(完整版)职高数学第七章平面向量习题及答案
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。
5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。
三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。
7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。
8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。
四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。
10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。
答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
7.0第七章平面向量测试题及答案(可编辑修改word版)
第七章《平面向量》测试题（时间：120 分钟；分数：150 分）一、选择题（12 小题，每题 5 分，共 60 分）1.下列量：力、位移、速度、加速度、质量、面积中有（）个是向量. （A）5 （B）4 （C）3 （D）72.四边形 ABCD 中若AB = D C,则它一定是（）（A）平行四边形（B）矩形（C）菱形（D）正方形3.若点M 是AB 的中点，O 为平面上任意一点，下列各式中不正确的是（）A M = MB A M = 1AB（A）（B）2O M = 1(OA + OB) O M = 1AB（C） 2 （D）24.下列命题中正确的是（）a = |a|（A）aa=（B|||b|(a,b均为非零向量）（C）a与b反向且均为非零向量，则|a + b| = |a| + |b|（D）a与b同向且均为非零向量，则|a + b| = |a| + |b|5.已知点A（5,3），B（8,0），C（2,0），则∆ABC是（）（A）等腰直角三角形（B）非等腰直角三角形（C）锐角三角形（D）钝角三角形6.已知向量 = ( - 4,1), = (2, ‒ 3), = (7, ‒ 5)，则向量的坐标为（）（B）(5, ‒ 7)（C）(9, ‒ 3)（D）( - 9,3)（A）( - 5,7)7.下列命题：①已知A(3,5),B(1, ‒ 7),则AB中点坐标为（- 1， - 1）.②对平面内任意一点O,都有AB = OA- OB.③已知ABCD的三个顶点A（- 1， - 2）,B(3,1), C(0,2),则D点的坐标为（- 3， - 2）.④已知AB，P、Q为AB的三等分点，则PB = 2QB.则其中正确命题的个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3A(0,3) ,B(3,6) , AP = 1AB8.已知 3 ,则点P 的坐标为( )（A）（4,9）（B）（1,4）（C）（3,3）（D）（6,3）9.下面各对向量垂直的是（）（A） = (1,9)与 = ( - 1,2) （B）c = ( 2, 3) 与d = ( - 2, 3)（C）EF = ( - 2,3)与M N = (2, ‒ 3) （D）m = (3,4)与n = ( -11 10.已知EF = (3， - 1)与M N = (1， - 2)，则〈EF ,M N 〉等于（）π（A ）2 π（B ）3 π（C ）4 π（D ）511.若a = (1,1)与b = (2,3)，则|3a - b |等于（ ）（A ）4（B ）3（C ）2（D ）112.已知|a ‒ b | = ，|a | = 4，|b | = 1，则a ∙ b 等于（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）-3 （D ）3 二、填空题（6 小题，每题 5 分，共 30 分） 13.在平行四边形 ABCD 中，AB ‒ AC =.14.设x 是未知向量，如果2(x ‒ a ) + (2b ‒ x ) = 0,则x = .15. 已知2 + = ( ‒ 4,3) , + ‒ 1,0) ,则a =16.已知a = (3,6) ，b = (1，‒ 2) ，且a = 3b ‒ 2c ,c . 17.已知a = (2,3) ，b = (x ，4) ，若a ⊥ b，那么 x= .18.在等腰三角形∆ABC 中，|AB|=|AC|=6，且AB ∙ AC = - 18，则底角∠C = .三、解答题（共 60 分） 19. （8 分）已知向量a 和b 如图，求（1）2a （2）2a ‒ b .20. （8 分）设a = ( ‒ 1,3) （1）a ⊥ b，m ，2) （2）a ∥ b 当 m 为何值时：21.（10 分）已知a = ( ‒ 1，3),b = （2， ‒ 1），求（1）a ∙ b（2）〈a ,b 〉22(10 分)已知三角形∆ABC 的顶点 A （1,5）、B （-2,1）、C （5,2），证明： ∆ABC 是直角三角形.‒ 1 × 2 + 3 × ( ‒ 1) ( ‒ 1)2 + 32 23 + ( ‒ 1)2223.（12 分）已知向量a = (cos θ，sin θ),b = （cosβ，sinβ ），求：（1）a + b 与a ‒ b 垂直（2）若|ka + b | = |a ‒ kb |，求〈a ,b 〉24.