椭圆求弦长两种解题方法
第7课时 与椭圆有关的弦长问题
题型二：中点弦问题
例2、已知椭圆
过点P(2,1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：（1）当斜率不存在时，显然不合题意
（2）当斜率存在时，
韦达定理→中点坐标→斜率 方程组思想判别式法：利用韦达定理及中点坐标公式来处理
题型三：中点弦问题
例 2、已知椭圆
过点P(2,1)引一弦，使弦在这点被
当x1≠x2时，
根与系数关 系
可推广到任意二次曲线
弦长公式：
| AB |
1 k 2 | xA xB |
1 1 k2 | yA yB |
当x1=x2时， | AB || yA yB |
题型一：弦长公式
例1：已知斜率为1的直线l 过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
的右焦点，
解 :由椭圆方程知 : a2 4,b2 1, c2 3.
复习回顾 直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离
2.判别方法：方程组思想判别式法
联立直线与椭圆的方程组成方程组 消元得到一个二元一次方程：
通法
(1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点；
(2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点；
(3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
探究
弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
平分,则这条弦所在的直线方程是___x___2__y___4____0___.
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 方程组思想，判别式法
2、弦长的计算方法：
弦长公式： |AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
新高考数学人教版必修2课件第3章 习题课 弦长问题
C. 34
D.
17 2
解析 将直线y＝x＋1代入x2＋4y2＝8， 可得x2＋4(x＋1)2＝8，即5x2＋8x－4＝0，
∴x1＝－2，x2＝25，∴y1＝－1，y2＝75，
∴直线 y＝x＋1 被椭圆 x2＋4y2＝8 截得的弦长为 52＋22＋75＋12＝125 2.
1234
3.已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长为4，过右焦点F2且垂直于x轴的直 线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为
二、与弦长有关的最值问题
例 2 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率 e ＝ 22，且点 P(2,1)在椭圆 C 上.
(1)求椭圆C的方程；
e＝ac＝ 22， 解 由题意得a42＋b12＝1，
a2＝b2＋c2，
a＝ 6， ∴b＝ 3，
∴椭圆 C 的方程为x62＋y32＝1.
y1y2＝－m21＋2， ∴S△AOB＝12|OF2|·|y1－y2|＝12 y1＋y22－4y1y2
＝12
－m22＋m 22－4×－m21＋2＝ 2×
m2＋1 m4＋4m2＋4
＝ 2×
m2＋1 m2＋12＋2m2＋1＋1
＝
2×
1 m2＋1＋m21＋1＋2
≤ 2×
2
1
＝
m2＋1·m21＋1＋2
22，
62 A. 7
43 B. 7
√12 2
C. 7
83 D. 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 设直线 AB 的方程为 y＝x－1，联立椭圆方程x42＋y32＝1， 整理可得7x2－8x－8＝0，
椭圆过焦点的弦长公式
椭圆过焦点的弦长公式椭圆过焦点的弦长公式，又称椭圆过焦点的长度公式，是数学中用来描述椭圆的一种重要的公式。
它的出发点是用一条曲线来拟合一块水平或垂直的平面。
经过焦点的弦段长度与椭圆的半长轴和半短轴之比为固定值，是椭圆根据其定义后得出的结果。
首先，让我们来看看椭圆长度公式的推导过程：一般来讲，椭圆是一种曲线，可以用以下参数来定义它：半长轴a和半短轴b，以及椭圆的焦点F1和F2。
通过上述参数，关于椭圆的弦长度可以表示为： L=a2*b2*[(F1-F2)/(a2-b2)]其中，a2和b2是半长轴和半短轴的平方，F1和F2是椭圆的焦点，即处于椭圆的两端点。
以上就是椭圆长度公式的推导，尽管看起来一点也不简单，它依然是一个非常重要的公式，在许多不同领域都能起到很好的作用。
首先，椭圆长度公式可以用来确定椭圆的最短路径，这种情况尤其常见于建筑设计领域。
比如，建筑师要设计一座大楼，它的外墙需要成为一个椭圆形，而且外墙的长度必须要求在最短的路线上。
在这种情况下，椭圆长度公式就可以派上用场了，它可以帮助建筑师确定这个椭圆形外墙最短的路线，以此避免建筑物外墙被过长所带来的额外费用。
此外，椭圆长度公式还可以用来计算椭圆的面积。
计算椭圆面积只需要把椭圆长度公式中的 a2 b2别替换成椭圆的半长轴和半短轴的面积即可。
由此可见，椭圆长度公式对于测量椭圆的面积也很有用处。
另外，椭圆长度公式还有一个重要的应用，就是用来计算复杂的曲线的长度，它可以将曲线中的许多复杂的段细分成许多椭圆段，然后再通过椭圆长度公式将椭圆段的长度相加，从而得出曲线的总长度。
这种方法用于计算曲线长度相对于直接测量曲线长度，效率更高一点，且准确度也会更高。
