【精准解析】云南省弥勒市第一中学2019-2020学年高二下学期第三次月考数学(文)试题

弥勒一中高二年级文数月考3一、选择题1. 设集合A ={0，1，2，4}，{14}B x Rx =∈<≤∣，则A ∩B =（ ） A. {1，2，3，4} B. {2，3，4} C. {2，4} D. B ={x |1<x ≤4} 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用交集的定义运算即得解. 【详解】由题得{}{}0,1,2,4{14}24A B x x =<=∣,.故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2. 若复数z=的共轭复数是=a+bi （a ，b ∈R ），其中i 为虚数单位，则点（a ，b ）为（ ）A. （﹣1.2）B. （﹣2，1）C. （1，﹣2）D. （2，﹣1）【答案】B 【解析】试题分析：利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 解：复数z===﹣2﹣i ，∴=﹣2+i ，点（a ，b ）为（﹣2，1）．故选B ．考点：复数的代数表示法及其几何意义． 3. 若12cos 13x =，且x 为第四象限的角，则tanx 的值等于（ ） A.125B. －125C. 512D. －512【答案】D 【解析】试题分析：∵x为第四象限的角，5sin 13x ∴==-，于是5513tan 121213x -==-，故选D ．考点：商数关系．4. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A.13B.12C.23D.34【答案】A 【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A 5. 已知函数()1020x e x f x x x -⎧-≤=⎨->⎩，，，若()1f a =-，则实数a 的值为（ ）A. 2B. ±1C. 1D. -1【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数，分0a ≤和0a >讨论求解.【详解】当0a 时，11a e --=-，解得1a =，舍去； 当0a >时，21a -=-，解得1a =, 综上：实数a 的值为1. 故选：C【点睛】本题主要考查分段函数的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.6. “01m ≤≤”是“函数()cos 1f x x m =+-有零点”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 试题分析：()0cos 1f x x m =⇒=-，由01m ≤≤，得011m ≤-≤，且1cos 1x -≤≤，所以函数()cos 1f x x m =+-有零点．反之，函数()cos 1f x x m =+-有零点，只需|1|1m -≤⇒02m ≤≤，故选A ．考点：充分必要条件．7. 将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图1所示，则原工件材料的利用率为〔材料的利用率=新工件的体积原工件的体积〕（ ）A.78B.67C.56D.45【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如图，不妨设正方体的棱长为1，则切削部分为三棱锥111A A B D -，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分（新工件）的体积为56，故选C ．考点：三视图．8. 已知m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则抛物线2mx ny =的焦点坐标是（ ）A. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭， B. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. 104⎛⎫ ⎪⎝⎭，D. 104⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得m 和n 的值，从而得到抛物线的方程，即得到焦点坐标. 【详解】已知m ，n ，m ＋n 成等差数列得2n =m +m +n ， m ，n ，mn 成等比数列得2·n m mn =，解得m =2，n =4， 故抛物线为22x y =，其焦点坐标为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 故选：A【点睛】本题考查等差数列的基本概念与性质、等比数列的基本概念与性质和抛物线的简单几何性质，属于基础题.9. 在ABC ∆中，,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-==为BC 的三等分点，则·AE AF =( )A.89B.109C.259D.269【答案】B 【解析】试题分析：因为AB AC AB AC +=-，所以AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，,AB AC 分别为,x y 轴建立直角坐标系，设()()2,00,1AB AC ==，，又E F ，为BC 的三等分点所以，4122,,,3333AE AF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以412210,,33339AE AF ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.考点：平面向量的数量积.【一题多解】若AB AC AB AC +=-，则222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，即有0AB AC ⋅=，,E F 为BC 边的三等分点，则()()1133AE AF AC CE AB BF AC CB AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21123333AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22225210(14)099999AC AB AB AC =++⋅=++=,故选B ． 10. 等比数列{}n a 中，1824a a ==，，函数()()()()128f x x x a x a x a =---，则()0f '=（ ）A. 62B. 92C. 122D. 152 【答案】C 【解析】 【分析】由()f x 可得()f x '的表达式，可得()0f '的表达式，利用等比数列的性质可得答案. 