（12 分）已知 A （2,1）、B （3,2）、C （-1,4），（1）求证：AB ⊥ AC（2）当四边形 ABMC 为矩形时，求点 M 的坐标.第七章测试题答案一、选择题（12 小题，每题 5 分，共 60 分） 1. B 2.A 3.D 4.D 5.A 6.B 7.B 8.B 9.D 10.C11.D 12.D二、填空题（6 小题，每题 5 分，共 30 分）13. CB14. 2a ‒ 2b 15. ( - 3，3) 16.(0， ‒ 6)17. ‒ 618.30 ∘三、解答题（共 60 分）19.（8 分） （略） 20. （8 分）m = - 2（1）m=6； （2）3 21. （10 分）a ∙b = ( ‒ 1,3) ∙ (2, - 1) = - 1 × 2 + 3 × ( ‒ 1) = - 5cos 〈a ,b 〉 == -2而0° ≤ 〈a,b〉≤ 180°〈a,b〉= 135°所以22. （10 分）AB = ( ‒ 3，‒ 4) AC = (4，‒ 3)因为AB∙ AC = ( ‒ 3, - 4) ∙ (4, - 3) = - 3 × 4 + ( - 4) × ( ‒ 3) = 0所以即AB⊥ AC所以∆ABC是直角三角形.23. （12 分）|a|2= cos2θ + sin2θ = 1 , |b|2= cos2β + sin2β = 1 （1）因为所以（a + b）∙（a‒ b）= (a)2‒(b)2= |a|2‒|b|2= 0(a + b) ⊥ (a‒ b)所以|ka + b| = |a‒ kb|（2）因为|ka + b|2= |a‒ kb|2所以即k2|a|2+ |b|2+ 2ka∙ b = |a|2+ k2|b|2+ 2ka∙ b|a|2= |b|2= 1因为所以a∙ b = 0 即a⊥ b〈a,b〉= 90°所以24.（12 分）（1）因为 = (3，2) - (2，1) = (1，1)AC = ( ‒ 1，4) ‒ (2，1) = ( ‒ 3，3)而AB∙ AC = (1，1) ∙ ( ‒ 3，3) = 1 × ( ‒ 3) + 1 × 3 = 0所以即AB⊥ AC（2）设 M（x,y）因为四边形 ABMC 为矩形所以AB = C M即(1，1) = (x，y) ‒ ( ‒ 1，4)(x，y) = (0，5)所以 M（0,5）。
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案平面向量练习题及答案在数学学科中，平面向量是一个非常重要的概念。
它不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中发挥着重要的作用。
掌握平面向量的基本概念和运算法则对于解决各种实际问题具有重要意义。
本文将为大家提供一些平面向量练习题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
1. 题目：已知向量a = (3, -2)和向量b = (-1, 4)，求向量a + b的结果。
解答：向量a + b的结果可以通过将向量a和向量b的对应分量相加得到。
所以，向量a + b = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)。
2. 题目：已知向量a = (2, -5)和向量b = (4, 3)，求向量a - b的结果。
解答：向量a - b的结果可以通过将向量a和向量b的对应分量相减得到。
所以，向量a - b = (2 - 4, -5 - 3) = (-2, -8)。
3. 题目：已知向量a = (3, -2)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的数量积。
解答：向量a与向量b的数量积可以通过将向量a和向量b的对应分量相乘，并将结果相加得到。
所以，向量a与向量b的数量积为3*(-1) + (-2)*4 = -3 - 8 = -11。
4. 题目：已知向量a = (2, -5)，求向量a的模长。
解答：向量a的模长可以通过计算向量a的坐标分量的平方和的平方根得到。
所以，向量a的模长为√(2^2 + (-5)^2) = √(4 + 25) = √29。
5. 题目：已知向量a = (3, -2)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的夹角的余弦值。
解答：向量a与向量b的夹角的余弦值可以通过计算向量a与向量b的数量积与向量a和向量b的模长的乘积的商得到。
所以，向量a与向量b的夹角的余弦值为(-11) / (√(3^2 + (-2)^2) * √((-1)^2 + 4^2)) = -11 / (√13 * √17)。
(完整版)平面向量练习题集答案(可编辑修改word版)