总之，椭圆过焦点的弦长公式被广泛应用于不同的领域，是一个非常重要的数学公式。
在建筑设计、椭圆面积测量以及曲线长度测量等方面，它都能发挥出良好的作用，从而节省了大量的时间和精力。
椭圆的综合问题(1)-弦长问题、中点弦问题(学生版)
椭圆的综合问题（1）——弦长、中点弦问题姓名______________2018.03一、知识点及学习目标：（1）弦长公式：（2）中点弦问题：二、例题分析：1．椭圆22143x y+=的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点．（1）求△ABF2的周长；（2）若l的倾斜角为4π，求弦长|AB|．2．已知椭圆的两个焦点坐标分别是（，0），，0），并且经过点（2，6）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为k的直线l经过点（0，﹣2），且与椭圆交于不同的两点A、B，求△OAB面积的最大值．3．已知：椭圆221164x y+=，求：（1）以P（2，﹣1）为中点的弦所在直线的方程；（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．三、课堂反馈：1．已知F1（﹣1，0）、F2（1，0）为椭圆C的左、右焦点，且点P（1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线1y x=+与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|．2．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为F 1、F 2，该椭圆的离心率为2，A 是椭圆上一点，AF 2⊥F 1F 2，原点O 到直线AF 1的距离为13． （1）求椭圆的方程；（2）是否存在过F 2的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足△AOB 的面积为23，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．3．在椭圆221164x y +=内以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为 ．四、课后巩固：第60-61页2/51．已知点A （0，﹣2），椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点． （1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的动直线与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．2．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F （1，0），点A （2，0）在椭圆C 上，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线过点F （1，0），求线段MN 的长；（3）若直线l 过点（m ，0），且以MN 为直径的圆恰过原点，求直线l 的方程．3．已知P （1，1）为椭圆2224x y +=内一定点，过P 引一条弦，使此弦以P 为中点，求弦所在的直线方程．。
高中数学椭圆弦长公式推导过程
高中数学椭圆弦长公式推导过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：椭圆是数学中常见的曲线形状之一，在高中数学学习中，我们经常会接触到椭圆的相关知识，其中就包括椭圆的弦长公式。
椭圆弦长公式是求椭圆上任意两点之间的弦长的公式，通过推导可以得到其具体表达式。
下面，我将详细介绍椭圆弦长公式的推导过程。
让我们来了解一下椭圆的基本定义和性质。
椭圆可以看作是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。
我们用椭圆的两个焦点表示为F1和F2，椭圆的长半径为a，短半径为b，焦距为2c。
椭圆的标准方程可以表示为：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)椭圆上的一点P(x, y)到两个焦点的距离之和等于常数2a，即：\( PF1 + PF2 = 2a \)我们将这个式子记为(1)。
接下来，我们需要推导出椭圆的弦长公式。
假设椭圆上有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要求这两点之间的弦长AB的长度。
我们需要找到连接两点A和B的直线方程。
由于椭圆是一个二次曲线，因此椭圆上的点满足椭圆的标准方程。
点A(x1, y1)和B(x2, y2)分别满足椭圆方程：连接两点A和B的直线方程可以表示为：\( (y-y1) = \frac{y2-y1}{x2-x1} \times (x-x1) \)将这个直线方程代入椭圆的标准方程，可以得到连接两点A和B的方程。
接下来，我们要求直线与椭圆的交点，即求方程组：可以得出AB弦长的计算公式为：可见，椭圆弦长公式的推导过程并不复杂，只要我们掌握了椭圆的基本性质和相关知识，就可以很轻松地推导出弦长公式。
通过这个推导过程，我们可以更加深入地理解椭圆的性质和特点，为我们深入学习和理解椭圆奠定了基础。
椭圆是数学中非常重要的一个曲线，在高中数学学习中，我们需要掌握椭圆的基本知识和相关公式。
弦长公式是椭圆的一个重要性质，通过推导过程，可以更好地理解椭圆的几何特性。
