7.0 第七章平面向量习题及答案
平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题一．填空题。
1． +++等于________．2．若向量a ＝（3，2），b ＝（0，－1），则向量2b －a 的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若AB 与CD 共线，则|BD |的值等于________．7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a =(1,－2), b =(1,x),若a ⊥b ,则x 等于______9. 已知向量a , b 的夹角为ο120，且|a |=2,| b |=5,则（2a - b ）·a =______10. 设a =(2,－3), b =(x,2x),且3a ·b =4,则x 等于_____11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_ ____12. 已知向量a +3 b , a -4 b 分别与7a -5 b ,7a -2 b 垂直，且|a |≠0,| b |≠0，则a 与b 的夹角为____ 13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +u u u r u u u r u u u r 的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。
15．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模； （2）试求向量与的夹角；（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．16.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围17．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直18. 设向量)2,1(),1,3(-==，向量垂直于向量，向量 平行于，试求,时=+的坐标.19.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.20.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.1. 2.（－3，－4） 3.7 4.90° 5.（21，321）． 6.73． 7.（－3，2）． 8.－2 9.12 10.31-11.0 12. 90° 13.2- 14.51--或 15.（1）∵ ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2＋AC |＝227)1(+-＝50．（2）∵ |AB |＝221)1(+-＝2．||＝2251+＝26，AB ·＝（－1）×1＋1×5＝4．∴ cos ? ＝＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．16．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底 （2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a17．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a +t b )18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y y x Θ ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x Θ 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立， 得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x . 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥b t a k b t a y x y x 即Θ ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即Θ （2）由f (t )>0,得.303,0)3)(3(,0)3(412><<--+>-t t t t t t t 或则即。
平面向量教材课后习题答案
平面向量教材课后习题答案平面向量教材课后习题答案随着数学教育的发展，教材的重要性不言而喻。
作为学生来说，教材中的习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
而对于平面向量这一概念来说，习题的解答更是锻炼思维和应用知识的重要手段。
本文将为大家提供一些平面向量教材课后习题的答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、基本概念题1. 设向量A = (3, 4) ，B = (-2, 5)，求A + B的坐标表示。
答案：A + B = (3 + (-2), 4 + 5) = (1, 9)。
2. 已知向量A = (2, -1)，求A的模长。
答案：|A| = √(2^2 + (-1)^2) = √5。
二、向量运算题1. 设向量A = (3, 4)，B = (-2, 5)，求A - B的坐标表示。
答案：A - B = (3 - (-2), 4 - 5) = (5, -1)。
2. 已知向量A = (2, -1)，求向量A的负向量。
答案：-A = (-2, 1)。
三、向量共线与垂直题1. 设向量A = (1, 2)，B = (2, 4)，判断向量A与向量B是否共线。
答案：向量A与向量B共线，因为它们的坐标成比例关系。
2. 设向量A = (1, 2)，B = (-2, 1)，判断向量A与向量B是否垂直。
答案：向量A与向量B不垂直，因为它们的内积不为0。
A·B = 1*(-2) + 2*1 = 0。
四、向量投影题1. 已知向量A = (3, 4)，B = (1, 2)，求向量A在向量B上的投影长度。
答案：向量A在向量B上的投影长度为|A|cosθ，其中θ为A与B的夹角。
由向量内积的性质可知，cosθ = (A·B) / (|A||B|)。
所以，投影长度为|A|cosθ =|A|(A·B) / (|A||B|) = (3*1 + 4*2) / √(3^2 + 4^2) = 11 / 5。
2. 已知向量A = (2, 3)，B = (1, -1)，求向量A在向量B上的投影向量。
(完整版)平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题一．填空题。