a •aa •a平面向量练习题集答案典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量AB 的长度与BA 的长度相等；②向量a 与向量b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB 与向量CD 是共线向量，则A、B、C、D 必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB 与CD 是共线向量，则A、B、C、D 可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①|a|＝；②(a •b) •c＝a •(b •c)；③OA －OB ＝BA ；④在任意四边形ABCD 中，M 为AD 的中点，N 为BC 的中点，则AB ＋DC ＝2 MN ；⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a 与 b 不共线，则(a＋b)⊥(a－b).其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.| a|＝正确；(a •b) •c≠a •(b •c)；OA －OB ＝BA 正确；如下图所示，MN = MD + DC + CN 且MN = MA + AB + BN ，两式相加可得2 MN ＝AB ＋DC ，即命题④正确；因为a，b 不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b 为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC、BD 交于点O，点M 在线段DO上，且 DM = 1 DO ，点 N 在线段 OC 上,且ON = 1OC ,设 AB =a , AD =b ,试用 a 、b 表示 AM ， AN ，33MN .【解析】在▱ABCD 中，AC ，BD 交于点 O ，1 1 1所以 DO ＝ DB ＝ ( AB － AD )＝ (a －b )，2 2 2 AO ＝ OC ＝1 AC ＝1( AB ＋ AD )＝1＋b ).(a2 2 2 1 1又 DM ＝ DO ， ON ＝ OC ，3 31所以 AM ＝ AD ＋ DM ＝b ＋ DO31 1 1 5 ＝b ＋ × (a －b )＝ a ＋ b ，3 2 6 6AN ＝ AO ＋ ON ＝ OC 1＋ OC34 4 1 2 ＝ OC ＝ × (a ＋b )＝ (a ＋b ). 3 3 2 3所以 MN ＝ AN － AM 2 1 5 1 1 ＝ (a ＋b )－( a ＋ b )＝ a － b . 3 6 6 2 6【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.【变式训练 2】O 是平面 α 上一点，A 、B 、C 是平面 α 上不共线的三点，平面 α 内的动点 P 满足OP ＝1OA ＋λ( AB ＋ AC )，若 λ＝ 时，则 PA • ( PB ＋ PC )的值为 .2【解析】由已知得OP － OA ＝λ( AB ＋ AC )，1 1即 AP ＝λ( AB ＋ AC )，当 λ＝ 时，得 AP ＝ ( AB ＋ AC )，2 2所以 2 AP ＝ AB ＋ AC ，即 AP － AB ＝ AC － AP ， 所以 ＝ ，所以 ＋ ＝ ＋ ＝0，所以 PA • ( PB ＋ PC )＝ PA • 0＝0，故填 0. 题型三 向量共线问题【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线.(1) 若 AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数 k ，使 k a ＋b 和 a ＋k b 共线.【解析】(1)证明：因为 AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )， 所以 BD ＝ BC ＋ CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5 AB ， 所以 ， 共线.又因为它们有公共点 B ， 所以 A ，B ，D 三点共线. (2)因为 k a ＋b 和 a ＋k b 共线， 所以存在实数 λ，使 k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 所以(k －λ)a ＝(λk －1)b .因为 a 与 b 是不共线的两个非零向量，所以 k －λ＝λk －1＝0，所以 k 2－1＝0，所以 k ＝±1.【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练 3】已知 O 是正三角形 BAC 内部一点， OA +2 OB +3 OC =0，则△ OAC 的面积与△OAB 的面积之比是（）3 A.2 2 B.3 1 C.2D.3【解析】如图，在三角形 ABC 中， OA ＋2 OB ＋3 OC ＝0，整理可得OA ＋ OC ＋2( OB ＋ OC )＝0.1令三角形 ABC 中 AC 边的中点为 E ，BC 边的中点为 F ，则点 O 在点 F 与点 E 连线的 处，即 OE ＝2OF .31 h h 1设三角形 ABC 中 AB 边上的高为 h ，则 S △OAC ＝S △OAE ＋S △OEC ＝ • OE • ( ＋ )＝ OE ·h ，2 2 2 21 1 1S △OAB ＝ AB • h ＝ AB ·h ，2 2 42由于 AB ＝2EF ，OE ＝ EF ，所以 AB ＝3OE ，3 1S △ OAC OE • h 2 所以 ＝ 2 ＝ .故选 B.S △ OAB 总结提高1 AB • h 341. 向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2. 