57讲随机事件的概率、古典概型、条件概率分析
随机事件的概率、古典概型、几何概型
一般的， 在相同条件S下重复n次试验，观察某 一事件A是否出现，称n次试验中事件A出 现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A 出现的比例fn(A)=nA/n为事件A出现的频率。
对于给定的随机事件A，如果随着实验 次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在 某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事 件A的概率，简称为A的概率。
数学理论： 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性， 就得到几何概型．
古典概型与几何概型的区别.
相同：两者基本事件的发生都是等可能的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个.
几何概型的概率公式.
P(A) . 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 构成事件A的区域长度（面积或体积）
∴m=3
3 10
∴P(A)=
【例2】同时掷两个骰子,计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的点数之和是5的概率是多少？ （4）两数之和是3的倍数的概率是多少？
1点 1点 2点 3点 4点 2 3 4 5 2点 3 4 5 6 3点 4 5 6 7 4点 5 6 7 8 5点 6 7 8 9 6点 7 8 9 10
2、古典概型 我们会发现，以上试验有两个共同特征： (1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有 有限个，即只有有限个不同的基本事件； (2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的. 我们称这样的随机试验为古典概型.
3、古典概率
一般地，对于古典概型，如果试验的基本事
件为n,随机事件A所包含的基本事件数为m，我们 就用
5点
6点
6
7
7
8
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随机事件的概率、古典概型
随机事件的概率、古典概型一、知识梳理1.概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f n(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件A的概率.2.事件的关系与运算3.(1)概率的取值范围：(2)必然事件的概率P(E)＝(3)不可能事件的概率P(F)＝4.互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝5.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.6.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)试验中所有可能出现的基本事件(2)每个基本事件出现的可能性7.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.8.古典概型的概率公式P(A)＝.二、考点分析考点一随机事件及其概率【例1】盒中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球．（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？它的概率是多少．【变式1】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点二 互斥事件与对立事件的概率【例2】某射击队的队员为在射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一（1）射中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率．考点三 古典概型【例3】一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：（Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，连续取三次分数之和为4分的概率．【变式3】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式4】有一名同学在书写英文单词“error”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率是 ．【变式5】将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为,a b ，则直线0ax by +=与圆()2222x y -+=无公共点的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式6】已知函数()()322113f x x a x b x =--+，其中{}1,2,3,4a ∈，{}1,2,3b ∈，则函数()f x 在R 上是增函数的概率为（ ） A ． B ． C ．D ． 【高考真题】（2014浙江）在三张奖券中有一、二等奖各一张，另有1张无奖，甲、乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为。
古典概型概率
古典概型概率
古典概型概率是由法国数学家保罗·科尔贝于1812年提出，是有限随机实验中计算概率的一种理论。
它认为随机实验的可能性取决于该实验所包含的样本空间无外乎两个：实验成功或失败。
对于一个有限的样本空间来说，如果注意到其中某些成功的情况数量（即S1），则失败情况的数量也就已经定义好了(即F=N-S1)。
因此，可以将该随机实验的成功概率表述为S1/N。
古典概型概率通常用来估计一件特定事件发生的几率。
例如在随机试验中用一个面值为6的正方体来代表6个不同情况时，如果要估计在这6 个情况中出现特定情况的几率，则可以使用古典概型概率估计这一特征情况出现的几率是1/6.
总之，古典概型概率是利用样本量少但是样本数量单一、容易数量化的情况来估计特征情况出现的几���；考量到不同因子影响、分布开展大量样本测得、不易数量化时对此理论进行扩展使之通用性加强.。
高考数学复习考点知识讲解课件57 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
件 B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率 P(B|A)＝( D )
A．176
B．78
C．37
D．67
பைடு நூலகம்
[解析] 由题意知，事件 A：甲和乙至少一人选择庐山，共有 n(A)＝C12·C13＋1＝7 种 情况，事件 AB：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有 n(AB)＝C12·C13＝6 种情况，P(B|A)＝nnAAB＝67.故选 D．
2
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条件概率的 2 种求法 (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)＝PPAAB，这是求条件概率的通法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 A 与事件 B 的交事件中包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝nnAAB.
满 2 局或 3 局，且在 11 分制比赛中，每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13；在“FAST5”
模式，每局比赛双方获胜的概率都为12，每局比赛结果相互独立．
(1)求 4 局比赛决出胜负的概率；
(2)设在 24 分钟内，甲、乙比赛了 3 局，比赛结束时，甲乙总共进行 5 局的概率．
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2．条件概率 (1)概念：一般地，设
A，B
为两个随机事件，且
P(A)>0，我们称
P(B|A)＝PPAAB
为
在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，简称条件概率．
(2)两个公式
nAB
①利用古典概型，P(B|A)＝ nA .
②概率的乘法公式：P(AB)＝ P(A)P(B|A) ．
随机事件的概率
随机事件的概率导言：随机事件是指在一定条件下，由于种种因素的不确定性而发生的事件。
生活中的许多事情都是随机事件，无法预测和控制。
我们对于随机事件的发生与否往往抱有一定的期望或预测，这就引出了随机事件的概率。
一、什么是概率？概率（probability）是现代数学中研究事件发生的一种数学方法。
概率既是一种数学工具，同时也是描述随机现象出现“规律”的一种观念。
概率的大小通常用数字来表示，范围在0到1之间，概率越大，表示事件发生的可能性越大。
二、概率的计算方法1. 古典概率：古典概率也叫“理论概率”，它是指当各种结果发生的机会是等可能的时候，可以根据有限的样本空间中可能结果的数目比来计算。
例如投掷均匀的骰子，每一个面都有相同的机会出现，那么每一个面出现的概率就是1/6。
2. 频率概率：频率概率也叫“实验概率”，它是指在实际的重复试验中，事件发生的次数与总的试验次数的比例。
例如，我们可以通过多次投掷骰子的实验来计算每个面出现的概率，通过实验的结果来估计概率。
3. 主观概率：主观概率也叫“人为概率”，它是指个人根据经验、直觉和一些可能的关联性来估计事件发生的概率。
这种概率是主观的，因为它依赖于个人的判断和看法。
三、随机事件的应用随机事件的概率在现实生活中有着广泛的应用，下面举几个例子进行阐述：1. 赌场中的赌博：在赌场中，很多赌博游戏都基于随机事件的概率来决定输赢。
例如，在轮盘赌中，赌徒根据小球停在哪一个数字上来下注，而小球停留在哪个数字上是完全由随机事件决定的。
赌徒可以根据每个数字出现的概率来决定下注的策略。
2. 保险业的风险评估：在保险业中，概率是一个非常重要的概念。
保险公司需要根据客户的信息以及历史数据来评估风险，并计算出合理的保险费用。
例如，在车险中，保险公司需要根据客户的驾驶记录和车辆信息来评估客户发生车祸的概率，并根据概率来决定保险费用的高低。
3. 股票市场：在股票市场中，投资者根据股票的历史数据和一些基本面分析来预测股票的未来涨跌。
随机事件的概率与古典概型
随机事件的概率与古典概型1.随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件.(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件.(3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件.(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件.(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示.2.频率与概率在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A).3.事件的关系与运算互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件.事件A＋B：事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生.对立事件：不会同时发生，并且一定有一个发生的事件是相互对立事件.4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B).②若事件A与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(A).5.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.6.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中一个结果； (2)每一个试验结果出现的可能性相同.7.如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn .8.古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.概念方法微思考1.随机事件A 发生的频率与概率有何区别与联系？提示 随机事件A 发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件A 发生的频率稳定在事件A 发生的概率附近. 2.随机事件A ，B 互斥与对立有何区别与联系？提示 当随机事件A ，B 互斥时，不一定对立，当随机事件A ，B 对立时，一定互斥. 3.任何一个随机事件与基本事件有何关系？提示 任何一个随机事件都等于构成它的每一个基本事件的和. 4.如何判断一个试验是否为古典概型？提示 一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.( × ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.( √ ) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( × )(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的.( × )(5)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型.( × ) 题组二 教材改编2.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶答案 D解析 “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.3.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( ) A.25 B.415 C.35 D.23 答案 A解析 从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P ＝615＝25. 4.同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________. 答案 56解析 掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P ＝1－636＝56.题组三 易错自纠5.将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( ) A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定答案 B解析 抛掷10次硬币，正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件.6.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( ) A.115 B.15 C.14 D.12 答案 B解析 由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种情况，∴所求概率P ＝4·A 33C 36·A 33＝15.故选B.7.(2019·南昌模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为______. 答案 0.35解析 ∵事件A ＝{抽到一等品}，且P (A )＝0.65， ∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为 P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.