1．AC DB CD BA 等于________．2．若向量a＝（ 3，2）， b＝（0，－1），则向量2b－a的坐标是________．3．平面上有三个点A（ 1，3），B（ 2，2），C（ 7，x），若∠ ABC ＝90°，则 x 的值为 ________．4.向量 a、b 知足 |a|=1,|b|= 2 ,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为________．5．已知向量 a＝（ 1， 2）， b＝（ 3， 1），那么向量 2a－1b 的坐标是 _________．26．已知 A（－ 1， 2），B（ 2， 4）， C（4，－ 3）， D （ x，1），若AB与CD共线，则 | BD |的值等于 ________．7．将点 A（ 2， 4）按向量 a＝（－ 5，－ 2）平移后，所获得的对应点A′的坐标是 ______．8.已知 a=(1, －2), b =(1,x), 若 a⊥b,则 x 等于 ______9.已知向量 a, b 的夹角为120，且 |a|=2,| b |=5,则（ 2a- b）· a=______10.设 a=(2, － 3), b =(x,2x), 且 3a· b =4, 则 x 等于 _____11.已知 AB( 6,1), BC ( x, y), CD ( 2, 3), 且 BC ∥DA，则x+2y的值为_ ____12.已知向量a+3 b, a-4 b 分别与 7a-5 b,7a-2 b 垂直，且 |a|≠ 0,| b |≠ 0，则 a 与 b 的夹角为 ____uuur uuur uuur13．在△ ABC中， O 为中线 AM 上的一个动点，若AM=2 ，则OA OB OC 的最小值是.14．将圆x2y 2 2 按向量v=（2，1）平移后，与直线 x y0 相切，则λ的值为.二．解答题。
15．设平面三点A（ 1， 0）， B（ 0，1）， C（ 2， 5）．（1）试求向量 2 AB＋AC的模；（2）试求向量AB 与 AC 的夹角；（3）试求与BC垂直的单位向量的坐标．16.已知向量a=( sin,cos)（R ）,b=(3,3 )（1）当为什么值时，向量a、b 不可以作为平面向量的一组基底1（2）求 |a －b|的取值范围17．已知向量 a 、 b 是两个非零向量，当 a+tb(t ∈R)的模取最小值时，（1）求 t 的值（2）已知 a 、 b 共线同向时，求证b 与 a+tb 垂直18. 设向量 OA (3,1), OB ( 1,2) ，向量 OC 垂直于向量 OB ，向量 BC 平行于 OA ，试求 OD OA OC 时,OD 的坐标 .19.将函数 y= － x 2 进行平移， 使获得的图形与函数 y=x 2－ x － 2 的图象的两个交点对于原点 对称 .(如图 )求平移向量 a 及平移后的函数分析式 .20.已知平面向量 a( 3, 1), b (1, 3).若存在不一样时为零的实数k 和 t,使2 2x a (t 23)b, y ka t b, 且 x y.（ 1）试求函数关系式 k=f （ t ）（ 2）求使 f （ t ）>0 的 t 的取值范围 .21 11. 02.（－ 3，－ 4）3.74.90°5.（ 2 ， 3 2 ）．6.73 ． 7.（－ 3， 2）．8.－ 29.12110. 311.012. 90 ° 13.214.1或 515. （ 1）∵AB ＝（ 0－ 1， 1－0）＝（－ 1， 1）， AC ＝（ 2－ 1， 5－ 0）＝（ 1，5）．∴ 2 AB ＋ AC ＝ 2（－ 1， 1）＋（ 1， 5）＝（－ 1， 7）．∴ |2AB ＋ AC |＝ ( 1)2 72 ＝ 50．（2）∵ | AB |＝( 1)212＝ 2 ．|AC |＝ 12 52 ＝ 26 ，AB ·AC ＝（－ 1）× 1＋ 1×5＝ 4．AB AC4 2 13∴ cos ＝ | AB | | AC | ＝ 226＝ 13 ．（3）设所求向量为m ＝（ x ， y ），则 x 2＋ y 2＝ 1． ①又 BC ＝（ 2－ 0， 5－ 1）＝（ 2，4），由 BC ⊥ m ，得 2 x ＋ 4 y ＝ 0．②x 2 5x －2555y5 ． y5 ．2 55 2 555 55）或（－ 55）即由①、②，得 5 或 ∴ （ ，－，为所求．16．【解】（1）要使向量 a 、 b 不可以作为平面向量的一组基底，则向量 a 、 b 共线3sin3 cos30 tan∴3k(k Z ) k(kZ ) 故6，即当6基底时，向量 a 、b 不可以作为平面向量的一组（2） | a b | (sin 3) 2 (cos 3)2 13 2( 3 sin3cos )而 2 33 sin3cos2 3∴ 2 3 1 | a b | 2 3 1317．【解】（1）由 ( a tb) 2| b |2 t 22a bt| a |2t2a b| a |cos(是a与b的夹角）当2 | b |2| b |时 a+tb(t ∈ R)的模取最小值| a |t（2）当 a、 b共线同向时，则0，此时| b |∴ b (a tb) b a tb2b a | a ||b | | b || a | | a || b | 0∴b⊥ (a+tb)18．解：设OC(x, y),OC OB OCOB 0 2 y x0①又BC // OA,BC(x1, y2)3( y 2)( x 1) 0即：3y x7②x14,联立①、②得y710分OC(14,7),于是 OD OC OA(11,6) .19．解法一：设平移公式为x x hy y k 代入 y x2，获得y k( x h) 2 .即 y x22hx h 2k ，把它与 y x 2x2联立，y x 22hx h 2k得yx 2x 2设图形的交点为（x1， y1），（ x2， y2），由已知它们对于原点对称，x1x2即有：y1y2 由方程组消去y得：2x2(12h) x 2 h 2k 0.4x 1 x 21 2h且x 1x 20得h1 . 由22又将（x 1, y1 ），( x 2, y 2 )分别代入①②两式并相加，得： y 1 y 2x 12 x 22 2hx 1 x 2 h 2 k 2.0 (x 2x 1 )( x 2x 1 ) (x 1x 2 ) 1 k 2k9.a ( 1 , 9)4. 解得42 4 .xx12y y9x2得： yx 2平移公式为：4 代入 yx2 .解法二：由题意和平移后的图形与y x 2x2交点对于原点对称，可知该图形上全部点都能够找到对于原点的对称点在另一图形上，所以只需找到特点点即可.y x2x2的极点为(1, 9)1 , 924 ，它对于原点的对称点为 （ 2 4 ），即是新图形的极点 .因为新图形由 yx 2h1 0 1, k 99平移获得， 所以平移向量为22 44 以下同解法一 .20．解：（ 1）xy, x y 0.即[( at 2 3)b]( k a tb)0.a b0, a 221,4k t(t23) 0,即k1t(t 23).4,b1t (t 24（ 2）由 f(t)>0, 得3) 0,即t (t3)(t3)0,则3t 0或t3.45。
平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题一．填空题。
1． +++等于________．2．若向量a ＝（3，2），b ＝（0，－1），则向量2b －a 的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若AB 与CD 共线，则|BD |的值等于________．7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a =(1,－2), b =(1,x),若a ⊥b ,则x 等于______9. 已知向量a , b 的夹角为 120，且|a |=2,| b |=5,则（2a - b ）·a =______10. 设a =(2,－3), b =(x,2x),且3a ·b =4,则x 等于_____11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_ ____12. 已知向量a +3 b , a -4 b 分别与7a -5 b ,7a -2 b 垂直，且|a |≠0,| b |≠0，则a 与b 的夹角为____13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。