【详解】解：由题意，记()()()()128g x x a x a x a =---，则()()()()()f x xg x f x g x xg x ==+''，，故()()()41212818002f g a a a a a '====.故选：C .【分析】本题主要考查等比数列的性质，函数导数的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力.11. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2，在鳖臑PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AP=AC=1，过A 点分别作AE ⊥ PB 于E 、AF ⊥PC 于F ，连接EF 当△AEF 的面积最大时，tan ∠BPC 的值是（ ）A.2B.22C.3 D.33【答案】B 【解析】试题分析：显然BC PAB ⊥平面，则BC AE ⊥，又PB AE ⊥，则AE PBC ⊥平面，于是AE EF ⊥，AE PC ⊥且，结合条件AF PC ⊥得PC AEF ⊥平面，所以AEF 、PEF均为直角三角形，由已知得22AF =，而2221111()()2448AEFSAE EF AE EF AF =⨯≤+==，当且仅当AE EF =时，取“=”，所以，当12AE EF ==时，AEF 的面积最大，此时122tan 222EF BPC PF ∠===，故选B ． 考点：基本不等式、三角形面积． 12. 设2222222211111111111112233420202021S =+++++++++[S]表示不大于S 的最大整数(例如：[2.34]=2，[-π]=-4)则[S]等于（ ） A. 2019 B. 2020C. 2021D. 2022【答案】B 【解析】 【分析】()2221111111(1)11n n n n n n n n ++⎛⎫++==+- ⎪+++⎝⎭，利用裂项相消法求解.【详解】因()()()22222222211111111(1)(1)11n n n n n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫++===+- ⎪++++⎝⎭， 所以111111111120211223202020212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以[]2020S =. 故选：B【点睛】本题主要考查裂项相消法求和，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.二、填空题13. 如图，这是一个把k 进制数a （共有n 位）化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输人的k ，a ，n 分别为2，110011，6，则输出的b ＝ ．【答案】51 【解析】试题分析：依程序框图得01234512120202121251b =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 考点：程序框图．14. 设实数x，y满足2025020x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则u＝y xx y-的取值范围是________．【答案】[－83，32]【解析】【详解】试题分析：令ytx=，作出可行域，可知t可视为(),x y，()0,0连线的斜率，1,23t⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且1u tt=-为关于t的增函数，所以83,32u⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.考点：1.线性规划；2.函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查学生的是线性规划的基本知识和复合函数的单调性的应用,属于基础题目.首先要画出约束条件的可行域,画图时注意观察题中不等式的端点是否有等号,画出的直线有实虚之分,再求出可行域中各交点坐标,根据目标函数的集合意义,先求出斜率的取值范围,代入函数中转化为单调函数的定义域,从中求出值域.15. 若函数()3211232f x x x ax=-++在23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上存在单调递增区间，则a的取值范围是_________.【答案】19⎛⎫-+∞⎪⎝⎭，【解析】【分析】先对函数求导，将问题转化为存在23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，，使()0f x '>成立，只需使()max 0f x '>即可；进而可求出结果.【详解】由()3211232f x x x ax =-++得()22112224f x x x a x a ⎛⎫'=-++=--++ ⎪⎝⎭， 为使函数()3211232f x x x ax =-++在23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上存在单调递增区间， 只需存在23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，，使()0f x '>成立， 即只需()max 0f x '>即可；当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '显然单调递减， 所以()f x '的最大值为()max 22239f x f a ⎛⎫'==+⎪⎝'⎭， 由222039f a ⎛⎫=+> ⎪'⎝⎭，解得19a >-， 所以a 的取值范围是19⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，. 故答案为：19⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题主要考查由函数存在增区间求参数，根据导数的方法求解即可，属于常考题型.16. 设椭圆2222 x y E :1(a b 0)a b+=>>的右顶点为A 、右焦点为,F B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆E 的离心率是______． 【答案】13【解析】试题分析：如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为ABC 的中位线，于是OFM AFB ∽，且12OFFA =，即1123c c a c a =⇒=-．考点：椭圆的离心率．三、解答题17. 已知数列{}n a 的首项11a =，()*142nn n a a n N a +=∈+，（1）证明：数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列：（2）设1n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析；（2）1122n n-+. 