九年级数学上册相似三角形的判定-讲义
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
相似三角形的判定全课件
两个三角形如果一个对 应角和一组对应边成比 例，则这两个三角形相似。
两个三角形如果一组对 应边和一个对应角成比 例，则这两个三角形相似。
02
CATALOGUE
三角形相似的判定条件
角角角（AAA）判定条件
总结词
不满足相似三角形的判定条件
详细描述
AAA条件仅表明三个角度相等，但边长不一定成比例，因此不能判定三角形相似。
在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，可以利用相似三 角形来计算建筑物的尺寸和比例。
机械设计
在机械设计中，可以利用相似三角 形来计算零件的尺寸和比例。
物理学
在物理学中，可以利用相似三角形 来解释和计算物理现象，如光学、 力学等。
04
CATALOGUE
三角形相似的证明方法
直接证明法
定义法
根据相似三角形的定义，证明两 个三角形三边对应成比例，且三 角对应相等，从而判定两个三角
题目2
两个等腰三角形，一个 底角为30°，另一个底 角为45°，如果一个三 角形的顶角为120°，另 一个三角形的顶角为 90°，则这两个三角形 是否相似？
进阶练习题
总结词
考察三角形相似的复杂判定方法和综合应用
题目1
两个等腰三角形，一个底角为45°，另一个底角为60°，如果一个三角形的顶角为90°，另 一个三角形的顶角为120°，则这两个三角形是否相似？
相似比
两个相似三角形的对应边 之间的比例称为相似比。
相似三角形的性质
相似三角形对应角相等， 对应边成比例，面积比等 于相似比的平方。
相似三角形的判定定理
角角判定定理
两个三角形如果两个对 应角相等，则这两个三
角形相似。
相似三角形判定讲课逐字稿
相似三角形判定讲课逐字稿同学们，今天我们要一起探讨一个非常有趣的几何学话题——相似三角形的判定。
相似三角形是几何学中一个重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在日常生活中也随处可见。
那么，我们如何判断两个三角形是否相似呢？这就是我们今天要学习的重点内容。
首先，让我们来看第一个判定相似三角形的方法——角角相似（AA）。
如果两个三角形有两个角相等，那么这两个三角形就是相似的。
这个判定方法的依据是三角形内角和定理，即任何一个三角形的内角和都是180度。
如果两个三角形有两个角相等，那么第三个角也必然相等，因为它们必须加起来等于180度。
这样，两个三角形的所有对应角都相等，所以它们是相似的。
接下来，我们来看第二个判定方法——边边边相似（SSS）。
如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形就是相似的。
这个方法的依据是相似三角形的性质，即相似三角形的对应边是成比例的。
通过测量两个三角形的边长，我们可以判断它们是否相似。
第三个判定方法是边角边相似（SAS）。
如果两个三角形有两边对应成比例，并且这两边夹角相等，那么这两个三角形就是相似的。
这个方法结合了边的比例关系和角的相等关系，是一种非常实用的判定方法。
现在，让我们通过几个例子来加深对这些判定方法的理解。
我会在黑板上画出几个三角形，然后我们一起来分析它们是否相似。
（此处可以展示几个三角形的例子，让学生参与讨论和判断）通过这些例子，我们可以看到，相似三角形的判定并不是那么困难。
只要我们掌握了角角相似、边边边相似和边角边相似这三个方法，就能够轻松地判断两个三角形是否相似。
最后，我想强调的是，相似三角形的判定不仅仅是一个理论问题，它在实际生活中也有很多应用。
比如在建筑设计、地图制作、甚至在艺术创作中，都需要用到相似三角形的知识。
所以，希望大家能够认真学习这部分内容，将来在实际应用中能够得心应手。
好了，今天的课就到这里，希望大家能够有所收获。
下课。
相似三角形的判定及性质 课件
条.
错解:如图,过点 D 作 DE1∥BC,此时∠AE1D=∠B,∠A=∠A,所以△ABC
∽△AE1D;过点 D 作 DE2∥AB,此时∠CE2D=∠B,∠C=∠C,所以△ABC∽
△DE2C.
