
如何解决WinQSB运行时出现的问题？
总结词：详细描述
总结词：详细描述
总结词：详细描述
01
03 02
如何使用WinQSB求解不同类型的运筹学问题？
01 02 03
总结词：详细描述 总结词：详细描述 总结词：详细描述
THANK YOU
感谢聆听
结果分析
根据输出结果进行分析，判断 问题是否得到解决，并进一步 分析决策变量的取值和最优解 的意义等。
动态规划问题的建立与求解
建立问题
在问题区输入动态规划问题的状 态转移方程、状态转移矩阵、决 策变量和目标函数等。
求解问题
选择菜单栏中的“问题”->“动 态规划”->“求解”进行求解， WinQSB会自动进行迭代并输出 最优解和最优值等信息。
80%
结果分析
运筹学软件(LINGO)简介
目标与约束段
对于产品数量的平衡方程而言， 由于下标I=1时的约束关系 与I=2,3,4时有所区别(因为定义的变量INV是不包含INV(0)), 因 此把I=1的约束关系单独写出“INV(1)=10+RP(1)+OP(1)-DEM(1);”, 而对I=2,3,4对应的约束, 增加了一个逻辑表达式来刻划: @FOR(QUARTERS(I)|I#GT#1: INV(I)=INV(I-1)+RP(I)+OP(I)-DEM(I););
② 变量定界函数 @GIN(X): @BIN(X): @FREE(X): 限制X为整数. 限制X为0或1. 取消对X的符号限制.
@BND(L,X,U): 限制 L ≤ X ≤ U .
注: 有关其它函数的介绍, 请参考LINGO的帮助文件.
4、运算符说明 ① 运算符 算数运算符: +(加法), -(减法或负号), *(乘法), /(除法), ^(求幂). 关系运算符: <(即<=,小于等于）, >(即>=,大于等于）. 注:优化模型中的约束一般没有严格小于、严格大于关系. =(等于),
逻辑运算符: #AND#(与), #EQ#(等于), #OR#(或), #NE#(不等于), #NOT#(非); #GT#(大于).
#GE#(大于等于), #LT#(小于),#LE#(小于等于).
注: 逻辑运算的结果为“真”(TRUE)和“假”(FALSE), LINGO 中用数字1代表TRUE, 其它值都是FALSE.
2、状态窗口说明（例1）
Variables(变量数量) Total(变量总数) Nonlinear(非线性变量) Integer(整数数量)
注:由于LINGO对中文操作系 统的兼容性不好, 所以有些 显示字符和单词被截掉了.
利用Matlab进行运筹优化问题求解
利用Matlab进行运筹优化问题求解运筹学优化问题求解是一门涉及不同领域的学科，包括数学、经济学和管理学等。
利用数学模型和算法，优化问题解决了许多实际生活中的困难和挑战。
而Matlab是一种强大的数值计算与科学工程计算软件，使用它可以帮助我们更高效地解决运筹学优化问题。
一、Matlab简介Matlab是MATrix LABoratory的缩写，由MathWorks公司开发。
它是一种高级技术计算语言和环境，广泛应用于数学建模、数据分析、算法开发和科学计算等领域。
Matlab具有强大的数值计算和数据可视化功能，并且支持各种数学模型和算法的实现。
二、数学建模数学建模是在实际问题中，利用数学工具和方法构造数学模型，对问题进行描述、分析和解决的过程。
在运筹学优化问题中，数学建模是至关重要的一步。
通过对问题的抽象，我们可以使用数学语言和符号来描述和分析问题的数学特性。
在Matlab中，我们可以使用符号计算工具箱来进行数学建模。
符号计算工具箱允许我们用符号表达式而不是数值来处理数学问题。
通过将变量定义为符号对象，我们可以进行代数运算、求导、积分等操作。
这为我们解决运筹学优化问题提供了很大的灵活性。
三、线性规划问题线性规划是运筹学中最基本和最常用的数学建模和优化问题求解方法之一。
它的数学模型可以表示为：```minimize c^T * xsubject to A * x <= bx >= 0```其中，c是一个包含目标函数的系数的列向量，x是一个包含待求解变量的列向量，A是一个包含约束条件系数的矩阵，b是一个包含约束条件的右端常数向量。
在Matlab中，我们可以使用优化工具箱的线性规划函数`linprog`来求解线性规划问题。
该函数可以通过传入目标函数系数、约束条件系数和右端常数等参数来进行求解，并返回最优解和最优值。
四、整数规划问题整数规划是在线性规划的基础上，对变量加上整数约束条件的问题。
整数规划在运筹学优化问题中有着广泛的应用，如物流路径优化、生产调度和资源分配等。
运筹学软件的使用
常用数学软件－统计类
