生物统计学—卡方检验
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统计学--第十二章卡方检验
(a b)(c d )(a c)(b d )
统计学--第十二章卡方检验
第二节 行×列表的2检验
• 当行或列超过2组时通称为行×列表，或 R×C表，亦称列联表contingency table。 可用于
• 1、多个率的比较 • 可用以下简化公式(无相应校正公式)
2 n( O2 1) nrnc 统计学--第十二章卡方检验
• 4、理论数：
– 一般溃疡患者80，按理论治愈率应治 愈80×52.51%=42.01,称theoretical value, theoretical frequency. 记为T。同理可得
统计学--第十二章卡方检验
其余理论数。亦可由减法求得
– Trc=(nrnc)/n:理论数为行合计乘列合计 除总合计
好转为2，显效为3，痊愈为4，计算其均 数，称行平均分row mean score
统计学--第十二章卡方检验
• aj为各疗效得分，n1j为第一行各疗效的频数，n1+ 为第一行合计
• 同理计算第二行平均分
• 再进行行平均得分差检验—χs2
f1
4 j1
ajn1j n1
s2
( f1 )2
(n n1 ) /[n1 (n 1)]}
特 殊 类 型 31(51.99) 68(47.01) 99
合计
94
85
179
统计学--第十二章卡方检验
– 为检验是否为第二种情况，无效假设 为两种治愈率本无不同，差别仅由抽 样误差所致。
• 3、理论治愈率：
– 根据两组治愈率相同的假设，合计治 疗179人，总治愈94人，得理论治愈率 为 94/179=52.51%
– HO：1＝2，即两总体阳性率相等 – H1：12，即两总体阳性率不等 – ＝0.05
统计学--第十二章卡方检验
第二节 行×列表的2检验
• 当行或列超过2组时通称为行×列表，或 R×C表，亦称列联表contingency table。 可用于
• 1、多个率的比较 • 可用以下简化公式(无相应校正公式)
2 n( O2 1) nrnc 统计学--第十二章卡方检验
• 4、理论数：
– 一般溃疡患者80，按理论治愈率应治 愈80×52.51%=42.01,称theoretical value, theoretical frequency. 记为T。同理可得
统计学--第十二章卡方检验
其余理论数。亦可由减法求得
– Trc=(nrnc)/n:理论数为行合计乘列合计 除总合计
好转为2，显效为3，痊愈为4，计算其均 数，称行平均分row mean score
统计学--第十二章卡方检验
• aj为各疗效得分，n1j为第一行各疗效的频数，n1+ 为第一行合计
• 同理计算第二行平均分
• 再进行行平均得分差检验—χs2
f1
4 j1
ajn1j n1
s2
( f1 )2
(n n1 ) /[n1 (n 1)]}
特 殊 类 型 31(51.99) 68(47.01) 99
合计
94
85
179
统计学--第十二章卡方检验
– 为检验是否为第二种情况，无效假设 为两种治愈率本无不同，差别仅由抽 样误差所致。
• 3、理论治愈率：
– 根据两组治愈率相同的假设，合计治 疗179人，总治愈94人，得理论治愈率 为 94/179=52.51%
– HO：1＝2，即两总体阳性率相等 – H1：12，即两总体阳性率不等 – ＝0.05
重庆大学生物统计学_第五章 卡方检验
卡方 (χ2) 分布的函数
( ) CHIDIST：自由度为n的卡方分布在x点处的单尾概率 P χ2 > x
CHIINV： 返回自由度为n的卡方分布的单尾概率函数的逆函 数• CHIDIST •
X•
需要计算分布的数字（X非负值） •
Degrees_freedom • 自由度 •