15．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋AC 的模； （2）试求向量AB 与AC 的夹角；（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．16.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围17．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直18. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量垂直于向量，向量 平行于，试求,=+的坐标.19.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.20.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=b a 若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.1.02.（－3，－4）3.74.90°5.（21，321）． 6.73． 7.（－3，2）． 8.－2 9.12 10.31-11.0 12. 90° 13.2- 14.51--或 15.（1）∵ ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2AB ＋|＝227)1(+-＝50．（2）∵ ||＝221)1(+-＝2．||＝2251+＝26，·＝（－1）×1＋1×5＝4．∴ cos θ ＝||||AC AB ⋅＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．16．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底 （2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a17．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a +t b )18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y y x ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x BC OA BC 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立， 得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x .由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即 ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即 （2）由f (t )>0,得.303,0)3)(3(,0)3(412><<--+>-t t t t t t t 或则即。
平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题一.填空题。
1. +++等于________．２．若向量a =（3,2),b =（0，-1）,则向量2b -ａ的坐标是__＿＿＿＿__.3.平面上有三个点A （1，3)，B (2,2)，Ｃ(7,ｘ)，若∠ABC =90°,则x 的值为__＿__＿__. ４．向量a 、ｂ满足|ａ|=1,｜ｂ|＝2,(a +ｂ)⊥(2a －b ）,则向量a 与b 的夹角为___＿____.5.已知向量a ＝（1,2),ｂ＝(3，1),那么向量２a -21b 的坐标是_＿_______． ６.已知A （－１，２),B （2，4）,C (4，-3),D (x ,1),若AB 与CD 共线，则|BD |的值等于___＿__＿_.７．将点A (2，4）按向量a ＝（－５，-2)平移后,所得到的对应点A ′的坐标是＿__＿__．8. 已知a =(1，－２), b =（１,x ）,若a ⊥b ,则x 等于___＿__9. 已知向量a , b 的夹角为 120，且|a ｜=2,| b ｜=5,则（2a - ｂ)·a =_＿_＿__10. 设a ＝（2，－3), b =（x,２x ）,且3a ·b ＝4，则x 等于＿_＿＿_11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_ ＿＿_＿１2. 已知向量a +3 ｂ， a -４ b 分别与７a -5 b ,７a －2 ｂ垂直，且|a ｜≠0,| b ｜≠0,则a 与b 的夹角为____1３. 在△ＡBC 中,O 为中线AM 上的一个动点,若AM=2,则()OA OB OC +的最小值是 .14.将圆222=+y x 按向量ｖ=(２，1)平移后,与直线0=++λy x 相切,则λ的值为 .二.解答题。
15.设平面三点Ａ（１,0）,B (０,１)，Ｃ（2,5）．(1)试求向量2＋的模; (２）试求向量与的夹角；(3)试求与BC 垂直的单位向量的坐标.16．已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ),ｂ=(3,3)（1)当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底(2）求|ａ－ｂ|的取值范围17.已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t ｂ(t ∈R ）的模取最小值时，(１）求ｔ的值(2）已知ａ、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直18. 设向量)2,1(),1,3(-==,向量OC 垂直于向量OB ,向量BC 平行于OA ,试求OD OC OA OD ,时=+的坐标.19.将函数ｙ＝－x 2进行平移,使得到的图形与函数y=x 2－x -2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量ａ及平移后的函数解析式.20.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数ｋ和t,使 .,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且(1)试求函数关系式ｋ=f (t )（2）求使ｆ(ｔ)>0的t 的取值范围.1. 2.（-3，-4） 3.7 4.90° ５.(21,321). 6.73. 7.（-３,2）． ８．－2 9.１２１0.31-1１.0 1２. ９0° 13.2- 1４．51--或 15．