题型一 随机事件命题点1 随机事件的关系例1 (1)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡答案 A解析 “至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件.(2)口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出两个球，事件A ＝“取出的两个球同色”，B ＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C ＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D ＝“取出的两个球不同色”，E ＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为____________.①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件；④P (C ＋E )＝1；⑤P (B )＝P (C ). 答案 ①④解析 当取出的两个球为一黄一白时，B 与C 都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C 与E 都发生，③不正确；显然A 与D 是对立事件，①正确；C ＋E 为必然事件，P (C ＋E )＝1，④正确；P (B )＝45，P (C )＝35，⑤不正确.命题点2 随机事件的频率与概率例2 (2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率.解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100， 所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8.因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.命题点3 互斥事件与对立事件例3 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球.从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率. 解 方法一 (利用互斥事件求概率) 记事件A 1＝{任取1球为红球}， A 2＝{任取1球为黑球}， A 3＝{任取1球为白球}， A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412＝13，P (A 3)＝212＝16，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥， 由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球是红球或黑球的概率为 P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋13＝34.(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为 P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝512＋13＋16＝1112. 方法二 (利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A 1＋A 2的对立事件为A 3＋A 4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P (A 1＋A 2)＝1－P (A 3＋A 4)＝1－P (A 3)－P (A 4)＝1－16－112＝34.(2)因为A 1＋A 2＋A 3的对立事件为A 4， 所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.思维升华 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 ①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生.②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. (2)判断互斥、对立事件的方法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件. (3)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值. (4)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率. (5)求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法 ①将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率.②若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.跟踪训练1 (1)某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：①若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；②在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.解 ①设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.②设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.(2)(2016·北京改编)A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：①试估计C 班的学生人数；②从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率. 解 ①由题意及分层抽样可知，C 班学生人数约为 100×85＋7＋8＝100×820＝40.②设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1,2，…，5， 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1,2，…，8. 由题意可知P (A i )＝15，i ＝1,2，…，5；P (C j )＝18，j ＝1,2， (8)P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，i ＝1,2，...，5，j ＝1，2， (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”， 由题意知，E ＝A 1C 1＋A 1C 2＋A 2C 1＋A 2C 2＋A 2C 3＋A 3C 1＋A 3C 2＋A 3C 3＋A 4C 1＋A 4C 2＋A 4C 3＋A 5C 1＋A 5C 2＋A 5C 3＋A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38.题型二 古典概型例4 (1)(2017·全国Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110 B.15 C.310 D.25 答案 D解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P ＝1025＝25. (2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________. 答案 56解析 基本事件共有C 24＝6(种)， 设取出2个球颜色不同为事件A .A 包含的基本事件有C 12C 12＋C 11C 11＝5(种).故P (A )＝56.(3)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A 发生的概率为________. 答案112解析 五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事件数为A 55＝120，满足事件A ＝“排列中属性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑：从左至右，当第一个位置的属性确定后，例如：金，第二个位置(除去金本身)只能排土或水属性，当第二个位置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有C 15C 12＝10(种)可能，所以事件A 出现的概率为10120＝112.