CHIINV • Probability • 卡方分布的单尾概率 • Degrees_freedom • 自由度 •
没有关联 • 2. 规定显著性水平 • 3. 根据无效假设计算出理论数 • 4. 根据规定的显著水平和自由度计算出卡方值，
再和计算的卡方值进行比较。 • 如果接受假设，则说明因子之间无相关联，
是相互独立的 • 如果拒绝假设，则说明因子之间的关联是显
著的，不独立 •
一、2X2列联表的独立性检验 •
设A、B是一个随机试验中的两个事件，其中A可能 出现r1、r2个结果，B可能出现c1、c2个结果，两 因子相互作用形成4个数，分别以O11、O12、O21、 O22表示，即 • 2X2列联表的一般形式 •
故应否定H0，接受HA，认为鲤鱼体色F2性状比不符合3:1比率
（4）推断：由CHIINV(0.025, 1)=6.63, 即 χ c 2 > χ0 2.05(1),即P<0.05
故应否定H0，接受HA，认为鲤鱼体色F2性状比不符合3:1比率
独立性检验 •
步骤： • 1. 提出无效假设，即认为所观测的各属性之间
故应否定H0，接受HA，认为吸烟与患气管病极显著相关
（4）推断：由CHIINV(0.025, 1)=6.63, 即 故应否定H0，接受HA，认为吸烟与患气管炎病密切相关
二、rXc列联表的独立性检验 •
生物统计学—卡方检验
独立性检验
步骤： 1. 提出无效假设，即认为所观测的各属性之间
没有关联 2. 规定显著性水平 3. 根据无效假设计算出理论数 4. 根据规定的显著水平和自由度计算出卡方值，
再和计算的卡方值进行比较。 如果接受假设，则说明因子之间无相关联，
是相互独立的 如果拒绝假设，则说明因子之间的关联是显
著的，不独立
一、2X2列联表的独立性检验
设A、B是一个随机试验中的两个事件，其中A可能
出现r1、r2个结果，B可能出现c1、c2个结果，两 因子相互作用形成4个数，分别以O11、O12、O21、 O22表示，即
2X2列联表的一般形式
r1 r2 总和
c1 O11 O21 C1＝O11＋O21
c2 O12 O22 C2＝O12＋O22
解：（1）假设 H0 : 鲤鱼体色F2性状分离符合3:1 对 H A : 鲤鱼体色F2性状分离不符合3:1
（2）选取显著水平 0.05
（3）检验计算： 计算鲤鱼体色的理论值
体色 F2理论尾数
青灰色 1201.5
红色 400.5
总数 1602
k
cc2 i 1
Oi Ei
0.5 2 301.63
1
2
2
xx
将样本方差代入，则：c
2
(k
1) s 2
2
其c2服从自由度为(k-1)的卡方分布
卡方函数的使用
假设
H 0:
2
2 0
,
适用右尾检验 ，其否定区为： c 2 c2
假设
H
0:
2
2 0
,
适用左尾检验
，其否定区为：
c
2
c2 1
假设
4实用生物统计学-卡平方检验 2014-06-03 [兼容式]
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2、计算理论次数 论次数：
在无效假设成立的条件
下，计算理论次数，即根据理论比例3:1计算理 紫花理论次数：T1=1650×3/4=1237.5； 白花理论次数：T2=1650×1/4=412.5， 或
T2=1650-1237.5=412.5。
表6-2
c2 计算表
理论次数 （T） 1237.5 412.5 1650
2 0.05
2
2 2 c ）＜ 0.01，0.01＜
p≤0.05，表
明实际观察次数与理论次数差异显著，实际观察 的属性类别分配显著不符合已知属性类别分配的 理论或学说；
若 （或
2
2 ）≥ c
2 0.01
，p ≤0.01，表明实际
观察次数与理论次数差异极显著，实际观察的 属性类别分配极显著不符合已知属性类别分配 的理论或学说。
下面积代表概率
