平面的基本事实与推论
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人教版高中数学必修四 平面的基本事实与推论
在同一平面内.
B
α
证明：设直线AB, BC, AC
A
C
两两相交,交点分别为A, B, C.显然A, B, C三点不共线,
因此它们能确定一个平面α. 因为A∈α, B∈α,所以直线
AB⊂α .同理直线 AC⊂α ,直线 BC⊂α .即直线AB, BC,
AC都在同一平面内.
例题 过直线外一点与这条直线上的3点，分别画3
平面的基本事实与推论
高一年级 数学
主讲人 黎宁
北京师范大学附属实验中学
一、平面的基本事实
基本事实1 经过不在一条直线上的3个点，有且
只有一个平面.
A
α
C
B
A∈α, B∈α, C∈α.
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面
内，那么这条直线在这个平面内. A
α
B
如果 A∈α, B∈α, 那么 直线 AB⊂α .
推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个 平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
平面的基本事实与推论（一）
高一年级 数学
主讲人 黎宁
北京师范大学附属实验中学
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎
A
α
C
B
又因为这个平面含有不共线的三点A ，B ， C，
由基本事实1可知，这个平面是确定的.
例题 如图 ， 正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 分别指出
11.2 平面的基本事实与推论
第1讲 描述运第动十的基一本章概念 立体几何初步
1|点、线共面问题 如图,自行车有了脚撑就能在地面上“站稳”.
问题 自行车能在地面上“站稳”反映了什么基本事实? 提示:不共线的3点确定一个平面.
第1讲 描述运第动十的基一本章概念 立体几何初步
所谓点、线共面问题就是指结论是几个点或几条直线在同一平面内的问题. (1)证明点、线共面问题的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论. (2)证明点、线共面问题的常用方法:①先由其中的点或者线确定一个平面,再证明 其他点、线均在此平面内,这种方法通常称为“纳入法”;②过有关的点、线分别 作多个平面,再证明这些平面重合,这种方法称为“重合法”.
第1讲 描述运第动十的基一本章概念 立体几何初步
1 | 点、直线、平面的基本事实与推论
基本事实 与推论 点与直 线的基 本事实
平面的 基本事实1
平面的 基本事实2
内容
图形
(1)连接两点的线中,① 线段 最短. (2)过两点有一条直线,并且只有 一条直线
经过不在一条直线上的② 3个 点 ,有且只有一个平面(即不 共线的3点确定一个平面)
第1讲 描述运动的基本概念
高中数学 必修·第四册 人教B版
第1讲 描述运第动十的基一本章概念 立体几何初步
11.2 平面的基本事实与推论
1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法. 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系. 3.能用图形、文字、符号三种语言描述平面的三个基本事实. 4.理解三个基本事实的地位与作用.
符号语言 l⊄α
图形语言
l,m相交于A
l∩m=A
l,α相交于A
l∩α=A
α,β相交于l
α∩β=l
11.2平面的基本事实与推论(用)
11.2.平面的基本事实与推论
一、用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
a
点A在直线a上： 记为：点A∈a
A
点B不在直线a上： 记为：点B∈a
B
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α内： 记为：点A∈面α 点B不在平面α上：记为：点B∈面α α
B A
(3)直线与平面的位置关系： 直线a上的所有点都在平面α上，称直线a
B
图形语言：
αA
C
符号语言：
A, B,C三点不共线 有且只有一个平面 使A, B ,C
观察下列图形，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
公理2.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直 线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
l
α
A
B
文字语言：
公理2.如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条 直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：a α
直线a与平面α只有一个公共点A时，称直 线a与平面α相交。 记为：a∩α＝A
直线a与平面α没有公共点时，称直线a与 平面α平行。 记为：a//α
a
a
a
A
α
α
α
二、平面的基本性质
B
αA
C
公理1.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
文字语言：
公理1.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且Байду номын сангаас有一个平面 。
思考与讨论:
1 2 3 两个平面平行
两个平面能将空间分成几部分? 3或4
一、用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
a
点A在直线a上： 记为：点A∈a
A
点B不在直线a上： 记为：点B∈a
B
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α内： 记为：点A∈面α 点B不在平面α上：记为：点B∈面α α
B A
(3)直线与平面的位置关系： 直线a上的所有点都在平面α上，称直线a
B
图形语言：
αA
C
符号语言：
A, B,C三点不共线 有且只有一个平面 使A, B ,C
观察下列图形，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
公理2.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直 线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
l
α
A
B
文字语言：
公理2.如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条 直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：a α
直线a与平面α只有一个公共点A时，称直 线a与平面α相交。 记为：a∩α＝A
直线a与平面α没有公共点时，称直线a与 平面α平行。 记为：a//α
a
a
a
A
α
α
α
二、平面的基本性质
B
αA
C
公理1.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
文字语言：
公理1.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且Байду номын сангаас有一个平面 。
思考与讨论:
1 2 3 两个平面平行
两个平面能将空间分成几部分? 3或4
平面的基本事实与推论高一下学期数学人教B版(2019)必修第四册
跟踪训练1 (1)如图，根据图形用符号表示下列点、直线、平面之 间的关系．
①点P与直线AB； ②点C与直线AB； ③点M与平面AC； ④点A1与平面AC； ⑤直线AB与直线BC； ⑥直线AB与平面AC； ⑦平面A1B与平面AC.