判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3. 当向量 a 与 b 共线同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |；当向量 a 与 b 共线反向时，|a ＋b |＝||a |－|b ||； 当向量 a 与 b 不共线时，|a ＋b |＜|a|＋|b |.典例精析题型一 平面向量基本定理的应用【例 1】如图▱ABCD 中,M ,N 分别是 DC ，BC 中点.已知 AM =a , AN =b ,试用 a ，b 表示 AB ， AD 与 AC【解析】易知 AM ＝ AD ＋ DM1＝ AD ＋ AB ，21AN ＝ AB ＋ BN ＝ AB ＋ AD ，2⎧AD + 1 AB = a , ⎪即⎨⎪AB + ⎩ 2 1AD = b . 2 2 2所以 AB ＝ (2b －a )， AD ＝ (2a －b ).3 32所以 AC ＝ AB ＋ AD ＝ (a ＋b ).3【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知D 为△ABC 的边BC 上的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足 PA ＋ BP ＋ CP ＝| PD |0，则1 等于( )1A.3B.2C.1D.2【解析】由于 D 为 BC 边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知 PB ＋ PC ＝2 PD ，因| PD |此结合 PA ＋ BP ＋ CP ＝0 即得 PA ＝2 PD ，因此易得 P ，A ，D 三点共线且 D 是 PA 的中点，所以即选 C.题型二 向量的坐标运算【例 2】 已知 a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b . (1)若 u ＝3v ，求 x ；(2)若 u ∥v ，求 x . 【解析】因为 a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，所以 u ＝(1，1)＋2(x ，1)＝(1，1)＋(2x ，2)＝(2x ＋1，3)， v ＝2(1，1)－(x ，1)＝(2－x ，1).＝1，⎪3 3 3⎨(1)u ＝3v ⇔(2x ＋1，3)＝3(2－x ，1) ⇔(2x ＋1，3)＝(6－3x ，3)， 所以 2x ＋1＝6－3x ，解得 x ＝1. (2)u ∥v ⇔(2x ＋1，3)＝λ(2－x ，1)⎧2x +1 = (2 - x ),⇔ ⎩3 =⇔(2x ＋1)－3(2－x )＝0⇔x ＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视. n π n π【变式训练 2】已知向量 a n ＝(cos 7 ，sin 7 )(n ∈N *)，|b|＝1.则函数 y ＝|a 1＋b|2＋|a 2＋b|2＋|a 3＋b|2＋…＋|a 141＋b|2 的最大值为.π【解析】设 b ＝(cos θ，sin θ)，所以 y ＝|a 1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a 3＋b|2＋…＋|a 141＋b|2＝(a 1)2＋b 2＋2(cos7，sin π 141π 141π π 7)(cos θ，sin θ)＋… ＋(a 141)2＋b 2＋2(cos 7 ，sin 7 )(cos θ，sin θ)＝282＋2cos(7－θ)，所以 y 的最大值为 284. 题型三 平行(共线)向量的坐标运算【例 3】已知△ABC 的角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，设向量 m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2). (1)若 m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； π(2) 若 m ⊥p ，边长 c ＝2，角 C ＝3，求△ABC 的面积.【解析】(1)证明：因为 m ∥n ，所以 a sin A ＝b sin B . 由正弦定理，得 a 2＝b 2，即 a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形. (2)因为 m ⊥p ，所以 m ·p ＝0，即 a (b －2)＋b (a －2)＝0，所以 a ＋b ＝ab .由余弦定理，得 4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以(ab )2－3ab －4＝0. 所以 ab ＝4 或 ab ＝－1(舍去). 1 1 3 所以 S △ABC ＝ ab sin C ＝ ×4× ＝ 3.2 2 2 【点拨】设 m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则 ①m ∥n ⇔x 1y 2＝x 2y 1；②m ⊥n ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.【变式训练 3】已知 a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边，向量 m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1).