卡方检验(chi-square test)
χ2检验是现代统计学的创始人之一，英国人
Karl . Pearson于1900年提出的一种具有广泛 用途的统计方法 可用于计数资料的关联度分析，拟合优度检验 等等
本节内容：适合型检验与独立性检验
二、 统计数的意义
2
引入卡方检验的目的：
2
2 c。
k－1查 2 值表（附表7）所得的临界 值： 0.05 或 0.01比
较：
将所计算得的 或
2
2 c 值与根据自由度 2 2
2 ，p＞0.05，表明实际观察 若 （或 c2）＜ 0.05 次数与理论次数差异不显著，可以认为实际观察
2
的属性类别分配符合已知属性类别分配的理论或 学说； 若 ≤ （或
卡方检验名词解释
卡方检验名词解释
卡方检验属于非参数检验，由于非参检验不存在具体参数和总体正态分布的假设，所以有时被称为自由分布检验。
参数和非参数检验最明显的区别是它们使用数据的类型。
非参检验通常将被试分类，如民主党和共和党，这些分类涉及名义量表或顺序量表，无法计算平均数和方差。
卡方检验分为拟合度的卡方检验和卡方独立性检验。
我们用几个例子来区分这两种卡方检验：
•对于可口可乐公司的两个领导品牌，大多数美国人喜欢哪一种？•公司采用了新的网页页面B，相较于旧版页面A，网民更喜欢哪一种页面？
以上两个例子属于拟合度的卡方检验，原因在于它们都是有关总体比例的问题。
我们只是将个体分类，并想知道每个类别中的总体比例。
它检验的内容仅涉及一个因素多项分类的计数资料，检验的是单一变量在多项分类中实际观察次数分布与某理论次数是否有显著差异。
拟合度的卡方检验定义：
主要使用样本数据检验总体分布形态或比例的假说。
测验决定所获得的的样本比例与虚无假设中的总体比例的拟合程度如何。
拟合度的卡方检验又叫最佳拟合度的卡方检验，为何取名“最佳拟合”？这是因为最佳拟合度的卡方检验的目的是比较数据（实际频数）与虚无假设。
确定数据如何拟合虚无假设指定的分布，因此取名“最佳拟合”。
关于拟合度的卡方检验有一些翻译上的区别，其实表达的是一个意思：
拟合度的卡方检验=卡方拟合优度检验=最佳拟合度卡方检验
以下统称：卡方拟合优度检验
卡方统计的公式：卡方卡方=χ2=Σ(fo−fe)2fe
公式中O代表observation，即实际频数；E代表Expectation，即期望频数。
生物统计学—卡方检验
CHIINV Probability Degrees_freedom
卡方分布的单尾概率 自由度
精品课件
卡方检验基础
2检验是以2分布为基础的一种假设检验 方法，主要用于分类变量，根据样本数据推 断总体的分布与期望分布是否有显著差异， 或推断两个分类变量是否相关或相互独立。
精品课件
卡方检验基础
2值的计算：
其否定 2 区 2为 和 2 ： 2
1
2
2
精品课件
例：已知某农田受到重金属污染，经抽样测定铅浓度分别为:
4.2, 4.5, 3.6, 4.7, 4.0, 3.8, 3.7, 4.2 (ug/g),方差为
0.150, 试检验受到污染的农田铅浓度的方差是不是和正常 浓度铅浓度的方差（0.065）相同
分析：1）一个样本方差同质性检验
由于离散型资料的卡方检验只是近似地服
从连续型变量的卡方分布，所以在对离散型资料
进行卡方检验计算的时，结果常常偏低，特别是
当自由度df=1时，有较大偏差，为此需要进行矫
正：
k c2 i1
等
精品课件
卡方 (c2) 分布
总体
m
选择容量为n 的 简单随机样本 计算样本方差S2
计算卡方值
2 = (n-1)S2/σ2
计算出所有的
2值
精品课件
不同容0
2
卡方 (c2) 分布的特点
不同容量样本的抽样分布
1、 2分布是一个以自由度n为参数
的分布族，自由度n决定了分布的 形状，对于不同的n有不同的卡方 分布
如果样本确实是抽自由（P1， P2，…,Pk）代表的总体，Oi和Ei之间的差异就只