解析：①点P∈直线AB；②点C∉直线AB； ③点M∈平面AC；④点A1∉平面AC； ⑤直线AB∩直线BC＝点B；⑥直线AB⊂平面AC； ⑦平面A1B∩平面AC＝直线AB.
题型2 点、线共面问题 例2 (1)已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在 同一平面内；
(2)空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是( )
A．1
B．2
C．3
D．1或3
答案：D
解析：若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两 相交且交于同一点时，若三条直线共面，则能确定1个平面，若三条直线不共面， 则能确定3个平面．
符号 A，B，C三点不共 线⇒存在唯一的平面 α使A，B，C∈α __A_∈__l _ ， __B_∈__l_ ， 且__A_∈__α_，__B_∈__α_⇒ l ⊂α
_＝P_P_l∈∈，_βα_且_ ，P∈_l_____⇒ α
推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面(图①)． 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)． 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．
解析：不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有 不在同一条直线上的三个点，故不正确．
3．根据图，填入相应的符号：A____∈____平面ABC，A____∉____平 面BCD，BD____⊄____平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝___A_C____．
4．下列说法正确的是( ) A．两个平面可以有且仅有一个公共点 B．梯形一定是平面图形 C．平面α和β有不同在一条直线上的三个交点 D．一条直线和一个点确定一个平面
平面的基本性质及推论
4个
（2）共点的三条直线可以确定几个平面？ 1个或3个
D1
C1
O
A1
B1
D A
C B
D A
C B
D1 A1
C1 B1
小结
1、平面的基本性质：三公理三推论 2、公理化方法：从一些原始概念（基 本概念）和一些不加证明的原始命题 （公理）出发，运用逻辑推理，推导 出其他命题和定理的方法叫公理化方 法。
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条 直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
Байду номын сангаас符 符号号语表言：示：
Al, B l,且A , B l
α
A
B
公理1的作用：
一 是可以用来判定一条直线是否在平面内，即 要判定直线在平面内，只需确定直线上两个 点在平面内即可；
符号语言：
P P
l且P
l
公理3的作用：
一 是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个 公共点，那么这两个平面相交；
二 是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公 共点，那么这点就在这两个平面的交线上.
三.两平面两个公共点的连线就是它们的交线
β
α
（×）
（×） （×）
（×） （×）
2、（1）不共面的四点可以确定几个平面？
一.平面的概念及特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
二.平面的表示：
几何画法：通常用平行四边形来表示平面．
D
C
α A
符号表示：
B
α
平面ABCD 平面AC
三.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
19-20 第11章 11.2 平面的基本事实与推论
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【例 3】 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M，N，E，F 分别是棱 CD，AB，DD1，AA1 上的点，若 MN 与 EF 交于点 Q，求证： D，A，Q 三点共线．
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[解] 因为 MN∩EF＝Q， 所以 Q∈直线 MN，Q∈直线 EF， 又因为 M∈直线 CD，N∈直线 AB， CD 平面 ABCD，AB 平面 ABCD. 所以 M，N∈平面 ABCD， 所以 MN 平面 ABCD.所以 Q∈平面 ABCD. 同理，可得 EF 平面 ADD1A1.所以 Q∈平面 ADD1A1. 又因为平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝AD， 所以 Q∈直线 AD，即 D，A，Q 三点共线．
据；②判定点 P∈l
在直线上
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2．平面基本事实的推论 推论 1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图 ①)． 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)． 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．
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1．如图所示的平行四边形 MNPQ 表示的平面不能记为 ( )
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课时分层 作 业