（1)∵ =(０-1，1-0)=(-1,１），=（2－1,5-0)＝(1,5）．∴ ２+AC =２(-１,１）＋（１，5）=(-1,7)．∴ ｜2AB +|＝227)1(+-=50. (2)∵ |AB |=221)1(+-=2．||＝2251+＝26，·=(-1）×１+１×5=4．∴ c ｏs θ =||||AC AB ⋅＝2624⋅＝13132.（3）设所求向量为＝(x ,y ),则x 2＋y 2＝1. ①又 =(2－0，5-1）＝(２，４)，由⊥,得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ (552,－55)或（－552,55)即为所求. 1６.【解】(１）要使向量ａ、ｂ不能作为平面向量的一组基底,则向量a 、ｂ共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底 (2))cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a１7.【解】(1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2)当ａ、b 共线同向时，则0=α,此时||||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴ｂ⊥（ａ＋t b ) １８．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y y x ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x 即:73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………1０分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是．1９．解法一:设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=,得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立, 得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x １，y 1),（x 2，y 2）,由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去ｙ得：02)21(222=++-+-k h x h x ． 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将(11,y x ）,),(22y x 分别代入①②两式并相加,得:.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x ． 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得:22+--=x x y .解法二:由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-)，即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一．２0．解：（1).0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥b t a k b t a y x y x 即 ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即 (２)由f （ｔ)>０,得.303,0)3)(3(,0)3(412><<--+>-t t t t t t t 或则即。
7.0第七章平面向量测试题及答案(可编辑修改word版)
第七章《平面向量》测试题（时间：120 分钟；分数：150 分）一、选择题（12 小题，每题 5 分，共 60 分）1.下列量：力、位移、速度、加速度、质量、面积中有（）个是向量. （A）5 （B）4 （C）3 （D）72.四边形 ABCD 中若AB = D C,则它一定是（）（A）平行四边形（B）矩形（C）菱形（D）正方形3.若点M 是AB 的中点，O 为平面上任意一点，下列各式中不正确的是（）A M = MB A M = 1AB（A）（B）2O M = 1(OA + OB) O M = 1AB（C） 2 （D）24.下列命题中正确的是（）a = |a|（A）aa=（B|||b|(a,b均为非零向量）（C）a与b反向且均为非零向量，则|a + b| = |a| + |b|（D）a与b同向且均为非零向量，则|a + b| = |a| + |b|5.已知点A（5,3），B（8,0），C（2,0），则∆ABC是（）（A）等腰直角三角形（B）非等腰直角三角形（C）锐角三角形（D）钝角三角形6.已知向量 = ( - 4,1), = (2, ‒ 3), = (7, ‒ 5)，则向量的坐标为（）（B）(5, ‒ 7)（C）(9, ‒ 3)（D）( - 9,3)（A）( - 5,7)7.下列命题：①已知A(3,5),B(1, ‒ 7),则AB中点坐标为（- 1， - 1）.②对平面内任意一点O,都有AB = OA- OB.③已知ABCD的三个顶点A（- 1， - 2）,B(3,1), C(0,2),则D点的坐标为（- 3， - 2）.④已知AB，P、Q为AB的三等分点，则PB = 2QB.则其中正确命题的个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3A(0,3) ,B(3,6) , AP = 1AB8.已知 3 ,则点P 的坐标为( )（A）（4,9）（B）（1,4）（C）（3,3）（D）（6,3）9.下面各对向量垂直的是（）（A） = (1,9)与 = ( - 1,2) （B）c = ( 2, 3) 与d = ( - 2, 3)（C）EF = ( - 2,3)与M N = (2, ‒ 3) （D）m = (3,4)与n = ( -11 10.已知EF = (3， - 1)与M N = (1， - 2)，则〈EF ,M N 〉等于（）π（A ）2 π（B ）3 π（C ）4 π（D ）511.若a = (1,1)与b = (2,3)，则|3a - b |等于（ ）（A ）4（B ）3（C ）2（D ）112.已知|a ‒ b | = ，|a | = 4，|b | = 1，则a ∙ b 等于（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）-3 （D ）3 二、填空题（6 小题，每题 5 分，共 30 分） 13.在平行四边形 ABCD 中，AB ‒ AC =.14.设x 是未知向量，如果2(x ‒ a ) + (2b ‒ x ) = 0,则x = .15. 已知2 + = ( ‒ 4,3) , + ‒ 1,0) ,则a =16.已知a = (3,6) ，b = (1，‒ 2) ，且a = 3b ‒ 2c ,c . 17.已知a = (2,3) ，b = (x ，4) ，若a ⊥ b，那么 x= .18.在等腰三角形∆ABC 中，|AB|=|AC|=6，且AB ∙ AC = - 18，则底角∠C = .