引申探究1.本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的4个小球，从中一次取2个球，求标号和为奇数的概率.解 基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A ，则A 包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种， 所以P (A )＝46＝23.2.本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率.解 基本事件数为C 14C 14＝16， 颜色相同的事件数为C 12C 11＋C 12C 12＝6，故所求概率P ＝616＝38.思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择.跟踪训练2 (1)甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( ) A.34 B.13 C.310 D.25答案 D解析 用(x ，y ，z )表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x 元、y 元、z 元.乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2).乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2). 根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P ＝410＝25.(2)在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字4是取出的五个不同数的中位数的概率为( ) A.956 B.928 C.914 D.59 答案 B解析 设事件A 为“数字4是取出的五个不同数的中位数”.“从八个数字中取出五个数字”包含的基本事件的总数为n ＝C 58＝56.对事件A ，先考虑数字4在五个数的中间位置，再考虑分别从数字1,2,3和5,6,7,8中各取两个数字，则事件A 包含的基本事件总数为m ＝C 23C 24＝3×6＝18.由古典概型的概率计算公式，得P (A )＝m n ＝1856＝928.题型三 古典概型与统计的综合应用例5 空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染.一环保人士记录了某地2018年某月10天的AQI 的茎叶图如图所示.(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI ≤100)的天数；(按这个月总共有30天计算) (2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.解 (1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，故该样本中空气质量优良的频率为410＝25，估计该月空气质量优良的概率为25，从而估计该月空气质量优良的天数为30×25＝12.(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为a 1，a 2，a 3，a 4； 为中度污染的共1天，记为b ；为重度污染的共1天，记为c .从中随机抽取两天的所有可能结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，a 4)，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共15个.其中空气质量等级恰好不同的结果有(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共9个.所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为915＝35.思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.跟踪训练3 从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195)，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同.(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|x－y|≤5的概率.解(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，所以后三组的频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9，由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2，设第六组人数为m，则第七组人数为m－1，又m＋m－1＋2＝9，所以m＝4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08,0.06，频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示：(2)由(1)知身高在[180,185)内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在[190,195)的男生有两名，设为A，B.若x，y∈[180,185)，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；若x，y∈[190,195)，只有AB 1种情况；若x，y分别在[180,185)，[190,195)内，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15，事件|x－y|≤5包含的基本事件的个数为6＋1＝7，故所求概率为715.1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A.至少有一个黑球与都是黑球 B.至少有一个黑球与都是红球 C.至少有一个黑球与至少有一个红球 D.恰有一个黑球与恰有两个黑球 答案 D解析 对于A ，事件“至少有一个黑球”与事件“都是黑球”可以同时发生，∴A 不正确；对于B ，事件“至少有一个黑球”与事件“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴B 不正确；对于C ，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球，一个黑球，∴C 不正确；对于D ，事件“恰有一个黑球”与事件“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴D 正确.2.(2016·天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56B.25C.16D.13 答案 A解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56. 3.对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )A.0.09B.0.20C.0.25D.0.45 答案 D解析 设[25,30)上的频率为x ，由所有矩形面积之和为1，即x ＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的频率为0.25.所以产品为二等品的概率为0.04×5＋0.25＝0.45.4.根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%.现有一血液为A 型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为( )A.15%B.20%C.45%D.65% 答案 D解析 因为某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%，现在能为A 型病人输血的有O 型和A 型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D. 5.袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.从以上五张卡片中任取两张，则这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为( ) A.13 B.110 C.310 D.23 答案 C解析 从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2，其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况：红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，故所求的概率为P ＝310，故选C.6.已知a ∈{－2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是( ) A.310 B.35 C.25 D.15 答案 C解析 函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数，则a 2－2<0，又a ∈{－2,0,1,2,3}，故只有a ＝0，a ＝1满足题意，又b ∈{3,5}，所以函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率P ＝2×25×2＝25，故选C.7.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为________. 答案112解析 从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数，有n ＝9×82＝36(种)情形，其中一个数是另一个数的3倍的事件有{1,3}，{2,6}，{3,9}，共3种情形，所以由古典概型的概率计算公式可得其概率是P ＝336＝112.8.无重复数字的五位数a 1a 2a 3a 4a 5，当a 1<a 2，a 2>a 3，a 3<a 4，a 4>a 5时称为波形数，则由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是________. 答案215解析 ∵a 2>a 1，a 2>a 3，a 4>a 3，a 4>a 5， ∴a 2只能是3,4,5中的一个.①若a 2＝3，则a 4＝5，a 5＝4，a 1与a 3是1或2，这时共有A 22＝2(个)符合条件的五位数； ②若a 2＝4，则a 4＝5，a 1，a 3，a 5可以是1,2,3，共有A 33＝6(个)符合条件的五位数； ③若a 2＝5，则a 4＝3或4，此时分别与①②中的个数相同.∴满足条件的五位数有2(A 22＋A 33)＝16(个).又由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数有A 55＝120(个)，故所求概率为16120＝215. 9.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为________. 答案1021解析 从袋中任取2个球共有C 215＝105(种)取法，其中恰有1个白球、1个红球共有C 110C 15＝50(种)取法，所以所取的球恰有1个白球、1个红球的概率为50105＝1021.10.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 答案 12解析 从10件产品中取4件，共有C 410种取法，恰好取到1件次品的取法有C 13C 37种，由古典概型概率计算公式得P ＝C 13C 37C 410＝3×35210＝12.11.海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.解 (1)A ，B ，C 三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为6300＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2. (2)方法一 设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为： A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个.每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有：{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个. 所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.方法二 这2件商品来自相同地区的概率为C 23＋C 22C 26＝3＋115＝415. 12.一个盒子里装有三张卡片，分别标记为数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c . (1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.解 由题意知，(a ，b ，c )所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种. (1)设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ， 则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种. 所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种.所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.13.某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示.设x 为这种商品每天的销售量，y 为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为( )A.19B.110C.15D.18答案 B解析 日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元.从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a ，b ，c ，日销售量为21个的2天记为A ，B ，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P ＝110，故选B.14.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________. 答案 35 1315。
随机事件与概率
如果事件A1, A2, ..., An是n个互斥事件，且满足P(Ai) > 0, i=1,2,...,n，则对于任意事件B，有 P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)/P(B), i=1,2,...,n
条件概率的应用
医学诊断
在医学诊断中，医生通常会使用条件概率 来评估患者的疾病风险。例如，如果一个 患者具有某种特定的症状，医生可以使用 条件概率来计算该患者患有某种特定疾病 的概率。
03
条件概率
条件概率的定义与性质
• 定义：在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A相对于事件B的条件概率。记作P(A|B)。
条件概率的定义与性质
性质 1. 非负性：0 ≤ P(A|B) ≤ 1 2. 对于任意两个事件A和B，有P(A|B)+P(B|A)=1
条件概率的定义与性质
3. 对于必然事件Ω，有P(Ω)=1 5. 对于任意事件A和B，有P(A|B)=1-P(¬A|B)
乘法规则
若A和B为独立事件，则P(A和B) = P(A) * P(B)。
条件概率
给定事件A发生的条件下，事件B发生的概率为 P(B|A)。
古典概型与几何概型
古典概型
在有限等可能情况下，定义事件A的概率P(A)为事件A出现的次数n(A)除以总次数 N。
几何概型
在无限等可能情况下，定义事件A的概率P(A)为事件A出现的测度d(A)除以总测度 D。
交集
若A和B均为随机事件，则称A与B的交集为 A与B的积。
并集
若A和B均为随机事件，则称A与B的并集为 A与B的和。
差集
若A和B均为随机事件，则称A与B的差集为 A与B的差。
试验与结果
试验
3-随机事件的概率-频率概率、古典概型