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证明线共点问题的方法 1．方法 1：可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面 的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上． 2．方法 2：先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该 交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
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1．如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2， 求证：
【例 3】 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M，N，E，F 分别是棱 CD，AB，DD1，AA1 上的点，若 MN 与 EF 交于点 Q，求证： D，A，Q 三点共线．
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[解] 因为 MN∩EF＝Q， 所以 Q∈直线 MN，Q∈直线 EF， 又因为 M∈直线 CD，N∈直线 AB， CD 平面 ABCD，AB 平面 ABCD. 所以 M，N∈平面 ABCD， 所以 MN 平面 ABCD.所以 Q∈平面 ABCD. 同理，可得 EF 平面 ADD1A1.所以 Q∈平面 ADD1A1. 又因为平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝AD， 所以 Q∈直线 AD，即 D，A，Q 三点共线．
据；②判定点 P∈l
在直线上
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2．平面基本事实的推论 推论 1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图 ①)． 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)． 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．
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1．如图所示的平行四边形 MNPQ 表示的平面不能记为 ( )
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证明线共点问题的方法 1．方法 1：可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面 的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上． 2．方法 2：先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该 交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
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1．如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2， 求证：
平面的基本性质与推论
C α，D α；
（2）A∈β，B ∈β，C ∈β，
D ∈ β，E β，F β；
（3）α∩β= AB ；
例2．如图中△ABC，若AB、BC 在平面 α内，判断AC 是否在平面α内？
C A
B
解：∵ AB在平面α内，∴ A点一定在平 面α内，又BC在平面α内，∴ C点一定在 平面α内， ( 点A、点C都在平面α内，) 直线AC 在平面α内（公理1）.
C1 B1 E
C
A
B
P
则P∈D1F，P∈DA ，
又∵D1F 平面BED1F，P在平面BED1F
内.
AD 平面ABCD，P∈
平面ABCD，
D1
C1
又B为平面ABCD与平 A1
面BED1F的公共点， F D ∴连结PB，PB 即为
平面BED1F 与平面 ABCD的交线.
P
A
B1 E C
B
D1 A1 FD A P
(3) 公理3的作用: 其一判定两个平面是否相交; 其二可以判定点在直线上. 点是某两个
平面的公共点，线是这两个平面的公共交 线，则这点在线上.
因此它还是证明点共线或线共点，并 且作为画截面的依据.
二. 平面基本性质的推论
（1）推论1： 文字语言 ：经过一条直线和直线外的一 点，有且只有一个平面.
C1 B1 E
C B
例5. 如图所示，已知△ABC的三个顶点都 不在平面α内，它的三边AB、BC、AC延长 线后分别交平面α于点P、Q、R， 求证：点P、Q、R在同一条直线上.
证明：由已知AB的延长线交 平面α于点P，根据公理3， 平面ABC与平面α必相交于 一条直线，设为l，
பைடு நூலகம் P∈直线AB，P∈面ABC，又直线AB∩ 面α=P，∴ P∈面α. ∴ P是面ABC与面α的公共点，
（2）A∈β，B ∈β，C ∈β，
D ∈ β，E β，F β；
（3）α∩β= AB ；
例2．如图中△ABC，若AB、BC 在平面 α内，判断AC 是否在平面α内？
C A
B
解：∵ AB在平面α内，∴ A点一定在平 面α内，又BC在平面α内，∴ C点一定在 平面α内， ( 点A、点C都在平面α内，) 直线AC 在平面α内（公理1）.
C1 B1 E
C
A
B
P
则P∈D1F，P∈DA ，
又∵D1F 平面BED1F，P在平面BED1F
内.
AD 平面ABCD，P∈
平面ABCD，
D1
C1
又B为平面ABCD与平 A1
面BED1F的公共点， F D ∴连结PB，PB 即为
平面BED1F 与平面 ABCD的交线.
P
A
B1 E C
B
D1 A1 FD A P
(3) 公理3的作用: 其一判定两个平面是否相交; 其二可以判定点在直线上. 点是某两个
平面的公共点，线是这两个平面的公共交 线，则这点在线上.
因此它还是证明点共线或线共点，并 且作为画截面的依据.
二. 平面基本性质的推论
（1）推论1： 文字语言 ：经过一条直线和直线外的一 点，有且只有一个平面.
C1 B1 E
C B
例5. 如图所示，已知△ABC的三个顶点都 不在平面α内，它的三边AB、BC、AC延长 线后分别交平面α于点P、Q、R， 求证：点P、Q、R在同一条直线上.