三、解答题（共 60 分） 19. （8 分）已知向量a 和b 如图，求（1）2a （2）2a ‒ b .20. （8 分）设a = ( ‒ 1,3) （1）a ⊥ b，m ，2) （2）a ∥ b 当 m 为何值时：21.（10 分）已知a = ( ‒ 1，3),b = （2， ‒ 1），求（1）a ∙ b（2）〈a ,b 〉22(10 分)已知三角形∆ABC 的顶点 A （1,5）、B （-2,1）、C （5,2），证明： ∆ABC 是直角三角形.‒ 1 × 2 + 3 × ( ‒ 1) ( ‒ 1)2 + 32 23 + ( ‒ 1)2223.（12 分）已知向量a = (cos θ，sin θ),b = （cosβ，sinβ ），求：（1）a + b 与a ‒ b 垂直（2）若|ka + b | = |a ‒ kb |，求〈a ,b 〉24.（12 分）已知 A （2,1）、B （3,2）、C （-1,4），（1）求证：AB ⊥ AC（2）当四边形 ABMC 为矩形时，求点 M 的坐标.第七章测试题答案一、选择题（12 小题，每题 5 分，共 60 分） 1. B 2.A 3.D 4.D 5.A 6.B 7.B 8.B 9.D 10.C11.D 12.D二、填空题（6 小题，每题 5 分，共 30 分）13. CB14. 2a ‒ 2b 15. ( - 3，3) 16.(0， ‒ 6)17. ‒ 618.30 ∘三、解答题（共 60 分）19.（8 分） （略） 20. （8 分）m = - 2（1）m=6； （2）3 21. （10 分）a ∙b = ( ‒ 1,3) ∙ (2, - 1) = - 1 × 2 + 3 × ( ‒ 1) = - 5cos 〈a ,b 〉 == -2而0° ≤ 〈a,b〉≤ 180°〈a,b〉= 135°所以22. （10 分）AB = ( ‒ 3，‒ 4) AC = (4，‒ 3)因为AB∙ AC = ( ‒ 3, - 4) ∙ (4, - 3) = - 3 × 4 + ( - 4) × ( ‒ 3) = 0所以即AB⊥ AC所以∆ABC是直角三角形.23. （12 分）|a|2= cos2θ + sin2θ = 1 , |b|2= cos2β + sin2β = 1 （1）因为所以（a + b）∙（a‒ b）= (a)2‒(b)2= |a|2‒|b|2= 0(a + b) ⊥ (a‒ b)所以|ka + b| = |a‒ kb|（2）因为|ka + b|2= |a‒ kb|2所以即k2|a|2+ |b|2+ 2ka∙ b = |a|2+ k2|b|2+ 2ka∙ b|a|2= |b|2= 1因为所以a∙ b = 0 即a⊥ b〈a,b〉= 90°所以24.（12 分）（1）因为 = (3，2) - (2，1) = (1，1)AC = ( ‒ 1，4) ‒ (2，1) = ( ‒ 3，3)而AB∙ AC = (1，1) ∙ ( ‒ 3，3) = 1 × ( ‒ 3) + 1 × 3 = 0所以即AB⊥ AC（2）设 M（x,y）因为四边形 ABMC 为矩形所以AB = C M即(1，1) = (x，y) ‒ ( ‒ 1，4)(x，y) = (0，5)所以 M（0,5）。
平面向量的练习题及答案
平面向量的练习题及答案平面向量的练习题及答案典例精析题型一向量的有关概念下列命题：①向量AB的长度与BA的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是.①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.下列各式：①|a|＝a?a；② ?c＝a? ；③OA－OB＝BA；④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋＝2；⑤a＝，b＝，且a与b不共线，则⊥.其中正确的个数为A.1B.C.D.4选D.| a|＝a?a正确；?c≠a? ； OA－OB＝BA正确；如下图所示，MN=++且MN=++，两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b 为菱形的两条对角线，即得⊥.所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点M在线段DO上，且=，点N在线段OC上,且=,设=a, =b,试用a、b 表示，，1313.在?ABCD中，AC，BD交于点O， 111所以＝＝a－b)，22＝2＝2＝2.11又＝，＝，31所以＝AD＋＝b＋1115＝b＝a，266111＝＋＝＋4412＝＝a＋b). 323所以＝－1511＝－＋)＝a.6626向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足OP＝1OA＋λ，若λ＝2时，则PA?的值为 .由已知得－＝λ，11即AP＝λ，当λ＝时，得AP＝，2所以2AP＝AB＋AC，即AP －AB＝AC－AP，所以BP＝PC，所以PB＋PC＝PB ＋BP＝0，所以? ＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题设两个非零向量a与b不共线.若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，求证：A，B，D三点共线；试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3，所以BD＝BC ＋CD＝2a＋8b＋3＝5＝5AB，所以AB， BD共线.又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线.因为ka＋b和a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ，所以a＝b.因为a与b是不共线的两个非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，所以k＝±1.向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.已知O是正三角形BAC内部一点，+2+3=0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是如图，在三角形ABC中， OA＋2OB＋3OC＝0，整理可得OA＋OC＋2＝0.1令三角形ABC中AC边的中点为E，BC边的中点为F，则点O 在点F与点E连线的处，即OE＝2OF.1hh1设三角形ABC中AB边上的高为h，则S△OAC＝S△OAE＋S△OEC?OE? 的情形，而向量平行则包括共线的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用如图?ABCD中,M,N分别是DC，BC中点.已知AM=a,=b,试用a，b表示，AD与AC易知AM＝AD＋DM 1＝＋，1AN＝AB＋BN＝AB2AD， 1a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b).32所以＝＋＝a＋b).运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0等于 1B.C.1 D.1A.由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PB＋PC＝2PD，因此结合PA＋BP＋CP＝0即得PA＝2PD，因此易得P，A，D三点共线且D是PA＝1，即选C.