第3章 随机向量(含习题参考答案)

=0+0+0=0
∴ 选 A.
p⋅ j 1 4 1 2 1 4
·8·
则下列式子正确的是 ( （A） X=Y； （C）P(X=Y)=1/2；
·5·
解：A 显然不对.
P ( X = Y ) = P( X = −1, Y = −1) + P( X = 1, Y = 1) 1 1 1 1 1 ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 2
= P( X = −1) P(Y = −1) + P( X = 1) P(Y = 1) =
.
2. 已知(X,Y)的联合概率分布如下：
Y X
1 0 1/3
2 1/3 1/3
1 2
则 X 与 Y 的边缘概率分布为__________； X 与 Y 是否独立？__________. 解：X 的边缘概率分布为：
X
P Y 的边缘概率分布为：
1 1/3
2 2/3
1 2 1/3 2/3 1 1 1 由于 P ( X = 1) ⋅ P(Y = 1) = ⋅ = ≠ P( X = 1, Y = 1) = 0 ，故 X 与 Y 不 3 3 9
解： S阴 =
∫
e2 1
1 e2 ( − 0)dx = ln x 1 = 2 x
·2·
⎧1 ( x, y ) ∈ D ⎪ ∴ f ( x, y ) = ⎨ 2 ⎪ ⎩0 其他 f X ( x) = ∫
+∞ −∞
y
f ( x, y )dy
y=
1 x
D x
⎧ 1 1 1 1 ≤ x ≤ e2 , ⎪ ∫ 0x dy = =⎨ 2 2x ⎪ 0 其它. ⎩
2 2
解：相互独立的随机变量 Xi～N(μi,σi2)，i=1,…,n. 有
n ⎛ n 2 2⎞ c X N c μ , ∼ ∑ i i ⎜ ∑ i i ∑ ci σ i ⎟ i =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠ n
∴ 选 D.
4．设 X～N(0,1)，Y～N(1,1)，且 X 与 Y 相互独立，则 (
8. 设 X1,…,Xn 独立且同服从 U[0, a](a>0)， 则 Z=max(X1,…,Xn)的概率密 度函数为__________. 解：Xi 的概率密度函数和分布函数分别为
·3·
⎧1 ⎪ f ( x) = ⎨ a ⎪ ⎩0
FZ ( z ) = F n ( z )
0≤ x≤a 其它
⎧0 ⎪x ⎪ F ( x) = ⎨ ⎪a ⎪ ⎩1
x
1 2
1 1 1 1 1 P( X + Y ≤ ) = ∫∫ f ( x, y)dxdy = S阴 = ⋅ ⋅ = 2 S 2 2 2 8
阴
0
1
x+ y =
10. 设随机变量 X 1 , X 2 ,L , X n 相互独立，且 X i ~ B(1, p), 0 < p < 1 ，
i = 1, 2,L , n ，则 X = ∑ X i ~ __________.
解： F (0.5, 2) = P( X ≤ 0.5, X ≤ 2)
=∫
0.5
−∞
∫
2
−∞
f ( x, y )dxdy = ∫
0.5
0
∫
2
0
4 xydxdy = 0.25 .
5. 设二维随机变量 (X,Y) 在由 y = 1/ x, y = 0, x = 1 和 x = e 2 所形成的区 域 D 上服从均匀分布， 则(X,Y)关 X 的边缘密度在 x = 2 处的值为______.
⎧1 f ( x, y ) = f X ( x ) fY ( x ) = ⎨ ⎩0
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
其它
∴ 选 A. 其分布函数分别为 FX(x)和 FY(y)， 6. 设 X 与 Y 是相互独立的随机变量， 则 Z=min(X,Y)的分布函数是( （A）FZ(z)= FX(z)；
P ( X + Y ≤ 1/ 2) = __________.
解： f X ( x) = ⎨
⎧1 y ∈ [0, 1] ⎪ fY ( y ) = ⎨ ⎪ ⎩0 其它 y ⎧1 0 ≤ x, y ≤ 1 f ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ fY ( y ) = ⎨ 1 ⎩0 其它
⎧1 x ∈ [0,1] ⎩0 其它
可表示为：
解： D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1}
D : −1 ≤ x ≤ 1, − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2
f X ( x) = ∫
+∞
−∞
⎧ 1− x2 1 dy ⎪ f ( x, y )dy = ⎨ ∫− 1− x2 π ⎪ 0 ⎩ -1 ≤ x ≤ 1 其它 -1 ≤ y ≤ 1 其它
或
o
f X (2) = 1 4
1
e2
f x (2) = ∫
1 2 0
1 1 dy = 2 4
6. 设二维随机向量(X,Y)～N(0,0,1,1,0)，则 P(Y<0)= __________. 解：X,Y～N(0,1)，P(Y<0)=Φ(0)=0.5.