证明：由已知AB的延长线交 平面α于点P，根据公理3， 平面ABC与平面α必相交于 一条直线，设为l，
பைடு நூலகம் P∈直线AB，P∈面ABC，又直线AB∩ 面α=P，∴ P∈面α. ∴ P是面ABC与面α的公共点，
平面的基本事实与推论
2.下列说法正确的是
(D)
A.三点可以确定一个平面
B.一条直线和一个点可以确定一个平面
C.四边形是平面图形
D.两条相交直线可以确定一个平面
3.(多选题)平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面可
能有交线
()
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
3.(多选题)平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面可
能有交线
A, B,C
作用：确定平面
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在 这个平面内.
作用：证明线在面内
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 一条过该点的公共直线.
作用：证明平面相交或点共线
二、平面基本事实的推论 推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
常考题型 例1 证明：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一个平面内
［2019·安徽全椒中学高一月考］三条直线两两相交，可确定的平面
个数是（ ）
A.1 B.1或3 C.1或2
D.3
［2019·安徽全椒中学高一月考］三条直线两两相交，可确定的平面
A.AD上 C.A1D1上
B.B1C1上 D.BC上
【解析】选B.由平面基本性质知:D1E与CF的交点在平面A1B1C1D1 上,也在平面BB1C1C上,故交点在两平面的交线B1C1上.
小结
一、平面的基本事实
基本事实1 经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在 这个平面内. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 一条过该点的公共直线.
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A, B, C不共线
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
3.图形语言：
A
B
C
平面基本事实2
1.文字语言：若一条直线 上的两点在同一 个平面内，则这条直线上所有的点都在 这个平面内。 2.符号语言:A l , B l , A , B l 3.图形语言： ．A ．B
思考与讨论
正方体中，试画出过其中三条棱的 中点P，Q，R的平面截得正方体的 截面形状．
P AB Q AB
符号语言
A B C
AB BC=B
l
A
l
l A
l
基本事实1
平面的基本性质
过一点可以做几条直线？两点呢？
过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？
平面基本性质
基本性质1：
1.文字语言：经过不在同一直线上的三点， 有且只有一个平面。 A , B , C 2.符号语言: 唯一
平面基本事实3
1.文字语言：如果不重合的两个平面有一 个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。
2.符号语言: P , P
l且P l
P l
3.图形语言：
两个相交平面的画法：
二、平面的基本事实的推论
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. B a A C 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
（2）经过同一点的三 条直线确定一个平面。（×）
（3）若点A 直线a，点A 平面α，则a α.（×） 则α与β重合。
（ √）
（4）平面α与平面β 有三个不在一直线上的 公共点，
（5）两两相交的三条 直线不共面。 （×）
小结：
掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、 三点共线、三线共点问题的一般方法． 1．证明若干点或直线共面通常有两种思路 （1）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面 重合； （2）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素 在这平面内． 2．证明三点共线，通常先确定经过两点的直线是某 两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共 点，即该点分别在这两个平面内． 3．证明三线共点，通常先证其中的两条直线相交于 一点，然后再证第三条直线经过这一点．
11.2平面的基本事实与推论
点、线、面的表示
1.字母表示：
点（元素）：大写字母A、B、C、D…… 直线（点的集合）：小写英文字母 l , m, n 平面（点的集合）：用希腊字母 , , 或用平行四边形ABCD相对两字母表示，即AC
2.点、线、面之间的关系表示
用集合中的关系符号 元素与集合关系：, 集合与集合关系： , ;
当 在长方体ABCD－A B C D 中，画出下列 1 1 1 1 堂 两平面的交线： 检 （1）平面A1C1D与平面B1D1D； 测 （2）平面A1C1B与平面AB1D1。
D1
O
A1
C1
A1
D1 F B1 D E B
C1
B1 D
C
C
AAΒιβλιοθήκη B当堂检测判断下列命题是否正确 ：
（1）三点确定一个平 面。 （×）
三种语言转换
图形语言
Q A
D A
D A B
文字语言
点P在直线AB上 点Q不在直线AB上
C
P
A1 M
A1 A
B
B
C B
点M在平面AC内 点A1不在平面AC内 直线AB在平面AC内 直线AA1不在平面AC内 直线AB与直线BC交于点B 直线l和平面α交于A 平面α和平面β交于直线l
M 平面 AC A 1 平面 AC AB 平面AC AA1 平面AC
a
α
b
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
练习：
1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点， a表示直线，α、β表示平面） A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α． B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．
其中命题和叙述方法都正确的是[ D
]
2．下列推断中，错误的是[ C
]
D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C 不共
例题讲解 例1 两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内
B A C
要证各线共面，先确定一个平面， 再证明其他直线也在这个平面内
B
证明：
A
C
因为A，B，C三点不共线， 因此它们能确定一个平面.（公理3） 因为A∈，B∈，所以AB .（公理1） 同理BC ，AC ， 所以AB，BC，CA三直线共面.