题型二向量的坐标运算已知a＝，b＝，u＝a＋2b，v＝2a－b.若u＝3v，求x；若u∥v，求x.因为a＝，b＝，所以u＝＋2＝＋＝，v＝2－＝.u＝3v?＝3＝，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.u∥v ?＝λ2x?1??,－3＝0?x＝1.对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.nπnπ已知向量an＝sinn∈N*)，|b|＝1.则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋ (77)＋|a141＋b|2的最大值为.π设b＝，所以y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝2＋b2＋2＋…＋2＋b2＋2＝282＋2cos，所以y的最大7777 值为284.题型三平行向量的坐标运算已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝，n＝，p＝.若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；π若m⊥p，边长c＝2，角CABC的面积.证明：因为m∥n，所以asin A＝bsin B.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC为等腰三角形.因为m⊥p，所以m·p＝0，即a＋b＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝2－3ab，所以2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1.113所以S△ABC＝absin C3.22设m＝，n＝，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m ＝，n＝.若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为A.10－3C.10－23B.10＋5D.10＋231由m⊥n得2cos2C－3cos C－2＝0，解得cos C＝－cos C＝2，所以c2＝a2＋b2－2abcos例题讲解1、下列命题中,正确的是A.若a?b,则a与b的方向相同或相反B.若a?b,b?c,则a?cC.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等D.若a=b,b=c,则a=c.122、已知平面内不共线的四点0,A,B,C满足OB?OA?OC,则33|AB|:|BC|?A.3:1B.1:C.2:1D.1:23、已知向量a= ,b= ,若2a–b与b共线,则实数n的值是 A.6B. C.3?23D3?234、向量AB?按向量a?平移后得向量A?B?,则A?B?的坐标为A. B.C. D.、如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是DC的中点,F是EC的中点,若AB?a,AC?b,则AF? A.14a?34b B.14a?34b C.18a?78bD.18a?78b6、若函数f?cos2x?1的图象按向量a平移后,得到的图象关于原点对称,则向量a可以是A. B. C.424二、填空题:共3小题7、设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka?2b与8a?kb的方向相反,则k?8、若a?b?c,化简3?2?2?、已知正△ABC的边长为 1 ,则BC?2CA?3AB等于检测题1、已知非零向量a,b满足a=?b,b=?a,则?= A.?1B.?1C.0D.02、设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是A.a?b??B.abC.a?b?a?bD.a?a?b、已知a=,b=,?,则实数k的值是A.53B.2511C.?12D.?174、已知平面向量a?,b?,则向量a?b. A.平行于第一、三象限的角平分线B.平行于y轴 C.平行于第二、四象限的角平分线D.平行于x轴5、将二次函数y?x2的图象按向量a平移后,得到的图象与一次函数y?2x?5的图象只有一个公共点,则向量a?A. B. C. D.6. 如图,在正六边形ABCDEF中,已知AC?c,AD?d,则AE? .巩固练习1. 若e1,e2是夹角为的单位向量，且a?2e1?e2,b??3e1?2e2，则a?b?377A.1B. ?4C. ?D.222. 设a?,b?,c?则?c? A. B.0C.?3D.?11 答案 C3. 在?ABC中,已知向量AB?,BC?,则?ABC的面积等于 A．22B．24C．32D．2答案A4. 在?ABC中,a?5,b?8,C?60?,则BC?CA的值为A．10 B．20C．－10D．205. 已知下列命题中：若k?R，且kb?0，则k?0或b?0，若a?b?0，则a?0或b?0若不平行的两个非零向量a,b，满足|a|?|b|，则??0 ??若a与b平行，则a?b?|a|?|b|p2?q2?2其中真命题的个数是A．0B．1C．2D．36. 已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA?OB?CO?0,则△ABC的内角A等于 A.30?B.60? C.90?D.120?. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE线与CD交于点F．若AC?a，BD?b，则AF?的延长bD．a?3123bA．14a?12b B．23a?13b C．12a?14答案 B8. 已知a?1,b?6,a??2，则向量a与向量b的夹角是 A．6B．4C．3D．2答案 C9. 在平行四边形ABCD中，若BC?BA?BC?AB，则必有A.ABCD是菱形B.ABCD是矩形C.ABCD是正方形D.以上皆错10.已知向量a?,向量b?则|2a?b|的最大值，最小值分别是A．42,0B．4,42C．16,0D．4,0 二.填空题11. 已知Rt△ABC的斜边BC=5，则AB?BC?BC?CA?CA?AB 的值等于 . 答案－2512. 设p = ，q = ，若p与q的夹角??[0,2)，则x的取值范围是13. 若平面向量a，b满足??1，a?b平行于x轴，b?，则a?答案-=解析 a?b?或，则a 或a.14. 在?ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则OA?的最小值是________。
平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题一．填空题。