若 m ⊥n ，且 a ＋b ＝10，则△ABC 周长的最小值为()A.10－5B.10＋5C.10－2D.10＋2 1 【解析】由 m ⊥n 得 2cos 2C －3cos C －2＝0，解得 cos C ＝－ 或cos C ＝2(舍去)，所以 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 2C ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ，由 10＝a ＋b ≥2 ab ⇒ab ≤25，所以 c 2≥75，即 c ≥5 3，所以 a ＋b ＋312 4 ×2 3 c ≥10＋5 3，当且仅当 a ＝b ＝5 时，等号成立.故选 B.典例精析题型一 利用平面向量数量积解决模、夹角问题 【例 1】 已知 a ，b 夹角为 120°，且|a |＝4，|b |＝2，求： (1)|a ＋b |；(2)(a ＋2b ) ·(a ＋b )；(3) a 与(a ＋b )的夹角 θ.【解析】(1)(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b 1 ＝16＋4－2×4×2× ＝12，2 所以|a ＋b |＝2 3.(2)(a ＋2b ) ·(a ＋b )＝a 2＋3a ·b ＋2b 2 1 ＝16－3×4×2× ＋2×4＝12.21(3)a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝16－4×2× ＝12.2 所以 cos θ＝ a • (a + b ) ＝ ＝ | a || a + b |3 ，所以 2 πθ＝6.【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.【变式训练 1】已知向量 a ，b ，c 满足：|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b ，且 c ⊥a ，则 a 与 b 的夹角大小是 .【解析】由 c ⊥a ⇒c ·a ＝0⇒a 2＋a ·b ＝0， 1所以 cos θ＝－ ，所以 θ＝120°.2题型二 利用数量积来解决垂直与平行的问题【例 2】 在△ABC 中， AB ＝(2，3)， AC ＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求 k 的值.【解析】①当∠A ＝90°时，有 AB · AC ＝0， 2 所以 2×1＋3·k ＝0，所以 k ＝－ ；3②当∠B ＝90°时，有 AB · BC ＝0，又 BC ＝ AC － AB ＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)， 11 所以 2×(－1)＋3×(k －3)＝0⇒k ＝ 3 ；③当∠C ＝90°时，有 AC · BC ＝0， 所以－1＋k ·(k －3)＝0， 所以 k 2－3k －1＝0⇒k ＝3 ±213.2 113 ±13所以k 的取值为－，或.3 3 2【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角.【变式训练2】△ABC 中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB .【解析】因为2 AB ·BC ＋2 BC ·CA ＋2 CA ·AB＝( AB ·BC ＋CA ·AB )＋( CA ·AB ＋BC ·CA )＋( BC ·CA ＋BC ·AB )( AB ＋BC )＋BC ·( CA ＋AB )( BC ＋CA )＋CA ·＝AB ·C B＝AB ·BA ＋C A ·AC ＋BC ·＝－42－62－52＝－77.77所以AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝－.2题型三平面向量的数量积的综合问题π，构成一个平面斜坐标系，e1，e2分别是与Ox，Oy 同向【例3】数轴Ox，Oy 交于点O，且∠xOy＝3的单位向量，设P 为坐标平面内一点，且OP ＝x e1＋y e2，则点P 的坐标为(x，y)，已知Q(－1，2). (1)求| OQ |的值及OQ 与Ox 的夹角；(2)过点Q 的直线l⊥OQ，求l 的直线方程(在斜坐标系中).1e2＝，【解析】(1)依题意知，e1·2且OQ ＝－e1＋2e2，所以OQ 2＝(－e1＋2e2)2＝1＋4－4e1·e2＝3.所以| OQ |＝3.e1＝－e21＋2e1•e2＝0.又OQ ·e1＝(－e1＋2e2) ·所以OQ ⊥e1，即OQ 与Ox 成90°角.(2)设l 上动点P(x，y)，即OP ＝x e1＋y e2，又OQ ⊥l，故OQ ⊥ QP ，(－e1＋2e2)＝0.即[(x＋1)e1＋(y－2)e2] ·1所以－(x＋1)＋(x＋1)－(y－2) ·＋2(y－2)＝0，2所以y＝2，即为所求直线l 的方程.【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇，体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势.k 2＋a 2k 4 k 2＋a 2k 4 k 2＋a 2k 4 k 2＋a 2k 4 k ＋ k 2＋a 2k 4 k ＋ k 2＋a 2k 4 【变式训练 3】在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (5，0).