是随机误差，则Pearson统计量可视为服从卡方 分布
生物统计学第四章——卡方检验
即x~B(10,p)。p根据实p际观测值的平均数 估计：
p f x0 8 1 1 5 2 2 0 3 1 0 4 5 5 2 0.191
nN
1 6 00
4.1 适合度检验
•用Excel函数BINOMDIST(i,n,p,0)计算二项分布的理论 概率：
4.1 适合度检验
• 将理论概率乘以苹果总箱数（N=60），得到理论次数：
下面，点击确定。
4.1 适合度检验
• ④ SPSS • 点击确定，即可得到结果：
4.1 适合度检验
•例 4.3 某批苹果进行保存实验，共60箱，每箱10个，实 验结束后检查每箱苹果的变质情况，结果如下表，试检 验苹果的变质数是否服从二项分布？
4.1 适合度检验
•设每个苹果变质的平均概率为p，变质数x服从二项分布，
4.1 适合度检验
② 6SQ统计插件 弹出对话框，无需修改设置：
4.1 适合度检验
•卡②方值6S为Q3统0计2.6插2件9，p=0.000<0.01，表明观测值比例与 •理论点比击有确非定常，显即著可的得差到异结。果：
4.1 适合度检验
③ DPS （1）输入数据与选择数据，点击菜单分类数据统计→模 型拟合优度检验：
• ① Minitab • 输入数据，点击菜单统计→表格→卡方拟合优度检验
（单变量）：
4.1 适合度检验
•检①验下Mi面nit选ab择按历史计数制定的比率，下拉条选择输入 •列，弹将出理对论话选框择，到将按实历际史选计择数到制观定测的计比数率后后面面，：豌豆性状
选择到类别名称（可选）后面。
4.1 适合度检验
第四章 卡方检验
• 卡方（χ2）检验主要有三种类型： • 第一是适合性检验，比较观测值与理论值是否符合； • 第二是独立性检验，比较两个或两个以上的因子相互
p f x0 8 1 1 5 2 2 0 3 1 0 4 5 5 2 0.191
nN
1 6 00
4.1 适合度检验
•用Excel函数BINOMDIST(i,n,p,0)计算二项分布的理论 概率：
4.1 适合度检验
• 将理论概率乘以苹果总箱数（N=60），得到理论次数：
下面，点击确定。
4.1 适合度检验
• ④ SPSS • 点击确定，即可得到结果：
4.1 适合度检验
•例 4.3 某批苹果进行保存实验，共60箱，每箱10个，实 验结束后检查每箱苹果的变质情况，结果如下表，试检 验苹果的变质数是否服从二项分布？
4.1 适合度检验
•设每个苹果变质的平均概率为p，变质数x服从二项分布，
4.1 适合度检验
② 6SQ统计插件 弹出对话框，无需修改设置：
4.1 适合度检验
•卡②方值6S为Q3统0计2.6插2件9，p=0.000<0.01，表明观测值比例与 •理论点比击有确非定常，显即著可的得差到异结。果：
4.1 适合度检验
③ DPS （1）输入数据与选择数据，点击菜单分类数据统计→模 型拟合优度检验：
• ① Minitab • 输入数据，点击菜单统计→表格→卡方拟合优度检验
（单变量）：
4.1 适合度检验
•检①验下Mi面nit选ab择按历史计数制定的比率，下拉条选择输入 •列，弹将出理对论话选框择，到将按实历际史选计择数到制观定测的计比数率后后面面，：豌豆性状
选择到类别名称（可选）后面。
4.1 适合度检验
第四章 卡方检验
• 卡方（χ2）检验主要有三种类型： • 第一是适合性检验，比较观测值与理论值是否符合； • 第二是独立性检验，比较两个或两个以上的因子相互
统计学卡方检验
个体化干预
根据分析结果，为患者提供个体化的干预措施，提高生存质量。
06
卡方检验注意事项及局限 性讨论
样本量要求及抽样方法选择
样本量要求
卡方检验对样本量有一定的要求，通常建议每个单元格的期望频数不小于5，以确保检验结果的稳定性和可靠性 。当样本量不足时，可能会导致检验效能降低，增加第二类错误的概率。