• Minitab同样是国际上流行的一个统计软件包，其 特点是简单易懂。MiniTab for Windows统计软 件比SAS、SPSS等小得多，但其功能并不弱， 特别是它的试验设计及质量控制等功能。 MiniTab目前的最高版本为V14.1，它提供了对存 储在二维工作表中的数据进行分析的多种功能， 包括：基本统计分析、回归分析、方差分析、多 元分析、非参数分析、时间序列分析、试验设计、 质量控制、模拟、绘制高质量三维图形等，从功 能来看，Minitab除各种统计模型外，还具有许多 统计软件不具备的功能－－矩阵运算。
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例2
model: max=2*x1+x2+3*x3+x4; 2*x1+x2+2*x3+2*x4<=8; -x1+x2+4*x3<=4; 4*x1-x2+2*x3+2*x4=8; x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0; end
21
Global optimal solution found. Objective value: Total solver iterations:
60.00000 2
• • • • Price • • • • • •
Variable X1 X2 Row 1 2 3 4 5 6
Value 8.000000 5.000000
Reduced Cost 0.000000 0.000000 Dual
Slack or Surplus 60.00000 0.000000 0.000000 3.000000 8.000000 5.000000
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例1
运筹学软件
2 Lindo6.1菜单和工具图标
2.1 Lindo菜单 Solve
2 Lindo6.1菜单和工具图标
2.1 Lindo菜单 Report
2 Lindo6.1菜单和工具图标
2.1 Lindo菜单 Windows
2 Lindo6.1菜单和工具图标
2.1 Lindo菜单 Help
2 Lindo6.1菜单和工具图标
MAX 3X1+4X2+5X3+3X4+2X5 ST 2X1+3X2+4X3+5X4+X5<11 3X1+4X2+2X3+X4+3X5<16 7X1+2X2+5X3+4X4+2X5<19 END
4.10 定义变量的上下界
<变量名 <变量下界值 变量名> 变量下界值> SLB <变量名> <变量下界值> <变量名 <变量上界值 变量名> 变量上界值> SLB <变量名> <变量上界值>
f(x)~目标函数
gi(x)≤0~约束条件
0-1整数规划 一般整数规划
纯整数规划(PIP) 混合整数规划(MIP)
整数规划(IP)
1 LINDO 公司软件产品简要介绍
美国芝加哥(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年 前后开发, 后来成立 LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.）， 网址：
2 Lindo6.1菜单和工具图标
2.1 Lindo菜单
Lindo 有六个下拉菜单
File Edit Solve Reports Window Help 文件 编辑 求解 报表 窗口 帮助
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运筹学优化软件Xpress-MP功能介绍Xpress-MP是一个数学建模和优化工具包，它用于求解线性，整数，二次，非线性，以及随机规划问题。
Xpress-MP的用户包括：•需要在其产品中嵌入优化功能的OEM/ISV。
•向顾客提供优化解决方案的咨询人员。
•大型机构中需直接解决其自身的优化问题的商业分析师和其他最终用户。
Xpress-MP工具包可以用于所有常见的计算机平台，并具有不同性能的版本，以及解决各种不同规模的问题。
本产品支持多种用户/软件接口，包括可以使用C，C++，VB，Java，和.net语言进行调用的API库，以及独立的命令行界面。
请点击此处以查看详细信息。
在这里我们将介绍Xpress-MP工具包中的各种产品，这些产品使Xpress-MP能够应用于如此广泛的领域中。
求解引擎Xpress-Optimizer中包含的优化算法使你能够求解线性规划问题（LP），混合整数规划问题（MIP），二次规划问题（QP），以及混合整数二次规划问题（MIQP）。
Xpress-SLP是一个非线性规划问题（NLP）以及混合整数非线性规划问题（MINLP）的求解器。
它使用了连续线性逼近方法，这一方法从过程工业的技术中发展而来，能够解决具有数千个变量的大型问题。