对于某个正实数 k ，存在函数 f (x )＝ax 2(a ＞0)，使得OP ＝λ • (OAOQ＋ | OQ |)(λ 为常数)，其中点 P ，Q 的坐标分别为(1，f (1))，(k ，f (k ))，则 k 的取值范围为()A.(2，＋∞)B.(3，＋∞)C.(4，＋∞)D.(8，＋∞)【解析】如图所示，设OA＝ OM ，| OA |OQ＝ ON ， OM ＋ ON ＝ OG ，则OP ＝λ OG .因为 P (1，a )， | OQ | kak 2kak 2Q (k ，ak 2)， OM ＝(1，0)， ON ＝(， )， OG ＝( ＋1， )，则直线 OG 的ak 2 ak 2方程为 y ＝ x ，又OP ＝λ OG ，所以 P (1，a )在直线 OG 上，所以 a ＝ ，所以 a 2＝1－2k . 因为| OP |＝1＋a 2＞1，所以 1 2 0，所以 k ＞2. 故选 A.－ ＞ k。
(完整word版)职高数学第七章平面向量习题及答案(2).docx
第 7 章平面向量习题练习 7.1.11、填空题（1）只有大小，没有方向的量叫做；既有大小，又有方向的量叫做；（2）向量的大小叫做向量的，模为零的向量叫做，模为 1 的向量叫做；（3）方向相同或相反的两个非零向量互相，平行向量又叫，规定：与任何一个向量平行；（4）当向量 a 与向量 b 的模相等，且方向相同时，称向量 a 与向量 b；（5）与非零向量 a 的模相等，且方向相反的向量叫做向量 a 的；2、选择题（1）下列说法正确的是（）A ．若 |a|=0，则 a=0B．若 |a|=|b|，则 a=bC．若 |a|=|b|，则 a 与 b是平行向量D．若 a∥b，则 a=b（2）下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或uuur uuura∥ b， b∥c. 那么 a 相反；③向量 AB 与向量 CD 共线，则 A、 B、 C、D 四点共线；④如果∥c正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.0参考答案：1、（ 1）数量；向量（ 2）模；零向量；单位向量（3）平行的向量；共线向量；零向量（4）相等（ 5）负向量2、（ 1） A （ 2） B练习 7.1.21、选择题（1）如右图所示，在平行四边行ABCD 中，下列结论错误的是（）uuur uuur uuur uuur uuurA ． AB=DCB ． AD+AB=ACuuur uuur uuur uuur uuur r C． AB +AD=BD D． AD+CB=0uuur uuur uuur（2）化简： AB+BC CD =（）D C A Buuur uuur uuur rA ． AC B． AD C． BD D ． 02、作图题：如图所示，已知向量 a 与 b，求 a+bba参考答案：1、（ 1） C（ 2） B2、方法一：三角形法则方法二：平行四边行法则ba+b a+bba a练习 7.1.31、填空题uuur r uuur r uuur uuur（1）在平行四边形 ABCD 中，若 AB=a ， BD=b ，则 AB+CBuuur uuur uuur uur（2）化简 : OP QP PS SP；2、作图题：如图所示，已知向量 a 与 b，求 a- bba参考答案：r r uuur1、（ 1）b ； a （ 2） OQ2、a- buuur uuur， AD -CD；ba练习 7.1.41、选择题（1）如图所示， D 是△ ABC 的边 AB 的中点，则向量ADB Cuuur CD 等于（）uuur 1 uuuruuur 1 uuurA ． BC+ BAB ． BC+BA22uuur 1 uuuruuur 1 uuurC ． BCBAD ． BCBA2 2 uuur uuur uuuur（2）化简 PM PN MN 所得结果是（ ）uuuruuurruuuurA ． MPB ． NPC ． 0D ． MN2、化简题：（ 1） 3（ a - 2 b ）－（ 2 a ＋ b ）；（ 2） a - 2（ a - 4 b ）＋ 3（ 2a - b ）．参考答案：1、（ 1） B （ 2） C2、（ 1） a - 7 b （ 2）5a +5 by练习 7.2.131、填空题：2（1）对任一个平面向量a ，都存在着一对有序实数b（x ，y ），使得 a=xi +yj 。
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(4)特殊的向量：零向量 a＝O ｜a｜＝O.单位向量 aO 为单位向量 ｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同：(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
x1
y1
x2 y2
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0
(7)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.