(3) 若A1 ,, AK 是互不相容的事件, 则
f n ( A1 Ak ) f n ( A1 ) f n ( Ak )
(4) 关于频率的其它方面
8
随机事件的概率
统计概型 频率的相对稳定性
9
随机事件的概率
统计概型 频率的相对稳定性
10
随机事件的概率
统计概型 统计概型的定义
袋中取球：一个袋子中装有10 个大小、形状完全相同的球(编 号为1-10)。把球搅匀，蒙上眼 睛，从中任取一球。
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
任一个被取出的机会都是1/10
因为抽取时这些球是完
全平等的，没有理由认为某一
个球比另一个更容易取得。也 就是说，任一个球被取出的机 会是相等的，均为1/10。 这显然是一个古典概型
1
下面的概率错在哪里？
3
5
7
9
2 4
正确答案
6
8 10
从5双中取1双，从剩 下的8只中取2只 错在“4只配成两双”算了两次
36
或
“分球入箱”问题
设有n个球，每个都以相同的概率1/N(Nn)落 入N个箱子中的每一个中。根据以下条件，分别求 事件A={某预先指定的n个箱子中各有一球}的概率p。 条件： 1.球有编号，每个箱子容纳的球数不限； 2.球有编号，每个箱子只容纳一个球； 3.球无编号，每个箱子只容纳一个球； 4.球无编号，每个箱子容纳的球数不限。
次品 这是一种无放回抽样 正品
M件次品 N-M件正品
32
随机事件的概率
古典概率计算举例
例4 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每 堆2只。 问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的 概率是多少？
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第5讲随机事件的概率一、复习目标：（1）事件的分类与关系；（2）概率与频率的关系与区别。
二、知识梳理与应用举例1、事件的分类：①随机事件；②必然事件；③不可能事件在一次试验中，一定会发生的事件称为必然事件，一定不会发生的事件称为___________，可能发生也可能不发生的事件称为__________，其中__________和__________统称为确定事件．例1、下列事件：①连续掷一枚硬币，两次都出现正面朝上；②异性电荷，相互吸引；③某人开车通过10个路口都将遇到绿灯；④若0a为实数，则。
a是随机事件的是____________.练习1．给出下列四个命题：①“当x∈R时，sin x＋cos x≤1”是必然事件；②“当x∈R时，sin x＋cos x≤1”是不可能事件；③“当x∈R时，sin x＋cos x<2”是随机事件；④“当x∈R时，sin x＋cos x<2”是必然事件；其中正确的命题个数是()A．0B．1C．2D．32、频率与概率的关系:频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的，而_____是一个确定的值，通常人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．有时也用____来作为随机事件概率的估计值．m 两者联系：在相同的条件下，大量重复进行同一试验，事件A发生的频率n 总在某个常数附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).①概率的取值范围是____________；②必然事件的概率P(A)=________；③不可能事件的概率P(A)=______. （2）区别：①事件的频率是_________的；②事件的概率是________的。
例2：某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示：（1）计算表中各个频率；（2）如果该运动员再投一次，试预测其进球的概率。
练习2．下列说法中正确的是( )A．任何事件的概率总是在(0,1)之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定3、事件的关系：①互斥事件；②对立事件例3：某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”。
判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）A“只订甲报”与C“至多订一种报”_______________;（2）B“至少订一种报”与E“一种报也不订”____________;（3）B“至少订一种报”与D“不订甲报”________________;（4）B“至少订一种报”与C“至多订一种报”_______________;（5）C“至多订一种报”与E“一种报也不订”____________.练习3：（1）一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都不中靶”的对立事件是（）A.两次都中靶 B.至多有一次中靶 C.恰有一次中靶 D.至少有一次中靶（2）从同类产品中（其中有10个正品，2个次品）中，任意取3个的必然事件是（）A.3个都是正品B.至少有一个是正品C.3个都是正品D.至少有3个是正品（3）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个白球，都是白球B ．至少有1个白球，至少有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是红球4.事件的概率加法公式（1）若A 、B 互斥，则P(A+B)=_____________;（2）若A 、B 对立，则P(A)+P(B)=___________.例4：某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，则这个射手在一次射击中：（1）射中10环或7环的概率为________________;（2）不够7环的概率为___________________.练习4、甲、乙两人下棋，和棋的概率为21，乙获胜的概率为31，则甲不输的概率是_______.例5： 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．每1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率变式5：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？课后练习：1．在一对事件A、B中，若A是必然事件，B是不可能事件．那么A和B() A．是互斥事件，但不是对立事件B．是对立事件，但不是互斥事件C．是互斥事件，也是对立事件D．不是对立事件，也不是互斥事件2．从分别写有1,2,3,4,5的四张卡片中随机抽取两张，两张卡片上的数字至少有一个为奇数的概率是()A.110 B.310 C.56 D.9103．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为()A．60% B．30% C．10% D．50%4．袋中有白球和黑球各5个，从中无放回连续摸取两次，每次摸出一个球，A ＝{两次都摸到白球}，B＝{两次都摸到黑球}，C＝{恰有一次摸到白球}，D＝{至少有一次摸到白球}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件是________．5．从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)g范围内的概率是________．第6讲 古典概型一、复习目标：（1）理解古典概型及其概率计算公式；（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
二、知识梳理与应用举例1．古典概型的定义(1)试验的所有可能结果(基本事件)只有_______(2)每一个试验结果(基本事件)出现的可能性______．我们把具有以上这两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型．2．古典概型的计算公式对于古典概型，若试验的所有基本事件数为 n ，随机事件 A 包含的基本事件数为 m ，那么事件 A 的概率为 P(A)＝___.例题分析：1.能够用准确的方法列出试验的所有结果：列表，树状图或直接列出课前练习1、（1）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，列出（a ，b ）的所有结果.（2）a ，∈b {1，2，3，4，5}，列出（a ，b ）的所有结果.例1：已知集合A={-2,0,2},B={-1,1}（1）若},),{(B y A x y x M ∈∈=，用列举法表示集合M;（2）在（1）中的集合M 中，随机取出一个元素),(y x ，求以),(y x 为坐标的点位于区域D: ⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤-+≥+-10202y y x y x 内的概率。
