近世代数学习教材PPT课件

逆元
域
特殊子环 （两个二元百度文库算：,
单位元，无零因子 整环 理想 商环
)
特殊环
两个运算的结合律、交换律、吸收律
格 两个运算的分配律 分配格 布尔代数 两个运算的单位元、逆元 两个运算有单位元 有界格 两个运算有逆元 有补格
第九章 群论
§9.1 一些群的定义
（7）半群——代数系统满足交换律
§8.3 同构与同态
（4）同构：（X， ）与（Y，）存在一一对应函
数g : XY使得如x1 , x2X，则有：g（x1 x 2）＝g（x1）
g（x2）此时则称（X, ）与（Y，）同构。 （5）同态：（X , ）与（Y，）存在函数g : XY
使得如x1 , x2X，则有：g（x1
第三篇 近世代数
代数系统是建立在集合论基础上以代 数运算为研究对象的学科。本篇共三章， 第五章代数系统基础介绍代数系统的一般 原理与性质， 第六章群论，主要介绍具有 代表性的代数系统－群，最后第七章其它 代数系统，介绍除群外常见的一些代数系 统，如环、域、格与布尔代数等，这三章 相互配合构成了代数系统的完整的整体。
（8）单元半群——半群存在单位元 （9）群——半群存在单位元与逆元
（10）可换群——群满足交换律
（11）变换群——集合A上所有的变换构成的集合E （A），对于复合变换所构成的代数系统（E（A）, ） 是一个群，称变换群。 （12）循环群——群有生成元。 （13）有限群：群（S, ）中S为有限集。 （14）子群：群（G，）上G的子集所构成的群。
（25）域的基本理论
1）域是整环； 2）有限整环必是域。
第十一章 格与布尔代数
§11.1 格与布尔代数
（26）格：（P，＋,

）中，两
个运算的结合律、吸收律、交换律；
（27）布尔代数：格（B，＋, ）
中，两个运算的分配律、单位元、逆
元。
（28）格的基本理论
1） 一个偏序格必是一个代数格，反之亦然； 2）格的运算性质。 a≤a∨b , b≤a∨b （a∨b≥a , a∨b≥b）

x2）＝g（x1）g（x2）
）与（Y，）同态。 此时则称（X，
§8.4 常用代数系统
（6）代数系统的构成
交换律
可换群
生成元 （一个二元运算 ） 循环群 结合律 半群 单位元、逆元 群 子集上的群 子群 交换律 可换半群 特殊群 变换群 单位元 特殊群 单元半群 生成元 正规子群、商群 循环半群 代数系统 （两个二元运算：, ) 可换群, 半群, 对分配群 环 交换律 可换环 单位元,

有单位
（23）域：环（P，＋, ）中，运算 交换律，有 单位元，逆元；
（24）环的基本理论 环的基本运算性质： a 0 = 0 a = 0；
b = －（a b） a （－b）=（－a）
(－a) (－b)＝a

b
环中无零因子 环满足消去律； 环中子系统S是子环的充要条件是as 则必有a－1S。
有限群必与置换群同构；
循环群要么与（I,＋）同构，要么与（Zm，＋m）同构；
一个群子集H构成群（H,o）的充分必要条件：a,bH 则a bH ,aH 则a－1 H；
一个群子集H构成子群（H,o）的充分必要条件：a,b H 则a b－1 H ；
一个有限群的阶一定被它的子群的阶所等分（拉格朗日定 理）； f是群（G, ）与（G，）的满同态，K是f的核，则必有： （G/k , ）与（G，）同构；
第十章 环论
§10.1 环和域

（ 20 ）环：（ R ，＋ , ），对＋的可换群，对 的半群， 对＋的分配律；
（21）理想：（D，＋, ），环（R，＋, ）的子 环，满足：aR , bD，必有：a bD , b aD； （22）整环：环（R，＋, ）中，运算 元，无零因子；
§9.2 一些群的理论与半群性质：
半群的子代数也是半群。 循环半群是可换半群。 （19）关于群的基本理论 群方程可解性：a x = b（或x a = b）对x存在唯一解； 群的消去律：a b = a c（或b a = c a）必有b = c； 任一群必与变换群同构； 与一个群同构或满同态的代数系统必为群； 一个代数系统有限群满足结合律及消去律则必为群；
第八章 代数系统
§8.1 代数系统一般概念
1．代数系统中的基本概念 （ 1 ）代数系统：集合上具有封闭性的运算组成代数系统 （S , ）。 （2）子代数：代数系统（S, ），（S，）满足： ① SS ② 如 a , bS，ab = a b 则称（S，）为（S, ）的子代 数。
§8.2 代数系统常见的一些性质
（3）代数系统常见性质 1）结合律：（a b） c＝a （b c） 2）交换律：a b＝b a 3）分配律：a （b＋c）＝（a b）＋（a c） 4）单位元：a 1＝a 5）逆元：a a－1＝1 6）零元：a 0＝0
7）生成元
a≤c且b≤c a∨b≤c （a≤c且b≤cc≥a∨b） a∧b≤a , a∧b≤b （a≥a∧b , b≥a∧b）
c≤a且c≤b c≤a∧b （c≤a且c≤bc≥a∧b≥c）
（15）正规子群：（ H， ）是群（ G， ）的子群， 如对aG都有：aH = Ha则称（H，）是（G，）的正规 子群。 （16）陪集：H是G的子群，Ha＝{ha | hH}, aH = {ah | hH }分别称H在G中的一个右陪集或左陪集。 （17）商群：H是G的正规子群，对Ha，HbG/H， 二元运算（Ha)(Hb)＝Hab构成群，则称H是G的商群。 （18）单元半群性质： 单元半群的子系统若包含单位元也是单元半群。 可列个元素的单元半群的运算组合表每行（列） 均不相同。 循环单元半群是可换单元半群。 可换单元半群的所有等幂元素是一个子单元半群。