α
练习: (1)用符号表示 " A在直线l , l 在平面 外", 正确的是( ) A. A l , l B. A l , l C. A l , l D.A l ,l (2)若A , B , A l , B l , 那么直线l与平面 有 ___ 个公共点. (3)请指出下列说法是否正确? 为什么? 1 空间三点确定一个平面. 2 因为平面型斜屋面与地面不相交,所以屋 面所在的平面与地面不相交.
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
3.图形语言：
A
B
C
平面基本事实2
1.文字语言：若一条直线 上的两点在同一 个平面内，则这条直线上所有的点都在 这个平面内。 2.符号语言:A l , B l , A , B l 3.图形语言： ．A ．B
思考与讨论
正方体中，试画出过其中三条棱的 中点P，Q，R的平面截得正方体的 截面形状．
P AB Q AB
符号语言
A B C
AB BC=B
l
A
l
l A
l
基本事实1
平面的基本性质
过一点可以做几条直线？两点呢？
过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？
平面基本性质
基本性质1：
1.文字语言：经过不在同一直线上的三点， 有且只有一个平面。 A , B , C 2.符号语言: 唯一
平面基本事实3
1.文字语言：如果不重合的两个平面有一 个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。
2.符号语言: P , P
l且P l
P l
3.图形语言：
两个相交平面的画法：
二、平面的基本事实的推论
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. B a A C 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
（2）经过同一点的三 条直线确定一个平面。（×）
（3）若点A 直线a，点A 平面α，则a α.（×） 则α与β重合。
（ √）
（4）平面α与平面β 有三个不在一直线上的 公共点，
（5）两两相交的三条 直线不共面。 （×）
小结：
掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、 三点共线、三线共点问题的一般方法． 1．证明若干点或直线共面通常有两种思路 （1）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面 重合； （2）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素 在这平面内． 2．证明三点共线，通常先确定经过两点的直线是某 两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共 点，即该点分别在这两个平面内． 3．证明三线共点，通常先证其中的两条直线相交于 一点，然后再证第三条直线经过这一点．
11.2平面的基本事实与推论
点、线、面的表示
1.字母表示：
点（元素）：大写字母A、B、C、D…… 直线（点的集合）：小写英文字母 l , m, n 平面（点的集合）：用希腊字母 , , 或用平行四边形ABCD相对两字母表示，即AC
2.点、线、面之间的关系表示
用集合中的关系符号 元素与集合关系：, 集合与集合关系： , ;
当 在长方体ABCD－A B C D 中，画出下列 1 1 1 1 堂 两平面的交线： 检 （1）平面A1C1D与平面B1D1D； 测 （2）平面A1C1B与平面AB1D1。
D1
O
A1
C1
A1
D1 F B1 D E B
C1
B1 D
C
C
AAΒιβλιοθήκη B当堂检测判断下列命题是否正确 ：
（1）三点确定一个平 面。 （×）
三种语言转换
图形语言
Q A
D A
D A B
文字语言
点P在直线AB上 点Q不在直线AB上
C
P
A1 M
A1 A
B
B
C B
点M在平面AC内 点A1不在平面AC内 直线AB在平面AC内 直线AA1不在平面AC内 直线AB与直线BC交于点B 直线l和平面α交于A 平面α和平面β交于直线l
M 平面 AC A 1 平面 AC AB 平面AC AA1 平面AC
a
α
b
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
练习：
1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点， a表示直线，α、β表示平面） A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α． B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．
其中命题和叙述方法都正确的是[ D
]
2．下列推断中，错误的是[ C
]
D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C 不共
例题讲解 例1 两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内
B A C
要证各线共面，先确定一个平面， 再证明其他直线也在这个平面内
B
证明：
A
C
因为A，B，C三点不共线， 因此它们能确定一个平面.（公理3） 因为A∈，B∈，所以AB .（公理1） 同理BC ，AC ， 所以AB，BC，CA三直线共面.
α
练习: (1)用符号表示 " A在直线l , l 在平面 外", 正确的是( ) A. A l , l B. A l , l C. A l , l D.A l ,l (2)若A , B , A l , B l , 那么直线l与平面 有 ___ 个公共点. (3)请指出下列说法是否正确? 为什么? 1 空间三点确定一个平面. 2 因为平面型斜屋面与地面不相交,所以屋 面所在的平面与地面不相交.