两条线段(动点)和的最小值问题教学教材
“求两线段长度之和的最小值”问题全解析
“求两线段长度之和的最小值”问题全解析“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．第 2 页第 3 页解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．第 4 页第 5 页分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接CE ，交AB 于点P ，此时PC ＋PD 和最小，为线段CE ．因为AD ＝4，所以AE=4．因为∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，所以∠EAP ＝90°．因为∠APE ＝∠BPC,所以△APE ∽△BPC ，所以.因为AE=4，BC ＝6，所以，所以，所以,因为AB ＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4 如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB的最小值第 6 页 为 ．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A 的对称点是点D ，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D 关于直线EF 的对称点为A ，连接BD ，交EF 于点P ，此时PA ＋PB 和最小，为线段BD ．过点D 作DG ⊥BC ，垂足为G ，因为四边形ABCD 是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC ＝60°，AD ∥BC ，所以∠BAD ＝120°．因为AB=AD ，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE ＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD 是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值第 7 页第 8 页 例6 如图6所示，已知正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一个动点，则DN+MN 的最小值为 ．分析：根据正方形的性质知道，点B 的对称点是点D ，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D 关于直线AC 的对称点为B ，连接BM ，交AC 于点N ，此时DN ＋MN 和最小，为线段BM ．因为四边形ABCD 是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN 的最小值为10. 例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ周长的最小值为 cm ．（结果不取近似值）．第 9 页分析：在这里△PBQ 周长等于PB+PQ+BQ ，而BQ 是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ 的和最小问题．因为题目中有一个动点P ，两个定点B,Q 符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B 与点D 关于AC 对称，连接DQ ，交AC 于点P ，连接PB ．所以BP=DP ，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ ．在Rt △CDQ 中，DQ== ，所以△PBQ 的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN 是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2(B)(C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB 的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．第 10 页四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB 的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB 的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC 的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以,所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∥EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。
课题学习最短路径问题教学设计人教版数学八年级上册
高新技术产业开发区XX中学备课日志1.两点之间的所有连线中，什么线最短？2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，什么线最短？【课堂引入】已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA＋PB最小．提示：连接AB，线段AB与直线l的交点P，就是所求．以学生学过的知识为基础引入课题，培养学生的学习兴趣【探究新知】1．问题1如图，牧马人从草场A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到帐篷B 地．问：到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？你能用自己的语言解释这个题的意思吗？能把它抽象为数学问题吗？(1)将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线；(2)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；探究活动，使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程．2思考、合作交流，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养合作意识(3)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；(4)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图).追问2对于问题1，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？追问3你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？教师讲解作法：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l相交于点C.则点C即为所求．问题2你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.∴AC ＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.在∴AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.即AC ＋BC 最短．师生活动：教师先让学生分组讨论，分析问题，解决问题，对有疑问的地方教师适时引导，最后共同总结．2．仿照上面分析问题的方法，你能解决下面的问题吗？(造桥选址问题)如下图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河岸上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.上面的问题就转化为：如图，直线a∴b，N为直线b上的一个动点，MN∴b，交直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋BN最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？追问4：能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把上图的情况转化为下图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB.这样问题就得到了转化．追问5：你能找到所要求的N点的位置吗？如图，连接A′B，交直线b于点N，则点N即为所求．即在点N处建桥MN，所得路径AMNB最短．追问6：你能证明点N的位置即为所求吗？如图，在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′∴a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.求证：AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B.证明：由作图可知M′N′＝MN＝AA′.由平移的性质可知AM＝A′N，AM′＝A′N′.根据“两点之间，线段最短”可知A′N′＋N′B＞A′B.∴AM′＋N′B＞AM＋NB.∴AM′＋N′B＋M′N′＞AM＋NB＋MN.师生活动：教师可引导学生分析，对于有疑问的地方进行讲解说明．归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径.