答案:2
错因分析:本题为探索性题目,由于对应元素不确定,因而存在多种情况,
形相似,因此共有 4 条直线符合要求.
答案:4
思路分析:由于这两个三角形都是直角三角形,且已知条件是线段间的
关系,故考虑证明对应边成比例,即只需证明
=
即可.
证明:在正方形 ABCD 中,
∵Q 是 CD 的中点,∴ =2.
∵ =3,∴ =4.
又 BC=2DQ,∴ =2.
在△ADQ 和△QCP 中,
两角对应相等,两
个三角形相似
两边对应成比例
且夹角相等Hale Waihona Puke 两个三角形相似作用
判定
两个
三
角形
相似
判定
两个
三角
形
相似
引
理
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延
长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线
平行于三角形的第三边
判定
定理
3
对于任意两个三角形,如果一个三角形的三
条边和另一个三角形的三条边对应成比例,
那么这两个三角形相似
=
=2,∠C=∠D=90°,
∴△ADQ∽△QCP.
探究三 证明两直线平行
常利用引理来证明两直线平行,其关键是证明其对应线段成比例,这样
相似三角形的判定PPT课件
3.4.1 类似三角形判定的基本定理
复习导入
定义
全等三
角形
三角、三边对应相等
的两个三角形全等
类似三 三角对应相等, 三边对应
角形
成比例的两个三角形类似
判定方法
边
角
边
角
边
角
角
角
边
边
边
边
斜边与直角边
(直角三角形）
探究新知
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
∴
=
=
∠EAO=∠BAC，
∠AEO=∠B，
∠AOE=∠ACB，
当堂练习
2. 如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥CB，OF∥CD.试判
断四边形AEOF与四边形ABCD是否类似，并说明理由.
∵OF∥CD，∴△AFO∽△ADC，
∴
=
=
∠FAO=∠DAC，
DE至点F，使DE=EF. 求证：△CFE∽△ABC.
证明 ∵DE∥BC，点D为△ABC的边AB的中点，
∴AE=CE.
又∵DE=FE，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CEF.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴△CFE∽△ABC.
知识要点
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原
三角形类似．
求证：只要DE//BC，△ADE与△ABC始终类似.
证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.
∵DE∥BC，
分析：根据类似三角形的定
义去证明，三角对应相等，
三边对应成比例。
九年级数学相似三角形的判定及证明技巧讲义
相似三角形是中学数学中的一个重要内容，对于九年级学生来说，掌握相似三角形的判定及证明技巧是必不可少的。
本文将详细讲解相似三角形的判定及证明技巧，帮助学生更好地理解和运用这一知识点。
一、相似三角形的判定：1.AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么这两个三角形相似。
2.AA相似判定法：如果两个三角形的一个角对等于另一个角，且两个角的对边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF，那么这两个三角形相似。
3.SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么这两个三角形相似。
4.平行线判定法：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，那么这两个三角形相似。
二、相似三角形的证明技巧：1.用平行线证明相似：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以使用平行线的性质，如同位角相等、内错角互补等。
2.用角度证明相似：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以根据已知信息，使用角度的性质进行推导。
3.用边长比证明相似：如果两个三角形的对应边长比相等，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以根据已知的边长比，通过等式推导得出结论。
4.用等腰三角形证明相似：如果两个三角形分别为等腰三角形，且对应的顶角相等，则这两个三角形是相似的。
以上是常用的相似三角形的判定及证明技巧，希望对九年级的数学学习有所帮助。
在学习过程中，要多加练习，掌握不同方法的应用，提高解题能力。
同时，要注重理论与实践相结合，灵活运用知识，培养自己的思维能力和推理能力。
祝每位同学在数学学习中取得优异成绩！。
相似三角形的判定 课件
2．预备定理
平行于三角形一边的直线和其他 文字
两边(或两边的延长线)相交，所构 语言
成的三角形与原三角形相似 图形 语言
在△ABC 中，D，E 分别是 AB， 符号
AC 边上的点，且 DE∥BC，则 语言
△ADE∽△ABC
3.相似三角形的判定定理
(1)判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似． (2)判定定理 2：两边对应成比例，且夹角相等，两三 角形相似． (3)判定定理 3：三边对应成比例，两三角形相似．
4．直角三角形相似的判定
(1)两直角三角形有一个锐角相等，两直角三角形相 似．
(2)两直角三角形的两直角边对应成比例，两直角三 角形相似．
(3)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 两直角三角形相似．
温馨提示 在证明直角三角形相似时，要特别注意直 角三角形这一隐含条件的利用．
类型 1 相似三角形的判定(互动探究)
类型 2 利用三角形相似证明比例式或等积式
[典例 2] 如图所示，EF 分别交 AB， AC 于点 F，E，交 BC 的延长线于点 D， AC⊥BC，且 AB·CD＝DE·AC.