抽样方法选择
在进行卡方检验时，应选择合适的抽样方法。简单随机抽样是最常用的方法，但在某些情况下，如分层抽样或整 群抽样可能更适合。选择合适的抽样方法有助于提高检验的准确性和可靠性。
期望频数过低时处理策略
合并类别
当某个单元格的期望频数过低时，可以考虑 合并相邻的类别，以增加期望频数。合并类 别时应注意保持类别的逻辑性和实际意义。
适用范围及条件
适用范围
卡方检验适用于多个分类变量之间的独立性或相关性检验，如医学、社会科学等领域的调查研究。
条件
使用卡方检验需要满足一些前提条件，如样本量足够大、每个单元格的期望频数不宜过小等。此外， 对于有序分类变量或存在空单元格的情况，需要采用相应的处理方法或选择其他适合的统计方法。
02
卡方检验方法
统计学卡方检验
目录
• 卡方检验基本概念 • 卡方检验方法 • 数据准备与预处理 • 卡方检验实施步骤 • 卡方检验在医学领域应用举例 • 卡方检验注意事项及局限性讨论
01
卡方检验基本概念
定义与原理
01
02
定义
原理
卡方检验是一种基于卡方分布的假设检验方法，用于推断两个或多个 分类变量之间是否独立或相关。
确定分组界限
在确定分组界限时，可以采用等距分组、等频分组或 基于数据分布的分组方法。选择合适的分组界限有助 于保持各组之间的均衡性，减少信息损失。
根据分析结果，为患者提供个体化的干预措施，提高生存质量。
06
卡方检验注意事项及局限 性讨论
样本量要求及抽样方法选择
样本量要求
卡方检验对样本量有一定的要求，通常建议每个单元格的期望频数不小于5，以确保检验结果的稳定性和可靠性 。当样本量不足时，可能会导致检验效能降低，增加第二类错误的概率。
抽样方法选择
在进行卡方检验时，应选择合适的抽样方法。简单随机抽样是最常用的方法，但在某些情况下，如分层抽样或整 群抽样可能更适合。选择合适的抽样方法有助于提高检验的准确性和可靠性。
期望频数过低时处理策略
合并类别
当某个单元格的期望频数过低时，可以考虑 合并相邻的类别，以增加期望频数。合并类 别时应注意保持类别的逻辑性和实际意义。
适用范围及条件
适用范围
卡方检验适用于多个分类变量之间的独立性或相关性检验，如医学、社会科学等领域的调查研究。
条件
使用卡方检验需要满足一些前提条件，如样本量足够大、每个单元格的期望频数不宜过小等。此外， 对于有序分类变量或存在空单元格的情况，需要采用相应的处理方法或选择其他适合的统计方法。
02
卡方检验方法
统计学卡方检验
目录
• 卡方检验基本概念 • 卡方检验方法 • 数据准备与预处理 • 卡方检验实施步骤 • 卡方检验在医学领域应用举例 • 卡方检验注意事项及局限性讨论
01
卡方检验基本概念
定义与原理
01
02
定义
原理
卡方检验是一种基于卡方分布的假设检验方法，用于推断两个或多个 分类变量之间是否独立或相关。
确定分组界限
在确定分组界限时，可以采用等距分组、等频分组或 基于数据分布的分组方法。选择合适的分组界限有助 于保持各组之间的均衡性，减少信息损失。
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k
cc2 i 1
Oi Ei 0.5 2 Ei
当自由度df>1时，与连续型随机变量卡方分相
近似，这时可以不做连续性矫正
注意：要求各个组内的理论次数不小于5，如某 组理论次数小于5，则应把它与其相邻的一组或 几组合并，知道理论次数大于5为止
适合性检验
适合性检验（吻合性检验或拟合优度检验） 步骤：
1. 提出无效假设，即认为观测值和理论值之间 没有差异
2. 规定显著性水平 3. 计算样本卡方值 4. 根据规定的显著水平和自由度计算出卡方值， 再和实际计算的卡方值进行比较