１. +++等于＿_＿_＿___．２．若向量ａ＝(３，2），b ＝（0,-1)，则向量２b －a 的坐标是____＿＿__．３．平面上有三个点Ａ(1，３），B （2,2),C (7,x ),若∠AB Ｃ =90°,则x 的值为＿_____＿_.4.向量ａ、ｂ满足|ａ｜=1,|b |=2,(ａ+ｂ)⊥(2ａ－ｂ)，则向量a 与b 的夹角为_＿_＿_＿__． ５．已知向量a ＝(1，2)，b ＝（3,１)，那么向量2a －21b 的坐标是__＿_＿＿___. 6．已知A (－1，2),Ｂ(2，４），Ｃ(４，－3）,Ｄ(x ，1),若AB 与CD 共线,则|BD |的值等于__＿＿＿_＿_.７．将点A (2,4)按向量a ＝（－5，－2)平移后,所得到的对应点A ′的坐标是__＿_＿＿.8． 已知a ＝(1,－2), b ＝(１,x),若a ⊥b ,则ｘ等于＿＿____9. 已知向量a , b 的夹角为 120，且｜a ｜=２,| b |=５,则（2a － b )·a =____＿_１0． 设a ＝(2，－3), b =（x ，2x),且3a ·b =4,则x 等于_____１1. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥,则ｘ+2y 的值为＿ ___＿12. 已知向量a ＋3 b , a -4 b 分别与7a －5 b ，7a -2 b 垂直，且｜ａ｜≠0,｜ b |≠0,则a 与b 的夹角为__＿_１3． 在△ＡＢC 中，O 为中线A Ｍ上的一个动点,若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 ．14.将圆222=+y x 按向量v =（2,1)平移后,与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二.解答题。
１5．设平面三点Ａ（1，0)，B （0,1），C （2，5）.(1）试求向量2＋的模； (2）试求向量与的夹角;（3)试求与BC 垂直的单位向量的坐标．1６．已知向量a =(θθcos ,sin )(R ∈θ),ｂ=(3,3)（１）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底(2)求｜a －b |的取值范围17．已知向量a 、ｂ是两个非零向量，当a +t ｂ(t ∈R)的模取最小值时，（１)求ｔ的值（２)已知a 、b 共线同向时,求证b 与a +t ｂ垂直18. 设向量)2,1(),1,3(-==,向量垂直于向量,向量 平行于,试求,时=+的坐标.１9．将函数y=-ｘ2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2-x －２的图象的两个交点关于原点对称.(如图）求平移向量a 及平移后的函数解析式.２０．已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和ｔ,使 .,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且(1)试求函数关系式k =f （t ）(2)求使ｆ(t ）>０的t 的取值范围.１． 2.（－3,－4） 3.７ 4.90° 5.(21，321)．6．73． ７.（-3,2）. 8.－2 9.1210．31-１1．0 12. 9０° １３.2- １４.51--或 15.(１)∵ =(0－1，1－0）＝(-1,１),=（2-1，５-0)=(1,5）．∴ 2+AC ＝2（－1,1）+（１,5)＝(-1,7)．∴ |２AB ＋|=227)1(+-＝50. （2)∵ |AB |=221)1(+-＝2.||=2251+＝26，·=(-1）×1＋1×5=4.∴ ｃos θ ＝||||AC AB ⋅＝2624⋅＝13132. （３）设所求向量为＝(x ，ｙ),则x ２+y 2=１． ① 又 ＝(2-0,５－1）＝(２，4）,由⊥，得2 x +4 ｙ =0. ②由①、②,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，-55)或（－552，55）即为所求．１6.【解】(1）要使向量ａ、b 不能作为平面向量的一组基底,则向量ａ、ｂ共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)(6Z k k ∈+=ππθ,即当)(6Z k k ∈+=ππθ时,向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底 （２）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a17.【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+t ｂ(t ∈R ）的模取最小值(2)当a 、b 共线同向时,则0=α,此时||||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b∴b ⊥（ａ+t ｂ)1８.解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y y x ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………１0分 )6,11(),7,14(=-==∴于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=,得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立, 得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为(ｘ1，y 1),（ｘ2,y 2)，由已知它们关于原点对称,即有:⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去ｙ得:02)21(222=++-+-k h x h x . 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ）,),(22y x 分别代入①②两式并相加，得:.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得:22+--=x x y .解法二:由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上,因此只要找到特征点即可．22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为(49,21-),即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到,所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即 （２)由f （t )>0，得.303,0)3)(3(,0)3(412><<--+>-t t t t t t t 或则即。
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1、（1）B（2）C
2、（1）a −7 b （2）5a +5 b
练习 7.2.1
1、填空题： （1）对任一个平面向量 a，都存在着一对有 序实数（x，y），使得 a=xi+yj。有序实数对
y
3
2
a
b
1
叫做向量的坐标。
e2
（2）已知 A (x1，y1)，点 B (x2，y2)，则 －3 －2 －1 O e1 1 2 3 x