例2：先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x 表示第1枚 骰子出现的点数，y 表示第2枚骰子出现的点数．(1)求点P (x ，y )在直线y ＝x －1上的概率；(2)求点P (x ，y )满足y 2<4x 的概率．练习1：（1）在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为____________;（2）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_____________.（3）从集合A={-1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线b kx y +=不经过第三象限的概率为( )92.A 31.B 94.C 95.D （4）现有5根竹竿，它们的长度（单位：米）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9.若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3米的概率为____.例2. 甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题．(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？练习2：（1）从5张100元，3张200元，2张300元的亚运门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为_____________.（2）在2010年11月广州市的亚运火炬传递活动中，有编号为1,2,3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为_____________.课后练习：1.甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足复数x ＋y i 的实部大于虚部的概率是( )A.16B.512C.712D.132．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为( )A.184B.121C.25D.353．从1,2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是( )A.59B.49C.1121D.10214．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )A.19B.112C.115D.1185．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为____________．6．某大学数学系一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任奥运会志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是________(结果用分数表示)．7．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．第7讲 几何概型一、复习目标：（1）能分清楚所求概率是和长度、面积还是和体积有关；（2）会求简单的几何概型的概率。
二、知识梳理与应用举例几何概型的计算公式：）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( 1.与长度有关的几何概型例1：在区间]2,1[-上随机取一个数，则]1,0[∈x 的概率是_______.练习1：在区间]2,2[ππ-上随机取一个数x ，则x cos 的值介于0到21的概率是（ ） 31.A 2.πB 21.C 32.D 练习2：在等腰直角ABC ∆中，在斜边AB 上取一点M .则事件“AC AM <”的概率是___________.2.与角度有关的几何概型例2：已知等腰直角ABC ∆中，090=∠C 030<∠CAM 的概率是___________;（若将画框部分改为“直角边BC 上任取一点M ”呢？）练习3：在等腰直角ABC ∆中，过直角顶点C ，在ACB ∠内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则事件“AC AM <”的概率是___________.3.与面积有关的几何概型例3：（1）ABCD 为长方形，AB O BC AB 为,1,2==的中点，在长方形ABCD 内随机取一个点，取到的点到O 的距离大于1的概率为____________.（2）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为_____.例4、甲、乙两人约定上午 9 点至12 点在某地点见面，并约定任何一个人先到之后等另一个人不超过一个小时，一小时之内如对方不来，则离去．如果他们二人在 8点到 12 点之间的任何时刻到达约定地点的概率都是相等的，求他们见到面的概率．练习4：一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的概率为（ ）12.πA 31.π-B 61.π-C 121.π-D 练习5：甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．4.与体积有关的几何概型例5：有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为____________.练习6：一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）278.A 271.B 2726.C 2715.D5、两种概型的综合运用例3：已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－2bx ＋8.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{2,3,4,5}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间(－∞，2]上有零点且是减函数的概率；(2)若a 是从区间[1,3]任取的一个数，b 是从区间[2,5]任取的一个数，求函数y ＝f (x )在区间(－∞，2]上有零点且是减函数的概率．练习7：已知两实数 x ，y 满足0≤x ≤2，1≤y ≤3.(1)若 x ，y ∈N ，求使不等式 2x －y ＋2>0 成立的概率；(2)若 x ，y ∈R ，求使不等式 2x －y ＋2>0 不成立的概率．课后练习：1.如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( ) A.49 B.29 C.23 D.132. 取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为( )A.2πB.π－2πC.2πD.π43．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，方程x 2＋ax ＋b 2＝0的两根均为实数的概率为( )A.18B.14C.12D.344． ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π85．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．6．有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．7．一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球．已知袋中共有10个球．从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.求：(1)从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；(2)袋中白球的个数．。