Xpress-SP是一个随机规划工具，用于求解具有不确定性的优化问题。
Xpress-SP可以用于建模和求解在供应链管理，能源，财务，运输，等等过程中出现的问题，它将不确定性嵌入到优化问题中，以避免未来的变数。
Xpress-Kalis是一个有约束规划软件，它构建于Artelys的Kalis求解器之上。
Xpress-Kalis 专用于离散组合问题，这些问题频繁出现于诸如规划和计划制定之类的问题中。
建模和开发工具Xpress-Mosel使你能够定义你的问题，然后使用一个或多个Xpress求解引擎进行求解，并对结果进行分析，这一切都通过一种专为此目的设计的全功能的编译型编程语言来实现。
Xpress-Mosel环境包括Mosel语言及其调试器；用于在此语言中直接访问其他软件组件和外部数据源的模块和I/O驱动；用于将模型嵌入到应用程序中的库；以及一个开放的接口，以便用户对Mosel语言进行扩展。
Xpress-BCL是一个面向对象的库，用于在应用程序中直接构建，求解，以及分析问题。
Xpress-IVE是一个完整的Windows下的Xpress-Mosel可视化开发环境。
它包括一个Mosel程序编辑器，编译器，以及执行环境。
Xpress-Application Developer（XAD）通过使用一组图形用户界面开发API对Xpress-Mosel进行扩展，使Mosel成为一个能够完成从问题的数学表达到创建用户界面中这一完整的优化应用程序开发过程的建模和编程语言。
其他工具用于Xpress-Mosel：ODBC I/O驱动以及mmodbc模块使用户能够使用数据库以及电子表格作为外部数据源。
Xpress-OptimizerXpress-Optimizer中包含了复杂，鲁棒的算法，以对工业应用中最急需解决的问题进行迅速精确的求解。
这一已被证实的优化技术已在世界上大量的商业应用中使用，以对具有数百万个变量以及约束条件的问题提供快速可靠的解答。
Xpress-Optimizer因其解决数值求解困难或求解不稳定的问题的能力而声名远扬，这也是它在过程工业中能够在市场中遥遥领先的原因所在。
先进的算法Xpress-Optimizer算法使你能够求解：•LP——线性规划问题•MIP——混合整数规划问题•QP——二次规划问题•MIQP——混合整数二次规划问题如果你的问题是非线性的，则可以使用Xpress-SLP求解器，它使用了连续线性逼近技术，可以解决具有数千个变量的非线性和混合整数非线性问题。
灵活的运用工具包中提供了命令行工具形式的Xpress-Optimizer，并有一组简单但强大的交互用户界面；也提供了可调用的库形式的Xpress-Optimizer，并具有C，C++，Java，Fortran，VB6，和.net编程接口。
它与工业标准的LP和MPS文件格式完全兼容，并且对日志记录，二进制存储文件，以及ASCII/二进制解决方案文件提供了广泛的支持。
作为Xpress-MP工具包中的一个集成组件，Xpress-Optimizer引擎也可以与Xpress-Mosel 的高级模型开发环境或Xpress-BCL建模库的广泛的规划功能结合使用。
跨平台Xpress-Optimizer可以应用于多种计算机体系结构和操作系统之上，并针对每个平台的特性进行了优化。
单纯形优化器Xpress-Optimizer为原始和对偶单纯形算法提供了快速，可靠的实现，以对LP问题进行求解。
•集成了预求解算法，以降低问题规模和缩短求解时间。
•自动设置以达到最佳性能，同时也提供了一组丰富的用户设置参数，以对优化过程进行高级控制。
•快速从已有的高级基础上重新开始。
可以对问题进行修改，从而将求解所需时间降低到原先的很小一部分。
•不可行性检测和诊断，以发现问题的不可行性。
•有效的退化分辨率技术。
Barrier优化器Xpress-Optimizer Barrier算法是对单纯形算法的一个替代，它使用内点法对线性规划和二次规划问题进行求解。
•集成了预求解算法，以降低问题规模和缩短求解时间。
•先进的Cholesky分解算法。
•快速地基本和对偶交叉到基本解。
•密集列处理。
•无交叉的解。
•在特定的平台上对于多处理器计算机提供了并行的Barrier算法。
MIP优化器Xpress-Optimizer使用复杂的分支界定法来求解MIP和MIQP问题，这种方法因其快速找到高质量解的能力而闻名于世。
•MIP预求解算法，对问题进行预处理，以减小问题规模和缩短求解时间。
•先进的割平面法，以自动提高边界的质量，并减小全局搜索的范围。
￮流覆盖￮广义上界（GUB）覆盖￮提升与投射￮Clique割￮流路径￮混合整数舍入￮Gomory分数割•二进制，整数，以及半连续变量，和特殊顺序的集合•广度优先，最优优先，深度优先搜索。