求证：AE·CE＝DE·EF. 证明：因为 AB·CD＝DE·AC， 所以DABE＝CADC.
又因为 AC⊥BC， 所以∠ACB＝∠DCE＝90°. 所以△ACB∽△DCE，所以∠A＝∠D. 又因为∠AEF＝∠DEC， 所以△AEF∽△DEC， 所以DAEE＝ECFE.所以 AE·CE＝DE·EF.
相似三角形的判定
1．相似三角形的定义 (1)定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形 叫做相似三角形． (2)相似比(相似系数)：相似三角形对应边的比值． (3)记法：两个三角形相似，用符号“∽”表示．例 如△ABC 与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′．
相似三角形及判定
相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABC s AABC，AABC s AABC，则AABC AABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：A ABC s A CDE.D(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABC s ACDE.变式:1、如图，A ABC中,Z ACB=60。
，点P是A ABC内一点，使得Z APB=Z BPC=Z CPA,求证：AAPC s ACPB.2、已知A PQR是等边三角形，ZAPB=120。
，指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，A ABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADE s AACB；②AAEB s AADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEF s ACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，A ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，A ADB s A EAC?②当A ADB s A EAC时，求Z DAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知Z BAE=Z CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在A ABC和A ADB中，Z ABC=Z ADB=90。
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编号：76854125658544289374459234
学校：麻阳市青水河镇刚强学校*
教师：国敏*
班级：云云伍班*
学科：数学
专题：相似三角形的判定
重难点易错点解析
判断三角形是否相似，要注意思维的完整性．
题一
题面：如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．
金题精讲
题一
题面：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，想一想，
(1)求证：AC2=AD·AB；BC2=BD·BA；
(2)求证：CD2=AD·AD；
(3)求证：AC·BC=AB·CD．
三角形相似
题二
题面：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB·CD=BE·EC．
圆周角定理、相似三角形
满分冲刺
题一
题面：如下图甲所示，在矩形ABCD中，AB=2AD．如图乙所示，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD，设MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少?
相似多边形、二次函数
题二
题面：已知D是BC边延长线上的一点，BC=3CD，DF交AC边于E点，且AE=2EC．试求AF与FB的比．
利用平行线构造相似三角形
题三
题面：如图13－2，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB=3，BF⊥BP于点B，试在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，作图并指出相似比k的值．
图13－2
相似三角形的判定
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：6对．
金题精讲
题一
答案：利用三角形相似证明．
题二
答案：提示：连结AE 、ED ，证△ABE ∽△ECD ． 满分冲刺
题一
答案：25=
x 时，S 的最大值为252． 题二
答案：12
AF FB =． 题三
答案：如图13－3．
图13－3
∵AB ⊥BC ，PB ⊥BF ，
∴∠ABP =∠CBF ．
当
AB BC BP BM =1，即=31BM 4
4，BM 1=3时，△CBM 1∽△ABP ．相似比k =1． 当BP BC AB BM =2即316,34422==BM BM 时，△CBM 2∽△PBA ．相似比43
k =． ∴当BM =3或316=BM 时，以点B ，M ，C 为顶点的三角形与△ABP 相似，相似比分别为1和
43
．。