重难点突破【典型例题】例1如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM＋PN最短，则点P应选在(C)A．A点B．B点C．C点D．D点例2如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∴l2，现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直)，桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．解：如图所示．理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．进一步巩固学生对最短路径问题的解决方法的掌握【课堂检测】1．如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA＋PB最短．下面四种选址方案符合要求的是(A)A B C D2．如图，在Rt∴ABC中，∴A＝90°，∴C＝30°，AB＝2，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA＋PB的最小值是4．3．如图，一艘旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路线．解：连接PQ，作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP.最短路线即为PQMP.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的。
两线段和最小
两线段和最小求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称知识可以比较简单的解决。
我们先通过一个非常典型的例题来推导一个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸L的一侧有两个村庄A、B，现要在河岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到A，B两村庄的距离之和最短首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作B点关于L的对称点B1, 在直线L上任意定一点M，连接B B1，BM，B1M，根据轴对称知识，我们可以求证BM＝B1M，所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称轴上任意一点的距离相等。
在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点B到河岸L上任意点M的距离等于对称B1到点M的距离。
要使AM+ B1M最小，必须使A、M、B1三点共线，也就是说，必须使点M，与A B1连线和L的交点N重合，所以，河岸上的N点为到A、B的距离之和最小的点。
B1证明：M为L上的任意点因为BM＝B1M所以，BM+AM＝B1M+AM，而B1M+AM大于B1A，所以，结论成立二、应用1：在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P，使PA+PB的值最小。
求这个最小值。
解：作出A1B（作法如上图）过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H，在Rt△A1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的长度为42千米，即PA+PB的最小值为42千米。
A12、 如图（1），在直角坐标系XOY 中，X 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）和到Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标x=__________________。
解：如图（2），只要画出点Q 关于x 轴的对称点Q1（2，-1），连结PQ1 交x 轴于点M ，则M 点即为所求。
点M 的横坐标只要先求出经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0，求得x=5/2。
如何求解双动点线段长的最小值问题
挑战性强：双动点线段长的最小值问题是一个经典的数学难题，具有很高的难度和挑战性，是考 验数学家智慧和能力的题目之一。
相关数学概念
双动点：问题中 涉及的两个可以 独立变化的点。
线段长：两点之 间的距离，通常 表示为 d。
最小值：在给定 条件下，线段长 的最小可能值。
问题的定义和背景： 研究双动点线段长 的最小值问题，是 在一定条件下，寻 找两个可动点之间 线段长度的最小值 的问题。
求解方法
代数法
定义：通过代 数运算和不等 式求解动点线 段长的最小值
问题
步骤：设动点坐 标，建立函数表 达式，求导数， 判断单调性，求
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该问题涉及到几何学、分析学等多 个学科领域，是数学中的经典问题 之一。
解决该问题需要运用数学中的一些 基本概念和方法，如极限、导数、 不等式等。
问题的重要性
数学领域的基础问题：双动点线段长的最小值问题在数学领域中具有重要地位，是数学研究的重 要课题之一。
实际应用广泛：双动点线段长的最小值问题在几何、物理学、工程学等领域有广泛的应用，对于 解决实际问题具有重要的意义。
双动点线段长的最小值 问题汇报人：XX Nhomakorabea目录
问题的定义和背景
01 实例分析 04 求解方法
02 结论与展望 05 求解步骤
03
问题的定义和背 景
问题的描述
双动点线段长的最小值问题是指两 个动点在平面上运动时，它们之间 线段长的最小值问题。
双动点线段长的最小值问题在现实 生活中有着广泛的应用，如工程设 计、交通运输等领域。
中考数学疑难问题教学设计——线段之和最短
中考数学疑难问题教学设计——线段之和最短一、课题分析最短路径问题是中考热点问题之一，也是学生的一大难点。
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的探讨，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．主要是运用数形结合思想，综合轴对称、线段的性质和勾股定理以及一些常见的轴对称图形的性质解决线段之和最短问题，该问题的解决为我们提供了一种解题的思路和线索，构建模型，触类旁通，由此产生了一系列问题的解题思路.使学生在操作活动的过程中感受知识的自然呈现，体验数学的神秘与乐趣.二、教学目标（一）知识与技能：1.以将军饮马为情境问题，引出两种最短线路的模型，理解并会利用“两点之间线段最短”和“三角形任意两边之和大于第三边”原理解决问题；2.通过三角形、四边形、圆、立体图形及函数题的训练，让学生能利用转化思想，将问题抽象出两点一线，并利用模型解决问题.（二）过程与方法：培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力.（三）情感与态度：进一步培养探究心理，体会数学知识在生活中的应用.三、教学重难点教学重点:利用“两点一线”模型解决数学中的实际问题.教学难点：模型中，两点在线异侧，利用“三角形任意两边之和大于第三边”这一原理作图；具体问题中，判断是否为两点一线问题，并利用模型作图，根据实际条件解决问题.四、教学关键运用数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，获得求线段之和最短问题的直观形象，形成模型，以便准确理解本节课的内容，实现多题通解.五、教学策略利用教学资源，通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展.六、学法指导：自主学习，小组合作、交流探究七、教学过程：环节师生活动设计意图创设情景相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能用所学的知识解决这个问题吗？BAl【学生活动】学生思考教师展示问题，并观察图片获得感性认识.以故事的方式，引出问题，激发学生的学习兴趣及探索欲望.知识回顾1. 两点之间线段最短; 2.轴对称的性质,如何作轴对称;3.勾股定理;4.三角形任意两边之和大于第三边.【学生活动】在教师的引导下回顾旧知识.为本节课的学习扫清知识障碍.合作交流1.如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A、B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？活动(1)：观察思考，如何抽象为数学问题？【师生活动】学生思考，教师引导学生将A，B 两地抽象为两个点 ,将河抽象为一条直线l ，从而总结得到：两点之间线段最短。
人教版义务教育教科书《数学》九年级下册 几何最值问题——线段和最小问题
A
A'
M
l
N
k
B
AM+MN+NB最小
M
N'
N
P QP Q
l
M' MP+PQ+QN最小
当堂反馈：
1.如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最 小,则这个最小值为 ( )
A. 2 2
C B. 3
C. 4
D. 4 2
当堂反馈：
人教版义务教育教科书《数学》 九年级下册 几何最值问题——线
段和最小问题
几何最值问题
在平面几何动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、 图形的周长或面积以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.