可自定义的节点以及变量选择策略。
用户回调函数使可以对节点和变量选择进行完全控制。
•多重LP算法，以初始LP松弛及节点求解。
•用户定义的分支优先级以及分支方向命令。
•直观推断。
•在特定的平台上对于多处理器计算机提供了并行的MIP算法。
Xpress-MoselXpress-Mosel使你能够定义你的问题，然后使用适当的求解引擎进行求解，并对结果进行分析，这一切都将使用一种专为此目的设计的全功能的编译型编程语言来实现。
Mosel程序是编译型的程序，这使它能够快速运行，并对最终用户隐藏其中的知识产权。
这些程序可以交互地运行，或嵌入到应用程序中。
Mosel语言Mosel语言易于学习和使用，这就使用户不需太多花费就可以从无到有开发优化模型，理解并审查别人开发的模型，并在远期对模型进行修改和维护。
可视化的开发环境Xpress-IVE使这一过程变得更为简单。
对任意范围，任意索引集，以及稀疏对象的完全支持意味着即使规模最大最复杂的问题也可以进行清晰简练的表达，而且不需要依赖于任何特定的数据实例。
你可以使用Mosel调试器来协助用Mosel语言进行模型开发。
这一调试器支持所有典型的调试功能，以对模型的执行进行跟踪和分析。
求解器模块和数据处理Mosel是完全开放的，用户可对其进行扩展。
Mosel发行版本包括扩展库（也称为模块），借助于其中的一个扩展库，你只需要在Mosel程序中插入优化语句，就可以直接控制Xpress-Optimizer。
其他求解器模块提供了对Xpress-SLP的访问，以定义和求解非线性问题，也提供了对随机规划工具Xpress-SP，以及有约束规划软件Xpress-CP等的访问。
另外有一个模块提供了ODBC数据驱动，它提供了直接访问所有常见的数据库以及电子表格的接口。
除了使用ODBC接口之外，数据也可以直接从文本文件，内存，或I/O流中读出或向其中写入。
模型嵌入库为对模型进行部署，通常需要将模型嵌入到公司的信息系统中。
借助Mosel库，你可以从编程语言环境（例如，C或Java）中执行和访问Mosel语言开发的模型。
这一灵活的接口为诸如在模型和大的应用程序之间交换数据和解的值这样的应用提供了方法。
除了Mosel自己的功能之外，某些模块也提供了从编程语言环境中对其内部函数的直接访问。
本地化的接口通过Mosel的本地化接口，用户可以定义自己的模块或I/O驱动，它们将与Mosel发行版本中的软件组件同等看待。
这样用户就可以向Mosel语言加入新的功能（例如，实现针对特定问题的数据处理，或连接到外部的求解器或求解算法），并可以根据自己的需要使Mosel 语言不断进化。
Xpress-BCLXpress-BCL是一个面相对象的库，它用于在应用程序中创建数学规划问题。
它使用按部就班的方法，有加入一个变量，加入一个约束等等这样的函数，作为开发者，你可以在你的程序中调用这些函数，以逐步构建出整个问题。
在定义了完整的问题之后，就可以使用Xpress-Optimizer对其进行求解。
还有一些BCL 函数使你能够在你的应用程序中直接访问和分析求得的解。
BCL库具有C，C++，Java，和VB的接口。
Xpress-IVEXpress-IVE是一个完整的可视化开发环境，用于在Windows环境下进行Xpress-Mosel 的开发。
它整合了Mosel程序编辑器，编译器，以及执行环境。
用户可以在一个实体树中浏览其模型程序中的对象，这样就可以查看所有优化对象的已有的解的值。
可以将Mosel源文件和数据文件组织成为工程。
在运行时可以可视化地观察和分析优化器的性能。
对于在一个独立的可视化环境中为应用程序开发Mosel程序，针对特定的问题分析和调节优化器，以及开发和运行一次性的优化问题应用程序，Xpress-IVE是一个理想的工具。
Xpress-IVE是使用Xpress-SP进行随机规划，以及使用Xpress-Kalis进行有约束规划的推荐开发环境。
Xpress-IVE屏幕截图模型文件编辑优化集成了Xpress-Kalis和Xpress-SP 矩阵视图模型创建向导部署用户图Mosel模块支持Mosel模块创建Xpress-SLPXpress-SLP是一个非线性问题的求解器。
它使用了连续线性逼近方法，这一方法是从过程工业的技术中发展而来的，能够解决具有数千个变量的大型问题。
问题的定义可以使用Xpress-Mosel和Xpress-IVE来进行，或使用基于文件的格式，或直接从扩展API中进行。
也可以对混合整数非线性问题进行求解。
Xpress-IVE提供了一些可视化的辅助手段，它也能够使用电子表格或其他外部程序创建自定义的显示（例子中显示了一个从地球到月球的火箭的轨迹的演变，分别进行了10次，20次，和30次迭代，以及收敛后的解）。