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，得到11211442n n n n a a a a ++==+，推出111111222n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即可证明数列是等比数列； （2）先由（1）求出11122n n a =+，即1122n n b =+，再由分组求和的方法，即可求出数列的和.【详解】（1）证明：142n n n a a a +=+，12111442n n n na a a a ++∴==+，111111222n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭， 又11a =，111122a ∴-=，所以数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公比的等比数列；（2）由（1）知1111112222n n n a -⎛⎫-=⋅=⎪⎝⎭， 11122n n a =+，11122n n n b a ∴==+ 所以231111111122222222n n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111112211222222212n n n n nn ⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭=++++=-=-+ ⎪⎝⎭-.【点睛】本题主要考查由递推关系证明数列是等比数列，考查求数列的和，熟记等比数列的概念，等比数列的通项公式与求和公式，以及分组求和的方法即可，属于常考题型. 18. 某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度(支持或反对)，进行了如下的调查研究.全年级共有1350人，男女比例为8∶7，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为19，通过对被抽取学生的问卷调查，得到如下2×2列联表：（1）完成列联表，并判断能否有99.9%的把握认为态度与性别有关？（2）若某班有3名男生被抽到，其中1人支持，2人反对；有2名女生被抽到，其中1人支持，1反对，现从这5人中随机抽到一男一女进一步调查原因，求其中恰有一人支持一人反对的概率.参考公式及临界值表：()()()()22()n ad bc K a c b d a b c d -=++++【答案】（1）填表见解析；没有；（2）12. 【解析】 【分析】（1）根据全年级共有1350人，分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为19，得到抽到的人数，再根据男女比例为8∶7，得到男生数和女生数，结合原有的数据完成列联表.利用列联表中的数据求得2K 的值，然后再与临界值表对照下结论.（2）这是古典概型，先列举出随机抽取一男一女所有可能的情况，再找出恰有一人支持一人反对的可能情况，代入公式求解.【详解】（1）因为全年级共有1350人，分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为19， 所以，抽到的人数是150人，又男女比例为8∶7， 所以男生80人，女生70人， 列联表如下： 支持 反对 总计 男生 30 50 80 女生 45 25 70 总计 7575150因为22150(30255045)10.71410.82880707575K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99.9%的把握认为态度与性别有关.（2）记3名男生为123A a a ，，，其中A 为支持，23a a ，为反对，记2名女生为12B b ，，其中1B 为支持，2b 为反对，随机抽取一男一女所有可能的情况有6种，分别为()()()()()()111221223132A B A b a B a b a B a b ，，，，，，，，，，，，其中恰有一人支持一人反对的可能情况有3种， 所以恰有一人支持一人反对的概率为12P =. 【点睛】本题主要考查分层抽样、独立性检验和古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19. 如图，在三棱锥S -ABC 中，ABC 是边长为2的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，2SA SC ==，M 为AB 中点.（1）证明：AC ⊥SB ；（2）求点C 到平面SAB 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2221. 【解析】 【分析】（1）证明AC ⊥平面SDB ，AC ⊥SB 即得证；（2）设点C 到平面SAB 的距离为h ，利用C SAB S ABC V V --=得1133SABABCS h S SD ⋅=⋅，计算即得解.【详解】（1）证明：如图，取AC 的中点D ，连接DS ，DB.因为SA =SC ，BA =BC ，所以AC ⊥DS ，且AC ⊥DB ，DS ∩DB =D ，,DS DB ⊂平面SDB ， 所以AC ⊥平面SDB ，又SB ⊂平面SDB ， 所以AC ⊥SB.（2）因为SD ⊥AC ，平面SAC ⊥平面ABC ， 所以SD ⊥平面ABC.所以在Rt SDB 中，SD =1，3DB =∴SB =2，∴SAB 的等腰三角形，222121147322223222224SABABCS S ∆⎛⎫∴=-=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭设点C 到平面SAB 的距离为h ， 则由C SAB S ABC V V --=得1133SABABCS h S SD ⋅=⋅所以322177ABCSABSSDh S⋅===. 【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查点到平面距离的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点M （0，1），且与椭圆C 交于A ，B 两点，若2AM MB =，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）220x y +=﹣或220x y +=﹣ 【解析】【详解】试题分析：（1）根据椭圆的焦距为2，离心率为12，求出a ，b ，即可求椭圆C 的方程；（2）设直线l 方程为1y kx =+，代入椭圆方程，由2AM MB =得122x x =-，利用韦达定理，化简可得222843434k k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，求出k ，即可求直线l 的方程. 