1．已知 | a |，| b |，‹a，b›，求 a·b： (1) | a |＝7，| b |＝12，‹a，b›＝120°；(2) | a |＝8，| b |＝4，‹a，b›＝π； 2．已知 | a |，| b |，a·b，求 ‹a，b›： (1) | a || b |＝16，a·b＝－8；(2) | a || b |＝12，a·b＝6 3． 3、已知 a·a＝16，求| a | 参考答案： 1、（1）－42（2）－32 2、（1）120°（2）30° 3、4
C． AB +AD=BD
D． AD+CB=0
（2）化简： AB+BC CD =（ ）
A
B
A． AC
B． AD
C． BD
D． 0
hing at a time and All things in their being are good for somethin
2、作图题：如图所示，已知向量 a 与 b，求 a+b
A．
BC+
1
BA
B．
BC+
1
BA
A
2
2
C．
BC
1
BA
D．
BC
1
BA
D
2
2
A
（2）化简 PM PN MN 所得结果是（
）B
A
A． MP
B． NP
C． 0
D． MN
）
C A
2、化简题：
（1）3（a −2 b）－（2 a＋b）；（2） a −2（a −4 b）＋3（2a −b）．
参考答案：
C．若|a|=|b|，则 a 与 b 是平行向量
D．若 a∥b，则 a=b
（2）下列命题：
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b
的方向相同或相反；③向量 AB 与向量 CD 共线，则 A、B、C、D 四点共线；④
如果 a∥b，b∥c.那么 a∥c
正确的命题个数为（ ）
5 因为A→B∥a，所以 1×5－2×y＝0．解得 y＝2．
3、由已知条件得A→B＝(0，1)－(－2，－3)＝(2，4)，A→C＝(2，5)－(－2，－3) ＝(4，8)． 因为 2×8－4×4＝0，所以 A→B∥ A→C，又线段 AB 和 AC 有公共点 A，所以 A，B，C 三点共线．
练习 7.3.1
3、已知 A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证：A→BA→C． 参考答案： 1、(1) a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5； (2) | a |＝ 32＋(－1)2＝ 10； (3) | b |＝ 12＋(—2)2＝ 5；
(4)因为 cos‹a，b›＝ a b ＝ ＝ ， | a || b |
，λa＝
其中 λ 是实数。
，a－b＝
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2、已知 a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求 a＋b，a－b，3a＋4b． 参考答案： 1、(a1＋b1，a2＋b2)，(a1－b1，a2－b2)，(λa1，λa2) 2、a＋b＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)；a－b＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)；
b a a
参考答案： 1、（1）C（2）B 2、 方法一：三角形法则 法则
方法二：平行四边行
b
a
a+b
a+b
a
a
练习 7.1.3
1、填空题
（1）在平行四边形 ABCD 中，若 AB=a ， BD=b ，则 AB+CB
；
（2）化简: OP QP PS SP
；
2、作图题：如图所示，已知向量 a 与 b，求 a-b
b a
， AD-CD
b a a
参考答案：
1、（1） b ； a （2） OQ
2、
a-b
b a a
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练习 7.1.4
1、选择题
（1）如图所示，D 是△ABC 的边 AB 的中点，则向量 CD 等于（
A.1
B.2
C.3
D.0
参考答案：
1、（1）数量；向量（2）模；零向量；单位向量（3）平行的向量；共线向量；
零向量
（4）相等（5）负向量
2、（1）A（2）B
练习 7.1.2
1、选择题
（1）如右图所示，在平行四边行 ABCD 中，下列结论错误的是（ ）
A． AB=DC
B． AD+AB=AC
D
C
A→B的坐标为
。
－1
2、如图，用基向量 e1，e2 分别表示向量
c
d
a，b，c，d，并求出它们的坐标．
－2
3、已知 A，B 两点的坐标，求 A→B，B→A 的
－3
坐标：
(1) A(－3，4)，B(6，3)；(2) A(－3，6)，B(－8，－7)．
参考答案：
1、（1）（x，y）（2）(x2－x1，y2－y1)
练习 7.3.2
1、设 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1) a·b； (2) | a |； (3) | b |； (4)‹ a，b›． 2、已知 A(2，－4)，B(－2，3)，求|A→B|．
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；
（3）方向相同或相反的两个非零向量互相
，平行向量又叫
，规定： 与任何一个向量平行；
（4）当向量 a 与向量 b 的模相等，且方向相同时，称向量 a 与向量 b
；
（5）与非零向量 a 的模相等，且方向相反的向量叫做向量 a 的
；
2、选择题
（1）下列说法正确的是（ ）
A．若|a|=0，则 a=0
B．若|a|=|b|，则 a=b
3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)
练习 7.2.3
1、判断下列两个向量是否平行： (1) a＝(－1，3)，b＝(5，－15)；(2) e＝(2，0)，f＝(0，3)
2、已知点 A(－2，－1)，B(0，4)，向量 a＝(1，y)，并且A→B∥a，求 a 的纵坐标 y 3、已知点 A(－2，－3)，B(0，1)，C(2，5)，求证：A，B，C 三点共线． 参考答案： 1、(1) 因为(－1)×(－15)－3×5＝0，所以向量 a 和向量 b 平行； (2) 因为 2×3－0×0＝6≠0，所以向量 e 和 f 不平行． 2、由已知条件得A→B＝(0，4)－(－2，－1)＝(2，5)，
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第 7 章 平面向量习题
练习 7.1.1
1、填空题
（1）只有大小，没有方向的量叫做
；既有大小，又有方向的量叫做
；
（2）向量的大小叫做向量的
，模为零的向量叫做
，模
为 1 的向量叫做
2、a＝3e1＋2e2＝(3，2 )，b＝－2e1＋3e2＝(－2，3)，
c＝－2e1－3e2＝(－2，－3)，d＝2e1－3e2＝(2，－3)． 3、（1）A→B=（9，－1），B→A=（－9，1）
（2）A→B=（－5，－13），B→A=（5，13）
练习 7.2.2
1、填空题：
如果
π 所以‹a，b›＝4．
2、因为 A(2，－4)，B(－2，3)，所以A→B＝(－2，3) －(2，－4)＝(－4，7)， 所以|A→B|＝ 72＋(－4)2＝ 65． 3、因为A→B＝(2－1，3－2)＝(1，1)，A→C＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)， 可得A→B·A→C＝(1，1)·(－3，3)＝0． 所以A→B A→C．