∴航向为北偏西 30 ． 8.过点 O 作向量 OA 、 OB 、 OC ，使之分别与力 F1 ， F2 ， F3 相等，由于 F1 ， F2 ，
F3 的合力为 0 ，则以 OC 、 OB 为邻边的平行四边形的对角线 OD 与 OA 的长度相等，又
由于力 F1 ， F2 ， F3 的大小相等，∴ OA OB OC ，则三角形 OCD 和三角形
6
6
（7）北偏西 300
（8） 1200
（9）略
m 6 m 3
（10） n 3
或
n
3 2
略解或提示：
1.由单位向量的定义即得 a b 1 ，故选（D）．
2.由于 AC AB AD ，∴ AC AB AD ，即 BC AD ，∴线段 BC 与线段 AD 平行且
相等，∴ ABCD 为平行四边形，选（A）．
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= PP aP bP c [海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心. 如图：
向量 MN 用 a 、 b 表示为
（完整版）《平面向量》测试题及答案
（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。
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第7章 平面向量习题
练习7.1.1
1、填空题
（1）只有大小，没有方向的量叫做 ；既有大小，又有方向的量叫做 ； （2）向量的大小叫做向量的 ，模为零的向量叫做 ，模为1的向量叫做 ； （3）方向相同或相反的两个非零向量互相 ，平行向量又叫 ，规定： 与任何一个向量平行；
（4）当向量a 与向量b 的模相等，且方向相同时，称向量a 与向量b ； （5）与非零向量a 的模相等，且方向相反的向量叫做向量a 的 ； 2、选择题
（1）下列说法正确的是（ ）
A ．若|a |=0，则a =0
B ．若|a |=|b |，则a =b
C ．若|a |=|b |，则a 与b 是平行向量
D ．若a ∥b ，则a =b （2）下列命题：
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或
相反；③向量AB u u u r
与向量CD u u u r 共线，则A 、B 、C 、D 四点共线；④如果a ∥b ，b ∥c .那么a ∥c
正确的命题个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.0 参考答案： 1、（1）数量；向量（2）模；零向量；单位向量（3）平行的向量；共线向量；零向量 （4）相等（5）负向量 2、（1）A （2）B
练习7.1.2
1、选择题
（1）如右图所示，在平行四边行ABCD 中，下列结论错误的是（ ）
A ．AB=DC u u u r u u u r
B ．AD+AB=A
C u u u r u u u r u u u r C ．AB +AD=B
D u u u r u u u r u u u r
D ．AD+CB=0u u u r u u u r r （2）化简：AB+BC CD u u u r u u u r u u u r
=（ ）
A ．AC u u u r
B ．AD u u u r
C ．B
D u u u r
D ．0r
2、作图题：如图所示，已知向量a 与b ，求a +b
A
D C
B
a
b
参考答案： 1、（1）C （2）B 2、
方法一：三角形法则 方法二：平行四边行法则
练习7.1.3
1、填空题
（1）在平行四边形ABCD 中，若AB=a u u u r r ，BD=b u u u r r ，则AB+CB =u u u r u u u r ，AD CD -=u u u r u u u r
； （2）化简:QP OP PS SP -++=u u u r u u u r u u u r u u r
；
2、作图题：如图所示，已知向量a 与b ，求a -b
参考答案：
1、（1）b -r ；a r
（2）OQ u u u r 2、
练习7.1.4
1、选择题
（1）如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向
量
a b a +b
a
b
a
b
a -b
CD u u u r
等于（ ）
A ．1BC+BA 2u u u r u u u r
B ．1BC+BA 2-u u u r u u u r
C ．1BC BA 2--u u u r u u u r
D ．1BC BA 2-u u u r u u u r
（2）化简PM PN MN -+u u u r u u u r u u u u r
所得结果是（ ）
A ．MP u u u r
B ．NP u u u r
C ．0r
D ．MN u u u u r
2、化简题：
（1）3（a −2 b ）－（2 a ＋b ）；（2） a −2（a −4 b ）＋3（2a −b ）． 参考答案： 1、（1）B （2）C 2、（1）a −7 b （2）5a +5 b