试题解析：（1）设椭圆方程为()222210,0x y a b a b+=>>，因为11,2c c a ==，所以2,a b == ，所求椭圆方程为22143x y +=.（2）由题得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y=kx+1，则由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234880k x kx ++=（）﹣，且0＞．设()()1122,,,A x y B x y ，则由2AM MB =得122x x =﹣，又122122834834k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，所以222228348234k x k x k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪+⎩消去2x 得222843434k k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，解得214k =，12k =±，所以直线l 的方程为112y x =±+，即220xy +=﹣或220x y +=﹣. 21. 已知f (x )=ln x -x +a +1.（1）若存在x ∈(0，+∞)使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围； （2）求证：当x >1时，在（1）的条件下，211ln 22x ax a x x +->+成立. 【答案】（1）[0，＋∞)；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分离参数得ln 1a x x ≥-+-，令()ln 1g x x x =-+-，利用导数求出()g x 的最小值即可得结果；（2）将原不等式进行转化，令()211ln 22G x x ax x x a =+---，将导数和（1）相结合，根据导数与单调性的关系得()()1G x G ≥进而得证. 【详解】（1）()ln 1(0)f x x x a x =-++>.原题即为存在x 使得ln 10x x a -++≥，∴ln 1a x x ≥-+-， 令()ln 1g x x x =-+-，()111x g x x x-'=-+=. 令()0g x '=，解得x =1.∵当0<x <1时，()0g x '<，∴g (x )为减函数， 当x >1时，()0g x '>，∴g (x )为增函数，()()min 10g x g ∴==，()10a g ∴=.∴a 的取值范围为[0，＋∞).（2）证明：原不等式可化为211ln 0(10)22x ax x x a x a +--->>，. 令()211ln 22G x x ax x x a =+---，则G （1）=0.由（1）可知ln 10x x -->，则()ln 1ln 10G x x a x x x '=+--≥-->，∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴G (x )≥G （1）=0成立， ∴211ln 22x ax a x x +->+成立. 【点睛】本题主要考查了利用导数解决恒成立问题，利用导数证明不等式，熟练掌握导数与单调性的关系是解题的关键，属于较难题.22. 将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 【答案】（1）cos {2sin x t y t ＝＝ （t 为参数）；（2） 34sin 2cos ρθθ=-.【解析】试题分析：（1）设11(,)x y 为圆上的点，在曲线C 上任意取一点（x ，y ），再根据11{2x x y y ==，由于点11(,)x y 在圆221x y +=上，求出C 的方程，化为参数方程．（2）解方程组求得12P P 、 的坐标，可得线段12PP 的中点坐标．再根据与l 垂直的直线的斜率为12，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x cos y sin ρθρθ==、 可得所求的直线的极坐标方程． （1）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得11{2x x y y == 由22111x y +=得22)12(y x =+，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为cos {2sin x t y t ＝＝ （t 为参数）.（2）由221{4220y x x y +=+-=解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-， 化极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.考点：1.参数方程化成普通方程；2.点的极坐标和直角坐标的互化．23. 已知()221f x x x =-++. （1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤. 【答案】（1）()1,3-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x 的范围；（2）由基本不等式可以解得222m n p mn np pm ++≥++，将条件平方可得()222222236m n p m n p mn np pm ++=+++++=，代入222m n p mn np pm ++≥++，即可证得要求证得不等式．【详解】（1）当2x ≥时，令()241336f x x x x =-++=-<，解得3x <，此时23x ≤<； 当12x -<<时，令()()22156f x x x x =-++=-+<，解得1x >-，此时12x -<<； 当1x ≤-时，令()()()221336f x x x x =--+=-+<，解得1x >-，此时x ∈∅. 综上所述，不等式()6f x <的解集为()1,3-；（2）因为6m n p ++=，所以2222()22236m n p m n p mn np mp ++=+++++=，因为m 、n 、p 为正实数，所以由基本不等式得222m n mn +≥（当且仅当m n =时取等号）， 同理：222n p np +≥，222p m mp +≥，所以222m n p mn np mp ++≥++， 所以()222222236333m n p m n p mn np mp mn np mp ++=+++++=≥++. 所以12mn np pm ++≤.【点睛】本题主要绝对值不等式的解法、考查利用基本不等式证明不等式等基础知识，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题．。