例：有一鲤鱼遗传试验，以荷包鲤鱼（红色，隐性）与湘江 野鲤（青灰色，显性）杂交，其F2获得下表的所列的体色分 离尾数，问这一资料的实际观测值是否符合孟德尔一对等位 基因的遗传规律？
所以卡方值是度量实际观测值与理论值偏南 程度的一个统计量
卡方值越小，表明观测值与理论值越接近 卡方值越大，表明观测值与理论值相差越大 卡方值为0，表明H0严格成立，且它不会有下侧 否定区，只能进行右尾检验
卡方检验的原理和方法
由于离散型资料的卡方检验只是近似地服从连 续型变量的卡方分布，所以在对离散型资料进行 卡方检验计算的时，结果常常偏低，特别是当自 由度df=1时，有较大偏差，为此需要进行矫正：
总和Ri 300 200
T＝500
分析：1）独立性检验问题 2） 自由度为df=(2-1)*(2-1)=1，需要连续性矫正
解：（1）假设 H0 : 吸烟与患气管炎无关 对 H A : 吸烟与患气管炎有关联
（2）选取显著水平 0.05
（3）检验计算： 计算联表中的各项的理论次数
不同人群 吸烟人群 不吸烟人群
需要计算分布的数字 （X>0） 自由度
CHIINV Probability Degrees_freedom
卡方分布的单尾概率 自由度
卡方检验基础
c2检验是以c2分布为基础的一种假设检验方 法，主要用于分类变量，根据样本数据推断 总体的分布与期望分布是否有显著差异，或 推断两个分类变量是否相关或相互独立。
鲤鱼遗传试验F2观测结果
体色
青灰色
红色
总数
F2观测尾数 1503
99
1602
分析：1）适合性检验问题 2） 自由度为(2-1)=1，需要连续性矫正
解：（1）假设 H0 : 鲤鱼体色F2性状分离符合3:1 对 H A : 鲤鱼体色F2性状分离不符合3:1
（2）选取显著水平 0.05
（3）检验计算： 计算鲤鱼体色的理论值
1
46.988
（4）推断：由CHIDIST(46.988, 6)=1.88E-8,即 P c 2 23.174 0.01
卡方 (c2) 分布
总体
m
选择容量为n 的 简单随机样本 计算样本方差S2
计算卡方值
c2 = (n-1)S2/σ2
计算出所有的
c 2值
不同容量样本的抽样分布
n=1 n=4 n=10 n=20
c2
卡方 (c2) 分布的特点
不同容量样本的抽样分布
1、 c2分布是一个以自由度n为参数
的分布族，自由度n决定了分布的 形状，对于不同的n有不同的卡方 分布
1
2…Βιβλιοθήκη c总和1O11
O12
…
O1c
R1
2
O21
O22
…
O2c
R2
……
…
…
…
r
Or1
Or2
…
Orc
总和 C1
C2
…
Cc
T
二、rXc列联表的独立性检验
rXc列联表中各项理论频率的计算方法如2X2列联
表，即：Eij=(RiCj/T)，由于自由度df＝(r-1)( c-1),由 于r>2, c>2，故自由度df>1,因而不需要进行连续性矫
总和Cj
患病 33 22 55
不患病 267 178 445
总和Ri 300 200
T＝500
k
cc2 i 1
Oi Ei
0.5 2 23.174
Ei
（4）推断：由CHIDIST(23.174, 1)=1.48E-6,即 P c 2 23.174 0.01
应用统计学
第五章 卡方检验
卡方 (c2) 分布
设总体服从正态分布N ~ (μ, σ2 )， X1，X2， …，Xn为来自该正态总体的样本，则样本 方差 s2 的分布为
(n 1)s2
2
~
c 2 (n 1)
将c2(n – 1)称为自由度为(n-1)的卡方分布
主要适用于对拟合优度检验和独立性 检验，以及对总体方差的估计和检验等
Pearson定理：当（P1，P2，…,Pk）是总体的真实
概率分布时，统计量 c 2 k ni npi 2 i1 npi
随着n的增加渐近于自由度df=k-1的卡方分布。其中
P1，P2，…,Pk为k种不同属性出现的频率，n为样 本容量，ni为样本中第i种属性出现的次数，是观