练习7.2.1
1、填空题：
（1）对任一个平面向量a ，都存在着一对有序实数（x ，y ），使得a =xi +yj 。
有序实数对 叫做向量的坐标。
（2）已知A (x 1，y 1)，点 B (x 2，y 2)，则→
AB 的坐标为 。
2、如图，用基向量e 1，e 2分别表示向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标．
3、已知 A ，B 两点的坐标，求 →AB ，→
BA 的坐标： (1) A (－3，4)，B (6，3)；(2) A (－3，6)，B (－8，－7)． 参考答案： 1、（1）（x ，y ）（2）(x 2－x 1，y 2－y 1) 2、a ＝3e 1＋2e 2＝(3，2 )，b ＝－2e 1＋3e 2＝(－2，3)， c ＝－2e 1－3e 2＝(－2，－3)，d ＝2e 1－3e 2＝(2，－3)． 3、（1）→AB =（9，－1），→BA =（－9，1） （2）→AB =（－5，－13），→
BA =（5，13）
练习7.2.2
1、填空题： 如果 a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ＋b ＝ ，a －b ＝ ，λa ＝ 其中 λ 是实数。
2、已知 a ＝(2，1)，b ＝(－3，4)，求a ＋b ，a －b ，3a ＋4b ．
参考答案：
1、(a 1＋b 1，a 2＋b 2)，(a 1－b 1，a 2－b 2)，(λa 1，λa 2)
2、a ＋b ＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)；a －b ＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)； 3a ＋4b ＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)
练习7.2.3
1、判断下列两个向量是否平行：
(1) a ＝(－1，3)，b ＝(5，－15)；(2) e ＝(2，0)，f ＝(0，3)
2、已知点A (－2，－1)，B (0，4)，向量a ＝(1，y )，并且→
AB ∥a ，求a 的纵坐标y 3、已知点A (－2，－3)，B (0，1)，C (2，5)，求证：A ，B ，C 三点共线． 参考答案：
1、(1) 因为(－1)×(－15)－3×5＝0，所以向量 a 和向量 b 平行； (2) 因为2×3－0×0＝6≠0，所以向量 e 和 f 不平行．
2、由已知条件得→
AB ＝(0，4)－(－2，－1)＝(2，5)， 因为→
AB ∥a ，所以1×5－2×y ＝0．解得y ＝52
．
3、由已知条件得→AB ＝(0，1)－(－2，－3)＝(2，4)，→
AC ＝(2，5)－(－2，－3)＝(4，8)． 因为2×8－4×4＝0，所以 →AB ∥ →
AC ，又线段AB 和AC 有公共点A ，所以A ，B ，C 三点共线．
练习7.3.1
1．已知 | a |，| b |，‹a ，b ›，求 a ·b ： (1) | a |＝7，| b |＝12，‹a ，b ›＝120°；(2) | a |＝8，| b |＝4，‹a ，b ›＝π； 2．已知 | a |，| b |，a ·b ，求 ‹a ，b ›： (1) | a || b |＝16，a ·b ＝－8；(2) | a || b |＝12，a ·b ＝63． 3、已知a ·a ＝16，求| a | 参考答案： 1、（1）－42（2）－32 2、（1）120°（2）30° 3、4
练习7.3.2
1、设a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，求：(1) a ·b ； (2) | a |； (3) | b |； (4)‹a ，b ›．
2、已知A (2，－4)，B (－2，3)，求|→
AB |．
3、已知A (1，2)，B (2，3)，C (－2，5)，求证：→AB →
AC ． 参考答案：
1、(1) a ·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5； (2) | a |＝32＋(－1)2＝10； (3) | b |＝12＋(—2)2＝5； (4)因为cos ‹a ，b ›＝||||b a b a ⋅＝5 10×5＝2
2
，
所以‹a ，b ›＝π
4
．
2、因为A (2，－4)，B (－2，3)，所以→
AB ＝(－2，3) －(2，－4)＝(－4，7)， 所以|→
AB |＝72＋(－4)2＝65．
3、因为→AB ＝(2－1，3－2)＝(1，1)，→
AC ＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)， 可得→AB ·→
AC ＝(1，1)·(－3，3)＝0． 所以→AB ⊥ →AC ．。