7. 设相互独立的两个离散型随机变量 X 和 Y 都具有概率分布： X(Y) p 0 1/2 1 1/2
i =1
n
解：Q X i ~ B (1, p )
∴ X = ∑ X i ~ B(n, p)
i =1
n
·4·
二、单项选择题
⎧1/ π 1. 设(X,Y)的联合概率密度是 f ( x, y ) = ⎨ ⎩0 x2 + y2 ≤ 1
其它
，则 X 与 Y 是
(
) 的随机变量.
（A） 独立同分布； （C） 不独立同分布； （B）独立不同分布； （D）不独立也不同分布.
第 3 章 随机向量
0B
一、填空题
1. 设 X 和 Y 是两个独立的随机变量，其概率密度函数分别为：
⎧1 0 ≤ x ≤ 1 ， f X ( x) = ⎨ ⎩0 其它 ⎧e − y fY ( y ) = ⎨ ⎩0 y>0 y≤0
则(X,Y)的联合概率密度函数是__________.
⎧e − y 解： 由 X 与 Y 相互独立， 有 f ( x, y ) = f X ( x ) fY ( y ) = ⎨ ⎩0 0 ≤ x ≤ 1, y > 0 其它
（A） P( X + Y ≤ 0) = （C） P( X − Y ≤ 0) =
). 1 ； 2 1 . 2
1 ； 2 1 ； 2
（B） P ( X + Y ≤ 1) = （D） P( X − Y ≤ 1) = ∴ X + Y ~ N (1,2)
解： X ~ N (0, 1) Y ~ N (1,1) 且独立
则 Z=max(X,Y)的概率分布是__________. 解：Z 的可能取值为 0,1 P(Z=0)=P(max(X,Y)=0) =P(X=0,Y=0)= P(X=0)P(Y=0)=1/4 P(Z=1)=P(max(X,Y)=1) =P(X=0,Y=1)+ P(X=1,Y=0) + P(X=1,Y=1) =P(X=0)P(Y=1)+ P(X=1)P(Y=0) + P(X=1)P(Y=1)=3/4 Z 的概率分布是 Z p 0 1/4 1 3/4
π
4
π ⎧ ⎪( 2 + 1)[cos x − cos( x + )] =⎨ 4 ⎪ ⎩ 0
π
4
⎧4 xy 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 . 若 4. 设(X,Y)的联合概率密度函数为 f ( x, y ) = ⎨ 其它 ⎩0 F(x,y)是(X,Y)的联合分布函数，则 F(0.5,2)＝__________.
Y
P
独立.
·1·
3. 已知(X,Y)的联合概率密度函数为
⎧C sin( x + y ) 0 ≤ x ≤ π / 4, 0 ≤ y ≤ π / 4 f ( x, y ) = ⎨ 0 其它 ⎩
则 C＝__________，X 的边缘概率密度为__________.
解：
∫ ∫
−∞
+∞
+∞
−∞
f ( x, y )dxdy = ∫
∴ 选 C.
设随机变量 X 与 Y 相互独立， 且 X～N(μ1,σ12)， Y～N(μ2,σ22)， 则 Z=X+Y 3． 仍服从正态分布，且有 (
（A）Z～N(μ1,σ1 +σ2 )； （C）Z～N(μ1+μ2,σ1 σ2 )；
2 2 2 2
).
（B）Z～N(μ1+μ2,σ1σ2)； （D）Z～N(μ1+μ2,σ1 +σ2 ).
x<0 0≤ x≤a x>a
⎧ nz n −1 ⎪ n n −1 故 f Z ( z ) = FZ′ ( z ) = [ F ( z )]′ = n[ F ( z )] f ( z ) = ⎨ a n ⎪ 0 ⎩
0≤ z≤a
其它
9. 设随机变量 X , Y 相互独立且都服从区间 [0, 1] 上的均匀分布，则
P ( X + Y ≤ 1) = P( X + Y > 1) = Φ(0) =
1 2
∴ 选 B.
5. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从[0,1]的均匀分布，则服从区
间或区域上的均匀分布的随机变量是(
（A）(X,Y) （B）X+Y
).
（C）X
2
（立，且都服从[0,1]的均匀分布，有
).
（B）FZ(z)=min{FX(z),FY(z)}；