椭圆弦长公式带△的那个公式推导
椭圆弦长公式带△的公式推导椭圆是数学中常见的图形，它具有许多特殊的性质和公式。
其中一个重要的公式是椭圆上的弦长公式，它描述了椭圆上两点之间的弦长与椭圆参数之间的关系。
本文将详细推导带有△的椭圆弦长公式。
1. 弦长的定义在推导椭圆弦长公式之前，首先要明确弦长的定义。
在椭圆上，如果有两点A和B，那么从A点到B点的曲线段称为弦。
弦的长度即为弦长。
2. 椭圆的参数椭圆可以由其两个焦点F1和F2以及其长轴的长度2a定义。
椭圆的长轴是连接两个焦点并且通过椭圆中心的线段。
椭圆的焦距定义为常数c，其中c满足c^2 = a^2 - b^2，其中b是椭圆的短轴的长度的一半。
椭圆的离心率e定义为e = c/a。
3. 弦长公式的推导假设A点的坐标为(x1, y1)和B点的坐标为(x2, y2)。
为了推导带有△的椭圆弦长公式，我们可以使用解析几何的基本原理。
首先，我们需要计算AB线段的斜率k。
斜率k可以通过以下公式计算：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)接下来，我们可以编写AB线段的方程。
假设AB线段的方程为y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。
根据A点和B点的坐标，我们可以使用点斜式计算出方程的参数m和b：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)b = y1 - mx1由此得到AB线段的方程为：y = (y2 - y1) / (x2 - x1) * x + y1 - (y2 - y1) / (x2 - x1) * x1接下来，我们将该直线方程代入椭圆的方程中，即将y替换为椭圆方程中的y，得到：(x/a)^2 + ([(y2 - y1) / (x2 - x1) * x + y1 - (y2 - y1) / (x2 - x1) * x1]/b)^2 = 1将上述等式两边平方，消去分母并整理得到：b^2 * x^2 + a^2 * [(y2 - y1) * x + (y1 - y2) * x1]^2 - a^2 * b^2 * [(y2 - y1) * (x2 - x1)]^2 = 0利用二次方程的一般解公式，我们可以求得x的值。
“公式法”解椭圆弦长问题-公开课修正版
2018/4/3
一、设置情境
二、公式 探究
二、公式探究
弦长公式口决： 2 倍之后开根号，小方积、大方和； 成对方和减单方，减பைடு நூலகம்单方跑下方。
三、例题讲解
跟踪训练 1、
3 x2 y 2 已知点 P (1, 2 ) 为椭圆 C : a2 b2 1(a b 0)
上一点，
椭圆C的左右焦点分别为 F1 , F2 ，且满足| PF1 | | PF2 | 4
x2 y 2 (1) C : 1 （1）求椭圆C的标准方程； 4 3
（2）过 F1 , F2 任作两条平行直线分别交椭圆于A,B
和C,D不同的四个点，求四边形ABCD的面积的
最大值。
四、课堂小结 1、弦长公式的形式、口诀；
.
x2 y 2 (1)求M的方程； 6 3 1
(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线
CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
8 6 四边形ACBD面积的最大值为 3
五、课后思考
祝同学们 高考顺利！！!
2、注意弦长公式中各系数的意义。 3、几种求弦长的方法比较，注意适用的
题型。
五、课后思考 1、（2013年全国2卷）平面直角坐标系xoy中，
x2 y 2 2 1(a b 0) 右焦点的直线 x y 过椭圆M： 2 a b
30
交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率
1 为 2
过椭圆焦点的弦长公式
过椭圆焦点的弦长公式
过椭圆焦点的弦长公式：
|AF2|/|AH|=e|AF2|
椭圆弦长公式是一个数学公式，关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x（或关于y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
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椭圆求弦长两种解题方法
椭圆的弦长问题通常可以通过两种主要方法来解决：几何法和代数法。
方法一：几何法
1.首先，确定椭圆的标准方程，例如 a2x2+b2y2=1，其中 a 和
b 是椭圆的半长轴和半短轴。
2.确定直线方程，例如 y=kx+m。
3.联立椭圆方程和直线方程，消去 y 或 x，得到一个关于 x 或
y 的二次方程。
4.利用韦达定理，求出这个二次方程的根的和与积，即弦的两个
端点的 x 或 y 坐标的和与积。
5.利用弦长公式，如 d=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2，其中 k 是直线
的斜率，x1 和 x2 是二次方程的根，求出弦长。
方法二：代数法
1.同样首先确定椭圆和直线的方程。
2.联立椭圆方程和直线方程，消去 y 或 x，得到一个关于 x 或
y 的二次方程。
3.利用求根公式求出这个二次方程的根，即弦的两个端点的 x
或 y 坐标。
4.直接计算这两个端点之间的距离，即弦长。
这两种方法的主要区别在于如何计算弦长。
几何法利用弦长公式和韦达定理，而代数法则直接计算两个端点之间的距离。
在实际应用中，可以根据具体情况选择适合的方法。