测值，记为Oi，pi为第i种属性出现的概率，npi则
n=1 n=4 n=10
n=20
2、卡方分布于区间[0, )，是一种 非对称分布。一般为正偏分布 c2
3、卡方分布的偏斜度随自由度降低而增大，当自由度
为1时，曲线以纵轴为渐近线；当自由度增大的时，
分布曲线渐趋近左右对称，当自由度大于等于30的
时候，卡方分布接近正态分布
4、卡方分布具有“可加性” X、Y 独立，
可以看成理论上该样本第i种属性出现的次数，理
论值记为：Ei，即 k c2
Oi Ei 2 , (df k 1)
i1
Ei
卡方检验的原理和方法
Pearson定理的基本含义：
如果样本确实是抽自由（P1，P2，…,Pk）代 表的总体，Oi和Ei之间的差异就只是随机误差， 则Pearson统计量可视为服从卡方分布
体色 F2理论尾数
青灰色 1201.5
红色 400.5
总数 1602
k
cc2 i 1
Oi Ei
0.5 2 301.63
Ei
（4）推断：由CHIDIST(301.63, 1)=1.45E-67,即P c 2 301 .63 0.01
故应否定H0，接受HA，认为鲤鱼体色F2性状比不符合3:1比率
4
79
50岁以上
10
11
23
5
49
总和
109
43
53
14
219
分析：1）独立性检验问题 2） 自由度为df=(4-1)*(3-1)=6，不需要连续性矫正
解：（1）假设 H0 : 治疗效果与年龄无关 对 H A : 治疗效果与年龄有关
（2）选取显著水平 0.05
（3）检验计算： 计算联表中的各项的理论次数
c2
1
2
xx 2
将样本方差代入，则：c 2
(k
1) s 2
2
其c2服从自由度为(k-1)的卡方分布
卡方函数的使用
假设
H 0:
2
2 0
,
适用右尾检验 ，其否定区为： c 2 c2
假设
H 0:
2
2 0
,
适用左尾检验
，其否定区为：
c
2
c2 1
假设
H 0:
c2
(k
1)s 2
2
8 1 0.150
0.065
16.15
（4）推断：当df＝8-1＝7，由CHIINV(0.025,7)＝16.01，即
c
2
c 2 0.025
否定H0，接受HA，即样本方差与总体方差
试不同质的，认为受到污染的农田铅浓度的方差与正
常农田的方差有显著差异
卡方检验的原理和方法
反之，如果样本不是抽自由（P1，P2，…,Pk） 代表的总体，Oi和Ei之间的差异就不只是是随机 误差，从而使计算出的统计量有偏大的趋势
因此，对Pearson统计量进行单尾检验（即 右尾检验）可用于判断离散型资料的观测值与理 论值是不是吻合
卡方检验的原理和方法
统计假设： H0：观测值与理论值的差异是由随机误差引起 HA：观测值与理论值之间有真实差异
卡方检验基础
c2值的计算：
c 2 ( A E)2
E
由英国统计学家Karl Pearson首次提出，故被 称为Pearson c2 。
卡方检验基础－用途
检验某个连续变量的分布是否与某种理论分布一致，如是否符合正态 分布等
检验某个分类变量各类的出现概率是否等于指定概率 检验两个分类变量是否相互独立，如吸烟是否与呼吸道疾病有关 检验控制某种或某几种分类变量因素的作用之后，另两个分类变量是 否独立，如上例控制年龄、性别之后，吸烟是否与呼吸道疾病有关 检验两种方法的结果是否一致，如两种诊断方法对同一批人进行诊断， 其诊断结果是否一致
年龄 11～30 31～50 50岁以上
总和
治愈 45.29 39.32 24.39
109
显效 17.87 15.51 9.62
43
好转 20.02 19.12 11.86
53
无效 5.82 5.05 3.13 14
总和 91 79 49 219
c2 T
Oi2j RiC
j
2、给出显著水平 3、依据H0，可以推算出理论值，计算卡方值 4、进行推断