基本模型一：两定点在一直线同侧确定单动点问题
直线l表示草原上的一条河流，一骑马将军从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的驻地.他应沿怎 样的路线行走，使路程最短？请作出这条最短路线.
14 2 = 4 .
2 33
D(1,m)
12 D
B 3 4x
基本模型二：两定点在两直线内侧确定双动点问题
如图，一骑马将军从A点出发，先到草地边MN处牧马， 再到河边PQ处饮马（MN、PQ均为直线），然后回到驻 地B处，问将军应走怎样的路线，才能使整个路程最短？ 请作出这条最短路线.
A'
AC+CD+DB的最小值
解：1.作点A关于直线l 的对称点A '; 2. 连接A 'B,交直线 l于点P;
3. 连接AP.
∴将军沿A P B的路线行走， 路程最短.
线段和的最小值问题
课堂小结
学习目标
1.了解并掌握解决两定一动求线段和的最小 值问题的方法。
2.能够运用相关知识和方法解决两定两动求 线段和的最小值问题。
达标检测
已知平面直角坐标系内两点A(1，2), B(2，-1),点P在y轴上运动，求当PA+PB取 得最小值时P点的坐标。
（第 1 题）
能力提升：已知A(0,5),EF=2,且EF在x轴 上平行移动，当AE+AF最小时求E、F 坐标。
典例一：两定一动,求和最小
例1：如图矩形顶点O在坐标原 点，OA=6，OB=8，D为OB边的 中点，若E为OA边上的一个动 点，当△DCE的周长最小时， 在图中画出E点的位置并求点 E的坐标；
变式练习1：已知平面直角坐标系中的两点A （1，2），B（4,2），点P在x轴上运动，则 PA+PB的最小值是_5__。
典例二：两定两动,求和最小
作图2：已知线段EF=1且EF在直线a上平行 移动，A 、B为两个定点，E点在什么位置 时，使得AE+BF最小，请在图中画出点来
• 变式练习2：如图矩形OACB，OA=6， OB=8，D为OB边的中点，若E、F为OA边 上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E、F的坐标。
学习目标
1.了解并掌握解决两定一动求线段和的最小 值问题的方法。
2.能够运用相关知识和方法解决两定两动求 线段和的最小值问题。
自主学习
作图1：已知直线l，在直线l同侧 有两点A、B，在直线l上找一点P， 使+PB的值最小。
·B A﹒
l
知识点拨：
1、轴对称性； 2、三角形两边之和大于第三边。
有关动点的线段和的最小值问题
1351 概述由动点产生的线段和最小值问题，是中学数学中常见的问题之一，这类问题在现实生活中具有实际意义，形式变化多样，做法灵活。
针对此类问题，具体方法大致分为两种：一是几何的方法，通过化归思想，将复杂变化的问题转化为我们熟悉的已知的简单问题，也即通过一系列几何变换将各条线段转化到同一条直线上，运用两点之间线段最短或垂线段最短求解，主要手段是化折为直；二是代数的方法，根据已知题意，建立坐标系或者引入变量将各条线段表示出来再将其相加就得到一个一元函数，通过求函数的最小值就求解问题，主要手段是建立函数模型。
这两种方法各有优点，可配合使用，第一种方法简单易行，但技巧性强，特别是化折为直的方法要求具有一定的几何思维能力。
第二种方法略显繁琐，特别是当所求线段为多条时，确定的函数模型形式复杂，导致函数最值不易求得，然而其不需要太强的技巧能力，对某些毫无思路的问题使用较多。
介于篇幅，本文只对该问题用几何方法加以研究。
2 类型一：两点在直线异侧如图1，点C和点D是直线AB异侧的两点，求AB 上一点P，使得PC+PD的和最小。
因为连结两点的所有曲线，折线和线段中只有直线段是最短的，所以直接连结CD，与直线AB的交点即为所求的点P。
此类型中可以不止AB一条直线，只要C，D在各条直线异侧即可，那么此时连结CD与各条直线的交点就是满足要求的各个动点。
图13 类型二：两点在直线同侧图2如图2，点C和点D是直线AB同侧的两点，求AB 上一点P，使得PC+PD的和最小。
类型一是我们熟悉的已知的简单问题了，因此这道题我们只需将其转化为上面的类型一即可。
作C点关于直线AB的对称点C＇，连结C＇D与直线AB的交点即为所求的点P。
这是一道典型的化折为直的题目，把线段PC转化到与PD在同一条直线上，运用两点之间线段最短即可确定P的位置。
类型二是类型一有关动点的线段和的最小值问题陈 刚（兰州交通大学附属中学，甘肃 兰州 730070）摘要：文章先从初中数学中常见的两种基本类型入手，然后引申变形出各种不同的形式，针对每种形式通过对称变换将与动点有关的折线段化折为直，最后回归到两种常见的基本类型上去求解问题。